Tài liệu đa thức hilbert và các hệ số của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60. 46. 01. 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM HÙNG QUÝ THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùng lặp với các luận văn trước đây. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn TRẦN THỊ MINH HUỀ i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Phạm Hùng Quý, thầy là người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn TRẦN THỊ MINH HUỀ ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỞ ĐẦU 1 1 ĐA THỨC HILBERT 2 1.1 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Một vài tính chất của số bội Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Hệ số Hilbert và tính Cohen-Macaulay 21 2.1 Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Số bội Hilbert-Samuel và tính Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Hệ số Chern của iđêan tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii MỞ ĐẦU Đa thức Hilbert là một trong những đối tượng cơ bản của đại số giao hoán và hình học đại số. Xét R = ⊕ Ri là một vành Noether phân bậc chuẩn với R0 là một vành Artin i≥0 địa phương, và M = ⊕Mi là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, định lý đa i thức Hilbert khẳng định ℓ(Mn ) là một đa thức theo n khi n đủ lớn, và được gọi là đa thức Hilbert của môđun phân bậc M. Trong trường hợp (R, m) là một vành Noether địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Với mọi iđêan I là m-nguyên sơ ta cũng có ℓ(M/I n+1 M) là một đa thức theo n khi n đủ lớn, và được gọi là đa thức Hilbert của M theo I. Bậc của đa thức Hilbert và các hệ số của nó cho ta biết về độ lớn và sự phức tạp của môđun hay của đa tạp đại số. Chính vì vậy, chúng tôi đặt mục tiêu tìm hiểu một số kết quả ban đầu của đa thức Hilbert. Phần lớn nội dung của luận văn được trình bày theo cuốn sách Commutative Ring Theory của Hideyuki Matsumura. Chúng tôi cũng trình bày một vài kết quả gần đây về hệ số Chern, e1 (q, M), của đa thức Hilbert. Luận văn được chia thành hai chương. Chương 1: Phần đầu chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về vành và môđun phân bậc, định lý Artin-Rees. Đây là những kiến thức cơ sở cho các phần tiếp theo. Các phần tiếp theo trình bày khái niệm và một số tính chất của đa thức Hilbert, số bội Hilbert-Samuel, và một vài tính chất của nó. Chương 2: Trình bày một số kiến thức cơ bản về vành và môđun Cohen-Macaulay, đặc trưng tính Cohen-Macaulay qua số bội của hệ tham số, và chứng minh tính không dương của hệ số Chern của iđêan tham số. 1 Chương 1 ĐA THỨC HILBERT 1.1 Vành và môđun phân bậc Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét R là một vành giao hoán có đơn vị. Ta bắt đầu với các khái niệm vành và môđun (N)-phân bậc. Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành. ∞ (i) Một vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có phân tích R = ⊕ Rn , trong đó n=0 (Rn , +) là các nhóm con abel của (R, +) và thỏa mãn tính chất Ri R j ⊆ Ri+ j , với mọi i, j ≥ 0. Một phần tử x ∈ Ri được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, và Ri được gọi là thành phần thuần nhất bậc i của R. ∞ (ii) Một môđun M trên vành phân bậc R = ⊕ Rn được gọi là R-môđun phân bậc n=0 ∞ nếu M có phân tích M = ⊕ Mn , trong đó (Mn , +) là các nhóm con abel của (M, +) và n=0 Ri M j ⊆ Mi+ j , với mọi i, j ≥ 0. Một phần tử x ∈ Mi được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, và Mi được gọi là thành phần thuần nhất bậc i của M. (iii) Cho M là một R-môđun phân bậc, N là môđun con của M. Ta nói N là môđun ∞ con phân bậc của M nếu N = ⊕ (N ∩ Mn ). n=0 Nếu R là một vành phân bậc thì cũng là một R-môđun phân bậc. Khi đó I là một iđêan ∞ phân bậc (thuần nhất) của R nếu I là một iđêan của R thỏa mãn I = ⊕ (I ∩ Rn ). n=0 Mệnh đề 1.1.2. Cho N là một môđun con của môđun phân bậc M trên vành phân bậc R. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) N là môđun con phân bậc của M. (ii) Với mọi x ∈ N, x = ∑ xi là một biểu diễn thuần nhất của x với xi ∈ Mi , khi đó ta có xi ∈ N với mọi i. 2 (iii) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất. Ví dụ 1.1.3. (1) Xét vành đa thức R = k[x1 , . . . , xn ], k là một trường. Khi đó R có phân ∞ bậc R = ⊕ Rn , với R0 = k và Rn là tập các đa thức thuần nhất bậc n của R. n=0 ∞ (2) Một vành R tùy ý là một vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn với n=0 R0 = R và Rn = 0, với mọi n > 0. Khi đó một R-môđun M là R-môđun phân bậc với ∞ phân bậc tầm thường M = ⊕ Mn với M0 = M và Mn = 0 với mọi n > 0. n=0 Định nghĩa 1.1.4. Cho I là một iđêan của R và M là một R-môđun. Khi đó (i) Xét ℜI (R) = ⊕ I n với phép nhân cảm sinh từ phép nhân của R thì ℜI (R) là một n≥0 vành phân bậc và được gọi là vành Rees của R đối với I. ℜI (M) = ⊕ I n M là một ℜI (R)-môđun phân bậc và được gọi là môđun Rees của M đối n≥0 với I. (ii) Xét GI (R) = ⊕ I n /I n+1 với phép nhân trong GI (R) xác định như sau: Với mọi α = x + I n+1 n≥0 n n+1 ∈ I /I và β = y + I m+1 ∈ I m /I m+1 ta định nghĩa α · β = xy + I m+n+1 ∈ I n+m /I n+m+1 . Ta dễ dàng kiểm tra được phép nhân này không phụ thuộc vào cách chọn đại diện và phép nhân đó làm GI (R) trở thành một vành phân bậc. Ta nói GI (R) là vành phân bậc liên kết của R đối với I. Tương tự, tập GI (M) = ⊕ I n M/I n+1 M với phép nhân vô hướng xác định như sau: Với n≥0 mọi ā = a + I n+1 ∈ I n /I n+1 và x̄ = x + I m+1 M ∈ I n M/I n+1 M thì ā · x̄ = ax + I n+m+1 M ∈ I n+m M/I n+m+1 M là một GI (R)-môđun phân bậc và được gọi là môđun phân bậc liên kết của M đối với I. Định lý dưới đây cho ta đặc trưng tính Noether của một vành (N)-phân bậc. Định lý 1.1.5. Cho R = ⊕ Rn là một vành phân bậc. Khi đó, các điều sau là tương n≥0 đương: (i) R là vành Noether. (ii) R0 là vành Noether và tồn tại a1 , . . . , an là các phần tử thuần nhất của R sao cho R = R0 [a1 , . . . , an ] = { f (a1 , . . . , an )| f ∈ R0 [x1 , . . . , xn ]}. 3 Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Ký hiệu R+ = ⊕ Rn là iđêan thuần nhất của R. Vì R là Noether nên R+ n>0 là hữu hạn sinh, suy ra tồn tại a1 , . . . , an ∈ R sao cho R+ = (a1 , . . . , an ). Mặt khác R+ là iđêan thuần nhất của R nên ta có thể giả thiết được là ai thuần nhất có bậc là ni > 0. Đặt R′ là vành con của R sinh bởi a1 , . . . , an trên R0 , R′ = R0 [a1 , . . . , an ]. Ta chứng minh Rm ⊆ R′ với mọi m ≥ 0 bằng quy nạp theo m. Hiển nhiên R0 ⊆ R′ . Giả sử m ≥ 0 và Ri ⊆ R′ , với i ≤ m. Ta đi chứng minh Rm+1 ⊆ R′ . Lấy x ∈ Rm+1 ⊆ R+ , ta n có x = ∑ ai bi , trong đó bi ∈ Rm+1−ni với mọi i = 1, . . . , n. Vì ni > 0 nên m + 1 − ni ≤ m i=1 với mọi i = 1, . . . , n. Theo giả thiết quy nạp ta có bi ∈ R′ , với mọi i = 1, . . . , n do đó Rm+1 ⊆ R′ . Vậy R = ⊕ Rm ⊆ R′ nên R = R′ . Hơn nữa ta có R0 ∼ = R/R+ là vành Noether. m≥0 (ii) ⇒ (i). Từ giả thiết (ii) suy ra R có dạng R = R0 [a1 , . . . , an ], ai ∈ R, với mọi i = 1, . . . , n. Khi đó tồn tại một toàn cấu vành φ : R0 [x1 , . . . , xn ] −→ R0 [a1 , . . . , an ] f [x1 , . . . , xn ] 7−→ f [a1 , . . . , an ]. Theo định lý cơ sở Hilbert ta có R0 [x1 , . . . , xn ] là Noether. Nên R0 [a1 , . . . , an ] ∼ = R0 [x1 , . . . , xn ]/ Ker φ là vành Noether. Vậy R là Noether. Hệ quả sau cho ta tính chất Noether của vành Rees và vành phân bậc liên kết. Hệ quả 1.1.6. Cho R là một vành Noether và I là một iđêan của R. Khi đó (i) ℜI (R) và GI (R) là các vành phân bậc Noether. (ii) Với M là một R-môđun Noether thì ℜI (M) là một ℜI (R)-môđun Noether, GI (M) là một GI (R)-môđun Noether. Định nghĩa 1.1.7. (i) Một dãy giảm các iđêan trong vành R R = I0 ⊇ I1 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ · · · (∗) được gọi là lọc các iđêan nếu In Im ⊆ In+m , với mọi n, m ≥ 0. (ii) Cho M là một R-môđun. Một dãy giảm các môđun con của M M = M0 ⊇ M1 ⊇ · · · ⊇ Mn ⊇ · · · (∗∗) 4 gọi là một lọc tương thích với lọc các iđêan (∗) nếu In Mm ⊆ Mn+m , với mọi n, m ≥ 0. (iii) Xét I là một iđêan của R. Khi đó {I n }n≥0 là một lọc ta gọi nó là lọc I-adic. (iv) Xét Một lọc các môđun con (∗∗) tương thích với lọc I-adic và tồn tại số nguyên dương n0 sao cho Mn+1 = IMn với mọi n ≥ n0 . Khi đó ta nói lọc các môđun con này là một I-lọc tốt. Chú ý 1.1.8. (i) Cho một lọc các iđêan (∗) của R. Khi đó ta xây dựng được các vành phân bậc ⊕ In và ⊕ In /In+1 với phép nhân tương tự như vành Rees và vành phân bậc n≥0 n≥0 liên kết của R đối với I. Trong trường hợp lọc I-adic ta sẽ thu được vành Rees và vành phân bậc liên kết của R đối với I. (ii) Với lọc các môđun con (∗∗) tương thích với lọc các iđêan (∗) thì ta có ⊕ Mn n≥0 là môđun phân bậc trên vành ⊕ In và ⊕ Mn /Mn+1 là môđun phân bậc trên vành n≥0 ⊕ In /In+1 . n≥0 n≥0 Định lý 1.1.9. Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R. Xét M là một R-môđun hữu hạn sinh, và {Mn }n≥0 là một lọc các môđun con của M tương thích với lọc I-adic. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) ⊕ Mn là một ℜI (R)-môđun Noether. n≥0 (ii) Lọc {Mn }n≥0 là một I-lọc tốt. n Chứng minh. Đặt M ∗ = ⊕ Mn . Với mỗi n ≥ 0, ta xét Qn = ⊕ Mi và n≥0 i=0 Mn∗ = Qn ⊕ IMn ⊕ I 2 Mn ⊕ · · ·. Tức là Mn∗ = M0 ⊕ M1 ⊕ · · · ⊕ Mn ⊕ IMn ⊕ I 2 Mn ⊕ · · ·. Dễ thấy Mn∗ ⊆ M ∗ . Mặt khác vì Mi hữu hạn sinh với mọi i nên Qn là hữu hạn sinh. Giả sử Qn = y1 R + · · · + yk R. Do đó Mn∗ là một ℜI (R)-môđun hữu hạn sinh, cụ thể Mn∗ = y1 ℜI (R) + · · · + yk ℜI (R). Mặt khác ta có M1∗ ⊆ M2∗ ⊆ · · · ⊆ Mn∗ ⊆ · · · (∗) ∞ là một dãy tăng dần các môđun con của M ∗ , hơn nữa ∪ Mn∗ = M ∗ . Vậy M ∗ là một n=0 ℜI (R)-môđun Noether khi và chỉ khi dãy (∗) dừng hay {Mn }n≥0 là một I-lọc tốt. 5 Hệ quả 1.1.10. (Định lý Artin-Rees). Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh, N là một môđun con của M, và I là một iđêan của R. Khi đó tồn tại r > 0 sao cho I n M ∩ N = I n−r (I r M ∩ N) với mọi n ≥ r. Chứng minh. Vì ⊕ (I n M ∩ N) là môđun con của môđun ⊕ I n M = ℜI (M) và ℜI (M) n≥0 n≥0 là một ℜI (R)-môđun phân bậc Noether, nên ⊕ (I n M ∩ N) là một ℜI (R)-môđun phân n≥0 bậc hữu hạn sinh. Theo định lý 1.1.9 ta có lọc N = I 0 M ∩ N ⊇ IM ∩ N ⊇ . . . ⊇ I n M ∩ N ⊇ . . . là một I-lọc tốt. Nên tồn tại r > 0 sao cho I n M ∩ N = I n−r (I r M ∩ N) với mọi n ≥ r. Hệ quả 1.1.11. Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Đặt N = ∩ I n M. Khi đó IN = N. n≥0 Hệ quả 1.1.12. (Định lý giao Krull). Cho R là một vành Noether, I là một iđêan của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử I ⊆ J(R) (J(R) là căn Jacobson của R). Khi đó ∩ I n M = 0. n≥0 Chứng minh. Đặt N = ∩ I n M, Theo Hệ quả 1.1.11 ta có IN = N. Do I ⊆ J(R) nên từ n≥0 bổ đề Nakayama ta có N = 0. Ta cần tính chất dưới đây của môđun có độ dài hữu hạn trong bài sau. Mệnh đề 1.1.13. Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) ℓR (M) < ∞. (ii) R/ Ann M là một vành Artin. (iii) dimR (M) = 0. 1.2 Đa thức Hilbert Cho R = ⊕ n≥0 Rn là một vành Noether phân bậc. Khi đó nếu M = ⊕ n≥0 Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì Mn là R0 -môđun hữu hạn sinh với mọi n ≥ 0. Hơn nữa nếu R0 là vành Artin, theo Mệnh đề 1.1.13 ta có ℓ(Mn ) < ∞, trong đó ℓ kí hiệu độ 6 dài của một R0 -môđun. Trong trường hợp ℓ(Mn ) < ∞ với mọi n ≥ 0, ta định nghĩa chuỗi Hilbert P(M,t) của M bởi công thức sau: ∞ P(M,t) = ∑ ℓ(Mn)t n ∈ Z[[t]]. n=0 ∞ Định lý 1.2.1. Cho R = ⊕ Rn là một vành phân bậc Noether với R0 là Artin, và M = n=0 ∞ ⊕ Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Giả sử R = R0 [x1 , . . . , xr ] với xi là phần n=0 tử thuần nhất bậc di , và P(M,t) là chuỗi Hilbert của M. Khi đó P(M,t) là một hàm hữu tỷ của t, và có thể viết được dưới dạng r P(M,t) = f (t)/∏(1 − t di ), i=1 với f (t) ∈ Z[t]. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Nếu r = 0 thì R = R0 , nên Mn = 0 với n ≫ 0. Do đó chuỗi lũy thừa P(M,t) là một đa thức. Giả sử r > 0, với mỗi n ≥ 0 ta x r xét đồng cấu R0 -môđun f : Mn −→ Mn+dr . Đặt Kn = Ker f và Ln+dr = Coker f . Ta có dãy khớp ngắn sau x r 0 → Kn → Mn −→ Mn+dr → Ln+dr → 0. Đặt K = ⊕Kn và L = ⊕Ln . Khi đó K là môđun con của M và L = M/xr M, vì vậy K và L là các R-môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa xr K = xr L = 0 nên K và L được xem là các R/xr R-môđun. Theo quy nạp ta có P(K,t) và P(L,t) là các hàm hữu tỷ có dạng như phát biểu định lý. Từ dãy khớp ngắn trên suy ra ℓ(Kn ) − ℓ(Mn ) + ℓ(Mn+dr ) − ℓ(Ln+dr ) = 0. ∞ Nhân cả hai vế với t n+dr và lấy ∑ ta được n=0 t dr P(K,t) − t dr P(M,t) + P(M,t) − P(L,t) = g(t), với g(t) ∈ Z[t]. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Nhiều thông tin quan trọng về ℓ(Mn ) có thể được suy ra từ định lý trên. Trường hợp đặc biệt d1 = · · · = dr = 1 thì P(M,t) = f (t)(1 − t)−r . Sau khi giản ước nhân tử (1 − t) của f (t) (nếu có) ta có thể viết P(M,t) dưới dạng P(M,t) = f (t)(1 − t)−d với f ∈ Z[t], d ≥ 0, 7 và nếu d > 0 thì f (1) ̸= 0. Trong trường hợp này ta kí hiệu d = d(M). Vì (1 − t)−1 = 1 + t + t 2 + . . . nên ) ∞ ( d +n−1 n −d (1 − t) = ∑ t . d −1 n=0 Giả sử f (t) = a0 + a1t + . . . + ast s ∈ Z[t] thì ta có ) ) ( ) ( ( d +n−s−1 d +n−1 d +n−2 ℓ(Mn ) = a0 + a1 + . . . + as , (∗) d −1 d −1 d −1 ( m ) với quy ước d−1 = 0 nếu m < d − 1.Vế phải của (∗) có thể được sắp sếp lại như một đa thức của n với hệ số hữu tỷ. Ta kí hiệu đa thức đó là PM (n) thì PM (n) = Vì ( m ) d−1 f (1) d−1 n + (những số hạng bậc thấp hơn). (d − 1)! trùng với đa thức m(m − 1) . . . (m − d + 2)/(d − 1)! với m ≥ 0. Áp dụng điều này ta có hệ quả sau. ∞ Hệ quả 1.2.2. Cho R = ⊕ Rn là một vành phân bậc Noether với R0 là Artin, và M = n=0 ∞ ⊕ Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Giả sử R = R0 [x1 , . . . , xr ] với xi là phần n=0 tử thuần nhất bậc 1, và d = d(M) kí hiệu như trên. Khi đó tồn tại đa thức với hệ số hữu tỷ bậc d − 1, PM (n), sao cho với n ≥ s − d + 1 ta có ℓ(Mn ) = PM (n) với s là bậc của đa thức (1 − t)d P(M,t). Đa thức PM (n) được gọi là đa thức Hilbert của môđun phân bậc M. Mệnh đề 1.2.3. Cho A là một vành Artin, R = A[x1 , . . . , xm ] là vành đa thức trên A của x1 , . . . , xm . Khi đó Rn = { f ∈ A[x1 , . . . , xm ]| f là đa thức thuần nhất bậc n }. Ta có ( ) m+n−1 ℓA (Rn ) = ℓ(A) · . m−1 Đặc biệt khi A là một trường thì ( ) m+n−1 ℓA (Rn ) = . m−1 Chứng minh. Ta biết rằng số các đơn thức bậc n của A[x1 , . . . , xm ] là t = (m+n−1) m−1 . Gọi các đơn thức này là f1 , . . . , ft . Xét các môđun Ai = ( fi ) với mọi 1 ≤ i ≤ t. Khi đó ta t t i=1 i=1 có Rn = ⊕ Ai suy ra ℓA (Rn ) = ∑ ℓA (Ai ). Mặt khác ta có dãy hợp thành 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ Aℓ = A của A, với ℓ = ℓ(A). Khi đó dãy các môđun con của Ai là 0 = A0 ⊂ A1 fi ⊂ · · · ⊂ Aℓ fi = Ai , ℓ = ℓ(A) (∗) 8 Vì A j+1 fi /A j fi ∼ = A j+1 /A j nên A j+1 fi /A j fi là các môđun đơn với mọi i = 1, 2, . . . ,t và j = 1, 2, . . . , ℓ. Suy ra (*) là dãy hợp thành của Ai . Vì vậy ℓ(Ai ) = ℓ(A). Do đó ( ) m+n−1 ℓA (Rn ) = ∑ ℓ(A) = ℓ(A) · t = ℓ(A) · . m−1 i=1 t Định nghĩa 1.2.4. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Một iđêan I của (R, m) gọi là iđêan định nghĩa của M nếu ℓ(M/IM) < ∞ (điều này tương đương với I + Ann M là một iđêan m-nguyên sơ). Cho (R, m) là một vành địa phương Noether M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan định nghĩa của M. Thay R bởi R/ Ann M ta có thể coi I là m-nguyên sơ. Xét môđun phân bậc liên kết của M đối với I GI (M) = ⊕ I n M/I n+1 M. n≥0 Theo hệ quả 1.1.6, GI (M) là môđun phân bậc trên vành phân bậc GI (R). Đặt GI (R) = R′ và GI (M) = M ′ . Khi đó vành R′0 = R/I là Artin, và nếu I = x1 R + . . . + xk R thì R′ = R′0 [x¯1 , . . . , x¯k ], x̄i = xi + I 2 ∈ I/I 2 . Tương tự, nếu M = Rω1 + . . . + Rωs thì M ′ = R′ ω̄1 + . . . + R′ ω̄s (với ωi là ảnh của ω trong M0′ = M/IM). Vì vậy ta có thể áp dụng Định lý 1.2.1 cho M ′ . Chú ý rằng ℓ(Mn′ ) = ℓ(I n M/I n+1 M) (ở đây hàm ℓ ở vế trái như là độ dài của một R′0 -môđun, hàm ℓ ở vế phải như là độ dài của một R-môđun). Ta có n ∑ ℓ(Mi′) = ℓ(M/I n+1M). i=0 Áp dụng công thức ( ) ( ) ( ) m m−1 m−1 = + n n−1 n ta có ( ) ( ) d +v−1 d +n ∑ d −1 = d . v=0 n Vậy từ công thức (∗) sau Định lý 1.2.1 ta có ( ) ( ) ( ) d + n d + n − 1 d + n − s ℓ(M/I n+1 M) = a0 + a1 + . . . + as , d d d với ai ∈ Z. Khi n ≥ s − d thì ℓ(M/I n+1 M) là một đa thức bậc d của n, ta kí hiệu đa thức đó là PM,I (n). Đa thức PM,I (n) được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M đối với I. 9 Chú ý 1.2.5. Nếu f (x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f (n) ∈ Z, với mọi n ∈ Z và deg f (n) = d. Khi đó, tồn tại các số nguyên a0 ̸= 0, a1 , . . . , ad sao cho ( ) ( ) n+d −1 n+d + . . . + (−1)d ad . f (n) = a0 − a1 d d −1 Vậy nếu d = deg PM (n) thì tồn tại các số nguyên e0 (I, M) > 0, e1 (I, M), . . . , ed (I, M) sao cho ( ) ( ) n+d n+d −1 PM (n) = e0 (I, M) − e1 (I, M) + . . . + (−1)d ed (I, M). d d −1 Các hệ số e0 (I, M), e1 (I, M), . . . , ed (I, M) được gọi là hệ số Hilbert của M đối với I. Đặc biệt, e0 (I, M) được gọi là số bội Hilbert-Samuel của M đối với I và e1 (I, M) được gọi là hệ số Chern của M đối với I. Chú ý 1.2.6. Vì (I + Ann M)M = IM nên (I + Ann M)n+1 M = I n+1 M. Do đó với iđêan định nghĩa J bất kì của M thỏa mãn tính chất I ⊆ J ⊆ I + Ann M ta có PM,I (n) = PM,I+Ann M (n) = PM,J (n). Mệnh đề 1.2.7. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó bậc của đa thức Hilbert-Samuel PM,I (n) không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I. Chứng minh. Giả sử I, J là hai iđêan định nghĩa của M, ta chứng minh deg PM,I (n) = deg PM,J (n) Thật vậy, vì I và J là các iđêan định nghĩa của M nên I + Ann M và J + Ann M là những iđêan m-nguyên sơ. Do đó tồn tại t sao cho mt ⊆ (I + Ann M). Nên Jt ⊆ mt ⊆ (I + Ann M). Vì vậy theo Chú ý 1.2.6 suy ra ℓ(M/I n+1 M) = ℓ(M/(I + Ann M)n+1 M) ≤ ℓ(M/Jt(n+1) M) hay PM,I (n) ≤ PM,J (tn + t − 1) với mọi n ≫ 0. Vậy deg PM,I (n) ≤ deg PM,J (n). Vì I, J có vai trò như nhau nên ta cũng có deg PM,J (n) ≤ deg PM,I (n). Vậy deg PM,I (n) = deg PM,J (n). Vậy bậc của đa thức Hilbert-Samuel PM,I (n) không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I. Do đó ta có thể kí hiệu d = d(M). 10 Mệnh đề 1.2.8. Cho (R, m) là một vành Noether địa phương và 0 → M ′ −→ M −→ M ′′ → 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun hữu hạn sinh. Xét I là một iđêan định nghĩa của M. Khi đó (i) d(M) = Max (d(M ′ ), d(M ′′ )). (ii) Hệ số cao nhất của PM,I (n) − PM”,I (n) và của PM′ ,I (n) bằng nhau. (iii) deg(PM,I (n) − PM′ ,I (n) − PM′′ ,I (n)) < deg PM′ ,I (n). Chứng minh. Ta có thể xem M ′′ = M/M ′ . Khi đó M ′′ /I n+1 M ′′ = M/(M ′ + I n+1 M) nên ℓ(M/I n+1 M) = ℓ(M/M ′ + I n+1 M) + ℓ(M ′ + I n+1 M/I n+1 M) = ℓ(M ′′ /I n+1 M ′′ ) + ℓ(M ′ /M ′ ∩ I n+1 M). Đặt φ (n) = ℓ(M ′ /M ′ ∩ I n+1 M). Với n ≫ 0 ta có PM,I (n) = PM′′ ,I (n) + φ (n). (1) Theo định lý Artin-Rees, tồn tại một số c > 0 sao cho M ′ ∩ I n+1 M = I n+1−c (I c M ∩ M ′ ) với mọi n + 1 > c. Do M ′ ⊆ M nên ta có I n+1 M ′ ⊆ I n+1 M ∩ M ′ = I n+1−c (I c M ∩ M ′ ) ⊆ I n+1−c M ′ . Vậy với n ≫ 0 ta có PM′ ,I (n) ≥ φ (n) ≥ PM′ ,I (n − c). (2) Chú ý rằng φ (n) = ℓ(M ′ /I c M ∩ M ′ ) + ℓ(I c M ∩ M ′ /I n+1−c (I c M ∩ M ′ )) nên hiển nhiên φ (n) là một đa thức theo n khi n ≫ 0. (i) Từ (1) ta có deg PM,I (n) = Max{deg PM′′ ,I (n), deg φ (n)}, suy ra d(M) = Max{d(M ′′ ), deg φ (n)}. (3) Từ (2) ta có deg φ (n) = d(M ′′ ). Kết hợp với (3) ta được d(M) = Max{d(M ′ ), d(M ′′ )}. (ii) Từ (1) ta có PM,I (n) − PM′′ ,I (n) = φ (n). Do vậy hệ số cao nhất của φ (n) và PM,I (n) − PM′′ ,I (n) là bằng nhau và bằng hệ số cao nhất của PM′ ,I (n) (do (2)). 11 (iii) Từ (1) và (2) ta có deg(PM,I (n) − PM′ ,I (n) − PM”,I (n)) = deg(φ (n) − PM′ ,I (n)) ≤ deg PM′ ,I (n). Kết hợp với (ii) ta được deg(PM,I (n) − PM′ ,I (n) − PM”,I (n)) < deg PM′ ,I (n). Tiếp theo ta liên hệ bậc của đa thức Hilbert-Samuel với các khái niệm về chiều của môđun. Định nghĩa 1.2.9. (i) Cho R là một vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pn của R được gọi là một xích nguyên tố có độ dài là n. (ii) Cho p là một iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố bắt đầu bằng p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht p, ht p = Supp{n|p = p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pn là một xích nguyên tố }. Với I là một iđêan của R. Độ cao của I kí hiệu là ht I, được xác định bởi ht I = Inf{ht p|p ∈ V (I)}. (iii) Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull (hoặc chiều) của vành R, kí hiệu là dim R. Với M là một R-môđun hữu hạn sinh thì chiều của M được xác định bởi dim M = dim(R/ Ann M). Mệnh đề 1.2.10. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và dim M = d. Khi đó tồn tại x1 , . . . , xr ∈ m, r ≤ d sao cho ℓR (M/(x1 , . . . , xr )M) < ∞. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo d. Nếu d = 0 thì theo Mệnh đề 1.1.13 ta có ℓR (M) < ∞. Vậy mệnh đề đúng với d = 0. Giả sử dim M = d > 0. Đặt {p1 , . . . , pk } = Min AssR (M). Vì dim M > 0 nên pi ̸= m. 12 Theo định lý tránh nguyên tố tồn tại x ∈ m \ k ∪ pi . Xét môđun thương M = M/xM. Ta i=1 có ∩ p= √ √ Ann(M/xM) = (x) + AnnR (M). p∈Ass(M) Xét p ∈ AssR (M) sao cho dim M = dim R/p thì x ∈ p và √ Ann(M) ⊆ p. Do đó, tồn tại i ∈ {1, 2, . . . , k} sao cho pi ⊂ p, nên dim(R/pi ) > dim(R/p), ta được dim M > dim M. Do đó ta có dim M ≤ d − 1. Áp dụng giả thiết quy nạp cho M = M/xM, tồn tại x1 , . . . , xs ∈ m, s ≤ d − 1 sao cho ℓ(M/(x1 , . . . , xs )M) < ∞. Do đó ℓ(M/(x, x1 , . . . , xs )M) < ∞. Vậy mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.2.11. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Ta định nghĩa chiều Chevalley của M là δ (M) = Min{r|∃x1 , . . . , xr ∈ m, ℓ(M/(x1 , . . . , xr )M) < ∞}. Dưới đây, ta chứng minh định lý quan trọng của Krull về số chiều. Định lý 1.2.12. Cho (R, m) là một vành Noether địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó dim M = d(M) = δ (M). Chứng minh. Ta sẽ chứng minh dim M ≥ δ (M) ≥ d(M) ≥ dim M. Bước 1. Theo Mệnh đề 1.2.8 ta có dim M ≥ δ (M). Bước 2. Ta chứng minh δ (M) ≥ d(M). Giả sử δ (M) = r, suy ra tồn tại x1 , . . . , xr ∈ m sao cho ℓ(M/(x1 , . . . , xr )M) < ∞. Đặt M ′ = M/(x1 , . . . , xr )M. Khi đó ta có ℓ(M ′ ) < ∞, dễ thấy d(M ′ ) = 0. Xét I là iđêan định nghĩa nào đó của M chứa (x1 , . . . , xr ) (chẳng hạn I = m) và với n ≫ 0 ta có P(M/x1 M),I (n) = ℓ(M/x1 M + I n+1 M) = ℓ(M/I n+1 M) − ℓ(x1 M + I n+1 M/I n+1 M) = ℓ(M/I n+1 M) − ℓ(x1 M/x1 M ∩ I n+1 M). Xét tương ứng f : x1 M/x1 M ∩ I n+1 M −→ M/(I n+1 M : x1 ) 13 x1 m + x1 M ∩ I n+1 M 7−→ m + (I n+1 M : x1 ). Dễ dàng kiểm tra đây là đẳng cấu môđun, do đó P(M/x1 M),I (n) = ℓ(M/I n+1 M) − ℓ(M/(I n+1 M : x1 )). Mà I n M ⊆ (I n+1 M : x1 ), nên P(M/x1 M),I (n) ≥ ℓ(M/I n+1 M) − ℓ(M/I n M) = PM,I (n) − PM,I (n − 1). Vậy deg P(M/x1 M),I (n) ≥ deg PM,I (n) − 1. Bằng quy nạp theo r ta được 0 = deg(PM′ ,I (n)) ≥ deg PM,I (n) − r hay δ (M) = r ≥ deg PM,I (n) = d(M). Bước 3. Cuối cùng ta chứng minh d(M) ≥ dim M. Trước hết ta chứng minh cho M = R bằng quy nạp theo d(R). Nếu d(R) = 0 thì ℓ(R/mn ) là hằng số khi n ≫ 0. Nên mn = mn+1 = · · ·. Theo Hệ quả 1.1.12 ta có ∩ mn = 0 nên mn = 0 với n ≫ 0. Vì vậy, n≥0 theo Mệnh đề 1.1.13 ta có dim R = 0. Giả sử d(R) > 0. Nếu dim R = 0 thì ta có bất đẳng thức d(R) ≥ dim R. Nếu dim R = k > 0, tồn tại xích nguyên tố của R là p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pk−1 ⊃ pk = p. Chọn phần tử x ∈ pk−1 \ pk , ta được p0 /(xR + p) ⊃ p1 /(xR + p) ⊃ · · · ⊃ pk−1 /(xR + p) là một xích nguyên tố của R/(xR + p) có độ dài là k − 1. Nên dim R/(xR + p) ≥ dim R − 1. Xét dãy khớp ngắn x 0 −→ R/p −→ R/p −→ R/(xR + p) → 0. Theo Mệnh đề 1.2.8 ta có d(R/xR + p) < d(R/p) ≤ d(R). Áp dụng giả thiết quy nạp cho R/(xR + p) ta có d(R) > d(R/xR + p) ≥ dim(R/xR + p) ≥ dim R − 1. 14 Vậy d(R) ≥ dim R. Với trường hợp M tổng quát, xét dãy các R-môđun con của M là M = M1 ⊃ M2 ⊃ · · · ⊃ Mn+1 = 0 sao cho Mi /Mi+1 ∼ = R/pi với pi ∈ Spec (R). Khi đó ta có các dãy khớp ngắn 0 → Mn+1 −→ Mn −→ Mn /Mn+1 → 0 0 → Mn −→ Mn−1 −→ Mn−1 /Mn → 0 ... 0 → M3 −→ M2 −→ M2 /M3 → 0 0 → M2 −→ M1 −→ M1 /M2 → 0. Theo Mệnh đề 1.2.8 ta có d(M) = d(M1 ) = Max{d(M2 ), d(R/p1 )} = Max{d(M3 ), d(R/p2 ), d(R/p1 )} ... = Max{d(R/pn ), . . . , d(R/p1 )} ≥ dim M. Vậy d(M) = δ (M) = dim M. Hệ quả 1.2.13. Nếu (R, m) là một vành địa phương Noether thì dim R < ∞. Hệ quả 1.2.14. [Định lý Krull về iđêan chính]. Cho R là một vành Noether, và I = (a1 , . . . , ar ) là một iđêan của R. Khi đó ta có ht I ≤ r. Chứng minh. Với p ∈ Min Ass(R/I) ta có pRp ∈ Min Ass(Rp /IRp ). Do đó Ass(Rp /IRp ) = {pRp }. Nên IRp là iđêan pRp -nguyên sơ. Vì vậy ht I ≤ ht p = dim Rp = δ (Rp ) ≤ r theo Định lý 1.2.12. Hệ quả 1.2.15. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Xét dãy phần tử x1 , . . . , xr ∈ m với r ≤ d. Khi đó ta có dim(M/(x1 , . . . , xr )M) ≥ d − r. 15