Đặng Minh Thế
x A x B xC
xG
3
6. Troïng taâm G :
y A y B yC
yG
3
0
7. Tröïc taâm H: Giaûi heä: AH.BC
BH.AC 0
EB
AB
8. E chaân phaân giaùc trong:
, F chaân
AC
EC
FB AB
p.giaùc ngoaøi:
FC AC
HÌNH HỌC 10
I. Ñònh lyù:
a (a1 , a2 )
Cho A( x A , yA ), B ( x B , yB ) ,
2.
AB (x B x A , y B y A ) ; (ngoïn – goác).
AB AB (x B x A )2 (y B y A )2 .
3.
a a12 a2 2
1.
II. Tính chaát Vectô:
Cho a (a1 ,a2 ) , b (b1 , b2 )
A
4. a b a1 b1
a2 b 2
5. ka (ka1 , ka2 )
6. a b (a1 b1; a2 b 2 )
7. ma nb (ma1 nb1; ma2 nb 2 )
8. a.b a1b1 a2 b 2
a
k.b
9. a cuøng phöông b
a1b2 a2 b1 0
10. a b a.b 0 a1b1 a2 b 2 0
a1b1 a2 b2
a.b
11. cos(a; b)
a b
a12 a2 2 b12 b2 2
12. AB (a1 ,a2 ) , AC (b1 , b 2 )
1
SABC a1b2 a2 b1
2
F
3.
4.
5.
E
C
9. Taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC
2
2
Giaûi heä: IA 2 IB2
IA IC
ÑÖÔØNG THAÚNG
I. Phöông trình ñöôøng thaúng:
qua M(x 0 ; y 0 )
1. Phöông trình toång quaùt :
pvt : n = (A; B)
: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0
: Ax + By + C = 0
qua M(x 0 ;y 0 )
vtcp : a = (a1;a2 )
2. Phöông trình tham soá :
Các dạng toán thường gặp
1. A, B, C thaúng haøng AB cuøng phöôngAC.
2.
B
x = x 0 + a1t
(t R)
y = y 0 + a2 t
:
A, B, C laäp thaønh tam giaùc
AB khoâng cuøng phöông AC.
A,B,C,D laø hình bình haønh AD BC.
qua M(x 0 ;y 0 )
vtcp : a = (a1;a2 )
3. Phöông trình chính taéc :
x xB yA yB
M trung ñieåm AB: M A
;
2
2
:
M chia AB theo tæ soá k1:
x kx B y A ky B
M A
;
1 k
1 k
x - x0 y - y0
=
a1
a2
II. Vi trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng:
Cho (D1 ) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø
(D2 ) : A 2 x + B2 y + C2 = 0
1. (D1 ) (D 2 )
Trang 1
A1 B1
A 2 B2
Đặng Minh Thế
2. (Δ1 ) // (Δ 2 )
3. (Δ1 ) (Δ 2 )
A1 B1 C1
A2 B2 C2
ÑÖÔØNG TROØN
I. Phöông trình ñöôøng troøn:
A1 B1 C1
A2 B2 C2
taâm I(a; b)
1. P.trình chính taéc ñ.troøn (C): baùn kính R
III. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng:
cos
(C): ( x a ) 2 ( y b)2 R 2
A1 A2 B1 B2
2. P. trình toång quaùt ñường.troøn (C):
A12 B12 A22 B22
taâm I(a; b)
2
2
baùn kính R = a2 + b2 - c (ÑK: a b c 0 )
IV. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät
ñöôøng thaúng:
(C): x 2 y 2 2ax 2by c 0
Cho (Δ) : Ax By C 0 vaø M ( x0 ; y0 )
d(M, )
II. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn:
Ax0 By0 C
1. Phöông trình tieáp tuyeán TAÏI M ( x0 ; y0 ) :
A2 B 2
qua M ( x0 ; y0 )
:
pvt : IM ( x0 a; y0 b )
Chuù yù:
° Truïc Ox coù pttq : y 0
: ( x0 a )( x x0 ) ( y0 b)( y y0 ) 0
° Truïc Oy coù pttq : x 0
° Ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi Oy :
ax c 0 b 0
2. Ñieàu kieän tieáp xuùc: d ( I , ) R
° Ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi Ox :
by c 0 a 0
I. Ñònh nghóa:
ELÍP
Cho F1 ,F2 coá ñònh vaø F1F2 = 2c (c > 0)
° Ñöôøng thaúng ñi qua goác toïa ñoä : ax by 0
c 0
M ( E ) MF1 MF2 2a (a c 0)
II. Phöông trình chính taéc:
° Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A a; 0 vaø Oy taïi
x 2 y2
1 (a b 0)
a2 b2
B 0; b
a, b 0 :
x y
1
a b
III. Hình daïng Elíp:
y
° Ñöôøng thaúng qua ñieåm M x0 ; y0 vaø coù heä
b B2
soá goùc k laø : y y0 k x x0
A1 c
a F1
° Ñöôøng thaúng d qua ñieåm M x0 ; y0 vaø
song song vôùi ñöôøng thaúng : ax by c 0
coù pttq laø :
a x x0 b y y 0 0
O
c
F2
A2
a x
b B1
IV. Caùc vaán ñeà ñaëc bieät:
° Ñöôøng thaúng d qua ñieåm M x0 ; y0 vaø
1. Tieâu ñieåm : F1 (c; o), F2 (c; o) .
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng : ax by c 0
coù pttq laø :
2. Tieâu cöï : F1 F2 2c .
b x x0 a y y0 0
3. Ñænh truïc lôùn: A1 (a ;0), A2 (a ;0) .
° Cho (Δ) : Ax By C 0
4. Ñænh truïc beù : B1 (0; b), B2 (0; b) .
1. ( d ) // (Δ) ( d ) : Ax By m 0
5. Ñoä daøi truïc lôùn: A1 A2 2a .
2. ( d ) (Δ) ( d ) : Bx Ay m 0
6. Ñoä daøi truïc beù : B1 B2 2b .
Trang 2
Đặng Minh Thế
7. Taâm sai : e
c
1.
a
8. Baùn kính qua tieâu ñieåm :
MF1 a exM
MF a ex
M
2
9. Phöông trình caïnh hình chöõ nhaät cô sôû:
x a
y b .
10. Phöông trình ñöôøng chuaån x
a2
c
V. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa Elíp:
1. Phöông trình tieáp tuyeán TAÏI M ( x0 ; y0 ) :
x . x 0 y. y 0
2 1
a2
b
2. Ñieàu kieän tieáp xuùc:
x 2 y2
1 (a b 0) vaø
a2 b2
(Δ) : Ax By C 0
Cho:
(Δ) tieáp xuùc (E) A2 a 2 B 2b 2 C 2
* Chuù yù: Cho (Δ) : Ax By C 0
(d ) // (Δ) : Ax By C 0 (d ) : Ax By m 0
(d ) (Δ) : Ax By C 0 (d ) : Bx Ay m 0
Trang 3
Đặng Minh Thế
0
° Pt coù 2 nghieäm phaân bieät cuøng aâm P 0
S 0
ĐẠI SỐ 10
a 0
x , ax 2 bx c 0
0
a 0
x , ax 2 bx c 0
0
Caùc coâng thöùc cô baûn :
A B
A = B
A B
a 0
x , ax2 bx c 0
0
a 0
x , ax2 bx c 0
0
B 0
A = B A B
A B
A B (A – B) (A + B) < 0
Chuù yù: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a 0)
f x 0 voâ nghieäm f x 0, x
A 0
A B
A B
B 0
A B
A B
A 0
A B B 0
A B2
f x 0 voâ nghieäm f x 0, x
f x 0 voâ nghieäm f x 0, x
f x 0 voâ nghieäm f x 0, x
2
Cho phöông trình : ax + bx + c = 0
a 0
° Pt coù 2 nghieäm phaân bieät
0
a 0
° Pt coù nghieäm keùp
0
A B
A 0
A B
A B
A B
° Pt coù 2 nghieäm traùi daáu P 0
0
° Pt coù 2 nghieäm cuøng daáu
P 0
A 0( B 0)
A = B
A B
° Pt coù 2 nghieäm phaân bieät cuøng döông
B 0
A =B
2
A B
B 0
A 0
A >B
B 0
A B 2
0
P 0
S 0
4
Đặng Minh Thế
ĐẠI SỐ 11
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
LƯỢNG GIÁC
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
A.Caùc Haèng Ñaúng Thöùc Löôïng Giaùc Cô Baûn:
tan(a – b) =
tan a tan b
1 tan a.tan b
tan(a + b) =
tan a tan b
1 tan a.tan b
sin2 cos2 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan2 k,k Z
2
2
cos
1
1 cot 2 k,k Z
sin 2
B. Giaù Trò Caùc Cung Goùc Lieân Quan Ñaëc Bieät:
cot cot
3. Cung – Goùc phuï nhau:
cos = sin
2
= cot ;
2
cot = tan
2
tan
cot 2a
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
tan3a =
3tan a tan3 a
1 3tan2 a
cot3a
cot 3 a 3cot a
3cot 2 a 1
4. Cung– Goùc hôn keùm : vaø
sin sin
cot 2 a 1
2 cot a
3. Coâng thöùc nhaân ba:
vaø
2
sin = cos ;
2
2 tan a
1 tan 2 a
tan2a =
2. Cung – Goùc buø nhau: vaø
tan tan ;
cota.cotb 1
cotb cota
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1
= 1 – 2 sin2a
tan tan ; cot cot
cos cos
cot(a + b) =
sin2a = 2sina.cosa
sin sin
sin sin ;
cota.cotb 1
cotb cota
2. Coâng thöùc nhaân ñoâi:
1. Cung – Goùc ñoái nhau: vaø :
cos cos ;
cot(a – b) =
4. Coâng thöùc haï baäc:
; tan tan
cos cos
; cot cot
cos2a =
1 cos 2a
2
5. Cung – Goùc hôn keùm
: vaø
2 2
sin2a =
1 cos 2a
2
2
tan a
1 cos2a
1 cos2a
cos ;
2
sin
sin
2
sina.cosa
cos
cot ; cot tan
2
2
tan
C. Coâng thöùc löôïng giaùc
1. COÂNG THÖÙC COÄNG
1
sin 2a
2
3
sin a
s in3a 3sin a
4
3
cos a
cos3a 3cos a
4
5. Coâng thöùc tính sinx, cosx,tanx theo t = tan
Vôùi moïi cung coù soá ño a, b ta coù:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
(Giả sửû: x k 2 , ñaët t = tan
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
5
x
)
2
x
2
Đặng Minh Thế
2
sinx =
tanx =
x k2
cos x cos
,k
x k2
2t
1 t
, cosx =
2
1 t2
1 t
2t
1 t2
(x
2
tan x tan x k, k
k , k Z )
cot x cot x k, k
6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích
* TH đặc biệt:
ab
ab
cos a cos b 2 cos
cos
2
2
sin x 1 x
ab ab
sin
2 2
cos a cos b 2 sin
sin x 1 x
sin x 0 x k
ab ab
sin
2 2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
sin a sin b 2 cos
cos x 0 x
sin(a b)
tan a tan b
(a,b k , k Z)
cos a.cosb
2
vôùi cos
2
cot x 1 x
A B
; sin
A B
k .
2
10. Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác
B
2
k
4
cot x 0 cos x 0 x
A2 B 2 .cos( x )
2
k
4
tan x 0 sin x 0 x k
A sin x B cos x A2 B 2 .sin( x )
A
k
2
tan x 1 x
sin(a b)
(a,b k, k Z)
cot a cot b
sin a.sinb
sin(a b)
cot a cot b
(a,b k , k Z )
sin a.sin b
k2
2
ab
ab
cos
2
2
sin a sin b 2 sin
k2
2
a sin 2 x b sin x c 0 (a 0) .
2
Đặt t sin x (t (1,1)) at 2 bt c 0
7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång
Rồi từ PT cơ bản sin x t x
1
cos( a b ) cos( a b )
2
1
sin a.sin b cos( a b ) cos( a b )
2
1
sin a.cos b sin( a b ) sin( a b )
2
cos a.cos b
Tương tự cho các phương trình:
a cos 2 x b cos x c 0
a tan 2 x b tan x c 0
a cot 2 x b cot x c 0
11. Phương trình bậc nhất: a sin x b cos x c .
a 2 b 2 được:
Chia hai vế PT cho
8. Các hằng đẳng thức khác :
sin 4 x cos4 x 1 2sin 2 x.cos2 x
a
sin 6 x cos6 x 1 3sin 2 x.cos 2 x
a b
2
2
sin x
b
a b
2
2
cos x
c
a b2
2
sin x cos cos x sin t sin( x ) t
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
là phương trình cơ bản
12. Phương trình thuần nhất:
a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d
TH1: cos x 0 sin 2 x 1 pt có dạng a d
cos x sin x 2 sin x 2 cos x
4
4
Khi a d (đúng) x
9. Phương trình lượng giác cơ bản :
k là nghiệm
2
Khi a d (sai) thì cos x 0 không thỏa
x k2
sin x sin
, k
x k2
TH2: cos x 0 . Chia 2 vế cho cos 2 x ta được:
6
Đặng Minh Thế
a tan x b tan x c d (1 tan x ) ... tan x t
x ...
2
2
2. Quy tắc cộng
Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án:
Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một
trong k phương án, mỗi phương án có thể được thực
hiện bởi ni cách (i = 1,…, k ). Khi đó công việc có
thể thực hiện bởi n1 + n2 + …+ nk cách
* COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM:
1. (kx)' k
(ku)' k.u' .
2. (x )' .x 1
(u )' .u '.u
( u)'
3. ( x ) '
1
2 x
'
1
.
.
2 u
6. (cos x)' sin x
1
sin2 x
3. Quy tắc nhaâân:
Quy tắc nhân cho công việc có nhiều công
đoạn:
Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn, mỗi
công đoạn có thể được thực hiện theo ni cách (i =
1,…,k
).
Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1n2…nk
cách
u'
(tan u)'
cos2 u
u'
.
sin2 u
(cot u)'
1
x
(e u )' u'.e u .
u'
(ln u)'
u
1
11. (loga x)’ =
x ln a
u'
(loga u)’ =
u ln a
12. (ax )' ax .ln a
AB A B AB
(cos u)' u'.sin u
9. (e x )' e x
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì số
phần tử của A B là
(sin u)' u'.cos u .
1
7. (tan x)'
cos2 x
(ln x)'
A B A B
u'
1
2 .
u
u
5. (sin x)' cos x
10.
Chú ý: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không
giao nhau thì số phần tử của A B là
'
1
1
4. 2
x
x
8. (cot x)'
u'
4. Giai thừa: Với n, p ℕ
n! = 1.2.3…(n-1).n
Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n
(au )' u '.au .ln a
n!
= (p+1).(p+2)…n
p!
* TIẾP TUYẾN CỦA (C): y f ( x ) .
Gọi M ( x 0 , y0 ) (C )
(với n>p)
n!
= (n–p+1).(n–p+2)…n
(n p)!
a) PT tiếp tuyến tại M: y f '( x 0 )( x x 0 ) y0
b) PTTT có hệ số góc k: Giải phương trình
f '( x 0 ) k x 0 , y0 ? PTTT
(với n>p)
Tiếp tuyến (t)//(d) kt kd
5. Hoán vị: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử
khác nhau theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán
vị
của n phần tử đó. Kí hiệu Pn .Ta có công thức tính
như sau: Pn = n.(n- 1). . . .2.1= n! (n N*).
Tiếp tuyến (t ) (d ) kt .kd 1
Chú ý: Hoán vị vòng quanh:
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần
tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một
hoán vị vòng quanh của n phần tử.
y f '( x 0 )( x x 0 ) y0
1. Số phần tử của tập hợp
Số phần tử của tập hợp A = { a, b, c, d} là
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là:
Qn = (n – 1)!
n(A) = A = 4
A B = { a, b, c, d, g, h, k }
6. Chỉnh hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần
tử, một tập con của A gồm k (1 k n) phần tử
khác nhau và được sắp xếp theo một thứ tự nào đó
gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử,
kí hiệu Ank , được tính theo công thức:
là n( A B ) A B 7
Ank n( n 1).( n 2).......( n k 1)
B = { a, c, g, h, k} là n(B) = B = 5
A B = {a, c} là n( A B ) A B 2
A\ B = { b, d } là n(A\B)= |A\B|
7
(1)
Đặng Minh Thế
Ank
n!
,
n k !
Liên hệ giữa
Ann Pn n !
(1 k n)
chỉnh
hợp
và
tổ
(2)
CẤP SỐ CỘNG
hợp:
(3)
1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn
hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với
một số không đổi d.
7. Tổ hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần
tử, một tập con của A gồm k (0 k n) phần tử
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
n!
C nk , được tính theo công thức: Cnk
k ! n k !
* Số d được gọi là công sai của cấp số cộng .
Ta có các tính chất sau:
2. Số hạng tổng quát:
Cnk Cnn k
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
U U k 1
với k 2
U k k 1
2
U n U 1 n 1 d
d U n 1 U n
Cnk Cnk11 Cnk1 (0 k n)
Cn0 Cnn 1 , Cn1 Cnn 1 n .
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
n
n
Sn U1 U n hay S n 2U 1 n 1d
2
2
* Công thức liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ
hợp
Ank k !Cnk
CẤP SỐ NHÂN
8. Công thức Newton:
( a b) n Cn0 a n Cn1 a n 1b ..... Cnk a n k b k .... Cnn b n
Tính chất:
+ Trong khai triển của (a+b)n có n+1 số hạng.
* Số q được gọi là công bội
+ Số mũ của a giảm dần từ n đến 0.
+ Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n .
U n 1 U n .q
Ta có :
+ Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn
bằng n
k
n
1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn
hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với
một số không đổi q.
với n N *
2. Số hạng tổng quát :
U n U 1 .q n 1
nk
n
+ Các hệ số có tính đối xứng C C
(Hệ số
các số hạng cách đều hai biên thì bằng nhau)
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
U k2 U k 1.U k 1 hay U k U k 1 .U k 1
+ Số hạng tổng quát của sự khai triển, kí hiệu
là
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp
số nhân có công bội q khác 1.
Tk + 1, có dạng
Ta có :
Tk 1 Cnk an k bk , k = 0, …, n
(chỉ số k + 1 là số thứ tự tính từ trái qua phải của
số hạng tương ứng trong sự khai triển).
S n U1 U 2 ... U n U1
+ Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)n là :
Cn0 Cn1 Cn2 ........ Cnn 2 n
8
q
n
1
q 1
Đặng Minh Thế
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A ta có :
a)
Định lý Pitago : BC 2 AB 2 AC 2
2
2
b) BA BH .BC ; CA CH .CB
c) AB. AC = BC. AH
d)
e)
f)
A
1
1
1
2
2
AH
AB
AC 2
b
c
AH 2 HB.HC
BC = 2AM
b
c
b
c
g) sin B , cosB , tan B , cot B
a
a
c
b
h) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =
M
H
B
C
a
b
b
, b = c. tanB = c.cot C
sin B cos C
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
* Định lý hàm số Côsin:
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
* Định lý hàm số Sin:
A
MN // BC
3. Định lý Talet
N
M
a)
AM AN MN
;
AB AC BC
b)
AM AN
MB NC
B
C
3. Diện tích trong hình phẳng
1. Tam giác thường:
a) S =
1
ah
2
p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông)
b) S =
c) S = pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:
a) Đường cao: h =
a 3
;
2
b) S =
a2 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:
a) S =
1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông)
a) S =
1 2
a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2
b) Cạnh huyền bằng a 2
9
Đặng Minh Thế
5. Nửa tam giác đều:
A
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
a 3
c) AC =
2
b) BC = 2AB
6. Tam giác cân: a) S =
a2 3
d) S =
8
B
60 o
30 o
C
1
ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Diện tích hình thang: S
S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình chữ nhật:
9. Hình thoi:
1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
1
S d1d 2 ( d1 , d2 là 2 đường chéo)
2
10. Hình vuông:
a) S a 2 b) Đường chéo bằng a 2
11. Hình bình hành:
S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
12. Đường tròn: a) C 2 R ; R: bán kính đường tròn)
b) S R 2 (R: bán kính đường tròn)
A
4. Các đường trong tam giác
1. Đường trung tuyến: G là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
B
2
1
b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN
3
3
N
M
G
P
C
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
10
Đặng Minh Thế
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
A. QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
a
Đường thẳng và mặt phẳng
gọi là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào
chung.
a / / (P) a (P)
(P)
II. Các định lý:
d
ĐL1: Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và
song song với đường thẳng a
nằm trên mp(P) thì đường
thẳng d song song với mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a
song song với mp(P) thì mọi
mp(Q) chứa a mà cắt mp(P)
thì cắt theo giao tuyến song
song với a.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến
của chúng song song với
đường thẳng đó.
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)
a/ /(P)
d / /a
a (Q)
(P) (Q) d
a
(P)
(Q)
a
d
(P)
(P) (Q) d
d / /a
(P)/ /a
(Q)/ /a
11
d
a
Q
P
Đặng Minh Thế
§2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)
P
Q
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song
với nhau.
a,b (P)
(P)/ /(Q)
a b I
a / /(Q),b / /(Q)
ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với
mặt phẳng kia.
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
P
a
b I
Q
a
P
Q
R
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao tuyến của
chúng song song.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / / b
(R) (Q) b
a
P
b
Q
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
a
Một đường thẳng được gọi là
vuông góc với một mặt phẳng
nếu nó vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trên mặt
a mp(P) a c, c (P)
P
12
c
Đặng Minh Thế
phẳng đó.
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường thẳng
cắt nhau a và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng d vuông
góc với mp(P).
ĐL2: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không
vuông góc với mp(P) và đường
thẳng b nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b vuông
góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).
d
d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau
b
a
P
a
a mp(P), b mp(P)
b a b a'
a'
P
b
§2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với
nhau.
ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm
trong (P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều vuông
góc với mặt phẳng (Q).
Q
a
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)
P
P
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d
a
d
13
Q
Đặng Minh Thế
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.
( P ) (Q )
A (P )
a (P )
A
a
a (Q )
a
A
Q
P
(P) (Q) a
a (R)
(P) (R)
(Q) (R)
R
§3. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
O
O
a
H
P
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song:
a
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
O
H
P
d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song:
O
P
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Q
d((P);(Q)) = OH
14
H
H
Q
a
Đặng Minh Thế
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:
a
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
A
b
B
d(a;b) = AB
§4. GÓC
a
a'
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
b'
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng
phương với a và b.
b
2. Góc giữa đường thẳng a không
vuông góc với mặt phẳng (P)
a
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
trên mp(P).
a'
P
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng a và mp(P) là 900.
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b
a
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với
giao tuyến tại 1 điểm
b
Q
P
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’
là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì
a
Q
P
S
S' Scos
A
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng
(P),(P’).
C
B
15
- Xem thêm -