Tài liệu Chuyên đề tích phân và ứng dụng tài liệu lý thuyết và bài tập

cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Thư viện tài liệu trực tuyến Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn cbook.vn 1 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề Tích phân và ứng dụng” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Cung cấp bởi cbook.vn Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả Liên hệ bộ môn: [email protected] 2 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................... 2 MỤC LỤC................................................................................................................................ 3 KIẾN THỨC BỔ TRỢ ........................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ....................................................... 10 I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. ...................................................................................... 10 I.2 TÍCH PHÂN. .................................................................................................................. 13 VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .................................. 14 VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ ............................... 17 Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) ..................................................................... 18 Một số trường hợp thường gặp ............................................................................................ 18 Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) ..................................................................... 24 Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến ................................................................. 33 VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ................................................ 36 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN .......................................................................................... 36 VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ .............................................................................. 49 VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ............................................................ 49 VẤN ĐỀ 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ......................................................................... 50 PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ ............................................................... 50 VẤN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ ........................................................... 52 VẤN ĐỀ 7: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ .............................................................. 73 VẤN ĐỀ 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT ........................................................... 111 VẤN ĐỀ 10: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX....................... 116 VẤN ĐỀ 11: ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ....................................................................... 117 VẤN ĐỀ 12: TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ......................... 120 VẤN ĐỀ 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN .............................................................. 123 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN .............................................................. 126 Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn VẤN ĐỀ 8: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC ...................................................... 92 3 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 CƠ SỞ LÝ THUYẾT. ....................................................................................................... 126 BÀI TẬP VẬN DỤNG. .................................................................................................... 127 BÀI TẬP TỰ LUYỆN....................................................................................................... 129 BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: .................................................................... 132 TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ........................... 134 Cung cấp bởi cbook.vn KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 214 Liên hệ bộ môn: [email protected] 4 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số… A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau sin      sin  cos     cos  tan      tan  cot      cot  2. Cung bù nhau sin       sin  cos        cos  tan        tan  cot        cot  3. Cung phụ nhau   sin      cos  2    tan      cot  2   2   sin      cos  2    tan       cot  2  5. Cung hơn kém    cos       sin  2    cot       tan  2  sin        sin  cos        cos  tan       tan  cot       cot  Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn 4. Cung hơn kém   cos      sin  2    cot      tan  2  5 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 II. Công thức lượng giác 1. Các hệ thức cơ bản tan .cot   1 cos  cot   sin  sin2   cos2   1 sin  tan   cos  1 1  tan 2   cos2  1  cot 2   2. Công thức cộng 1 sin 2  cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b tan  a  b   tan a  tan b 1  tan a tan b tan  a  b   tan a  tan b 1  tan a tan b 3. Công thức nhân đôi cos2  cos2   sin2   2cos2  1  1  2sin2   cos4   sin4  sin 2  2sin  cos  2tan  tan 2  1  tan 2  4. Công thức nhân ba 3sin   sin3 4 3cos   cos3 cos3  4cos3   3cos   cos3   4 sin3  3sin   4sin3  sin3   5. Công thức hạ bậc 1  cos2 2 1  cos2 cos2   2 1  cos2 tan 2   1  cos2 6. Công thức tính sin ,cos ,tan  theo t  tan Liên hệ bộ môn: [email protected]  2 Cung cấp bởi cbook.vn sin 2   6 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 2t sin   1 t2 2t cos   1 t2 2t tan   1 t2 7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a cos b  cos  a  b   cos  a  b  2 1 sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b  2 1 sin a cos b  sin  a  b   sin  a  b  2 8. Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos 2 2 a b a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 2 a b a b sin a  sin b  2cos sin 2 2 sin  a  b  tan a  tan b  cos a cos b sin  a  b  tan a  tan b  cos a cos b cos a  cos b  2cos 9. Các công thức thường dùng khác 1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp Cung cấp bởi cbook.vn     sin   cos   2 sin      2 cos     4 4       sin   cos   2 sin       2 cos     4 4   Liên hệ bộ môn: [email protected] 7 B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 ' ' ' Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có: yx  yu .ux 2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây u  u  x  ; v  v  x  ) u  v  '  u ' v ' u  v  '  u ' v ' u.v  '  u '.v  u.v '  u  u ' v  uv ' v  v2   ' 3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây u  u  x  ) c '  0 ( c là hằng số)  k.u '  k.u '  x '  1  x   .x     ' 1 ' 1 1   ,  x  0  x x2   ' 1 x  ,  x  0 2 x   u   .u  ' 1 .u ' ' u' 1   , u  0 u u2   ' u' u  ,  u  0 2 u   4. Đạo hàm của hàm lượng giác sin x  '  cos x  cos x  '   sin x sin u  '  u '.cos u  cos u  '  u '.sin u 1 cos2 x 1  cot x  '   2 sin x  tan u  '  u' cos2 u u'  cot u  '   2 sin u 5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít  a  '  a .ln a e  '  e x x x x Liên hệ bộ môn: [email protected]  a  '  a .u '.ln a e  '  u '.e u u u u Cung cấp bởi cbook.vn  tan x  '  8 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 1 u' ' '  log a x    log a u   x.ln a u.ln a 1 u'  ln x  '   ln u  '  x u C. VI PHÂN   Nhớ lại: y  f  x   dy  d f  x   f '  x  dx Vậy có: 1  x 1 dx x2 • d  ax  b   a.dx • d  • d  sin x   cos xdx • d  cos x    sin xdx 1 dx sin 2 x   • d ex  exdx  x   2dxx 1 dx cos 2 x dx • d  ln x   x • d  tan x   Cung cấp bởi cbook.vn • d  cot x    •d Liên hệ bộ môn: [email protected] 9 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. I.1 NGUYÊN HÀM. 1). Định nghĩa : F  x  gọi là nguyên hàm của hàm số Hàm số f  x  trên  a, b  nếu F  x   f  x  , x   a, b  . Ghi nhớ : Nếu F  x  là nguyên hàm của f  x  thì mọi hàm số có dạng F  x   C ( C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f  x  và chỉ những hàm số có dạng F  x   C mới là nguyên hàm của f  x  . Ta gọi F  x   C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f  x  và ký hiệu là f  x  dx .  Như vậy:  f  x  dx  F  x   C 2). Tính chất:  kf  x  dx  k  f  x  dx;  k  0 b.TC2:   f  x   g x  dx   f  x  dx   g x  dx c.TC3: Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f u du  F u  C .  a,b  3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ dx  a  0 :  dx  x  C  ax  b  a ln ax  b  C x 1  x dx    1  C,   1  e dx  e  sin xdx   cos x  C e  Liên hệ bộ môn: [email protected] x ax 1 x C 1 dx  eax  C a Cung cấp bởi cbook.vn a.TC1: 10 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 1  cos xdx  sin x  C  sin axdx   a cos ax  C dx   tgx  C , x   k  cos2 x 2 dx  sin x 2   cot gx  C, x  k dx  x  ln x  C,  x  0 1 cos axdx  sin ax  C  a dx 1   tgx  C, x   k 2 ax a 2  cos dx 1    sin2 ax a cot gax  C, x  k 4) Bảng nguyên hàm mở rộng. 1 a   1  dx 1  ax  b  a ln ax  b  c e ax b dx  m ax b a a 2 2 1  sin  ax  b dx  a cos  ax  b   c  tg  ax  b dx   a ln cos  ax  b   c 1 1 max b  c a ln m  cotg  ax  b dx  a ln sin  ax  b  c 1 dx 1 x  arctg  c 2 a a x  sin dx 1 ax  ln c 2 2a a  x x  cos dx x a  a x  c 1  cos  ax  b dx  a sin  ax  b  c 1 ax b e c a dx   2 2 dx 2 x  c ,   1 2  ln  x  x 2  a 2   c  arcsin dx x a 2 2  x c a 1 x arccos  c a a 1 a  x2  a2   ln c a x x x2  a2 dx  b  ln  ax  b dx   x  a  ln ax  b  x  c Liên hệ bộ môn: [email protected] 2 2 dx 1  cotg  ax  b   c  ax  b  a dx 1  tg  ax  b   c  ax  b  a x x a2  x2  c x x a2  x2  c  arcsin a dx  x arcsin a   arccos a dx  x arccos a   arctg a dx  x arctg a  2 ln  a x x a 2  arccotg a dx  x arccotg a  2 ln a x dx x a 1  sin  ax  b  a ln tg  x2   c 2  x2   c ax  b c 2 Cung cấp bởi cbook.vn 1  ax  b      ax  b dx   11 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015  a2  x2 dx  x a2  x2 a2 x  arcsin  c 2 2 a  sin  ax  b  a ln tg  eax sinbx dx  eax  a sinbx  b cos bx  c a 2  b2  dx ax  b c 2 1 eax cos bx dx  eax  a cos bx  b sinbx  c a 2  b2 Ghi nhớ:  Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.  Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.  Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm 1. Ví dụ 1: Chứng minh: Chứng minh: 2 dx 2 a 2  2 dx 1 x a  ln c; 2  a 2a x  a a 2 dx 1 ax  ln c 2  x 2a a  x 1  1 1  1  dx dx  1 x  a   c   dx     ln 2a  x  a x  a  2a  x  a x  a  2a x  a    dx 1  1 1  1  dx d a  x   1 ax    c   dx     ln 2 2a a  x a  x 2a a  x a  x 2a ax     x   2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  dx  x a 2 2  ln  x  x2  a 2   c    1  x2  a2 Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: ln x  x 2  a 2  c   x  x2  a2   x  1 2 2  2 x x a  x  a2 1  1 x  x2  a2 1      2 2 2 2 2 x a x  a2  x x a 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:  x dx 1  u  c (với tg u  ) 2 a a a x 2 Liên hệ bộ môn: [email protected]  Cung cấp bởi cbook.vn a x x 12 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 d  a tg u  x dx 1 1    Đặt tg u  , u   , a 2 2   a 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Đặt sin u  ,u   ,     2 2 a x   x2 2   a 1  tg u   a  du  a u  c 2 dx  uc a 2  x2 dx a2  x2  2 x a (với sin u  , a > 0) d  a sin u   a 2 1  sin 2 u    du  u  c Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm a 2 dx 1 x  arctg  c và 2 a x a dx  a2  x2  arcsin x  c (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ a nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. I.2 TÍCH PHÂN. b 1). Định nghĩa:  f  x  dx  F  x  a b a  F b  F a 2). Tính chất: b. TC2: c. TC3: d. TC4: e. TC5: a a b  f  x  dx   f  x  dx b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx (k  0) b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Nếu f  x   0, x  a; b thì b  f  x  dx  0 a f. TC6: Nếu f  x   g  x  , x  a; b thì Liên hệ bộ môn: [email protected] b b a a  f  x  dx   g  x  dx Cung cấp bởi cbook.vn a. TC1: b 13 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 b g. TC7: Nếu m  f  x   M, x a; b thì m  b  a   f  x  dx  M  b  a   a  Ghi nhớ:  Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.  Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.  Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:  • I  x8dx  1 9 x C 9 dx 1 1 4 5 51  x dx  x  C   x C  x5  5  1 4 2 1 4 • I    x 2  2 x  dx    x 4  4 x3  4 x2  dx  x5  x4  x3  C 5 3 dx 1 dx 1   ln x  C •I   2x 2  x 2 1 • I   e2 xdx   e 2 xd  2x   e 2 x  C 2 1 1 • I   e4 x dx   e4 x d  4 x   e4 xC 4 4 1 1 • I   cos2 xdx   cos2 xd  2 x   sin 2 x  C 2 2 1 1 • I   sin 2 xdx   sin 2 xd  2 x    cos2 x  C 2 2 2 1 2 1 2 • I   x.e x dx   e x d x 2  e x  C 2 2   Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn • I= 14 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 d  cos x  sin x • I   tan xdx   dx     ln cos x  C cos x cos x d  sin x  cos x • I   cot x   dx    ln sin x  C sin x sin x sin 2 x 1 d  cos2 x  1 • I   tan 2 xdx   dx      ln cos2 x  C cos2 x 2 cos2 x 2 cos2 x 1 d  sin 2 x  1 • I   cot 2 xdx   dx    ln sin 2 x  C sin 2 x 2 sin 2 x 2 1 • I   sin 2 x.cos xdx   sin 2 xd sin x   sin 3 x  C 3 1 • I   cos 2 x.sin xdx    cos 2 xd cos x    cos 3 x  C 3 1 • I   sin x.cos 4 xdx    cos 4 xd cos x    cos 5 x  C 5 1 • I   cos x.sin 4 xdx   sin 4 xd sin x   sin 5 x  C 5  1  3sin x cos xdx   1  3sin x d sin x   d sin x    3sin xdx  sin x  sin x  C • I   cos xdx   cos x.cos xdx   1  sin x .cos xdx 1   1  sin x  d  sin x   sin x  sin x  C 3 • I 2 2 2 3 3 2 2 2 3   1 3 • I  sin 3 xdx  sin 2 x.sin xdx   1  cos 2 x d cos x   cos 3 x  cos x  C   1  cos2 x 1 1 1 1 dx  dx  cos2 xdx  x  sin 2x  C   2 2 2 2 4 1  cos2 x 1 1 1 1 I   cos 2 xdx   dx   dx   cos2xdx  x  sin 2x  C 2 2 2 2 4 1  cos4 x 1 1 x 1 I   sin 2 2 xdx   dx   dx   cos4 xdx   sin 4 x  C 2 2 2 2 8 1  cos4 x 1 1 x 1 I   cos 2 2 xdx   dx   dx   cos4 xdx   sin 4 x  C 2 2 2 2 8 sin 2 x 1  cos2 x dx 2 I   tan xdx   2 dx   dx   cos2 x   dx  tan x  x  C cos x cos2 x • • • • Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn • I  sin 2 xdx  15 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 cos2 x 1  sin 2 x dx 2 • I   cot xdx   dx   dx   2   dx   cot x  x  C 2 2 sin x sin x sin x 2. Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm: Trong Ví dụ này cần chú ý: d  tan x    • B1  tan 3 xdx    tan 3 dx  1  tan 2 x  dx 2 cos x x  tan x  tan x  dx    tan x  tan 2 x  1  tan x  dx   tan x  tan 2 x  1 dx   tan xdx   tan xd  tan x    sin x dx cos x 1  tan 2 x  ln cos x  C 2 • B2   tan4 xdx   tan4 x  tan2 x  tan2 x dx   tan2 x tan2 x  1 dx   tan2 xdx     1   tan 2 xd  tan x    tan x  x   C  tan 3 x  tan x  x  C 3    tan x  tan x  tan x  tan x  tan x dx   tan x  tan x  1 dx   tan x  tan x  1 dx   tan xdx • B3  tan5 xdx  3 5 3 3 2 2 1 1   tan3 xd  tan x    tan xd  tan x    tan xdx  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x  C 4 2    tan x  tan x  tan x  tan x  tan x dx   tan x  tan x  1 dx   tan x  tan x  1 dx   tan xdx   tan xd  tan x    tan xd  tan x    tan xdx • B4  tan6 xdx  4 6 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C 5 3    tan x  tan x  tan x  tan x  tan x  tan x  tan x dx   tan x  tan  1 dx   tan x  tan  1 dx   tan x  tan  1 dx   tan xdx   tan xd  tan x    tan xd  tan x    tan xd  tan x    tan xdx 5 5 7 5 2 3 5 3 2 3 1 1 1  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x  C 6 4 2 3. Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm: Liên hệ bộ môn: [email protected] 3 2 Cung cấp bởi cbook.vn • B5  tan7 xdx  16 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 • I  4x 2 dx dx 1 d  2 x  1 1 1      . 2 x  1  C 2 2  4 x  1  2 x  1 2  2 x  1 2 d  sin x  cos x  sin x  cos x dx   sin x  cos x  sin x  cos x  ln sin x  cos x  C d  e x  1 e x dx  x  ln e x  1  C • I  x e 1 e 1 • I d  e x  e x  e x  e x dx   x  x  ln e x  e x  C • I  x x e e e e • I • I  e2 x  4e x  4  e x dx e x  2 2 d  ex  2 e x dx  x  x  ln e x  2  C e 2 e 2 cos2 x  cos x  cos3 x  cos x  cos2 x  cos3 x dx   sin x  sin 2 x  sin3 x  sin 2 x  sin x sin3 x  dx   e x dx cos 2 x 1  2cos x  cos2 x  2cos2 x cos x dx dx   sin 2 x 1  2cos x  sin 2 x  2sin 2 x cos x cos2 x 1 d  sin 2 x  1 dx    ln sin 2 x  C sin 2 x 2 sin 2 x 2 VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ * Lý thuyết và phương pháp giải.  1). Công thức tổng quát: b  f   x . x  dx   f  t  dt a Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có  a). Trường hợp 1:  f sin x .cos xdx .  Đặt t  sin x  hoặc t  p sin x  q  p, q   hoặc t  n p sin x  q nếu như biểu thức p sin x  q nằm trong Liên hệ bộ môn: [email protected] n . Cung cấp bởi cbook.vn dạng tích của f   x  (hàm số theo biến là   x  ) với đạo hàm của hàm   x  . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau: 17 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015  b). Trường hợp 2:  f  cos x .sin xdx .  Đặt t  cos x  hoặc t  p cos x  q  p, q   hoặc t  n p cos x  q nếu như biểu thức p cos x  q nằm trong  c). Trường hợp 3: n 1  f  ln x . x dx .  Đặt t  ln x  hoặc t  p ln x  q  p, q   hoặc t  n p ln x  q nếu như biểu thức p ln x  q nằm trong dấu  d). Trường hợp 4: . 1  f  tgx . cos 2 x n . dx .  Đặt t  tgx  hoặc t  ptgx  q  p, q   hoặc t  n ptgx  q nếu như biểu thức ptgx  q nằm trong dấu  e). Trường hợp 5: 1  f  cotgx . sin 2 x n . dx .  Đặt t  cotgx  p, q   hoặc t  n pcotgx  q nếu như biểu thức pcotgx  q nằm trong Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) Một số trường hợp thường gặp Dấu hiệu Liên hệ bộ môn: [email protected] Cách chọn n . Cung cấp bởi cbook.vn  hoặc t  pcotgx  q 18 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 a x 2  x  a sin t   x  a cos t 2 x2  a2  a x  sin t   a x  cos t  a2  x2  x  a tgt   x  a cot gt ax ax x  a cos t ax ax x  a cos t a x  sin t b a x  tgt b a 2  b2 x2 1 , n=1, 2, … (a  b 2 x 2 ) n 2 a 2 Bài 1: Tính tính phân( với a>0) I=  0 dx a2  x2 Lời giải:    Đặt t= asint, t   ;  ,  2 2 Với x = 0 thì t=0  a Với x= thì t= 6 2  Do đó: I = 6  0  dx= acostdt  a cos tdt a 2  a 2 sin 2 t 6   dt  0  6 0   6 dx 2 0 a  x I=  2 Lời giải:    đặt x = tgt , t    ;  ,  dx = a(tg2t + 1)dt.  2 2 Với x = 0 thì t=0 Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn a Bài 2: Tính tích phân(với a >0) 19 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Với x= a thì t =  4 Do đó:   a(tg t  1)dt 4 dt 1   0 a 2  a 2tg 2t  0 a  a ( 4  0)  4a 2 4 I= 1 x2 dx x2 1  Bài 3: Tính tích phân: I  2 2 Lời giải: Khi x = Đặt x = sint,  dx = costdt  2 thì t = 4 2  2 Khi x = 1 thì t = Do đó:    2 2 cos 2 t 1  sin 2 t 1 dt  ( 2  1)dt I =  2 dt   2   sin t  sin t  sin t 2 4 4 =-(cotgt+t)  2  4 =1- 4  4 1 Bài 4: Tính tích phânI = x2  4  x2 0 dx Lời giải: Đặt x = 2cost,  dx = -2sintdt  Khi x = 0 thì t = 2  Khi x = 1 thì t = 3 Do đó: 3 I=   2   3 4 cos t.2 sin tdt  3  1   2  (1  2 cos t )dt  2t  sin 2t  3   2 sin t  2 2 3 2  2 2 2 Bài 5: Tính tích phân:I =  x 2 4  x 2 dx 0 Lời giải: Đặt x = 2sint,  dx = 2cosdt Khi x = 0 thì t = 0 Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn  20