Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
CAÊN BAÄC HAI
1. A 2 A
2.
4. A 2 B A B (B 0) 5. A B
7.
A
B
10)
A B
(B>0)
B
C
A B
A
B
AB A. B (A0, B0 ) 3.
A 1
B
B
8.
A 2 B (A0, B0)
A
B
(A 0, B>0)
6. A B A 2 B (A<0, B0)
AB (AB0, B≠0)
C( A B
(A 0, B 0, A≠B)
A B
9)
C
AB
C ( A B)
(A 0, A≠B2)
2
A B
11)0 A < B
A B
BAÛY HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC ÑAÙNG NHÔÙ
( A B)2 A2 2 AB B 2
( A B)2 A2 2 AB B 2
A2 B 2 A B A B
3
3
A B A3 3 A2 B 3 AB 2 B3
3
A3 B 3 ( A B )( A2 AB B 2 ) A B 3 AB ( A B )
A3 B3 A B A2 AB B 2
2
A2 B 2 A B 2 AB
A B
A3 3 A2 B 3 AB 2 B 3
NHÔÙ 1:
Ax B
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT
B
.
A
A 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát : x
A = 0 vaø B 0 : phöông trình voâ nghieäm.
A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm.( x R )
Ax B
B
B
A>0:
x
A 0 x
A
A
A = 0 vaø B 0 : voâ nghieäm
A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm. (x R)
NHÔÙ 2 :
ax by c
1/. Daïng : /
/
/
a x b y c
2/. Caùch giaûi : D
a b
/
ab
/
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT HAI AÅN SOÁ
ab / a / b ; Dx
x
D 0 : heä coù nghieäm duy nhaát
y
c b
/
cb
/
Dx
D
Dy
D
1
cb / c / b ; D y
a c
/
ac
/
ac / a / c
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
D = 0 vaø Dx 0
Heä voâ nghieäm.
D = 0 vaø Dy 0
D = Dx = Dy = 0 : Heä voâ soá nghieäm tuøy thuoäc a, b, c, a/, b/, c/
>0
NHÔÙ 3 :
PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN
2
ax + bx + c = 0 ( a 0)
2
= b – 4ac
b
b
, x2
2a
2a
b
=0
Nghieäm keùp x1 x 2
2a
<0
Voâ nghieäm
/ = b/ 2 – ac
/ > 0
b / /
b / /
, x2
x1
a
a
/
=0
b/
Nghieäm keùp x1 x 2
a
/ < 0
Voâ nghieäm
c
c
Chuù yù: a + b + c = 0 : Nghieäm x1 = 1, x2 = a – b + c = 0 : Nghieäm x1 = –1, x2 = .
a
a
x1
Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có b2 4ac
f(x) = 0 có hai nghiệm 0 ;f(x) = 0 có nghiệm kép 0 ; f(x) = 0 vô nghiệm 0
a 0
f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu
P 0
a 0
0
f(x) = 0 có hai nghiệm âm
S 0
P 0
a 0
f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu
P 0
a 0
0
f(x) = 0 có hai nghiệm dương
S 0
P 0
a 0
a 0
f(x) > 0 x
f(x) 0 x
0
0
a 0
a 0
f(x) < 0 x
f(x) 0 x
0
0
a 0
f(x) > 0 vô nghiệm f(x) 0x
0
a 0
f(x) < 0 vô nghiệm f(x) 0x
0
a 0
f(x) 0 vô nghiệm f(x) 0x
0
a 0
f(x) 0 vô nghiệm f(x) 0x
0
2
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
NHÔÙ 4 :
DAÁU NHÒ THÖÙC
f(x) = ax + b ( a 0)
b
x
–
+
a
f(x)
Traùi daáu a
0
cuøng daáu a
NHÔÙ 5 :
DAÁU TAM THÖÙC
f(x) = ax + bx + c ( a 0) ( Nhôù : TRONG TRAÙI NGOAØI CUØNG)
Thì
f(x) > 0, x
2
Neáu
0
a 0
0
a 0
0
a 0
f(x) < 0, x
0
a 0
>0
f(x) > 0,
x
b
2a
f(x) < 0,
x
b
2a
x –
x1
x2
f(x) cuøng daáu a 0
traùi daáu a 0
+
cuøng daáu a
Hoaëc :
<0
=0
>0
f(x) = ax 2 bx c (a 0)
a.f(x) > 0, x R
b
a.f(x) > 0, x R \
2a
a.f(x) > 0, x (–∞ ; x1) (x2; +∞ )
a.f(x) < 0, x (x1; x2)
NHÔÙ 6 : SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ
Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) vaø , laø hai soá thöïc( )
0
1/. x1 < < x2 af(x) < 0 2/. x2 > x1 > af ( ) 0 3/. x1 < x2 <
S
0
2
af ( ) 0
af ( ) 0
4/. x1< < < x2
5/. x1< < x2 <
af ( ) 0
af ( ) 0
x x2
6/. 1
f ( ) f ( ) 0
x1 x2
0
af ( ) 0
S
0
2
0
af ( ) 0
7/. < x1 < x2 < af ( ) 0
S
2
Chuù yù:
3
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
0
0
1/. x1 < 0 < x2 P < 0
2/. x2 > x1 > 0 P 0
3/. x1 < x2 < 0 P 0
S 0
S 0
NHÔÙ 7 :
1/.
PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
B 0
2/.
AB
2K
A B
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
2
f ( x ) g( x )
2K
NHÔÙ 8 :
1/.
2K
2K
A B
A 2K B
A 0(hayB 0)
f ( x ) 0 (hoaëc g( x ) 0)
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
A 0
A B B 0
2/.
2K
A B
2K
B 0
A 0
A B
3/.
B 0
A B 2 K
PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
A B
A B
B 0
1/. A B
2/. A B
Chuù yù:
A B
A B
B 0
NHÔÙ 10 :
B A B
1/. A B
B 0
A B A B 2 K 1
g( x ) 0
f ( x ) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g( x )2
f ( x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g( x )2
NHÔÙ 9 :
2 K 1
f ( x) g ( x)
x 0
f ( x ) g ( x)
f ( x) g ( x)
x 0
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
B 0
A B
2/. A B
B 0
A B
B 0
2
A neáu A 0
A
; A A 2 , A
A neáu A 0
4
3/. A B A 2 B 2
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
NHÔÙ 11 :
BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
1/. ÑÒNH NGHÓA :
Daïng :
A > B, A B , A < B, A B
2/. TÍNH CHAÁT :
a b
ac bc, c 0
a) a b b a ; b)
a c ; c) a b a c b c ;d) a b
b c
ac bc, c 0
1 1
a b
a
b
a
b
0
e)
a c b d ;f)
ac bd ;g) a b
c d
c d 0
1 1
a b
; khi ab 0
; khi ab 0
3/. BÑT Coâ Si :
Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a1, a2, a3,......, an
a 1 a 2 a 3 ....... a n
n a 1 a 2 a 3 ....... a n
n
n
a a 2 a 3 ....... a n
Hay a1a 2 a 3 .......a n 1
n
Daáu ñaúng thöùc xaûy ra a1 = a2 = a3 = ......... = an.
Cô si cho 2 số không âm: a, b 0 : a b 2 ab .Dấu “=” xảy ra khi a b .
Tính chất: Cho 2 số không âm a, b .
Nếu a b hằng số thì a.b đạt giá trị lớn nhất khi a b .
Nếu a.b hằng số thì (a b) đạt giá trị nhỏ nhất khi a b .
4/. BÑT Bunhia Coâp ski :
Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn laø nhöõng soá töïc khi ñoù:
2
2
2
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ..... a n bn ) 2 ( a1 a 2 .... a n )(b1 b2 .... bn )
Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,......, n
5/. BÑT BecnuLi :
a 0
Cho : a > –1, n N.Ta coù : (1 + a)n 1 + na Ñaúng thöùc xaûy ra
n 1
6/. BÑT tam giaùc :
A B A B .Ñaúng thöùc xaûy ra AB 0.
NHÔÙ 12 :
COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC
A. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc )
sinx
cosx
1/. sin 2 x cos 2 x 1
2/. tanx
3/. cotx
cosx
sinx
1
1
4/. tanx.cotx 1
5/. 1 tan 2 x
6/. 1 cot 2 x
2
cos x
sin 2 x
Ñieàu kieän toàn taïi :
tanx laø(x / 2 + k , k Z)
cotx laø (x k , k Z)
sinx laø – 1 Sinx 1
cosx laø – 1 Cosx 1
Chuù yù :
a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)
B. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc ):
5
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
7/. cos(a b) cos a.cosb sin a.sinb
8/. cos (a b) cos a.cosb sin a.sinb
9/. sin(a b) sin a.cosb cos a.sinb 10/. sin(a b) sin a.cosb cosa.sinb
tana tanb
tana tanb
11/. tan ( a b)
12/. tan ( a b)
1 tan a.tanb
1 tana.tanb
cot a.cotb 1
cot acotb 1
13/. cot ( a b)
14/. cot ( a b)
cota cotb
cota cotb
C. COÂNG THÖÙC NHAÂN:
I. NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)
15/. sin 2a 2 sin a.cosa 16/. cos 2a 2cos 2 a 1 1 2 sin 2 a cos 2 a sin 2a
2tana
17/. tan 2a
1 tan 2 a
II. NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)
18/. Cos3a 4Cos 3 a 3Cosa 19/. Sin3a 3Sina 4 Sin 3 a 20/. Tan3a
3Tana Tan 3 a
1 3Tan 2 a
III. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc)
1 Cos 2a
21/. Sin 2 a
1 Cos 2a 2 Sin 2 a
2
1 Cos 2a
22/. Cos 2 a
1 Cos 2a 2Cos 2 a
2
3Sina Sin3a
3Cosa Cos3a
23/. Sin 3 a
24/. Cos 3 a
4
4
x
IV. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) vôùi t Tan
2
2
2t
1 t
2t
25/. Sinx
26/. Cosx
,
27/. Tanx
2
2
1 t
1 t
1 t2
D. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc)
ab
a b
ab
ab
28/. Cosa Cosb 2Cos
Cos
29/. Cosa Cosb 2 Sin
Sin
2
2
2
2
ab
ab
ab
ab
30/. Sina Sinb 2 Sin
Cos
31/. Sina Sinb 2Cos
Sin
2
2
2
2
Sin( a b)
Sin( a b )
32/. Tana Tanb
33/. Tana Tanb
CosaCosb
CosaCosb
Sin(a b)
Sin(a b )
34/. Cota Cotb
35/. Cota Cotb
SinaSinb
SinaSinb
E. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc)
1
1
36/. CosaCosb Cosa b Cos (a b) 37/. SinaSinb Cos (a b) Cos ( a b)
2
2
1
38/. SinaCosb Sin( a b ) Sin( a b)
2
6
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
CHUÙ YÙ:
2
x
x
x
x
cos ) 2 ;1 sin x sin cos
2
2
2
2
x
x
1 cos 2 x 2sin 2 x;1 cos 2 x 2 cos 2 x;1 cos x 2 cos 2 ;1 cos x 2sin 2
2
2
sin x cos x 2 sin x 2 cos x ;sin x cos x 2 sin x ; cos x sin x 2 cos x
4
4
4
4
sin x 3 cos x 2 cos x 2sin x ; 3 sin x cos x 2sin x 2 cos x
6
3
6
3
2
1 sin 2 x sin x cos x ;1 sin 2 x (sin x cos x) 2 ;1 sin x (sin
F. CUNG LIEÂN KEÁT :
Góc đối nhau
Góc bù nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
tan( ) tan
cot( ) cot
cot( ) cot
Góc hơn kém
Góc phụ nhau
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
Góc hơn kém
2
sin( ) sin
sin cos
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot tan
2
7
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
G. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
0
6
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2
00
300
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0
–1
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
–1
0
1
tan
0
3
3
1
3
3
1
3
3
cot
NHÔÙ 13 :
0
1
2
2
2
3
–1
3
3
–1
0
0
0
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. CÔ BAÛN :
u v k 2
kZ
u v k 2
Cosu = Cosv
u v k 2
Tanu = Tanv
u v k
Cotu = Cotv
u v k
Sinu = 0
u k
Sinu = 1
u / 2 k 2
Sinu = –1
u / 2 k 2
Cosu = 0
u / 2 k
Cosu = 1
u k 2
Cosu = – 1
u k 2
B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos
Daïng: aSinx + bCosx = c (1)
( a2 + b2 0 ). Phöông phaùp :
a
b
Caùch 1: Chia hai veá cho a 2 b 2 .Ñaët :
Cos
;
Sin .
2
2
2
a b
a b2
Sinu = Sinv
(1) Sin( x )
c
2
a b
2
(*). (*) Coù nghieäm khi :
(*) Voâ nghieäm khi
c
2
2
1
a 2 b2 c2 .
a b
a2 b2 c2
Caùch 2: Kieåm chöùng x = (2k + 1) coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâng?
8
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
2t
1 t2
x
Xeùt x (2k + 1)
.Ñaët : t Tan . Theá Sinx
.
;
Cosx
2
1 t2
1 t 2
Vaøo phöông trình (1) t ? x ?
C. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:
1/. Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc:
Giaû söû a 0
2
aSin x bSinx c 0 ( ñaët t Sinx , t 1 ) aCos 2 x bCosx c 0 (ñaët t Cosx , t 1 )
k )
2
aCot 2 x bCotx c 0 ( ñaët t Cotx , x k )
aTan 2 x bTanx c 0 ( ñaët t Tanx , x
2/. Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx
Daïng:
aSin 2 x bSinxCosx cCos 2 x 0 (1)
aSin 3 x bSin 2 xCosx cSinxCos 2 x dCos 3 x 0 (2)
Phöông phaùp :
Caùch 1:
Kieåm x = / 2 + k coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ?
Chia hai veá cho Cos2x ( daïng 1), chia Cos3x ( daïng 2) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho
veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx.
Caùch 2:
Sin 2x
Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaø SinxCosx
theá vaøo
2
3/. Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx:
Daïng :
a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phöông phaùp: Ñaët : t Sinx Cosx 2 Sin( x ),
t 2
4
t 2 1
(*) at b
c 0 t ( neáu coù)
x
2
Chuù yù: Daïng
a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi töông töï :
Ñaët : t Sinx Cosx 2 Sin( x ),
t 2
4
1 t2
(*) at b
c0
t ? ( neáu coù) x ?
2
D. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT :
1/. Toång bình phöông :
A2 + B2 + ........+ Z2 = 0
A = B = ......= Z = 0
A 0, B 0,......, Z 0
Ta coù : A + B + .... + Z = 0
A = B = .....= Z = 0
2/. Ñoái laäp :
A K
A K
Giaû söû giaûi phöông trình A = B(*). Neáu ta chöùng minh
(*)
B K
B K
A l
3/. B k
A B l k
A l
B k
A 1
A 1
AB 1
hay
B 1
B 1
NHÔÙ 14:
HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAC
4/. A 1, B 1
9
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
1.TAM GIAÙC THÖÔØNG ( caùc ñònh lyù)
a 2 b 2 c 2 2bcCosA
Haøm soá Cosin
b2 c2 a2
CosA
2bc
a
b
c
2R
SinA SinB SinC
Haøm soá Sin
a
a 2 RSinA,
SinA
2R
A B
Tan
2 ab
Haøm soá Tan
A B ab
Tan
2
a
bCosC
cCosB
Caùc chieáu
2
2(b 2 c 2 ) a 2
4
A
2bc.Cos
2
bc
1
1
1
aha bhb chc
2
2
2
1
1
1
bcSinA acSinB abSinC
2
2
2
pr
abc
4R
p ( p a )( p b )( p c)
Trung tuyeán
ma
Phaân giaùc
la
S
S
S
S
S
Dieän tích
Chuù yù:
S
A
B
C
( p a)Tan ( p b)Tan ( p c)Tan
p
2
2
2
abc
a
b
c
R
4S
2 SinA 2 SinB 2 SinC
a, b, c :
caïnh tam giaùc.
A, B, C:
goùc tam giaùc.
ha:
Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a.
ma:
Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A.
R, r :
Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc.
abc
p
Nöõa chu vi tam giaùc.
2
2.HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG:
AH 2 BH .CH
A
AH .BC AB. AC
1
1
1
B
C
2
2
H
AH
AB
AC 2
AB 2 BH .BC
AC 2 CH .CB
BC 2 AB 2 AC 2
r
10
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
NHÔÙ 15:
MOÄT SOÁ BAØI TOÙAN CAÀN NHÔÙ
CHO TAM GIAÙC ABC :
A
B
C
1/. SinA SinB SinC 4Cos Cos Cos
2
2
2
A
B
C
2/. CosA CosB CosC 1 4 Sin Sin Sin
2
2
2
3/. TanA TanB TanC TanA.TanB.TanC
( tam giaùc ABC khoâng vuoâng)
A
B
C
A
B
C
4/. Cot Cot Cot Cot .Cot .Cot
2
2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A
5/. Tan .Tan Tan .Tan Tan .Tan 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6/. Sin A Sin B Sin C 2 2 CosA .CosB .CosC
7/. Cos 2 A Cos 2 B Cos 2 C 1 2CosA.CosB.CosC
A B
C
8/. Sin( A B) SinC ;
Cos ( A B) CosC ;
Sin
Cos ;
2
2
A B
C
A B
C
Cos
Sin
Tan
Cot
2
2
2
2
3 3
A
B
C 3 3
1
9/. SinA.SinB.SinC
10/. CosA.CosB.CosC 11/. Cos .Cos .Cos
8
8
2
2
2
8
A
B
C 1
3
12/. Sin .Sin .Sin
13/. Cos 2 A Cos 2 B Cos 2 C
2
2
2 8
4
4
14/. Sin 2 A Sin 2 B Sin 2 C
15/. Tan 2 A Tan 2 B Tan 2 C 9
9
3
C
A
B
C 9
2 A
2 B
16/. Sin
Sin
Sin 2 1 17/. 2 Cos 2 Cos 2 Cos 2
4
2
2
2
2
2
2 4
A
B
C
A
B
C
18/. Tan 2 Tan 2 Tan 2 1
19/. Cot 2 Cot 2 Cot 2 9
2
2
2
2
2
2
3 3
3
20/. Sin2 A Sin2 B Sin2C
21/. Cos 2 A Cos 2 B Cos 2C
2
2
1.a)ÑÒNH NGHÓA 1:
NHÔÙ 16 :
HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
Haøm soá y f (x) goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x = a neáu :
1/. f (x) xaùc ñònh taïi ñieåm x = a.
2/. lim f ( x) f (a)
xa
b)ÑÒNH NGHÓA 2: f (x) lieân tuïc taïi ñieåm x = a lim f ( x ) lim f ( x) f (a )
x a
x a
2. ÑÒNH LYÙù : Neáu f (x) lieân tuïc treân [a, b] vaø f (a ). f (b) 0 thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c (a, b)
sao cho f (c) 0 .
NHÔÙ 17 :
HAØM SOÁ MUÕ
1/. ÑÒNH NGHÓA : Cho a > 0, a 1 ( coá ñònh). Haøm soá muõ laø haøm soá xaùc ñònh bôûi coâng thöùc :
y = ax
( x R)
2/. TÍNH CHAÁT :
a) Haøm soá muõ lieân tuïc treân R.
b) y = ax > 0 moïi x R
11
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
c) a > 1
: Haøm soá ñoàng bieán :
a x1 a x2 x1 x2
a x1 a x2 x1 x 2
d) 0 < a < 1 : Haøm soá nghòch bieán:
3/. ÑOÀ THÒ :
(a> 1)
y
( 0 < a < 1)
y
1
1
4.COÂNG THÖÙC:
a
a
1)a .a a
; 3)(a ) a ; 4)(ab) a .b ; 5)
b
b
n
m
a ,
a
a
6) n a . n b n a.b ; 7) n n
8) n a n a m ; n.k a m.k n a m 9) n a n ;10) n m a n.m a
b
b
a ,
m
1
11) a 0 1 a n n
12) a n n a m (**)( n a b b n a )
a
5.PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
0 a 1 : a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x)
a
; 2) a
a
.
6.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
a 1 :
a f ( x ) a g ( x)
0 a 1 : a
f ( x)
NHÔÙ 18 :
a
g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
HAØM SOÁ LOGARIT
1/. Ñònh nghóa :
a Với số 0 a 1, b 0 . log a b a b .
b) Haøm soá logarit theo cô soá a ( a > 0, a 1 ) cuûa ñoái soá x laø haøm soá ñöôïc cho bôûi coâng
thöùc: y = logax ( vôùi x > 0, a > 0, a 1)
2/. TÍNH CHAÁT VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN VEÀ logarit :
b
2) log a (b.c) log a b log a c 3) log a log a b log a c ;
c
1
4) log a b . log a b
5) log a b log a b
6) log a b log a b
log a c
1
1
6) log a log a b;log a n b log a b 7) log b c
log a b. log b c log a c ;
b
n
log a b
1) log a 1 0 ; log a a 1
8) log a b
1
log b a
11)
3. GIỚI HẠN:
9) a loga b b ;
10) a logb c c logb a
a 1 : log a b log a c b c 0
0 a 1 : log a b log a c 0 b c
ex 1
1 ;
x 0
x
lim
lim
x0
ln(1 x)
1
x
12
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
4/. ÑOÀ THÒ :
(a> 1)
y
( 0 < a < 1)
y
1
0
1
x
0
x
4/. PHÖÔNG TRÌNH Logarit :
log a f ( x) log a g ( x ) f ( x) g ( x)
( f(x) hoaëc g(x) > 0 , 0 < a 1 )
5/. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH Logarit :
log a f ( x) log a g ( x)
(*)
f ( x) 0
a 1
(*)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
0 a 1
(*)
f ( x) g ( x)
NHÔÙ 19 :
ÑAÏO HAØM
I/. ÑÒNH NGHÓA ÑAÏO HAØM :
Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x0 ( a, b). Ta noùi f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 neáu
y
giôùi haïn
khi x 0 toàn taïi.
x
f ( x 0 x) f ( x0 )
y
f ' ( x0 ) lim
lim
x 0 x
x 0
x
y
Ñaïo haøm beân traùi : f ' ( x0 ) lim
( toàn taïi )
x 0 x
y
Ñaïo haøm beân phaûi : f ' ( x0 ) lim
( toàn taïi )
x 0 x
Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b).y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 (a, b) f ‘(x0+) = f ’(x0–)
II/. QUI TAÉC TÍNH ÑAÏO HAØM :
Giaû söû u = u(x), v = v(x), w = w(x) Laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm, khi ñoù:
1)(u + u - w)' = u' + v' - w';
u
u' v v'u
4) ( )'
v
v2
2) (uv)' = u'v + v'u;
1
v'
5) ( )' 2 .
v
v
3) (k.u)' = k.u' ( k R )
III/. BAÛNG ÑAÏO HAØM CUÛA CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP CÔ BAÛN :
Ñaïo haøm soá sô caáp cô baûn
(C)' = 0
(x)' = x-1( R, x > 0)
1
( x )'
(x > 0)
2 x
Ñaïo haøm haøm soá hôïp (u = u(x))
(u)' = u-1.u'( R, u > 0)
u'
( u )'
(u > 0)
2 u
13
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
1
1
1
u'
( )' 2 (x 0)
( )' 2 (u 0)
x
u
x
u
(sinx)' = cosx
(sinu)' = cosu.u'
(cosx)' = -sinx
(cosu)' = -sinu.u'
1
u'
(tanx)' =
(x k , k Z)
(tanu)' =
(u k , k Z)
2
2
cos x
2
2
cos u
1
u'
(cotx)' = - 2 (x k, k Z).
(cotu)' = - 2 (u k, k Z).
sin x
sin u
Haøm soá sô caáp
Haøm hôïp (u = u(x))
(ex)' = ex
(eu)' = eu.u'
(ax)' = axlna
(au)' = aulna.u'
1
u'
(ln x )'
(ln u )'
x
u
1
u'
(log a x )'
(log a u )'
x ln a
u ln a
MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TÍNH ÑAÏO HAØM CUÛA HAØM SOÁ ÑAËC BIEÄT:
ax b
ad bc
ax 2 bx c
adx 2 2aex be dc
(
)' =
(
)'
cx d
dx e
(cx d ) 2
(dx e) 2
(
ax 2 bx c
(ae bd ) x 2 2(af dc ) x bf ec
)
'
dx 2 ex f
(dx 2 ex f ) 2
NHÔÙ 20 :
ÑÒNH LYÙ LAGRAÊNG
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a, b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm x = c
, c (a, b): f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)
NHÔÙ 21 :
1/. COÂNG THÖÙC NewTon _ Leibnitz :
BAÛNG TÍCH PHAÂN
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F ( a ) (vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân a , b )
a
2/. TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN :
b
b
b
udv [u.v]a vdu
a
vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b]
a
3/. ÑOÅI CÔ SOÁ:
b
a
f ( x)dx f (t ). ' (t )dt
vôùi x = (t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ’(t) lieân tuïc treân [a, b] , t
a = (), b = (), f[(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [, ]
4/. TÍNH CHAÁT :
b
a)
a
b)
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
c)
a
b
c
a
b
b
a
b
b
d) [ f ( x) g ( x)]dx f ( x) dx g ( x) dx
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
f ( x)dx 0
c
a
14
a
a
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
b
e)
b
Kf ( x)dx K f ( x)dx
a
,K R
a
b
f) Neáu m f(x) M thì m(b a ) f ( x)dx M (b a )
a
5.BAÛNG NGUYEÂN HAØM CUÛA CAÙC HAØM SOÁ ÑÔN GIAÛN
u là hàm số theo biến x,
tức là u u ( x)
*Trường hợp đặc biệt u ax b, a 0
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
dx x C
k.dx k .x C , k là hằng
du u C
k.du k .u C
số
x 1
x dx 1 C
1
x dx ln x C
1
1
2 dx C
x
x
1
x dx 2 x C
u 1
u du 1 C
1
u du ln u C
1
1
2 dx C
u
u
1
u du 2 u C
*Nguyên hàm của hàm số mũ:
x
x
u
u
e dx e C
e du e C
e
x dx e x C
x
a dx
ax
C, 0 a 1
ln a
e
au
C
ln a
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
cos x.dx sin x C
cos u.du sin u C
sin x.dx cos x C
1
cos 2 x dx tan x C
1
sin 2 x dx cot x C
e
u du eu C
u
a du
1 (ax b) 1
(ax b) .dx a . 1 C
1
1
(ax b) dx a ln ax b C
sin u.du cos u C
1
cos 2 u du tan u C
1
1
1
du .2 ax b C
a
ax b
axb dx 1 eaxb C
a
mx n dx
a
1 a mxn
.
C, m 0
m ln a
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
1
1
cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C
1
1
sin 2 u du cot u C sin 2 (ax b) dx a cot(ax b) C
CHÚ Ý:
1
1
1 tan 2 x
;1 cot 2 x
2
cos x
sin 2 x
15
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
Ví dụ
*Trường hợp đặc biệt u ax b
1
1
cos kx.dx k sin kx C
cos 2 x.dx 2 sin 2 x C , (k 2)
1
1
sin kx.dx k cos kx C
e
sin 2 x.dx 2 cos 2 x C
kx dx 1 e kx C
e
k
1
.dx 1 . (ax b)
(
ax
b
)
C
a
1
1
1
(ax b) dx a ln ax b C
1
1
ax b du a .2 ax b C
ax b dx 1 eax b C
e
a
mxn
mx ndu 1 . a
a
C, m 0
m ln a
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
1
1
cos 2 (ax b) dx a tan(ax b) C
1
1
sin 2 (ax b) dx a cot(ax b) C
2 x dx 1 e 2 x C
2
1 (2 x 1)21
1
2
(2
x
1)
.
dx
.
C .(2 x 1)3 C
2
1
2 1
6
1
3x 1 dx 3 ln 3x 1 C
1
1
2
du .2 3x 5 C
3x 5 C
3
3
3x 5
1
e2 x1dx e 2 x 1 C
2
2 x1
2 x1 dx 1 . 5
5
C
2 ln 5
1
cos(2 x 1)dx 2 sin(2 x 1) C
1
sin(3x 1)dx 3 cos(3x 1) C
1
1
cos2 (2 x 1) dx 2 tan(2 x 1) C
1
1
sin 2 (3x 1) dx 3 cot(3x 1) C
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương
pháp đổi biến số đặt u ax b du .?.dx dx .?.du
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C, a 0
Ví dụ: Chứng minh
Giải: Đặt u ax b du (ax b) ' dx a.dx dx
1
a
Suy ra cos(ax b)dx cos u. .du
x
2
1
.du
a
1
1
1
cos u.du .sin u C sin(ax b) C
a
a
a
1
1
xa
dx
ln
2
a
2a x a
1/. HOAÙN VÒ :
NHÔÙ 22 :
HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP
Pn n!
2/. TOÅ HÔÏP :
Cnk
n!
k !(n k )!
16
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
C nK C nn K
C nn C n0 1
C nK1 C nK11 C nK
C n0 C n1 ...... C nn 2 n
n!
AnK
(0 K n )
3/. CHÆNH HÔÏP :
(n K )!
NHÔÙ 23 :
SOÁ PHÖÙC
1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC:
Tập hợp số phức:
C
Số phức (dạng đại số) : z a bi
(a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
z là số thực
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
a a '
a bi a’ b’i
(a, b, a ', b ' R)
b b '
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
u (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)
Hai số phức bằng nhau:
3. CỘNG TRỪ SỐ PHỨC:
a bi a’ b’i a a’ b b’ i
a bi a’ b’i a a’ b b’ i
Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u u ' biểu diễn z + z’ và u u ' biểu diễn z – z’.
4. NHÂN HAI SỐ PHỨC :
a bi a ' b ' i aa’– bb’ ab’ ba’ i
k (a bi ) ka kbi (k R)
5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP: của số phức z = a + bi là z a bi
z z
z z ' z z ' ; z.z ' z.z '; 1 1 ;
z2 z2
z là số thực z z ; z là số ảo z z
z z;
z.z a 2 b2
6. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC : z = a + bi
z
a 2 b2 zz OM
z 0, z C ,
z 0z0
z.z ' z . z '
z
z
z' z'
z z' z z' z z'
7. CHIA HAI SỐ PHỨC:
1
z1
z (z 0)
z
2
z'
z '.z z '.z
z ' z1
2
z
z.z
z
z'
w z ' wz
z
8. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC:
2
2
z x yi Là căn bậc hai của số phức w a bi z2 w x y a
2 xy b
17
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
w = 0 Có đúng 1 căn bậc hai là z = 0.
w 0 Có đúng hai căn bậc hai đối nhau.
Hai căn bậc hai của a > 0 là a
Hai căn bậc hai của a < 0 là a .i
9. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ).
B2 4 AC
B
, ( là 1 căn bậc hai của )
2A
B
0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1 z2
2A
Chú ý: Nếu z0 C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*).
0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2
10. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
z r (cos i sin ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z 0)
r a 2 b 2
a
cos
r
b
sin
r
là một acgumen của z, (Ox, OM )
z 1 z cos i sin ( R )
11. NHÂN CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC:
Cho z r (cos i sin ) , z ' r '(cos ' i sin ') :
z.z ' rr '. cos( ') i sin( ')
z r
cos( ') i sin( ')
z' r '
12. CÔNG THỨC Moa–vrơ:
n
n
( n N*)
r(cos i sin ) r (cos n i sin n) ,
n
cos i sin cos n i sin n
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z r (cos
i sin ) (r > 0) có hai căn bậc hai là:
r cos i sin
2
2
vaø r cos i sin r cos i sin
2
2
2
2
Mở rộng: Số phức z r (cos
i sin ) (r > 0) có n căn bậc n là:
k 2
k 2
n
r cos
i sin
, k 0,1,..., n 1
n
n
NHÔÙ 24 :
PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG
A. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :
y
M2
M(x;y)
y
j
O
M1
O
x
18
i
x
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
Nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của
vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như
vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y)
M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y)
a. Tọa độ điểm:
Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ):
x A xB
x
2
3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :
y y A yB
2
1). AB ( x B x A , y B y A )
x x x y yB yC
2). AB ( x B x A , y B y A ) 2 5) Tọa độ trọng tâm G: A B C ; A
3
3
x A k .x B
x 1 k
4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k 1 :
y y A k. y B
1 k
5)Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E BC) ta có:
AB
DB
.DC
AC
b. Tọa độ véctơ: Cho : a (a1 , a 2 )
a b1
1). a b 1
a 2 b2
AB
EB
.EC .
AC
b (b1 , b2 ) :
2). a b (a1 b1 , a 2 b2 )
3) k . a ( ka1 , ka2 ), ( k R )
4). a b a1b1 a 2 b2 6) a b a1b1 a 2 b2 0
a.b
a1b1 a2b2
7). Cos a , b
2
a b
a1 a2 2 . b12 b22
2
5). a a1 a 2
2
8) a b a1b2 a2b1
NHỚ 25: ÑÖÔØNG THAÚNG
x x0 a1t
1/. PHÖÔNG TRÌNH THAM SOÁ:
Vectô chæ phöông: a (a1 , a 2 )
y y0 a2t
VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG:Là véc tơ song song hoặc nằm trên đường thẳng.
2/. PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT :
Daïng 1:
Ax By C 0, ( A2 B 2 0) .Phaùp vectô n ( A, B)
Dạng 2: A( x x0 ) B( y y0 ) 0 .Khi biết đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 )
VÉC TƠ PHÁP TUYẾN:Là véc tơ có phương vuông góc với đường thẳng.
CHUÙ YÙ:
Coù VTPT: n ( A; B ) VTCP: a ( B, A) ( hay a ( B, A) ),Vaø ngöôïc laïi.
A
Heä soá goùc: k
( B 0)
B
19
Thầy.Nguyễn Quang Sơn
ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc k : y k ( x x0 ) y0
5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) :
x xA
y yA
(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)
hay
xB xA yB y A
6/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén):
x x0 y y0
a
b
M ( x0 , y 0 ), a (a, b)
x x0 y y 0
x x0 y y 0
x x0 0
y y0 0
0
b
a
0
7/. Phöông trình chính taéc :
* Quy öôùc :
x y
1
a b
8/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán (d):Ax + By + C = 0 : d M ,( d )
Ax0 By0 C
A2 B 2
10/. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
A1 B1
C1 B1
A1 C1
; Dx
;
D
Dy
A2 B 2
C 2 B2
A2 C 2
D 0
D 0
d1 caét d2 D 0 ; d 1 d 2 D D x D y 0 ; d 1 // d 2
hay
Dx 0
D y 0
Chuù yù :A2, B2, C2 0
A
B
A
B
C
A
B
C
d1 caét d2 1 1 ; d 1 // d 2 1 1 1 ; d 1 d 2 1 1 1
A2 B2
A2 B2 C 2
A2 B2 C 2
11/. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 :
Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : Cos
A1 A2 B1 B2
A12 B12
A22 B22
Cho ABC. Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức:
AB. AC
cos A cos AB, AC
AB . AC
12/. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 :
A1 x B1 y C1
A x B2 y C 2
2
2
2
A1 B1
A22 B22
*
Chuù yù :
Daáu cuûa: n1 n 2
–
+
Phöông trình ñöôøng phaân
giaùc goùc nhoïn taïo bôûi d 1, d2
t1 = t2
t1 = – t2
20
Phöông trình ñöôøng phaân
giaùc goùc tuø taïo bôûi d1, d2
t1 = – t2
t1 = t2
- Xem thêm -
.PDF 
43 
328 
94 
