Tài liệu Đa tạp tâm của hệ tam phân mũ không đều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN TÔ THỊ THU HIỀN ĐA TẠP TÂM CỦA HỆ TAM PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tam phân mũ không đều . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các không gian con tâm, ổn định và không ổn định 1.3 Nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Công thức Faà di Bruno cho đạo hàm của hàm hợp 1.5 Bổ đề Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Đa 2.1 2.2 2.3 tạp tâm của hệ tam phân mũ không Một vài giả thiết ban đầu . . . . . . . . Sự tồn tại của đa tạp tâm . . . . . . . . Chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm . 2.3.1 Các không gian hàm . . . . . . . 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii iii . . . . . 1 1 3 6 6 9 đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 14 18 18 Các tính chất Lipschitz của đạo hàm . Nghiệm trên đa tạp tâm . . . . . . . . Qui về bài toán tương đương . . . . . Xây dựng đa tạp tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 26 30 36 43 Tài liệu tham khảo 44 i Lời cảm ơn Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình, thầy cô và bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi người. Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao học. Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủng hộ tôi vô điều kiện. ii Lời nói đầu Xét hệ phương trình vi phân thường trong không gian Rd (d ≥ 1): ẋ(t) = Ax(t), t ∈ R, (1) trong đó A là một ma trận thực cỡ d × d. Các giá trị riêng của ma trận A có thể được chia thành ba loại: có phần thực âm, phần thực dương và phần thực bằng 0. Gọi E s , E u , E c là các không gian con sinh bởi các véc tơ riêng suy rộng ứng với các giá trị riêng có phần thực âm, phần thực dương và phần thực bằng 0. Đây là các tập bất biến đối với nghiệm của phương trình (1). Hơn nữa, bất kì nghiệm nào của phương trình (1) xuất phát từ E s (hoặc từ E u ) sẽ ổn định (hoặc không ổn định). Vì vậy, các tập này được gọi tương ứng là các không gian con ổn định và không ổn định. Tuy nhiên, chúng ta không thể nói trước được điều gì về dáng điệu tiệm cận của nghiệm xuất phát từ E c . Người ta gọi E c là không gian con tâm. Đối với hệ tuyến tính (1) khái niệm không gian con ổn định, không ổn định, không gian con tâm trùng với khái niệm đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm, vì thế ta cũng có thể gọi E c là đa tạp tâm của hệ này. Nói chung, mọi nghiệm có dáng điệu phức tạp nhất thường nằm trên đa tạp tâm. Nếu E u = ∅, mọi quỹ đạo của nghiệm đều tiến rất nhanh tới đa tạp tâm E c . Do đó, tính ổn định của hệ hoàn toàn được xác định bởi dáng điệu của nghiệm trên đa tạp tâm. Vì vậy, để biết về tính ổn định của hệ, chúng ta chỉ cần hạn chế nghiên cứu hệ trên E c . Ý tưởng trực quan này chính là động lực của lý thuyết đa tạp tâm. Để dễ hình dung, chúng ta minh họa nội dung của lý thuyết này qua một hệ phương trình vi phân trong không gian hữu hạn chiều sau. Xét hệ phương trình vi phân trong Rd : ẋ = f (t, x), t ∈ R, x ∈ Rd , (2) ở đây x0 là điểm cân bằng không hyperbolic của hệ (2) (điều này có nghĩa ma trận tuyến tính hóa Dx f (t, x0 ) có giá trị riêng với phần thực bằng 0). Giả sử tồn tại một đa tạp tâm của (2) tiếp xúc với không gian con tâm E c của hệ tuyến tính x0 = A(t)x với A(t) = Dx f (t, x0 ). Khi đó để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm xuất phát từ một lân cận (đủ nhỏ) của x0 , chúng ta chỉ cần hạn chế nghiên cứu hệ (2) trên đa tạp tâm này. Nội dung chính của luận văn là chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm đối với phương trình vi phân không ôtônôm trong không gian Banach vô hạn chiều. iii Chìa khóa để giải quyết vấn đề này là các khái niệm tam phân mũ đều, tam phân mũ không đều và điều kiện về tính hyperbolic riêng không đều của nghiệm. Luận văn được chia thành hai chương Chương 1: trình bày các khái niệm tam phân mũ đều, không đều của hệ phương trình vi phân, một số kết quả cơ bản về bất đẳng thức Faà di Bruno và bổ đề Gronwall. Chương 2: chứng minh sự tồn tại đa tạp tâm của hệ phương trình vi phân có tam phân mũ không đều trong không gian Banach vô hạn chiều. Đây chính là mục đích chính của luận văn. Do thời gian và năng lực có hạn, có thể trong luận văn còn những sai sót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp. Hà nội, tháng 12 năm 2012 Tô Thị Thu Hiền iv Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tam phân mũ không đều Cho X là không gian Banach, B (X ) là tập hợp các toán tử bị chặn trên X . Giả sử A : R → B (X ) là một hàm liên tục. Xét bài toán giá trị ban đầu v 0 = A(t)v, v (s) = vs , (1.1) với s ∈ R và vs ∈ X . Chú ý rằng nếu phương trình trên có nghiệm thì nghiệm là duy nhất. Giả sử rằng tất cả các nghiệm của (1.1) là toàn cục. Nghiệm duy nhất của hệ được viết dưới dạng v (t) = T (t, s)v (s), với T (t, s) là toán tử tiến hóa liên kết, tức là T (t, s)T (s, r) = T (t, r) và T (t, t) = Id với mọi t, s, r ∈ R. Nói riêng, T (t, s) khả nghịch và T (t, s)−1 = T (s, t) với mọi t, s ∈ R. Định nghĩa 1.1. Phương trình tuyến tính v 0 = A(t)v được gọi là có tam phân mũ không đều nếu tồn tại các phép chiếu P, Q1 , Q2 : R → B (X ) thỏa mãn P (t) + Q1 (t) + Q2 (t) = Id, P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s), Qi (t)T (t, s) = T (t, s)Qi (s), i = 1, 2 với mọi t, s ∈ R và các hằng số b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, a0 , b0 , c0 , d0 ≥ 0, Di ≥ 1, 1 ≤ i ≤ 4 sao cho 1. với mọi t, s ∈ R, t ≥ s, 0 kT (t, s)P (s)k ≤ D1 ea(t−s)+a |s| , 0 kT (t, s)−1 Q2 (t)k ≤ D3 e−b(t−s)+b |t| ; (1.2) 1 2. với mọi t, s ∈ R, t ≤ s, 0 kT (t, s)P (s)k ≤ D2 ec(s−t)+c |s| , 0 kT (t, s)−1 Q1 (t)k ≤ D4 e−d(s−t)+d |t| . (1.3) Các hằng số trong a, b, c, d được coi như các số mũ Lyapunov, trong khi tính không đều của dáng điệu mũ được quyết định bởi các hằng số a0 , b0 , c0 , d0 . Sự tồn tại của tam phân mũ không đều là giả thiết yếu nhất để thiết lập sự tồn tại của đa tạp tâm. Nhận xét 1.1. Chú ý rằng khi a0 = b0 = c0 = d0 = 0, hệ phương trình vi phân thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là có tam phân mũ đều. Sau đây ta sẽ đưa ra ví dụ về hệ tam phân mũ không đều để làm rõ hơn định nghĩa này. Ví dụ 1.1. Cho ω > r > 0 là những hệ số cho trước và xét hệ phương trình trong R3 như sau u0 = 0 , v10 = (−ω − rt sin t)v1 , v20 = (ω + rt sin t)v2 . (1.4) Khi đó hệ phương trình vi phân (1.4) có tam phân mũ không đều. Chứng minh. Nghiệm của hệ (1.4) được viết dưới dạng u(t) = U (t, s)u(s), v1 (t) = V1 (t, s)v1 (s), v2 (t) = V2 (t, s)v2 (s) với U (t, s) = 1, V1 (t, s) = e−ωt+ωs+rt cos t−rs cos s−r sin t+r sin s , V2 (t, s) = eωt−ωs−rt cos t+rs cos s+r sin t−r sin s . Toán tử tiến hóa T (t, s) của hệ (1.4) được cho bởi T (t, s)(u, v1 , v2 ) = (U (t, s)u, V1 (t, s)v1 , V2 (t, s)v2 ). Xét các ánh xạ P (t), Q1 (t), Q2 (t) : R3 → R3 được xác định bởi P (t)(u, v1 , v2 ) = u, Q1 (t)(u, v1 , v2 ) = v1 , Q2 (t)(u, v1 , v2 ) = v2 . Rõ ràng các ánh xạ này là các phép chiếu. Tiếp theo, để chứng minh các bất đẳng thức (1.2), (1.3), ta lấy b = d = ω − r, 2 b0 = d0 = 2r và chọn các hằng số a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − r, c < ω − r, D1 = D2 = D3 = D4 = D > 1 sao cho 0 kV2 (t, s)−1 k ≤ De−(ω−r)(t−s)+2r|t| với t ≥ s; 0 kV1 (t, s)−1 k ≤ De−(ω−r)(s−t)+2r|t| với t ≤ s. kU (t, s)k ≤ Dea(t−s)+a |s| , kU (t, s)k ≤ Dec(s−t)+c |s| , Vì kU (t, s)k = 1 nên hiển nhiên 0 kU (t, s)k ≤ Dea(t−s)+a |s| 0 kU (t, s)k ≤ Dec(s−t)+c |s| với t ≥ s; với t ≤ s với mọi a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − r, c < ω − r; D > 1. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh kV2 (t, s)−1 k ≤ De−(ω−r)(t−s)+2r|t| với t ≥ s (1.5) kV1 (t, s)−1 k ≤ De−(ω−r)(s−t)+2r|t| với t ≤ s. (1.6) và Trước tiên ta viết lại V1 (t, s)−1 như sau V1 (s, t) = e(−ω+r)(s−t)−rt(cos t−1)+rs(cos s−1)+r(sin t−sin s) . (1.7) Với t, s ≥ 0 từ (1.7) suy ra V1 (s, t) ≤ e2r e(−ω+r)(s−t)+2rt . Với s ≥ 0, t ≤ 0 từ (1.7) suy ra V1 (s, t) ≤ e2r e(−ω+r)(s−t) . Cuối cùng, với t ≤ s ≤ 0, từ (1.7) ta được V1 (s, t) ≤ e2r e(−ω+r)(s−t)+2r|t| . Qua ba trường hợp trên ta thấy luôn tồn tại 1 < D < e2r để (1.5) được thỏa mãn. Trường hợp V2 (t, s) trong (1.6) được chứng minh hoàn toàn tương tự. Từ (1.6) và (1.5) ta suy ra hệ phương trình tuyến tính (1.4) có tam phân mũ không đều. 1.2 Các không gian con tâm, ổn định và không ổn định Giả sử phương trình tuyến tính v 0 = A(t)v có tam phân mũ không đều. Với các kí hiệu như trên, xét các không gian con tuyến tính E (t) = P (t)X, F1 (t) = Q1 (t)X, 3 F2 (t) = Q2 (t)X (1.8) với t ∈ R. Chúng ta gọi E (t), F1 (t), F2 (t) tương ứng là không gian con tâm, không gian con ổn định và không gian con không ổn định tại thời điểm t. Rõ ràng X = E (t) ⊕ F1 (t) ⊕ F2 (t) với mọi t ∈ R. Nghiệm duy nhất của (1.1) có thể được viết dưới dạng v (t) = (U (t, s)ξ, V1 (t, s)η1 , V2 (t, s)η2 ) ∈ E (t) × F1 (t) × F2 (t), (1.9) với vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s), trong đó U (t, s) : = T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s), V1 (t, s) : = T (t, s)Q1 (s) = T (t, s)Q1 (s)2 = Q1 (t)T (t, s)Q1 (s), V2 (t, s) : = T (t, s)Q2 (s) = T (t, s)Q2 (s)2 = Q2 (t)T (t, s)Q2 (s). Trong trường hợp đặc biệt, nếu các không gian con tâm, ổn định và không ổn định không phụ thuộc t, tức là E (t) = E , F1 (t) = F1 , F2 (t) = F2 với mọi t, thì toán tử T (t, s) có dạng   U (t, s) 0 0 . T (t, s) =  0 V1 (t, s) 0 0 0 V2 (t, s) Hơn nữa, các toán tử U (t, s) : E (s) → E (t), V1 (t, s) : F1 (s) → F1 (t), V2 (t, s) : F2 (s) → F2 (t) là khả nghịch. Ký hiệu các toán tử nghịch đảo tương ứng là U (t, s)−1 , V1 (t, s)−1 , V2 (t, s)−1 , ta có U (t, s)−1 = U (s, t), V1 (t, s)−1 = V (s, t), V2 (t, s)−1 = V2 (s, t) với mọi s, t ∈ R. Chú ý rằng các bất đẳng thức trong (1.2) và (1.3) có thể được viết lại thành 0 kV2 (t, s)−1 k ≤ D3 e−b(t−s)+b |t| ; 0 0 kV1 (t, s)−1 k ≤ D4 e−d(s−t)+d |t| . kU (t, s)k ≤ D1 ea(t−s)+a |s| , kU (t, s)k ≤ D2 ec(s−t)+c |s| , 0 0 0 Cho t = s, từ (1.2), (1.3) ta có kP (t)k ≤ D1 ea |t| , kQ2 (t)k ≤ D3 eb |t| , kQ1 (t)k ≤ 0 D4 ed |t| . Tiếp theo, ta định nghĩa góc giữa hai không gian con F1 và F2 , F1 và E , F2 và E tương ứng như sau α(t) = inf {kx − yk : x ∈ F1 (t), y ∈ F2 (t); kxk = kyk = 1}, 4 (1.10) β (t) = inf {kx − zk : x ∈ F1 (t), z ∈ E (t); kxk = kzk = 1}, γ (t) = inf {ky − zk : y ∈ F2 (t), y ∈ E (t); kyk = kzk = 1}. Mệnh đề sau chỉ ra khoảng giới hạn của các góc nói trên, đây cũng là tính chất của hệ tam phân mũ không đều. Mệnh đề 1.1. Với mọi t ∈ R ta có 2 1 ≤ α(t) ≤ , kQ1 (t)k kQ1 (t)k 1 2 ≤ α(t) ≤ , kQ2 (t)k kQ2 (t)k 2 1 ≤ β (t) ≤ , kQ1 (t)k kQ1 (t)k 1 2 ≤ γ (t) ≤ , kQ2 (t)k kQ2 (t)k 1 2 ≤ β (t) ≤ , kP (t)k kP (t)k 1 2 ≤ γ (t) ≤ . kP (t)k kP (t)k Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho góc α(t), các trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự. Chú ý rằng Q1 (t)(x − y ) = x với x ∈ F1 (t), y ∈ F2 (t) và kxk = kyk = 1. Do đó, 1 = kQ1 (t)(x − y )k ≤ kQ1 (t)k.kx − yk. Vậy 1 ≤ α(t). kQ1 (t)k 2 Bây giờ ta chứng minh α(t) ≤ . Với v, w ∈ X , v̄ = Q1 (t)v 6= 0, w̄ = kQ1 (t)k Q2 (t)w 6= 0 ta có v̄ k(v̄ − w̄)kw̄k + w̄(kw̄k − kv̄k)k 2(kv̄ − w̄k) w̄ = − ≤ . kvk kwk kv̄k.kw̄k kv̄k Chú ý rằng Q1 (t)(v̄− w̄) = v̄ . Cho trước ε > 0, chọn v, w ∈ X sao cho với u = v̄− w̄, ta có 1 kuk ≤ + ε. kQ1 (t)uk kQ1 (t)k Do đó, v̄ w̄ 2kuk 2 − kvk kwk ≤ kQ1 (t)uk ≤ kQ1 (t)k + 2ε. Vì ε tùy ý nên ta thu được cận trên của α(t). Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau. 5 Hệ quả 1.1. inf (α(t), β (t), γ (t)) ≥ ε > 0 t∈R nếu và chỉ nếu sup (kP (t)k, kQ1 (t)k, kQ2 (t)k) < +∞. t∈R Hệ quả trên nói rằng tính bị chặn đều của các phép chiếu tương đương với điều kiện các góc giữa các không gian con tâm, ổn định và không ổn định tách khỏi 0. 1.3 Nguyên lý điểm bất động Một trong những công cụ quan trọng trong chứng minh định lý đa tạp tâm là nguyên lý điểm bất động. Cụ thể, chúng ta cần thiết lập hai bài toán điểm bất động. Bài toán thứ nhất (Bổ đề 2.6) được thiết lập để thu được ước lượng tiên nghiệm cho thành phần nghiệm trên tâm dọc theo đồ thị cho trước và bài toán còn lại (Bổ đề 2.9) để thu được đa tạp tâm. Dưới đây là định lý điểm bất động kinh điển mà ta sẽ sử dụng. Trước hết ta phát biểu các khái niệm chuẩn bị như sau Cho Y là tập bất kỳ và F : Y −→ Y là ánh xạ từ Y vào chính nó. Với y ∈ Y cho trước, lập dãy {F n (y )} bằng qui nạp như sau F 0 (y ) = y, F n+1 (y ) = F (F n (y )); ta gọi F n (y ) là phần tử lặp thứ n của y qua F và tập {F n (y )| n = 0, 1, ...} là quỹ đạo của y qua F . Định lý 1.1. (nguyên lý ánh xạ co Banach). Giả sử (Y, d) là không gian metric đầy đủ và F : Y −→ Y là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất điểm bất động u và F n (y ) → u với mọi y ∈ Y . Chứng minh. Xem [5, tr10]. 1.4 Công thức Faà di Bruno cho đạo hàm của hàm hợp Để thu được các ước lượng cần thiết cho hai bài toán điểm bất động đã nói ở trên, ta cần ước lượng chặt các đạo hàm của thành phần nghiệm trên tâm, cũng như các đạo hàm của trường véctơ trên đồ thị cho trước. Để làm được điều này, ta cần sử dụng phiên bản nhiều biến của công thức Faà di Bruno cho các đạo hàm hàm hợp. Công thức này được định nghĩa như sau 6 Định nghĩa 1.2. Xét các tập mở Y, Z và W trong không gian Banach. Giả sử g : Y −→ Z xác định trong lân cận của x ∈ Y và có đạo hàm đến cấp n tại x; f : Z −→ W xác định trong lân cận của y = g (x) ∈ Z và có đạo hàm đến cấp n tại y . Khi đó, đạo hàm cấp n của hàm hợp h = f ◦ g tại x được viết là dn f (g (x)) = dxn n X k=1 n! f (k) (g (x)) k1 !k2 !...kn !  g 0 (x)  k1  g 00 (x) 1!  k2  ... 2! g (n) (x) n!  kn , trong đó k1 , ..., kn là các số nguyên không âm thỏa mãn k1 + 2k2 + ... + nkn = n và k = k1 + ... + kn . Công thức trên cũng có thể được viết lại như sau dnx h = n X X dky f k=1 cr1 ...rk drx1 g...drx1 g, (1.11) 0≤r1 ,...,rk ≤n r1 +..+rk =n trong đó cr1 ...rk là số nguyên không âm. Do đó, nếu có công thức Faà di Bruno thì người ta có thể chỉ ra rằng với mỗi n ∈ N tồn tại c = c(n) > 0 sao cho kdnx hk ≤c n X kdky f k ( p(n, k ) = kdjx gkkj , (1.12) p(n,k) j=1 k=1 với n XY (k1 , ..., kn ) ∈ Zn+ : n X j=1 kj = k và n X ) jkj = n . (1.13) j=1 Các công thức (1.11), (1.12) đã được chứng minh trong các bài báo gần đây (xem [7], [10]). Sau đây để dễ hình dung về công thức này hơn ta sẽ đưa ra ví dụ cho trường hợp n = 3. Ví dụ 1.2. Cho n = 3, ta có k1 + k2 + k3 = 3. Xét trường hợp k1 = k2 = 0, k3 = 1, khi đó k = 1 và ta có số hạng  000  3! 0 g (x) f g (x)) = f 0 (g (x))g 000 (x). 0!0!1! 3! Với trường hợp k1 = k2 = 1, k3 = 0 (k = 2) ta có số hạng  0   00  g (x) g (x) 3! 00 = 3f 00 (g (x))g 0 (x)g 00 (x). f (g (x)) 1!1!0! 1! 2! 7 Trường hợp còn lại, xét k1 = 3, k2 = k3 = 0 (k = 3), số hạng còn lại là  000 3 g (x) 3! 000 f (g (x)) = f 000 (g (x))(g 0 (x))3 . 3!0!0! 3! Khi đó công thức Faà di Bruno được viết dưới dạng d3 f (g (x)) = f 0 (g (x))g 000 (x) + 3f 00 (g (x))g 0 (x)g 00 (x) + f 000 (g (x))(g 0 (x))3 . dx3 Từ (1.11) và áp dụng bất đẳng thức tam giác với y = g (x), ȳ = g (x̄), ta có kdnx h − dnx̄ hk ≤c n X kdky f n XY − dkȳ f k kdjx gkkj +c p(n,k) j=1 k=1 0 n X kdkȳ f kSk , (1.14) k=1 với hằng số c0 = c0 (n) > 0, ở đây Sk := n XX Tj j−1 Y m=1 p(n,k) j=1 và n Y km kdm x̄ gk km kdm x gk , m=j+1 kj −1 Tj := kdjx g − djx̄ gk X kdjx gkkj −1−k kdjx̄ gkk . k=0 Sau đây ta xây dựng công thức Faà di Bruno trong không gian Banach như sau. Giả sử g = (g1 , g2 ) xác định trong lân cận của x và có đạo hàm cấp n tại x; f (y ) được xác định trong lân cận của (y1 , y2 ) = (g1 (x), g2 (x)) và có đạo hàm cấp n tại (y1 , y2 ). Khi đó với mỗi n ∈ N tồn tại c = c(n) > 0 sao cho đạo hàm cấp n của h = f ◦ (g1 , g2 ) tại x thỏa mãn kdnx hk ≤c X k∂yλ11,y,λ22 f k n σ X X Y l l kdxj g1 kkj1 kdxj g2 kkj2 , (1.15) σ=1 pσ (n,λ) j=1 q(n) trong đó ∂yλ11,y,λ22 f = ∂ λ1 +λ2 f (y1 , y2 ) ∂y1λ1 ∂y2λ2 , q (n) = {(λ1 , λ2 ) : λ1 + λ2 ∈ {1, ..., n}}, n σ pσ (n, λ) = (k11 , k12 , ..., kσ1 , kσ2 ; l1 , ..., lσ ) ∈ Z2σ + ×N : (kj1 , kj2 ) 6= (0, 0) với 1 ≤ j ≤ σ, l1 < ... < lσ , σ σ o X X kjl = λl , l = 1, 2 và lj (kj1 + kj2 ) = n j=1 j=1 8 (1.16) với λ = (λ1 , λ2 ). Tương tự như (1.14) với (y1 , y2 ) = (g1 (x), g2 (x)) và (ȳ1 , ȳ2 ) = (g1 (x̄), g2 (x̄)), ta cũng có kdnx h − dnx̄ hk ≤c X k∂yλ11,y,λ22 f − ∂ȳλ11,ȳ,λ22 f k + c0 l l kdxj g1 kkj1 kdxj g2 kkj2 σ=1 pσ (n,λ) j=1 q(n) X n σ X X Y k∂ȳλ11,ȳ,λ22 f k n X (1.17) Seσ , σ=1 q(n) với hằng số c0 = c0 (n) > 0, trong đó Seσ := σ X X pσ (n,λ) j=1 Tekj1 ,kj2 ,lj j−1 Y σ Y kdlx̄i g1 kki1 kdlx̄i g2 kki2 kdlxi g1 kki1 kdlxi g2 kki2 , (1.18) i=j+1 i=1 và kj1 −1 Tekj1 ,kj2 ,lj := l l kdxj g2 kkj2 .kdxj g1 l − dx̄j g1 k X l l kdxj g1 kkj1 −1−k kdx̄j g1 kk k=0 kj2 −1 + kdlx̄j g2 kkj1 kdlxj g1 − dlx̄j g2 k X (1.19) l l kdxj g2 kkj2 −1−k kdx̄j g2 kk . k=0 1.5 Bổ đề Gronwall Trong chương 2, Bổ đề 2.8 là kết quả trung gian quan trọng để chứng minh sự tồn tại đa tạp tâm. Công cụ chính để chứng minh kết quả này là Bổ đề Gronwall mà ta sẽ rút ra như một hệ quả của định lý sau đây. Định lý 1.2. Cho u, v và w là các hàm liên tục xác định trên [p, q ], w(t) ≥ 0 với t ∈ [p, q ]. Giả sử trên [p, q ] ta có bất đẳng thức t Z u(t) ≤ v (t) + w(τ )u(τ ) dτ. (1.20) p Khi đó Z u(t) ≤ v (t) + t t Z w(τ )v (τ ) exp p w(r) dr dτ p với mọi t ∈ [p, q ]. 9  (1.21) Chứng minh. Xét hàm y (t) := Rt p w(r)u(r) dr, t ∈ [p, q ]. Khi đó y (p) = 0 và q Z 0 y (t) = w(t)u(t) ≤ w(t)v (t) + w(t) w(r)u(r) dr p = w(t)v (t) + w(t)y (t), t ∈ (p, q ).  R  t Bằng phép nhân với exp − p w(r) dr > 0, ta được d dt   Z y (t) exp − t  w(r) dr t  Z ≤ v (t)w(t) exp −  w (r ) p dr. p Lấy tích phân trên đoạn [p, t],  Z t  Z t  Z y (t) exp − w(r) dr ≤ v (τ )w(τ ) exp − p p τ  w (r ) dτ. p Suy ra Z t y (t) ≤  Z v (τ )w(τ ) exp − p t  w (r ) dτ, t ∈ [a, b]. τ Vì u(t) ≤ v (t) + y (t), định lý được chứng minh. Từ Định lý 1.2, ta có có hệ quả quan trọng sau, hệ quả này chính là Bổ đề Gronwall. Hệ quả 1.2. Nếu v khả vi, thì từ (1.20) ta có Z t  Z t Z t  u(t) ≤ v (p) exp w(τ ) dτ + exp w(r) dr v 0 (τ ) dτ p p (1.22) τ với mọi t ∈ [p, q ]. Chứng minh. Ta có  Z t  Z t d exp w(r) dr dτ − v (τ ) dt τ p Z t  Z t  Z t q = −v (τ ) exp exp w(r) dr v 0 (τ ) dτ w(r) dr  + p τ p τ Z t  Z t Z t  = −v (t) + v (p) exp w(r) dr + exp w(r) dr v 0 (τ ) dτ p p với mọi t ∈ [p, q ]. 10 τ Do đó, Z t  Z t v (t)+ v (τ )w(τ ) exp w(r) dr dτ p τ Z t  Z t Z t  = v (p) exp w(τ ) dτ + exp w(r) dr v 0 (τ ) dτ, p p Hệ quả được chứng minh. 11 τ t ∈ [a, b]. Chương 2 Đa tạp tâm của hệ tam phân mũ không đều Trong chương này, dựa vào giả thiết hệ phương trình vi phân có tam phân mũ không đều, ta sẽ đi vào chứng minh sự tồn tại đa tạp tâm cho hệ đó. Trước khi đi vào chứng minh, ta đưa ra vài giả thiết quan trọng sau. 2.1 Một vài giả thiết ban đầu Cho X là không gian Banach, B (X ) là tập hợp các toán tử bị chặn trên X . Giả sử A : R → B (X ) là một hàm liên tục. Xét bài toán giá trị ban đầu v 0 = A(t)v, v (s) = vs , (2.1) với s ∈ R và vs ∈ X . Giả sử rằng tất cả các nghiệm của (2.1) là toàn cục. Nghiệm duy nhất của bài toán được viết dưới dạng v (t) = T (t, s)v (s) với T (t, s) là toán tử tiến hóa liên kết. Xét bài toán giá trị ban đầu của hệ phương trình vi phân có tam phân mũ không đều v 0 = A(t)v + f (t, v ), v (s) = vs với s ∈ R cho trước và điều kiện ban đầu vs ∈ X . Đặt β = max{(k + 1)a0 + b0 , (k + 1)c0 + d0 }. (2.2) (2.3) Ký hiệu ∂ là đạo hàm riêng ứng với biến thứ hai, giả sử tồn tại một số nguyên k ≥ 1 sao cho G1. A : R → B (X ) thuộc lớp C k và thỏa mãn (2.1); 12 G2. f : R × X → X thuộc lớp C k và thỏa mãn 1. f (t, 0) = 0 và ∂f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R; 2. tồn tại δ > 0 và cj > 0 với j = 1, ..., k + 1 sao cho với mọi t ∈ R và u, v ∈ X ta có k∂ j f (t, u)k ≤ cj δe−β|t| với j = 1, ..., k, (2.4) k∂ k f (t, u) − ∂ k f (t, v )k ≤ ck+1 δe−β|t| ku − vk. (2.5) Chú ý rằng với mọi j = 0, ..., k − 1, t ∈ R và u, v ∈ X ta có k∂ j f (t, u) − ∂ j f (t, v )k ≤ cj+1 δe−β|t| ku − vk. (2.6) Xét các không gian con E (t) = P (t)X, F1 (t) = Q1 (t)X, F2 (t) = Q2 (t)X. (2.7) Nghiệm duy nhất của v 0 = A(t)v có thể được viết dưới dạng v (t) = (U (t, s)ξ, V1 (t, s)η1 , V2 (t, s)η2 ) với t ∈ R, (2.8) với vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s) và U (t, s) := P (t)T (t, s)P (s), Vi (t, s) := Qi (t)T (t, s)Qi (s), i = 1, 2. Kí hiệu (x(., s, vs ), y1 (., s, vs ), y2 (., s, vs )) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.2), hoặc tương đương, của bài toán Z t x(t) = U (t, s)ξ + U (t, r)f (r, x(r), y1 (r), y2 (r)) dr, s Z t yi (t) = Vi (t, s)ηi + Vi (t, r)f (r, x(r), y1 (r), y2 (r)) dr, i = 1, 2 (2.9) s với t ∈ R. Với mỗi τ ∈ R, ta viết Ψτ (s, vs ) = (s + τ, x(s + τ, s, vs ), y1 (s + τ, s, vs ), y2 (s + τ, s, vs )). Đây là dòng được sinh bởi phương trình (2.2). Nói cách khác, Ψτ là toán tử đẩy dọc theo nghiệm của phương trình (2.2) đẩy điểm (s, vs ) đến điểm (s + τ, vs+τ ). 13 2.2 Sự tồn tại của đa tạp tâm Trong mục này ta sẽ phát biểu định lý đa tạp tâm cho nghiệm tầm thường v = 0 của phương trình v 0 = A(t)v + f (t, v ). Từ đó, ta cũng chứng minh được sự tồn tại của đa tạp tâm cho các nghiệm hyperbolic riêng không đều của phương trình vi phân trong không gian Banach. Đa tạp tâm thu được có dạng như một đồ thị. Kí hiệu ∂ là đạo hàm riêng tương ứng với biến thứ hai. Giả sử X là không gian các hàm liên tục ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) : {(s, ξ ) ∈ R × X : ξ ∈ E (s)} −→ X thuộc lớp C k sao cho với mọi s ∈ R và x, y ∈ E (s) ta có 1. ϕ(s, E (s)) ⊂ F1 (s) ⊕ F2 (s); 2. ϕ(s, 0) = 0 và ∂ϕ(s, 0) = 0; 3. k∂ j ϕ(s, x)k ≤ 1 với j = 1, ..., k và k∂ k ϕ(s, x) − ∂ k ϕ(s, y )k ≤ kx − yk. (2.10) Chú ý rằng theo định lý giá trị trung bình, với j = 0, ..., k − 1 ta có k∂ j ϕ(s, x) − ∂ j ϕ(s, y )k ≤ kx − yk (2.11) với mọi s ∈ R và x, y ∈ E (s). Cho trước hàm ϕ ∈ X , đồ thị của nó có dạng V = graph(ϕ) = {(s, ξ, ϕ(s, ξ )) : (s, ξ ) ∈ R × E (s)} ⊂ R × X. (2.12) Đặt αi = 4c1 Di δ với i = 1, 2 (2.13) và xét điều kiện T1 := (k + 1)a − b + max{(k + 1)a0 , b0 } < 0, T2 := (k + 1)c − d + max{(k + 1)c0 , d0 } < 0. (2.14) Điều kiện này được gọi là điều kiện lỗ hổng phổ, chúng là điều kiện để có được tính nhẵn của đa tạp tâm. Đồng thời, điều kiện lỗ hổng phổ cũng thể hiện tương quan giữa tính tam phân không đều (a, b, c, d, a0 , b0 , c0 , d0 ) với độ trơn k của nhiễu. Trong các Định lý 2.7 và 2.9 ta sẽ dùng điều kiện này để phục vụ cho các tính toán cần thiết. Dùng kí hiệu ps,ξ = (s, ξ, ϕ(s, ξ )), sau đây ta sẽ phát biểu định lý đa tạp tâm cho nghiệm tầm thường v = 0 của phương trình v 0 = A(t)v + f (t, v ). 14 Định lý 2.1. Giả thiết rằng G1-G2 đúng. Nếu phương trình v 0 = A(t)v trong không gian Banach X có tam phân mũ không đều và các điều kiện trong (2.14) đúng, thì với δ trong (2.4)-(2.5) đủ nhỏ, tồn tại một hàm ϕ ∈ X duy nhất sao cho tập V trong (2.12) là bất biến đối với nửa dòng Ψτ , tức là, nếu (s, ξ ) ∈ R × E (s) thì Ψτ (ps,ξ ) ∈ V với mọi τ ∈ R. (2.15) Hơn nữa, 1. V là một đa tạp trơn thuộc lớp C k chứa đường thẳng R × {0} và thỏa mãn T(s,0) V = R × E (s) với mọi s ∈ R; 2. với mọi (s, ξ ) ∈ R × E (s) ta có Z s ϕ1 (s, ξ ) = V1 (τ, s)−1 f (Ψτ −s (ps,ξ )) dτ, −∞ +∞ Z V2 (τ, s)−1 f (Ψτ −s (ps,ξ )) dτ ; ϕ2 (s, ξ ) = − s 3. tồn tại D > 0 sao cho với mỗi s ∈ R, ξ, ξ¯ ∈ E (s), τ ∈ R, và j = 0, ..., k , ta có 0 ¯ k∂ξj (Ψτ (ps,ξ )) −∂ξj (Ψτ (ps,ξ¯))k ≤ De(j+1)[(a+α1 )τ +a |s|] kξ − ξk với τ ≥ 0, (2.16) và 0 ¯ k∂ξj (Ψτ (ps,ξ )) − ∂ξj (Ψτ (ps,ξ¯))k ≤ De(j+1)[(c+α2 )τ +c |s|] kξ − ξk với τ ≤ 0. (2.17) Định lý 2.1 sẽ được chứng minh ở mục 2.3. Đa tạp V trong (2.12) được gọi là đa tạp tâm đối với nghiệm tầm thường v = 0 của phương trình (2.2). Ta thấy rằng V là đa tạp tâm duy nhất. Chú ý các hằng số α1 và α2 trong (2.16)-(2.17) có thể được làm nhỏ tùy ý bằng cách lấy δ đủ nhỏ. Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tâm cho các nghiệm hyperbolic riêng không đều của một phương trình vi phân cho trước. Xét hàm F : R × X → X thuộc lớp C k (k ∈ N) và phương trình v 0 = F (t, v ). (2.18) Ta nói rằng nghiệm v0 (t) của (2.18) là hyperbolic riêng không đều nếu phương trình tuyến tính được xác định bởi A(t) = ∂F (t, v0 (t)) có tam phân mũ không đều. 15