Tài liệu đa chập hartley-fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phí Thị Vân Anh ĐA CHẬP HARTLEY-FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO 2. TS. NGUYỄN MINH KHOA Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Tác giả Phí Thị Vân Anh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo −1− TS. Nguyễn Minh Khoa LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các Thầy PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin, vượt qua được nhiều khó khăn để có được những kết quả như hôm nay. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với các Thầy. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy và các bạn trong xemina Toán Giải tích thuộc Viện Toán Ứng dụng và Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, do PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo chủ trì; xemina Giải tích - Đại số Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, do GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu chủ trì. Các Thầy và các bạn đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, những góp ý quý báu cũng như một môi trường nghiên cứu sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải, các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số-Xác suất thống kê đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả được học tập, công tác và hoàn thành luận án. Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ, lòng biết ơn đến GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn, người đã luôn có những trao đổi, những định hướng về chuyên môn cho tác giả cũng như cho cả nhóm xemina. Thầy luôn là biểu tượng của sự nhiệt tình, nghiêm túc và chính xác trong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Thanh Hồng, người đã luôn sẵn sàng, tận tình giúp đỡ về mặt chuyên môn cũng như cung cấp cho tác giả những kinh nghiệm, những tài liệu quý báu ngay từ những ngày đầu bước vào nghiên cứu và trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ, các anh chị em, cùng chồng, con và bạn bè. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã gặp sự cố về sức khỏe, nhưng tất cả các Thầy, các bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là các thành viên trong gia đình, đã luôn sát cánh, động viên và ủng hộ tác giả. Đó là nguồn động lực to lớn giúp tác giả hoàn thành luận án của mình. Xin chân thành cảm ơn! Tác giả −2− MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn . MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . 1 . 2 . 3 . 6 . 11 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier: . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier . . . . . . . 1.1.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier . . . . . . 1.1.4 Định lý Young và bất đẳng thức Young . . . . . . . . 1.1.5 Định lý Saitoh và bất đẳng thức Saitoh . . . . . . . . 1.2 Biến đổi Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine . . . . . . . 1.2.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine . . . 1.2.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine . . . 1.3 Phép biến đổi Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine . . . . . . . . . 1.3.2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine . 1.4 Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Định nghĩa biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Một số tính chất của biến đổi Hartley . . . . . . . . . 1.4.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley . . . . . . 1.4.4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hartley . 1.5 Một số định lý và bổ đề được sử dụng . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Bất đẳng thức Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Định lý nội suy Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 26 26 26 27 27 28 28 28 29 29 29 30 31 31 34 35 36 36 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE 3 38 2.1 2.2 Đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa đa chập H-Fc -Fs . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc -Fs . . . . . . . . . 2.1.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình tích phân . . . . . 2.1.4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân . . . . . . Đa chập đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Định nghĩa đa chập H-Fc . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc . . . . . . . . . . . 2.2.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình Toeplitz-Hankel . 2.2.4 Ứng dụng giải một lớp hệ phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.5 Đa chập H-Fc suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 3. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP 3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc -Fs . . . . . . 3.1.1 Tính unita trong không gian L2 (R) . . . . . 3.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R) . 3.1.3 Tính bị chặn của toán tử Tp1 ,p2 . . . . . . . 3.2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc . . . . . . . . 3.2.1 Tính unita trong không gian L2 (R) . . . . . 3.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R) . 3.2.3 Tính bị chặn của toán tử Tq1 ,q2 . . . . . . . . 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 38 39 49 51 55 55 56 59 63 66 70 71 71 75 79 80 81 85 87 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.1 Phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3.2 Hệ hai phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . 94 Chương 4. BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP 4.1 Bất đẳng thức trong L1 . . . . . . . . . . . . 4.2 Bất đẳng thức trong Lα,β,γ . . . . . . . . . . s 4.3 Bất đẳng thức kiểu Young . . . . . . . . . . 4.4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh . . . . . . . . . . 4.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Phương trình tích phân . . . . . . . . 4.5.2 Phương trình vi phân . . . . . . . . . −4− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 99 100 101 107 115 115 117 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 128 −5− MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Các không gian hàm và chuẩn • R là tập tất cả các số thực. • R+ = {x ∈ R, x > 0}. • C là tập tất cả các số phức. • C0 (R) là không gian Banach gồm các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại vô cùng với chuẩn sup. • S là không gian Schwartz gồm tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên R và các đạo hàm của nó giảm nhanh ở vô cùng. • L∞ (R) là không gian gồm các hàm bị chặn trên R. • Lp (R), 1 6 p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định trên R sao cho Z∞ |f (x)|p dx < ∞. −∞ Nếu thay R bởi R+ và tích phân trên thay cận từ 0 đến ∞ thì ta có không gian Lp (R+ ). • Lp (R, ρ), 1 6 p < ∞ là không gian các hàm số f (x) trên R sao cho Z∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, −∞ trong đó ρ(x) là một hàm trọng dương. • Lα,β p (R+ ), α ∈ R, 0 < β ≤ 1, p ≥ 1 là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ , sao cho Z∞ xα K0 (βx)|f (x)|p dx < ∞, 0 trong đó K0 (x) là hàm Bessel loại hai. • Lα,β,γ (R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > 1 là không gian các hàm số f (x) p trên R sao cho Z∞ γ |x|α e−β|x| |f (x)|p dx < ∞. −∞ 6 • kf kLp (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi  Z∞ kf kLp (R) =  p1 |f (x)| dx . p −∞ • kf kLp (R,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R, ρ), xác định bởi  Z∞ kf kLp (R,ρ) = p |f (x)| ρ(x)dx  p1 . −∞ • α,β,γ kf kLα,β,γ (R), xác định bởi (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp p 1/p  ∞ Z  |x|α e−β|x|γ |f (x)|p dx . kf kLα,β,γ = (R) p −∞ b. Kí hiệu các phép biến đổi tích phân • F là phép biến đổi Fourier Z∞ 1 (F f )(y) := √ f (x)e−ixy dx, 2π ∀y ∈ R. −∞ • Fc là phép biến đổi Fourier cosine r Z∞ 2 (Fc f )(y) := f (x) cos(yx) dx, ∀y ∈ R+ . π 0 • Fs là phép biến đổi Fourier sine r Z∞ 2 f (x) sin(yx) dx, ∀y ∈ R+ . (Fs f )(y) := π 0 • H1 , H2 là các phép biến đổi Hartley Z∞ 1 (H1 f )(y) := √ f (x) cas(xy)dx, y ∈ R, 2π 1 (H2 f )(y) := √ 2π −∞ Z∞ f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R. −∞ −7− • L là phép biến đổi Laplace Z∞ (Lf )(s) := f (t)e−ts dt, ∀s ∈ C. 0 • Hν là phép biến đổi Hankel được xác định bởi công thức Z∞ (Hν Φ)(t) := τ Jν (tτ )Φ(τ )dτ, 0 với Jν là hàm Bessel loại một. • Mi là phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với chỉ số i được xác định bởi Z∞ (Mi f )(y) := ki y  t f (t) dt , t i = 0, 1, 2. 0 • Kiy [f ] là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev Z∞ Kiy [f ] = Kiy (t)f (t)dt, 0 và Kiy (t) là hàm Macdonald (hay hàm Bessel loại ba). c. Ký hiệu các hàm đặc biệt • Γ(z) là hàm Gamma Z∞ Γ(z) := tz−1 e−t dt, Re z > 0. 0 • Jn (x) là hàm Bessel loại một, nó là nghiệm của phương trình vi phân 2 2d y x dx2 +x dy + (x2 − n2 )y(x) = 0, dx nghiệm đó có biểu thức được xác định như sau Jn (x) = ∞ X k=0  x n+2k (−1)k . k!Γ(n + k + 1) 2 −8− • Kn (x) là hàm Bessel loại hai, nó là nghiệm của phương trình vi phân x2 d2 y dy + x − (x2 + n2 )y(x) = 0. 2 dx dx Nghiệm này liên hệ với hàm Bessel loại một bởi công thức Kn (x) = Jn (x) cos (nπ) − J−n (x) . sin(nπ) Trường hợp cụ thể Z∞ K0 (w) := e−wy cosh ydy. 0 • Erfc(x) là hàm lỗi bổ sung (complementary error function), được xác định là phần bù của hàm lỗi Erf(x) (error function), qua biểu thức sau 2 Erfc(x) := 1 − Erf(x) = √ π Z∞ 2 e−t dt, x trong đó hàm lỗi Erf(x) hay còn gọi là hàm lỗi Gauss được xác định bởi 2 Erf(x) := √ π Zx 2 e−t dt. 0 d. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập • (· ∗ ·) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier. F • (· ∗ ·) (xem trang 28) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine. • (· ∗ ·) (xem trang 14) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fc F sF c Fourier sine và Fourier cosine. • (· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi F cF s Fourier cosine và Fourier sine. γ • (· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y F F cF s đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. • (· ∗ ·) (xem trang 35) là tích chập đối với phép biến đổi Hartley. H • (· ∗ ·) (xem trang 35) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley. H12 −9− • (· ∗ ·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley HF và biến đổi Fourier. • (· ∗ ·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley HF c và Fourier cosine. • ∗(·, ·, ·) (xem trang 38) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier 1 cosine và Fourier sine. • ∗(·, ·, ·) (xem trang 55) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley và Fourier 2 cosine. • ∗(·, ·, ·) (xem trang 67) là đa chập suy biến đối với phép biến đổi Hartley 3 và Fourier cosine. −10− MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Lý thuyết biến đổi tích phân đã ra đời rất sớm, được phát triển và giữ một vị trí quan trọng trong lịch sử Giải tích toán học. Nó được dùng làm công cụ để giải nhiều lớp phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân. Cụ thể, nó được áp dụng cho những bài toán thuộc lĩnh vực Vật lý, Cơ học, Y học, Địa lý, Hải dương học,... (xem [2, 7, 11, 21, 47]). Một số phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng như phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, Mellin, Hankel, Kontorovich – Lebedev,... hầu hết chúng đều xuất phát từ việc nghiên cứu các bài toán thực tế và được đặt tên theo các tác giả tìm ra chúng. Chẳng hạn phép biến đổi tích phân Fourier xuất hiện từ bài toán thực tế khi J. Fourier nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt (xem [2]). Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu Thế kỉ 20. "Tích chập" là một từ nói chung để chỉ phép nhân chập của hai hàm, đó là cách nhân không theo nghĩa thông thường, mà phép nhân được xác định bên ngoài không gian, thông qua một biểu thức tích phân. Do đó, ta nói "tích chập" là một dạng của biến đổi tích phân. Ta biết, trong một không gian hàm tuyến tính U (X) thì không tồn tại phép nhân hai hàm f g, có nghĩa là nếu nhân thông thường thì kết quả f g nói chung không thuộc U (X). Tuy nhiên, nếu ta thay tích thông thường bằng tích chập f ∗ g thì điều này sẽ được cải thiện. Một số tích chập được xây dựng, chúng còn có tính giao hoán, tính phân phối và tính kết hợp nên khi nó được trang bị cho không gian hàm U (X) sẽ làm cho không gian đó trở thành một vành và khi có thêm chuẩn được xác định thì U (X) trở thành vành định chuẩn. Tích chập lần đầu tiên xuất hiện là tích chập đối với phép biến đổi Fourier (xuất hiện đầu Thế kỷ 20). Tích chập được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như Xác suất, Thống kê, Xử lý ảnh và Xử lý tín hiệu, Kỹ thuật điện,... Cũng giống như biến đổi tích phân, tích chập được dùng như là công cụ trong việc giải một số lớp các phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng (xem [8, 11, 12, 19]). Ta thấy 11 tích chập được chia thành nhiều loại: tích chập, tích chập có hàm trọng, tích chập suy rộng, tích chập suy rộng có hàm trọng, đa chập. Sự phân chia này dựa trên sự xuất hiện của hàm trọng và số lượng các phép biến đổi tích phân trong đẳng thức nhân tử hóa của nó. a) Tích chập Những tích chập xuất hiện đầu tiên chỉ liên quan đến một phép biến đổi tích phân và phép nhân chập đó có đẳng thức nhân tử hóa dạng K(f ∗ g)(y) = (Kf )(y) · (Kg)(y), K trong đó K là phép biến đổi tích phân nào đó. Chẳng hạn như K là phép biến đổi Fourier hoặc Fourier cosine hoặc Mellin hoặc Laplace,... Từ đẳng thức nhân tử hóa, ta thấy vai trò của các hàm f và g là như nhau. Do đó, những tích chập thuộc nhóm này có tính giao hoán, kết hợp, tính phân phối với phép cộng. Vậy nên khi không gian hàm được trang bị thêm phép nhân chập loại này sẽ trở thành đại số. Một vài tích chập thuộc nhóm này như: 1. Tích chập Fourier: Đây là tích chập xuất hiện sớm nhất, từ đầu thế kỷ XX (xem [8]). Tích chập đó được xác định như sau: 1 (f ∗ g)(x) := √ F 2π Z∞ f (y)g(x − y)dy, x ∈ R. (0.1) −∞ Tích chập này đóng kín trong không gian L1 (R) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F (f ∗ g)(y) = (F f )(y) · (F g)(y), F y ∈ R. (0.2) 2. Tích chập Laplace: Ngay sau sự xuất hiện của tích chập Fourier là tích chập đối với phép biến đổi Laplace (xem [8]): Zx (f ∗ g)(x) := f (x − y)g(y)dy, L 0 −12− x > 0. (0.3) Tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa trong không gian các hàm bậc mũ: L(f ∗ g)(y) = (Lf )(y) · (Lg)(y), ∀Re y > 0. (0.4) L Đó là những ví dụ về tích chập không có trọng. Năm 1958, Y.Y. Vilenkin là người đầu tiên thiết lập được công thức tích chập có hàm trọng, đó là tích chập đối với phép biến đổi Mehler-Fox (xem [60]). Gần một thập kỷ sau, năm 1967, V.A. Kakichev đã đưa ra định nghĩa và phương pháp xây dựng tích chập có hàm trọng γ đối với một phép biến đổi tích phân K bất kỳ (xem γ [54]), tích chập đó ký hiệu là f ∗ g, nó được xác định sao cho thỏa mãn đẳng K thức nhân tử hóa dạng: γ K(f ∗ g)(y) = γ(y) · (Kf )(y) · (Kg)(y). K (0.5) Định nghĩa này là tổng quát cho tích chập đối với một phép biến đổi tích phân vì khi hàm trọng bằng 1 thì tích chập có hàm trọng trở về với tích chập thông thường. Các đẳng thức nhân tử hóa (0.2), (0.4) đều có trọng γ(y) = 1. Việc đưa vào hàm trọng có một ý nghĩa nhất định, cho phép điều chỉnh hàm nhân khi xây dựng tích chập, từ đó thay đổi không gian hàm đang xem xét. Các tích chập có trọng hoặc không có trọng đối với một phép biến đổi tích phân đều có tính giao hoán, tính phân phối. Nhờ phương pháp của mình, V.A. Kakichev sau đó đã xây dựng thêm được một số tích chập có trọng và không có trọng. Đó là tích chập với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, phép biến đổi Hankel, phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,... Chẳng hạn hai tích chập trong số đó như sau: 1. Tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine có hàm trọng γ(y) = sin y, (1967, Kakichev, [54]): 1 (f ∗ g)(x) := √ Fs 2 2π γ Z∞ f (y) [sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|)+ 0 +sign(x−y−1)g(|x−y−1|)−sign(x−y+1)g(|x−y+1|)−g(x+y+1)]dy, (0.6) với x > 0, đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1 (R+ ) γ Fs (f ∗ g)(y) = sin y · (Fs f )(y) · (Fs g)(y), y ∈ R+ . Fs −13− 2. Tích chập đối với phép biến đổi Hankel Hν với hàm trọng γ = y −ν : γ (f ∗ g)(x) := Hν ν x √ 2ν πΓ(ν + 12 ) Zπ sin2ν tdt 0 Z∞ √ uν+1 f (u)g( x2 + u2 − 2xu cos t) du. ν (x2 + u2 − 2xu cos t) 2 0 Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là γ 1 Hν (f ∗ g)(y) = y −ν (Hν f )(y)(Hν g)(y), ∀y > 0, ν > . Hν 2 b) Tích chập suy rộng Tích chập suy rộng được hiểu là phép nhân chập của hai hàm bất kỳ mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó xuất hiện nhiều hơn một phép biến đổi tích phân. Tích chập dạng này đã xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1951, trong cuốn sách của I.N. Sneddon, đó là tích chập đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine (xem [7]) 1 (f ∗ g)(x) := √ Fs Fc 2π Z∞ f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, ∀x > 0. (0.7) 0 Đẳng thức nhân tử hóa của nó có dạng Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y) · (Fc g)(y), ∀f, g ∈ L1 (R+ ). Fs Fc (0.8) Lúc đó tích chập này được coi là tích chập "lạ" vì đẳng thức nhân tử hóa của nó xuất hiện hai phép biến đổi tích phân, trong khi các tích chập trước đó chỉ xuất hiện một. Sau đó hơn nửa thế kỷ, vào những năm đầu của thập kỷ 90, S.B. Yakubovich giới thiệu thêm một số các tích chập suy rộng không có trọng đối với các phép biến đổi tích phân theo chỉ số như biến đổi Mellin, biến đổi KontorovichLebedev [44, 45, 46]. Trên cơ sở những tích chập suy rộng đã xuất hiện, đến năm 1998, trong [56], hai tác giả V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã cho định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng của hai hàm đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ và cho điều kiện cần để xác định tích chập −14− suy rộng. Theo đó, tích chập suy rộng của hai hàm f, g đối với ba phép biến đổi tích phân K3 , K1 , K2 bất kỳ, với hàm trọng γ(y), ta ký hiệu hình thức γ (f ∗ g), là một biến đổi tích phân sao cho đẳng thức nhân tử hóa của K3 K1 K2 nó có dạng K3 (f γ ∗ K3 K1 K2 g)(y) = γ(y) · (K1 f )(y) · (K2 g)(y). Ta thấy rằng, khi các phép biến đổi K3 , K1 , K2 là như nhau thì tích chập suy rộng trở thành tích chập đối với một phép biến đổi tích phân. Vậy có thể nói tích chập đối với một phép biến đổi tích phân là trường hợp riêng của tích chập suy rộng. Do các biến đổi tích phân K3 , K1 , K2 nói chung là khác nhau, nên tích chập suy rộng không có tính giao hoán. Công trình (1998, [56]) của V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã mở ra một hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết biến đổi tích phân. Từ đó đến nay, đã có nhiều tích chập suy rộng đối với nhiều kiểu biến đổi tích phân khác nhau ra đời, như tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Laplace, Hankel, Kontorovich – Lebedev,... (xem [18, 27, 31, 23, 24, 28, 30, 33, 35, 57, 58]). c) Đa chập Từ ý tưởng xây dựng tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi tích phân bất kỳ [56], chính tác giả Kakichev đã xây dựng nên định nghĩa đa chập, năm 1997. Ông thấy rằng không dừng lại ở tích chập của 2 hàm mà có thể xây dựng phép nhân chập cho n (n ≥ 3) hàm cùng một lúc đối với n+1 phép biến đổi tích phân bất kỳ. Điều này có ý nghĩa nhất định. Có thể hình dung một minh họa của tích chập suy rộng với đẳng thức nhân tử hóa là K3 (f ∗ g)(y) = (K1 f )(y) · (K2 g)(y). Vế phải của đẳng thức là tích thông thường của hai tín hiệu (K1 f )(y) và (K2 g)(y). Tích này là ảnh của một thông tin nguồn, phát dưới dạng f ∗ g. Để tìm thông tin nguồn này ta chỉ cần dựa vào biến đổi ngược K3−1 , và ta có (f ∗ g)(x) = K3−1 [(K1 f )(y) · (K2 g)(y)](x). Khi K1 6= K2 thì cũng giống như ta thu được tín hiệu từ nhiều nguồn khác nhau. Vậy khả năng ứng dụng của tích chập suy rộng sẽ đa dạng và phong phú hơn. Bây giờ nếu ta mở rộng được số lượng tín hiệu thu được đến n tín hiệu, n ≥ 3, bằng cách lấy tích thông thường của các hàm ảnh (K1 f1 )(y).(K2 f2 )(y)...(Kn fn )(y), −1 rồi dùng biến đổi ngược Kn+1 để tìm thông tin ban đầu đã phát, thì việc làm này giống như chúng ta xử lý đồng thời nhiều tín hiệu cùng lúc thay cho −15− việc xử lý lần lượt hai tín hiệu một, như vậy sẽ giảm bớt sai số trong quá trình tính toán trung gian. Việc nhân chập nhiều hàm cùng lúc đối với các phép biến đổi tích phân nhất định, ta gọi là đa chập, và được ký hiệu dạng ∗(f1 , f2 , .., fn ), (n ≥ 3). Khi n = 2 thì đa chập là tích chập suy rộng của hai hàm. Khái niệm đa chập theo nghĩa nhân chập nhiều hàm đối với một biến đổi tích phân dạng f1 ∗ f2 ∗ ... ∗ fn đã được đề cập và nghiên cứu với biến đổi Fourier, tức là khi đó K1 = K2 = ... = Kn+1 . Một cách tổng quát, K1 , K2 , ..., Kn+1 có thể khác nhau, thì đa chập ∗(f1 , f2 , .., fn ) không thể viết thành tích chập của hai hàm một, hoặc nếu viết được thì rất phức tạp và phải chịu nhiều sai số tính toán. Năm 1997, trong [55], V.A. Kakichev đã đưa ra định nghĩa tổng quát về đa chập và cho điều kiện cần để xác định đa chập. Tương tự như tích chập thì đa chập cũng có hai loại là đa chập có trọng và đa chập không có trọng. Định nghĩa về đa chập như sau: Định nghĩa(1997, [55]): Đa chập của n (n ≥ 3) hàm f1 , f2 , ..., fn đối với n + 1 phép biến đổi tích phân Kn+1 , K1 , K2 , ..., Kn bất kỳ, có hàm trọng γ(x), γ được ký hiệu bởi ∗(f1 , f2 , ..., fn )(x), sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa dạng γ Kn+1 [∗(f1 , f2 , .., fn )](x) = γ(x) · (K1 f1 )(x) · (K2 f2 )(x) · · · (Kn fn )(x). (0.9) Để tìm điều kiện cần xác định đa chập, V.A. Kakichev đã giả thiết như sau: Gọi các toán tử tích phân tuyến tính song ánh là Kj , (j = 1, n) đi từ không gian hàm tuyến tính Uj (Xj ) vào đại số U (X), được xác định bởi: Z (Kj fj )(x) := kj (x, xj )fj (xj )dxj , j = 1, 2, ..., n + 1. (0.10) Xj Đặt f˜j (x) = (Kj fj )(x), j = 1, 2, ..., n + 1. Giả sử Kn+1 có toán tử ngược là −1 Kn+1 , đi từ đại số U (X) vào không gian Un+1 (Xn+1 ), xác định bởi Z −1 ˜ −1 (Kn+1 fn+1 )(xn+1 ) := kn+1 (xn+1 , x)f˜n+1 (xn+1 )dx, xn+1 ∈ Xn+1 . X Cho γ(x) là một hàm cố định thuộc U (X), đóng vai trò là hàm trọng. γ Đa chập ∗(f1 , f2 , .., fn ) của n hàm f1 , f2 , .., fn đối với n + 1 phép biến đổi tích phân Kn+1 , K1 , K2 , ..., Kn bất kỳ, với hàm trọng γ(x), là hàm fn+1 (xn+1 ) −16− đi từ Xn+1 vào Un+1 (Xn+1 ), sẽ được xác định bởi: Z γ −1 [∗(f1 , f2 , .., fn )](xn+1 ) = γ(x) · kn+1 (xn+1 , x) · f˜1 (x) · · · f˜n (x)dx, (0.11) X hay γ h  i −1 ˜ ˜ [∗(f1 , f2 , .., fn )](xn+1 ) = Kn+1 γ · f1 · · · fn (xn+1 )  −1 = Kn+1 [γ · (K1 f1 ) · · · (Kn fn )] (xn+1 ). (0.12) Điều kiện cần để xác định đa chập: Sự hội tụ của tích phân sau Z −1 Θ(xn+1 , x1 , x2 , ..., xn ) = γ(x)kn+1 (xn+1 , x)k1 (x, x1 ) · · · kn (x, xn )dx (0.13) X γ là điều kiện cần để xác định đa chập ∗(f1 , f2 , .., fn ) có dạng sau γ [∗(f1 , f2 , .., fn )](xn+1 ) = Z Z Z · · · Θ(xn+1 , x1 , x2 , ..., xn )f1 (x1 ) · · · fn (xn )dx1 dx2 · · · dxn . X1 X2 (0.14) Xn Khi đó đa chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (0.9). Tùy thuộc vào γ(x) = 1 hay γ(x) 6= 1, ta sẽ nói đa chập không có trọng hoặc có trọng tương ứng. Khi n = 2, thì khái niệm đa chập trùng với khái niệm tích chập suy rộng của 2 hàm. Khi n ≥ 3 và các Ki (i = 1, ..., n) không đồng nhất bằng nhau, thì chưa có công trình nào về đa chập được công bố trước công trình của Kakichev (1997, [55]). Sau đó, có một số công trình về xây dựng đa chập: • Công trình đầu tiên liên quan đến đa chập, với n = 3 trong tài liệu [26], 2008, bởi Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Đức Hậu. Đó là đa chập đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine, 1 ∗ (f, g, h)(x) := 2π Z∞ Z∞ f (u)g(v) [h(|x + u − v|)+ 0 0 +h(|x − u + v|) − h(|x − u − v|) − h(x + u + v)] dudv, x > 0, với đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1 (R+ ) có dạng Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Fc h)(y), y > 0. −17− • Tiếp theo, năm 2010, [25], các tác giả Nguyễn Xuân Thảo và N.A. Virchenko đã xây dựng đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev: Z∞ Z∞ Z∞ ∗(f, g, h)(x) := θ(x, u, v, w)f (u)g(v)h(w)dudvdw, x > 0, 0 0 0 trong đó 1 h −w cosh(x+u−v) e + e−w cosh(x−u+v) − θ(x, u, v, w) = √ 2 2π i −e−w cosh(x+u+v) − e−w cosh(x−u−v) . Khi f, g ∈ L1 (R+ ), h ∈ L0,β 1 (R+ ) thì đa chập này thuộc L1 (R+ ) và có đẳng thức nhân tử hóa: Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Kiy h)(y), y > 0. • Gần đây nhất, công trình năm 2011, [53], của Trịnh Tuân và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng đa chập đối với các phép biến đổi Fourier sine và Kontorovich-Lebedev. Đây là đa chập có hàm trọng γ(y) = sin y. Nó được xác định bởi công thức sau, với mỗi x > 0 ! Z X 4 γ 1 ∗ (f, g, h)(x) := √ θi (x, u, v, w) f (u)g(v)h(w)dudvdw, 4 2π i=1 3 R+ trong đó θ1 (x, u, v, w) = e−w cosh(x+u+v+1) − e−w cosh(x+u+v−1) , θ2 (x, u, v, w) = e−w cosh(x−u+v−1) − e−w cosh(x−u+v+1) , θ3 (x, u, v, w) = e−w cosh(x+u−v−1) − e−w cosh(x+u−v+1) , θ4 (x, u, v, w) = e−w cosh(x−u−v+1) − e−w cosh(x−u−v−1) . Khi f, g ∈ L1 (R+ ), h ∈ L0,β 1 (R+ ) thì đa chập này thuộc L1 (R+ ) và có đẳng thức nhân tử hóa: γ Fs [∗(f, g, h)](y) = sin y · (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Kiy h)(y), y > 0. −18− Như vậy có không nhiều các đa chập đã xuất hiện, chúng liên quan đến các biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev. Các công trình đã công bố mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng đa chập mới và nghiên cứu đẳng thức nhân tử hóa của nó. Mặt khác, khi nghiên cứu về các bài toán vật lý liên quan đến lĩnh vực Động lực học chất lỏng, Lý thuyết lọc tuyến tính, Sóng nhiễu xạ [13, 52, 12] người ta thấy xuất hiện phương trình có dạng sau đây Z∞ f (y)[k1 (x − y) + k2 (x + y)]dy = g(x), f (x) + x > 0, (0.15) 0 trong đó k1 , k2 , g là các hàm cho trước, còn f là hàm phải tìm. Phương trình này được gọi là phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, với k1 (x − y) là nhân Toeplitz và k2 (x + y) là nhân Hankel. Đến nay thì phương trình (0.15) vẫn chưa có lời giải đúng trong trường hợp tổng quát, nó vẫn là một bài toán mở. Gần đây, có một số công trình công bố về việc giải phương trình Toeplitz-Hankel, những công trình đó đã xem xét một số trường hợp riêng của nhân k1 , k2 . Chẳng hạn như trong công trình [33], năm 2008, nhóm tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Vũ Kim Tuấn, và Nguyễn Thanh Hồng đã tìm được nghiệm hiển của phương trình Toeplitz-Hankel (0.15) trong trường hợp nhân Toeplitz là hàm chẵn và nhân k1 , k2 có dạng: 1 1 1 k1 (t) = √ sign(t − 1)h1 (|t − 1|) − √ h1 (t + 1) − √ h2 (t), 2 2π 2 2π 2π 1 1 1 k2 (t) = √ sign(t + 1)h1 (|t + 1|) − √ h1 (t + 1) + √ h2 (|t|), 2 2π 2 2π 2π trong đó h1 (x) = (ϕ1 ∗ ϕ2 )(x), ϕ1 , ϕ2 , h2 ∈ L1 (R+ ). F sF c Tiếp theo, năm 2011, nhóm tác giả trên tiếp tục xem xét một số trường hợp riêng của nhân k1 , k2 , mà k1 vẫn là hàm chẵn hoặc xét trường hợp nhân bất kỳ thì vế phải lại có dạng đặc biệt, công trình này được giới thiệu trong [34]. Năm 2013, trong tài liệu [36], các tác giả Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Minh Tuấn, và Phan Đức Tuấn đã xem xét việc giải phương trình Toeplitz-Hankel trong trường hợp nhân k1 , k2 là các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, phương trình có dạng Z2π f (y)[k1 (|x − y|) + k2 (x + y)]dy = g(x), x ∈ [0; 2π]. f (x) + 0 −19−