Tài liệu Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cơ bản 1.1 Các đồng nhất thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Tính chất cơ bản của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Một số tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . 1.1.3 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Tích phân đối với hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Tích phân một số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt . . . . 1.2 Một số bất đẳng thức tích phân và phương pháp bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân . . . . . . . . . . . 1.2.3 Sử dụng đánh giá hàm dưới dấu tích phân . . . . . . . . . 1.2.4 Phương pháp phân đoạn miền lấy tích phân . . . . . . . . 1.2.5 Bất đẳng thức Bunhiakovski . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 6 9 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 15 17 19 Chương 2. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong đa thức 2.1 Một số đẳng thức tích phân giữa các đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Bất đẳng thức tích phân giữa các đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Phương pháp tích phân trong chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . 23 23 24 33 Chương 3. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong lớp 3.1 Nguyên hàm và tích phân các hàm phân thức hữu tỷ . . . 3.2 Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm số vô tỉ . . . . . . . . . . 3.3 Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm lượng giác . . . . . . . . 3.4 Bất đẳng thức tích phân giữa các phân thức . . . . . . . . thức . . . . . . . . . . . . . . . . 38 38 43 49 51 Chương 4. Một số dạng toán liên quan 4.1 Phương pháp tích phân trong các bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Cực trị của một số biểu thức chứa tích phân . . . . . . . . . . . . 58 58 58 phân . . . . . . . . . . . . . . . . ii 4.2 4.1.2 Khảo 4.2.1 4.2.2 Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị . . . . sát phương trình và bất phương trình đa thức . . . . . Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . Giải phương trình sinh bởi một số dạng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 69 69 71 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 1 Mở đầu Chuyên đề tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học, nó không những là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn là công cụ đắc lực trong lý thuyết hàm số và các ứng dụng liên quan. Ngoài ra, bản thân phép tính tích phân còn được sử dụng nhiều trong vật lý, thiên văn học, cơ học, y học,. . . như một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên thì các bài toán liên quan đến tích phân cũng hay được đề cập và được xem như là những dạng toán loại khó. Lý thuyết và các bài toán về tích phân đã được đề cập ở hầu hết các giáo trình cơ bản về giải tích. Tuy nhiên, các tài liệu hệ thống về phép tính tích phân cho lớp hàm đa thức và phân thức như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh cuối bậc trung học phổ thông và sinh viên các trường kỹ thuật thì chưa có nhiều, chưa được hệ thống đầy đủ. Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề phép tính tích phân và ứng dụng, tác giả chọn đề tài luận văn "Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan" nhằm cung cấp một số tính chất cơ bản của tích phân hàm một biến và cho phân loại các dạng toán ứng dụng liên quan đến đa thức và phân thức. Mục đích của đề tài luận văn là nhằm khảo sát một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức chứa tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và xét một số áp dụng trong các bài toán cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình đa thức và phân thức liên quan. Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 4 chương. Chương 1. Các đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cơ bản Chương 2. Các đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong đa thức Chương 3. Các đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong lớp phân thức Chương 4. Một số dạng toán liên quan Tiếp theo, trong các chương đều trình bày một hệ thống bài tập, áp dụng giải các đề thi Học sinh giỏi và Olympic liên quan. 2 Chương 1. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cơ bản 1.1 Các đồng nhất thức tích phân 1.1.1 Tính chất cơ bản của nguyên hàm Ta sử dụng kí hiệu I(a, b) là một khoảng (a, b), một đoạn [a, b] hay nửa khoảng (a, b] hoặc [a, b) trong các định nghĩa, định lí,..của nội dung này. Định nghĩa 1.1 (xem [1-3]). Cho hàm số f (x) xác định trên I(a, b). Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm f (x) trên I(a, b) nếu hàm số F (x) liên tục trên I(a, b), có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc I(a, b) và F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I(a, b). Chú ý 1.1. Trong trường hợp I(a, b) = [a; b], các đẳng thức F 0 (a) = f (a), F 0 (b) = f (b) được hiểu là F (x) − F (a) , x−a x→a F (x) − F (b) F 0 (b) = lim− . x−b x→b F 0 (a) = lim+ Định lý 1.1 (Về sự tồn tại nguyên hàm). Mọi hàm số liên tục trên I(a, b) đều có nguyên hàm trên I(a, b). Định lý 1.2. 1) Nếu hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) trên I(a, b) thì trên I(a, b) nó có vô số nguyên hàm. 2) Hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên I(a, b) là sai khác nhau một hằng số cộng. Từ Định lí 1.2, ta thấy nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên I(a, b) thì mọi nguyên hàm của f (x) trên I(a, b) đều có dạng F (x)+C , với C ∈ R. Vậy F (x)+C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên I(a, b). 3 Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên I(a, b) được kí hiệu là Z f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R. Định lý 1.3 (Tính chất của nguyên hàm). Z 0 i) Z = f (x), f (x)dx R f (x)dx. Vậy  ii) d f (x)dx = f (x)dx, Z iii) df (x) = f (x) + C. Định lý 1.4 (Quy tắc tìm nguyên hàm). Z Z i) kf (x)dx = k f (x)dx (k 6= 0), Z ii) Z [f (x) + g(x)]dx = Z iii) Z f (x)dx = Z f (x)dx+ g(x)dx, f [ϕ(t)]ϕ0 (t)dt, trong đó x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục. iv) Quy tắc lấy nguyên hàm từng phần Z Z udv = uv − vdu, trong đó u = u(x), v = v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục. 1.1.2 Một số tính chất của tích phân xác định Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định của một hàm số. Định nghĩa 1.2. Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn [a; b]. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia xi (i = 0, . . . , n): a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b. (Mỗi phép chia như thế được gọi là một phép phân hoạch đoạn [a; b], kí hiệu là Π.) Đặt ∆xi = xi − xi−1 và d(Π) = max ∆xi , 1 ≤ i ≤ n. Trên mỗi đoạn [xi−1 ; xi ], ta lấy một điểm tùy ý ξi (i = 1, . . . , n) và lập tổng σΠ = n X f (ξi )∆xi . (1.1) i=1 Tổng (1.1) được gọi là tổng tích phân của hàm số f (x) ứng với phép phân hoạch Π. 4 Nếu giới hạn n X I = lim σΠ = lim d(Π) →0 d(Π) →0 f (ξi )∆xi i=1 tồn tại, không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a; b] và cách chọn điểm ξi thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của f (x) trên [a; b] và kí hiệu là Zb I= f (x)dx = lim n X d(Π) →0 a f (ξi )∆xi . i=1 Khi đó hàm f (x) được gọi là khả tích trên đoạn [a; b]. Chú ý 1.2. Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân: Zb Zb f (x)dx = a f (t)dt. a Chú ý rằng để tính diện tích "hình thang cong", người ta xấp xỉ phần được giới hạn bởi một đường cong cho trước nhờ các tổng xác định và đã tìm được diện tích chính xác bằng cách thiết lập giới hạn của các tổng đó. Sau đó, ta tìm giá trị bằng số của giới hạn này trên cở sở sử dụng định lí cơ bản về các phép tính giới hạn. Để ý rằng, nếu f (x) là liên tục trên [a; b] thì ta có đẳng thức lim max ∆xk →0 n X k=1 Zb f (xk )∆xk = b  f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a). (1.2) a a trong đó F (x) là một nguyên hàm nào đó của f (x). Có nhiều đại lượng khác của hình học, vật lí, . . . cũng có thể khảo sát được bằng phương pháp này như thể tích, độ dài, diện tích mặt cũng như các đại lượng vật lí cơ bản như công sinh ra bởi một lực biến đổi tác động từ một khoảng cách cho trước. Trong mỗi trường hợp như vậy, quá trình này thực hiện phép chia khoảng biến thiên độc lập thành các khoảng nhỏ và đại lượng đang xét được tính gần đúng bằng tổng tương ứng, giới hạn của các tổng ấy cho ta giá trị chính xác của đại lượng cần tính dưới dạng một tích phân xác định - được tính toán nhờ các phép tính cơ bản. Ta cũng thấy rằng những chi tiết của quá trình tính giới hạn của tổng được thực hiện để tìm diện tích dưới dạng đường cong không nhất thiết phải lặp lại để tìm các đại lượng tương tự khác. Hệ thống các kí tự được sử dụng là phức tạp và lặp đi lặp lại nhiều lần gây trở ngại cho tính toán. Tiếp theo, ta xét một số phương pháp cơ bản sử dụng để tính tích phân xác định. Trong thực hành, ta đặc biệt chú ý đến một số lớp các hàm khả tích đơn giản và dễ nhận biết sau đây: 5 Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì khả tích trên đoạn đó. Hàm số y = f (x) bị chặn trên đoạn [a; b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn thì khả tích trên đoạn đó. Hàm số y = f (x) bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a; b] thì khả tích trên đoạn đó. Nhận xét rằng có một mối liên hệ mật thiết giữa tích phân xác định và nguyên hàm. Định lý 1.5 (Về tính khả tích của hàm số). Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]. Định lý 1.6. Nếu f (x) và g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f (x) ≤ g(x) với mọi x thuộc [a, b] thì Zb Zb f (x)dx ≤ a g(x)dx. a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f (x) = g(x). Định lý 1.7 (Phép cộng tích phân). Zb Zb Zb g(x)dx = f (x)dx + a a [f (x) + g(x)]dx. a Định lý 1.8 (Phép trừ tích phân). Zb Zb f (x)dx − Zb [f (x) − g(x)]dx. g(x)dx = a a a Định lý 1.9 (Phép nhân tích phân với 1 hằng số). Zb k Zb f (x)dx = a kf (x)dx. a Định lý 1.10 (Công thức đảo cận). Za Zb f (x)dx = − a b và f (x)dx Za f (x)dx = 0. a 6 Định lý 1.11 (Công thức tách cận). Zb Zc f (x)dx = a Zb f (x)dx, c ∈ [a, b]. f (x)dx + a c Định lý 1.12 (Công thức đổi biến số). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm số x = g(t) khả vi liên tục trên đoạn [m, M ] và min g(t) = a; max g(t) = t∈[m,M ] t∈[m,M ] b; g(m) = a, g(M ) = b. Khi đó ta có Zb ZM f (x)dx = a f (g(t)).g 0 (t)dt. m Định lý 1.13 (Công thức tích phân từng phần). Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi liên tục trên [a, b], khi đó Zb b Z b  u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx a a a Định lý 1.14 (Công thức Newton-Leibnitz). Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và F (x) là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó, thì Zb b  f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a). a a Từ Định lí 1.14, ta thấy ngay rằng việc tính tích phân xác định trở thành đơn giản nếu xác định được biểu thức nguyên hàm tương ứng dưới dạng hiện. Để tính tích phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn [a; b] ta thường tìm nguyên hàm F (x) của nó và dùng công thức Newton-Leibnitz. Trong nhiều bài toán việc tìm nguyên hàm rất phức tạp và khó khăn thậm chí không tìm được nguyên hàm dưới dạng hiện. Vì vậy, nhu cầu tính các tích phân xác định khi chưa tường minh nguyên hàm tương ứng là một bài toán cần được khảo sát chi tiết. Trong những trường hợp đó, nếu biết dựa vào những tính chất đặc biệt của hàm dưới dấu tích phân và những biến đổi thích hợp, ta có thể tính được một số dạng tích phân xác định. 1.1.3 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ Tính chất 1.1. Nếu hàm số y = f (x) lẻ, liên tục trên [−a; a], với a > 0 thì Za I= f (x)dx = 0. −a 7 Chứng minh. Do f (x) liên tục trên [−a; a] nên Z0 I= Za f (x)dx f (x)dx + −a 0 Đặt x = −t thì dx = −dt. Khi đó Z0 Z0 f (x)dx = − −a a 0 0 (Do f (x) là hàm số lẻ nên f (−x) = −f (x)). Vậy Za I=− f (−x)dx = − f (−t)dt = f (−t)dt = Za Za Za 0 Za f (x)dx + 0 f (x)dx f (x)dx = 0. 0 Bài toán 1.1. Tính tích phân 1 I= Z2  1+x x dx. cos 4x + sin sin x ln 2 1−x  − 12 Lời giải. Xét hàm số  f (x) = cos 4x + sin x 1+x sin x ln 2 1−x   1 1 và Ta thấy f (x) liên tục trên − ; 2 2  1−x −x sin(−x) ln 2 1+x   −1 x 1+x = (cos 4x + sin sin x) ln 2 1−x 1+x x = −f (x). = −(cos 4x + sin sin x) ln 2 1−x  f (−x) = cos(−4x) + sin  1 1 Vậy f (x) liên tục trên − ; và là hàm số lẻ nên theo tính chất 1.1, ta có I = 0. 2 2 Tính chất 1.2. Nếu f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a], với a > 0 thì Za I= Za f (x)dx = 2 −a f (x)dx. 0 Chứng minh. Chứng minh tương tự như tính chất 1.1, chú ý f (−x) = f (x). 8 Bài toán 1.2 (Đề thi tuyển sinh vào ĐH Lâm nghiệp - 1999). Tính tích phân Z1 I= x4 + sin x dx. x2 + 1 −1 Lời giải. Ta có Z1 I= x4 dx + x2 + 1 −1 Z1 sin x dx = I1 + I2 . x2 + 1 −1 sin x là hàm số lẻ, liên tục trên [−1; 1] theo tính chất 1.1, ta có I2 = 0; còn x2 + 1 Dễ thấy x4 là hàm số chẵn, liên tục trên [−1; 1] nên theo tính chất 1.2, ta có x2 + 1 Z1 I1 = 2 x4 dx = 2 x2 + 1  x4 − 1 + 1 dx = 2 x2 + 1 0 0 Vậy I = Z1 Z1 (x2 − 1)dx + Z1 dx  π 4 = − . x2 + 1 2 3 0 0 π 4 − . 2 3 Tính chất 1.3. Nếu f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên D ⊂ R thì với ∀a ∈ D ta luôn có I= Ra f (x) −a bx + 1 dx = Ra f (x)dx, với a > 0 và 0 < b 6= 1. 0 Chứng minh. Ta có Z0 I= f (x) dx + bx + 1 −a Za f (x) dx bx + 1 0 Đặt x = −t thì dx = −dt. Khi đó Z0 f (x) dx = − bx + 1 −a Z0 f (−t) dt = b−t + 1 a Vậy Za I= Za f (−t)bt dt = bt + 1 0 f (x)bx dx + bx + 1 0 Za Za f (−x)bx dx = bx + 1 0 f (x) = bx + 1 0 Za (bx + 1)f (x) dx = bx + 1 0 Za f (x)bx dx. bx + 1 0 Za f (x)dx. 0 Nhận xét 1.1. Từ các tính chất riêng lẻ 1.1, 1.2 và 1.3, dẫn đến một tính chất chung sau đây Tính chất 1.4. Nếu f (x) là hàm liên tục trên [−a; a], với a > 0 thì Za I= Za f (x)dx = −a (f (x) + f (−x))dx 0 9 Chứng minh. Do f (x) liên tục trên [−a; a] nên Z0 I= Za f (x)dx f (x)dx + −a 0 Đặt x = −t thì dx = −dt. Khi đó Z0 Z0 f (x)dx = −a I= 0 0 Za Za f (x)dx + 0 f (−x)dx f (−t)dt = f (−t)(−dt) = a Vậy Za Za Za f (−x)dx = 0 (f (x) + f (−x)) dx. 0 Bài toán 1.3 (Olympic Sinh viên Toàn quốc - 2011). Tính tích phân Z1 1 + x + x2 dx √ . + 1 + 3x2 + x4 −1 Lời giải. Xét f (x) = 1 √ , với x ∈ [−1, 1]. 1 + x + x2 + 1 + 3x2 + x4 Ta nhận thấy f (x) liên tục trên đoạn [−1; 1] và f (x) + f (−x) = 1 . 1 + x2 Từ đó, sử dụng tính chất 1.4, ta có Z1 I= f (x)dx = −1 1.1.4 Z1 Z1 (f (x) + f (−x)) dx = 0 dx π = . 2 1+x 4 0 Tích phân đối với hàm tuần hoàn Trong mục này ta chỉ xét các hàm tuần hoàn cộng tính. Đối với các hàm số tuần hoàn nhân tính cần chuyển đổi qua hàm tuần hoàn cộng tính bằng phép lôgarit hóa các biểu thức tương ứng của biến số. Ta nhắc lại định nghĩa hàm tuần hoàn. Định nghĩa 1.3 (xem [1-3]). Hàm số y = f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có một số T > 0 sao cho với mọi x thuộc miền xác định Df của hàm số, ta luôn có 1) x ± T cũng thuộc miền xác định của hàm số, 2) f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ Df . Số T (T > 0) được gọi là chu kì của hàm tuần hoàn. Chu kì nhỏ nhất (nếu tồn tại) được gọi là chu kì cơ sở của hàm số đã cho. 10 Tính chất 1.5. Nếu hàm số f (x) tuần hoàn chu kì T , xác định và liên tục trên R thì a+T Z T ZT Z2 f (x)dx = a f (x)dx, ∀a ∈ R f (x)dx = 0 − T2 Chứng minh. Đặt a+T Z I1 = T ZT f (x)dx, I2 = a Z2 f (x)dx, I3 = 0 Ta có Z0 I1 = − T2 ZT f (x)dx + a a+T Z f (x)dx + 0 Đổi biến x = t + T đối với tích phân a+T R f (x)dx f (x)dx. T f (x)dx được I1 = I2 . Chọn a = − T2 ta được T I1 = I3 . Bài toán 1.4. Tính tích phân 5π Z4 I= sin 2x cos4 x + sin4 x dx. π Lời giải. Dễ thấy f (x) = sin 2x sin 2x = là hàm tuần hoàn với chu kì 4 1 2 cos4 x + sin x 1 − sin 2x 2 T = π , do đó theo tính chất 1.5, ta có π π π Z4 Z4 Z4 I= sin 2x dx = 2 cos4 x + sin4 x 0 sin x cos x dx = 2 cos4 x + sin4 x 0 Ta tính 0 π Z4 I1 = tan xdx cos2 x(1 + tan4 x) 0 dx . cos2 x π Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 0; khi x = thì t = 1. Vậy nên 4 Đặt t = tanx, ta có dt = Z1 I1 = 0 tdt 1 = 4 1+t 2 Z1 d(t2 ) π = . 4 1+t 8 0 Do đó I = 2I1 = π . 4 tan xdx cos2 x(1 + tan4 x) 11 Bài toán 1.5 (Olympic Sinh viên Toàn quốc - 2007). Tính tích phân I= Z2π  ln sin x +  p 1 + sin2 x dx. 0   p Lời giải. Nhận xét rằng f (x) = ln sin x + 1 + sin2 x là hàm liên tục, tuần hoàn với Rπ chu kì T = 2π . Từ tính chất 1.5 ta được I = f (x)dx. −π Mặt khác, do f (x) là hàm số lẻ nên theo tính chất 1.1 ta được I = 0. 1.1.5 Tích phân một số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt Tính chất 1.6. Nếu hàm số f (x) liên tục trên [0; 1] thì π π Z2 Z2 f (sin x)dx = 0 Chứng minh. Đặt t = f (cos x)dx. 0 π π − x thì x = − t và dx = −dt. Khi đó 2 2 π Z0 Z2 f (sin x)dx = −  f sin π 2 −t  π Z2 dt = π 2 0 π Z2 f (cos t)dt = 0 f (cos x)dx. 0 Bài toán 1.6. Tính tích phân π Z2 I= cosn x dx (n ∈ N∗ ). cosn x + sinn x 0 Lời giải. Theo tính chất 1.6, ta có π Z2 I= sinn x dx sinn x + cosn x 0 thì π Z2 2I = π cosn x cosn x + sinn x 0 Z2 dx + π n sin x dx = sin x + cosn x Z2 dx = n 0 π . 2 0 π Vậy I = . 4 Tính chất 1.7. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa mãn điều kiện f (x) = f (a + b − x) với mọi x ∈ [a; b], thì ta luôn có 12 1)I = Rb a+b 2 f (x)dx = 2 a Đặc biệt: J1 = Rπ 0 R f (x)dx. 2)J = a Rb a a + b Rb f (x)dx. xf (x)dx = 2 a π Rπ xf (sin x)dx = f (sin x)dx. 20 Chứng minh. Ta có a+b Zb Zb Z2 f (x)dx + f (x)dx = a a f (x)dx. a+b 2 Đối với tích phân thứ hai, đặt x = a + b − t, ta được Zb f (x)dx = − a+b 2 a+b a+b Za Z2 f (a + b − t)dt = f (a + b − t)dt = a a+b 2 a+b Z2 Z2 f (t)dt = a f (x)dx a Do vậy, tính chất 1.7 1) được chứng minh. Bằng cách đổi biến tương tự, đặt t = a + b − x thì dt = −dx và Zb Za xf (x)dx = − a Zb (a + b − t)f (a + b − t)dt = (a + b − t)f (t)dt a b Zb Zb f (t)dt − = (a + b) a Zb f (x)dx − tf (t)dt = (a + b) a Zb a xf (x)dx a và tính chất 1.7 2) được chứng minh. Cho a = 0, b = π ta có J1 . Bài toán 1.7. Tính tích phân Z2π I= dx . 2 + cos x 0 Lời giải. Ta có 1 1 = 2 + cos x 2 + cos(2π − x) Từ tính chất 1.7, ta suy ra Z2π I= 0 dx =2 2 + cos x Zπ dx 2 + cos x  π Z2  = 2 0 dx + 2 + cos x 0 x 2 Sử dụng công thức cos x = x , ta có 2 1 + tan 2 1 − tan2 x 1 + 3 cot2 2 2 + cos x = x . 2 1 + cot 2 Zπ π 2  dx   2 + cos x 13 Ta tính π Z2 I1 = dx . 2 + cos x 0 x Đặt t = tan (0 ≤ t ≤ 1), ta có 2 Z1 I1 = 2 √ dt π 3 = . t2 + 3 9 0 Ta tính Zπ I2 = dx . 2 + cos x π 2 Đặt u = cot x (0 ≤ u ≤ 1), ta được 2 Z1 I2 = 2 2 du = 1 + 3u2 3 0 Vậy Z1 0 √ 2π 3 = . 1 9 2 u + 3 du √ √ √ 2π 3 π 3 2π 3 + = . I= 9 9 3 Bài toán 1.8. Tính tích phân Zπ I= x sin xdx . 1 + sin2 x 0 Lời giải. Theo tính chất 1.7, ta có π I= 2 Zπ 0 1.2 sin xdx π = 2 2 1 + sin x Zπ √ √ −d(cos x) π 2 + cos x π π √ √ √ = − ln = − ln( 2 − 1). 2 − cos2 x 4 2 2 − cos x 0 2 0 Một số bất đẳng thức tích phân và phương pháp bất đẳng thức trong tích phân 1.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân cơ bản Ta nhắc lại ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì Rb f (x)dx là diện tích của a hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. 14 Về sau, ta sử dụng các tính chất cơ bản liên quan đến ước lượng tích phân: Giả sử các hàm số f (x), g(x) liên tục trên khoảng X và a, b, c ∈ X. Khi đó ta có một số tính chất bất đẳng thức của tích phân như sau: 1) Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a; b] thì Zb f (x)dx ≥ 0. a và dấu ” = ” xảy ra khi f (x) đồng nhất bằng 0 tại mọi x thuộc đoạn [a, b]. 2) Nếu f (x) ≥ g(x) với mọi x ∈ [a; b] thì Zb Zb f (x)dx ≥ a g(x)dx. a 3) Nếu m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a; b] thì Zb m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a). a 4) Giá trị trung bình của hàm số trong đoạn cho trước Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a; b] thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho 1 f (c) = b−a Zb f (x)dx. a 5) Với mọi f (x) xác định trên [a; b], ta đều có   Zb  f (x)dx ≤ a Zb |f (x)|dx. a 6) Với mọi f (x) và g(x) xác định trên [a; b], ta đều có   Zb  f (x)g(x)dx ≤ a 1.2.2 Zb |f (x)g(x)|dx. a Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân Bài toán 1.9. Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm, đơn điệu tăng trên [0; c) với c > 1. Gọi f −1 (x) là hàm ngược của nó. Chứng minh rằng với mọi a ∈ [0; c) và b ∈ [f (0); f (c)), ta luôn có Za Zb f (x)dx + 0 f (0) f −1 (x)dx ≥ ab. 15 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = f (a). Lời giải. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = a, x = b, y = 0, y = f (x), thì Zb S1 = f (x)dx. a Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (0), y = b, x = 0, x = f −1 (y), thì Zb S2 = f −1 (x)dx. f (0) Gọi S là diện tích hình chữ nhật tạo bởi x = 0, x = a, y = 0, y = b, thì S = ab. Trong cả hai trường hợp f (a) ≤ b và f (a) > b, ta đều có S1 + S2 ≥ S nên Za Zb f (x)dx + 0 f −1 (x)dx ≥ ab. f (0) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b. Đặc biệt, nếu f (0) = 0 thì ta có Za Zb f (x)dx + 0 1.2.3 f −1 (x)dx ≥ ab. 0 Sử dụng đánh giá hàm dưới dấu tích phân R4 dx √ < 1. 3 ln x x e 1 Lời giải. Do x > 3 > e nên > ln x > 1 hay < < 1. e x ln x  e  13 1 Suy ra < 1 < 1. x (ln x) 3 Bài toán 1.10. Chứng minh rằng 0, 9 < 3 Gọi I là tích phân đang xét. Từ đó suy ra R4 1 1 e 3 x− 3 dx < I < 1 3 √
√ 3 √ 3 hay 0, 9 < 3 e 16 − 3 9 < I < 1. 2 R4 dx Vậy ta có 0, 9 < √ < 1. 3 ln x 3 Bài toán 1.11. Chứng minh bất đẳng thức 1 2 Zπ xm e2x dx > π m+2 π m+3 + , m ∈ N. m+2 m+3 0 Lời giải. Xét hàm số f (x) = e2x − 2 x2 + x , x ≥ 0.
16 Ta có f / (x) = 2 e2x − 2x − 1 , ∀x ≥ 0
Do f (0) = 1 > 0 nên e2x > 2(x2 + x), ∀x > 0 Từ bất đẳng thức trên, ta thu được 1 2 Zπ π m+2 π m+3 x e dx > + , m ∈ N. m+2 m+3 m 2x 0 Bài toán 1.12. Cho m, n nguyên, m ≥ 2, n ≥ 1. Chứng minh rằng 1 Zn X n k=1 0   5 (cos x)km + n sin x dx < . 4  1 Lời giải. Với m ≥ 2, n ≥ 1, ta có (cos x)km ≤ cos2 x = 1 − sin2 x, ∀x ∈ 0; . n Vậy f (x) = n X (cos x)km + n sin x ≤ n − n sin2 x + n sin x k=1 5 =n 4  − sin x − 1 2 2  5 < n. 4 Gọi I là tích phân đang xét. Từ đó suy ra 1 Zn I< 5 5 ndx = . 4 4 0 Bài toán 1.13. [Olympic SV 1995] Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên [0; b] và cho a ∈ [0; b]. Chứng minh rằng Za Zb f (x)dx ≥ a b 0 f (x)dx. 0 Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với Za (b − a) Zb f (x)dx ≥ a f (x)dx. a 0 Do f (x) nghịch biến trên [0; a] và [a; b] nên Za (b − a) Za f (x)dx ≥(b − a) 0 f (a)dx = (b − a)a.f (a) 0 (1.3)