Tài liệu Đại số lượng tử su 3 luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSNguyễn Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tôi những kiến thứcquý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, 15 tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Nguyễn thị Vân Anh, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tử SU(3)”, là kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội,15 tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2 6. Cấu trúc luận văn .......................................................................................... 2 NỘI DUNG....................................................................................................... 3 Chương 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ ............... 3 1.1 Dao động tử điều hòa .................................................................................. 3 1.1.1 Dao động tử Boson ............................................................................ 3 1.1.2 Dao động tử Fermion ........................................................................ 8 1.2 Dao động tử biến dạng q ............................................................................. 9 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q ....................................................... 9 1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng đơn mode .................................. 9 1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng đa mode .................................. 16 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q ................................................. 18 1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode ............................. 18 1.2.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode ................................ 20 1.2.3 Dao động tử có thống kê vô hạn..................................................... 22 1.3 Dao động tử biến dạng p,q ........................................................................ 23 Chương 2: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)q..................................................... 26 2.1 Đại số SU(3) .............................................................................................. 26 2.2 Đại số SU(3)q ............................................................................................ 31 Chương 3: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)pq .................................................. 34 3.1 Đại số SU(3)pq và biểu diễn dao động của đại số SU(3)pq ........................ 34  1 3.2 Hệ thức khối lượng của tám hạt Baryon .............................................. 36 2 KẾT LUẬN .................................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 44 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vậtlý lý thuyết. Ngôn ngữ toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm. Sau sự phát triển của mẫu quark là lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu, sự hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản. Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn… Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó trong nghiên cứu vật lý mà V .I. Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử. Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các phương trình vi phân phi tuyến. Chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý tuyết trường comformal hữu tỷ lý tuyết trường hai chiều với những thống kê phân số. Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số của đại số Lie thông thường. Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ điển. Trong trường hợp tổng quát sự biến dạng này có thể phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số. Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị của các hạt cơ bản. Và từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng phụ thuộc một thông số hoặc nhiều thông số. Sự biến dạng phụ thuộc vào một thông số q đưa đến đại số biến dạng SU(3)q. Đại số lượng tử SU(3)pq được 2 khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai thông số (p,q) của đại số Lie thông thường của nhóm Unita SU(3), để đạt được điều này chúng tôi xây dựng dao động điều hòa biến dạng hai thông số (p,q). Đại số lượng tử SU(3) q là một trường hợp đặc biệt của đại số SU(3)pq trong trường hợp giới hạn p  q . Khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị giới hạn nào đó thì đại số biến dạng sẽ trở về đại số chưa biến dạng, và như thế đại số biến dạng sẽ tổng quát hơn đại số chưa biến dạng. Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý gần với thực nghiệm hơn. Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “đại số lượng tử SU(3)” 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài: “ đại số lượng tử SU(3)” là đi nghiên cứu đại số lượng tử SU(3) biến dạng một hoặc nhiều thông số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đại số lượng tử SU(3), biểu diễn của đại số lượng tử SU(3) 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu đại số SU(3), đại số lượng tử SU(3)q và đại số lượng tử SU(3)pq 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vậy lý toán. Sử dụng các phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tử. 6. Cấu trúc luận văn Chương 1: Hình thức luận dao động tử lượng tử Chương 2: Đại số lượng tử SU(3)q Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq 3 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử lượng tử, dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao động tử p,q và tính phổ năng lượng của các dao động tử. 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đơn mode có dạng:  a, a    1 (1.1.1) Trong đó: a : là toán tử hủy dao động tử a  : là toán tử sinh dao động tử Toán tử số dao động N có dạng: N  aa kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:  N , a  a a, a   a  aa  aa  a    aa   a  a  a    a, a   a  a  N , a     a  a, a    a  aa   a  a  a  a   aa   a  a  (1.1.2) 4  a   a, a    a Như vậy:  N , a   a  N , a    a  (1.1.3) Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không 0 được định nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện: a 0 0 (1.1.4) Đưa vào không gian Fock với n là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n dao động tử ứng với trị riêng n: a    n n 0 n! n=0,1,2,… (1.1.5) Ta chứng minh: N n n n Thật vậy: N n  aa n  aa n 1 a  0  n! n n 1  1  a a  a  0  a a,  a    0  n! n!  n 1 n 1  n  a n  a  0  a  0  n! n! n n  Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng:  a,  a  n   n  a  n1   (1.1.6) 5 Với n = 1:  a, a    1 Với n = 2:  a,  a  2   a  a, a    a, a   a   2a        Nhận thấy (1.1.6) đúng với n = 1,2. Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) đúng với n = k, tức là:  a,  a  k   k  a  k 1   Ta phải chứng minh biểu thức (1.1.6) đúng với n = k+1:  a,  a  k 1   a   a,  a  k   a, a    a  k        ak  a  k 1   k  1  a     a  k k Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n = k+1. Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n. Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a, a  như sau: Q a 2m Pi m   a  a 2   a Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P là: Q, P   i    a  a a  a     2  i  a, a     a  , a  2  i  a, a    (1.1.7) 6 Thế (1.1.1) vào (1.1.7) suy ra : Q, P  i (1.1.8) Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy dao động tử a  , a như sau: H 1 2 1 P  m 2Q 2 2m 2   4   4     4  2  2  a  a  2 4 a   a  a   a   a a    a    a  4 2 a   a  a  aa   aa    a  a   a   4 a a    a  a  aa   aa   a a  aa     2a a  aa    aa    2a a  a, a   2    2 N  1 2   (1.1.9) Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H: H n  En n H n    2  2  2 N  1 n  2n  1 n Suy ra: En    2n  1 2 n = 0,1,2,… (1.1.10) 7 Nhận xét: Công thức (1.1.10) là công thức xác định năng lượng của dao động tử diều hòa một chiều Từ hệ thức (1.1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:  Q  2  P  2  2 4  2n  1 2  2 4 (1.1.11) Thật vậy, ta dễ dàng thấy Q  nQ n 0 (1.1.12) P  n P n 0  Q  Do độ lệch toàn phương  Q  2  Q  Q   2 2 ,  p  2 của tọa độ và xung lượng là:  Q2 n  a  a  n 2 2m  n a a n  n aa n  n a a n  n aa n  2m   n a n  1  n a n  1  n a a n  n aa n  2m   n n  2  n n  2  n a a n  n aa n  2m            p  2    na an 2m  2m 2m P   n aa  n  n 2N  1 n  (2n  1) P  2   P 2 2 m n  a  a  n 2    8     m n a  a  n  n aa n  n a  a n  n aa  n 2 m  n a  n  1  n a n  1  n a  a n  n aa  n 2 m  n n  2  n n  2  n a  a n  n aa  n 2     m n a  a n  n aa  n 2  m n 2N  1 n 2  m  2n  1 2   Suy ra:  Q   p  2 2  2 4  2n  1 2  2 4 1.1.2 Dao động tử Fermion Hệ thức phản giao hoán của dao động từ Fermion có dạng: b, b   1 b  b   0  2  2 (1.1.13) Trong đó: b: là toán tử hủy dao động tử b+: là toán tử sinh dao động tử Toán tử số dao động N có dạng: N  b b Tương tự N thỏa mãn hệ thức giao hoán:  N , b  Nb  bN  b bb  bb b  b 1  2bb   (1.1.14) 9  b  2bbb   b (1.1.15)  N , b   Nb  b N  b bb   b b b  b  1  2b b   b   2b b b  b (1.1.16) Đại số (1.1.13) có thể thực hiện trong khoảng không gian Fock với cơ sở là vector đã chuẩn hóa của toán tử số dao động N: n   b  0 n n=0,1 (1.1.17) (n=0,1 vì đây là hệ hạt Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli) Khi ấy tác dụng của toán tử b, b+ lên trạng thái n : b 0 0 b 0  1 b1  0 b 1  0 (1.1.18) 1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng đơn mode Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a, a  tuân theo hệ thức giao hoán sau: aa   qa  a  q  N trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động. (1.2.1) 10 Trong phương trình (1.2.1) nếu q  1 thì trở về hệ thức dao động tử điều hòa (1.1.1):  a, a    1 Toán tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: N n q n n (1.2.2) q và thỏa mãn hệ thức giao hoán:  N , a    a, (1.2.3)  N , a    a  a    n n q  nq ! 0 (1.2.4) Đưa vào không gian Fock với n là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n dao động tử ứng với trị riêng n: qn  qn Ở đây ta ký hiệu:  nq  (1.2.5) q  q 1 Ta có:  nq !   nq  n  1q ...1q ,  0  1 , Dễ dàng chứng minh được rằng: a  a n q   n q n q , aa  n q   n  1q n (1.2.6) q Với n  0 : a  a 0  0 0  0q 0 q , 11 Với n  1:  a  a a1 a a 1q a  aa  0 1q a  0 1q q N  qa  a  0  a  q 0 0  a  0  1q 1 , Với n  2 :   a a 2 a a   a  2q a  2q q 1a   2q q 1 N 1   q 1 2   q 1 2   qa  a  1 qa  a  aa  0  2q ! q  a  2  2q ! q  a  q N  qa  a  0 2  2q ! 0   q 1  q  2   2q 2 , Suy ra: a  a 2   2q 2 Như vậy phương trình (1.2.6) đúng với n  0, 1, 2 . Giả thiết phương trình (1.2.6) vẫn đúng với n  k , tức là: aa k q   k q k q 12 Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n  k  1 nghĩa là: a  a k  1 q   k  1q k  1 q Ta có:  a a k 1 q    a a  k  1q a  k  1q a  a kq q aqk  k  1q k  qa  a  k N q  k  1q q q a q aa  k  k  1q  k q k q  q  k k  1 q  q  k q k  1 q  k qk  qk   q  q k 1 q 1  q  q     k  1q k  1 q Vì n q là vector riêng của N với trị riêng n: N n Nên  N q n q q n n   nq n q q Kết hợp với phương trình (1.2.6) ta có: a  a   N q Xuất phát từ hệ thức (1.2.1) ta có: aa   qa  a  q  N  q  N q  q  N q N  q N q  q N 1 qq q N 1  q   q  q 1  N 1   N  1q 13 Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái n a  a   N q , aa    N  1q q thì: (1.2.7) Để khử N từ phương trình (1.2.1) ta đưa vào các toán tử sinh, hủy A , A có liên hệ với a, a  theo công thức: A  q N /2a, A  a  aq N /2 (1.2.8) Biểu diễn a, a  thông qua A, A  : a  q  N /2 A, (1.2.9) a   A q  N /2 Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A  :  N , q N /2a   q N /2  N , a   q N /2 a   A, (1.2.10)  N , A    N , a  q N /2   a  q N /2  A Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.2.1) và công thức (1.2.8) ta làm biến đổi sau: aa   qa  a  q  N , q  N /2 AA q  N /2  qA q  N /2 q  N /2 A  q  N , q  N AA  qA q  N A  q  N , q  N AA  qq  N 1 A A  q  N , AA  q 2 A A  1 Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiểu Arik – Coon [9]: AA  q 2A A  1. (1.2.11) 14 Tương ứng với các toán tử sinh, hủy A  , A , biểu diễn không gian Fock trở thành: A    n n  n B 0 , ! A 0 0 N n n n trong đó:  n B (1.2.12) q2n  1 là hàm cấu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho Boson).  2 q 1 Trong không gian Fock ta có: A A   N  , B AA   N  1  (1.2.13) B Xét các toán tử b, b liên hệ với a, a  theo hệ thức: 1 2   N  1  a  b, N  1     N  1  a   b    N 1  1 2 (1.2.14) Qua vài biến đổi đơn giản chúng ta sẽ thu được: b, b    1,  N , b  b  N , b   b, N  b b.  (1.2.15) Đây chính là đại số dao động tử Boson thông thường. Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng các toán tử hủy, sinh của hệ Boson q – biến dạng và không biến dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.2.14). 15 Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P: Q, P  i    a  a , a  a     2  i  a, a     a  , a  2  i  a, a    i  N  1 q  (1.2.16)    N q . Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P có dạng: H 1 2 1 P  m 2Q 2 2m 2 1   a  a  aa   2 1    N q   N  1q 2    (1.2.17) Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định như sau: H n  q   En n 1   N q   N  1q n q  En n 2  1   nq   n  1q 2 n  0,1,2,...  E n q q  (1.2.18) Khi q  1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều: 1   2n  1 2 n  0,1,2,... En  16 1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng đa mode Đối với các dao động tử Boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.1), (1.2.11) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản. Dao động tử Boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy a j , ai theo hệ thức giao hoán sau: ai a j   q  1 ij  1 a j ai   ijq  Ni (1.2.19) Khi q  1 thì phương trình (1.2.31) trở thành: ai a j  a j ai   ij (1.2.20) Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose – Einstein. Toán tử số dao động tử N i có dạng: Ni  ai ai (1.2.21) Ta tính các hệ thức giao hoán giữa N i và a j , a j :  Ni , a j    ai ai , a j   ai ai a j  a j aiai Ta có:  ai , a j   0  ai a j  a j ai Và  a j , ai    ij  a j ai  ai a j Do đó:  Ni , a j   ai a j ai   ij  ai a j  ai  ai a j ai   ji ai  ai a j ai   ji a j Khi i  j thì  Ni , ai   ai , Hay  N , a   a Tương tự:  Ni , a j    ija j (1.2.22) (1.2.23)