Mô tả:
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân:
b
c
b
f x dx f x dx f x dx với a c b .
a
a
c
b
b
a
a
a
k f x dx kf x dx k 0
b
f x dx f x dx
a
b
b
f x dx F x a F b F a
b
a
b
b
b
f x g x dx f x dx g x dx
a
b
a
a
b
b
a
a
f x dx f t dt f z dz
a
b
f x dx f x a f b f a
b
a
2. Công thức đổi biến số:
b
f u x .u x dx
a
f u x .u x dx f u du, u u x
u b
f u du, u u x .
ua
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:
b
Giả sử cần tính
g x dx .
Nếu ta viết được g x dưới dạng
f u x u x thì
a
b
ub
a
ua
g x dx
f u du . Vậy bài toán quy về tính
ub
f u du , trong nhiều trường hợp thì tích phân mới
ua
này đơn giản hơn .
Giả sử cần tính
f x dx . Đặt
x x t thỏa mãn x a , x b thì
b
b
a
a
f x dx f x t x t dt g t dt , trong đó g t f x t .x t
BÀI TẬP MẪU
x2 1
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số f ( x) 2
x 2x 3
khi x 2
khi x 2
. Tích phân
2
f (2sin x 1) cos x dx
bằng:
0
A.
23
.
3
B.
23
.
6
C.
17
.
6
D.
17
.
3
Trang 1
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.
b
B2: Sử dụng tính chất
c
b
a
c
f x dx f x dx f x dx, c a; b .
a
B3: Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
2
Xét I f (2sin x 1) cos x dx
0
1
dt cos xdx
2
x 0 t 1
Đổi cận:
.
x t 3
2
3
3
2
3
23
1
1
1
I f (t )dt f ( x)dx x 2 2 x 3 dx x 2 1 dx .
21
21
2 1
2
6
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 3
1
e 2 x
khi x 0
a e2 a
Câu 1. Cho hàm số f ( x) 2
. Biết tích phân f ( x) dx
( là phân số tối
b c b
x x 2 khi x 0
1
giản). Giá trị a b c bằng
A. 7 .
B. 8 .
C. 9 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn C
1
0
1
4 e2
2
Ta có: I f ( x)dx x x 2 dx e2 x dx .
3 2
1
1
0
Vậy a b c 9 .
x 1 x 2 khi x 3
e4
f (ln x)
dx bằng:
Câu 2. Cho hàm số f ( x) 1
. Tích phân
x
khi x 3
e2
x4
40
95
189
189
ln 2 .
ln 2 .
ln 2 .
ln 2 .
A.
B.
C.
D.
3
6
4
4
Lời giải
Chọn D
Đặt t 2sin x 1
e4
Xét I
e2
f (ln x )
dx
x
1
dx
x
x e2 t 2
Đặt t ln x dt
Đổi cận:
x e4 t 4
.
4
4
3
2
2
2
I f (t )dt f ( x)dx
4
1
189
dx x 1 x 2 dx
ln 2 .
x4
4
3
Trang 2
Câu 3.
1
khi x 1
Cho hàm số f ( x) x
. Tích phân
x 1 khi x 1
khi đó m 2n bằng:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn A
1
f(
3
1 x )dx
2
m m
(
là phân số tối giản),
n n
D. 4 .
1
Xét I
f(
3
1 x )dx
7
Đặt t 3 1 x 3t 2dt dx
x 7 t 2
Đổi cận:
.
x 1 t 0
2
1 2
25
I 3 t f (t )dt 3 x f ( x)dx 3 x x 1 dx xdx
.
2
0
1
0
12
0
2
2
Câu 3.
2
Cho hàm số f x liên tục trên
1
và
f x dx 4 ,
0
A. I 3 .
B. I 5 .
3
f x dx 6 . Tính I
f 2 x 1 dx
1
0
C. I 6 .
Lời giải
1
D. I 4 .
Chọn B
1
d u . Khi x 1 thì u 1 . Khi x 1 thì u 3 .
2
0
3
3
1
1
Nên I f u d u f u d u f u d u
2 1
2 1
0
0
3
1
f u d u f u d u .
2 1
0
Đặt u 2x 1 d x
1
Xét
f x d x 4 . Đặt
x u d x d u .
0
Khi x 0 thì u 0 . Khi x 1 thì u 1 .
1
1
0
0
Nên 4 f x d x f u d u
3
Ta có
0
f u d u .
1
3
f x d x 6 f u d u 6 .
0
0
3
1
1
Nên I f u d u f u d u 4 6 5 .
2 1
0
2
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x 1 x trên tập
0
Câu 4.
F 1 3 . Tính tổng F 0 F 2 F 3 .
A. 8 .
B. 12 .
C. 14 .
Lời giải:
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
và thỏa mãn
D. 10 .
Trang 3
2
Ta có:
2
f x dx F 2 F 1 F 2 3 mà f x dx 2dx 2 nên F 2 5 .
1
1
1
1
f x dx F 1 F 0 3 F 0 mà f x dx 2 xdx x
0
f x dx F 0 F 1 2 F 1
mà
2 1
0
1 nên F 0 2 .
0
0
0
f x dx 2 xdx x
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2 0
1
1 nên F 1 3 .
f x dx F 1 F 3 3 F 3 mà f x dx 2dx 4 nên F 3 7 .
Vậy F 0 F 2 F 3 2 5 7 14 .
5
Câu 5.
1
1
0
0
2
Biết I
2 x 2 1
x
1
dx 4 a ln 2 b ln 5 với a, b . Tính S a b .
A. S 9 .
B. S 11 .
C. S 3 .
Lời giải:
D. S 5 .
Chọn D
x 2 khi x 2
Ta có x 2
.
2 x khi x 2
2
5
2 x 2 1
2 x 2 1
dx
dx .
Do đó I
x
x
1
2
2
22 x 1
x
1
5
dx
2 x 2 1
3
5
dx 2 d x 2 d x
x
x
1
2
2
x
2
5
2
5
5ln x 2 x 2 x 3ln x 4 8ln 2 3ln5 .
1
2
a 8
S a b 5.
b 3
Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn f x3 3x 1 3x 2 , với mọi
5
x .Tích phân
xf x dx bằng
1
A.
31
.
4
B.
17
.
4
C.
33
.
4
D.
49
.
4
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có f x3 3x 1 3x 2 nên suy ra f 1 2 , f 5 5 .
5
5
5
1
1
Suy ra I xf x dx xf x 1 f x dx 23 f x dx .
1
5
Đặt x t 3t 1 dx 3t 3 dt .
3
2
Với x 1 t 0; x 5 t 1
Trang 4
5
Do đó
1
f x dx f t
1
1
3
3t 1 3t 3 dt 3t 2 3t 2 3 dt
2
0
0
59 33
.
4
4
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên
59
.
4
Vậy I 23
Câu 7.
phân
thoả f x5 4 x 3 2 x 1, x . Tích
f x dx bằng
8
2
B. 10 .
A. 2 .
C.
32
.
3
D. 72 .
Lời giải
Chọn B
Đặt x t 5 4t 3 dx 5t 4 4 dt .
x 2 t 1
Đổi cận:
x 8 t 1
8
Khi đó
f x dx
2
Câu 8.
1
f t 5 4t 3 5t 4 4 dt
1
1
2t 1 5t
4
4 dt 10 .
1
Cho hàm số y f ( x) xác định và liên tục trên
thỏa mãn 2 f ( x) 3 f ( x) 5 x với
3
10
x . Tính I f ( x)dx .
5
A. I 0 .
B. I 3 .
C. I 5 .
Lời giải
D. I 6
Chọn B
Đặt t f ( x) 2t 3 3t 5 x dx (6t 2 3)dt và
x 5 2t 3 3t 5 5 t 0
x 10 2t 3 3t 5 10 t 1
10
1
5
0
Vậy I f ( x)dx t (6t 2 3)dt 3 .
Câu 9.
Cho hàm số f x xác định
2
1
, f 0 1 và f 1 2. Giá trị
\ , thỏa f x
2x 1
2
của biểu thức f 1 f 3 bằng
B. 2 ln15.
A. ln15.
C. 3 ln15.
Lời giải
D. 4 ln15.
Chọn C
Ta có f x
2
2x 1
ln 1 2 x C1
2
f x
dx ln 2 x 1 C
2x 1
ln 2 x 1 C
2
f 0 1 C1 1 và f 1 2 C2 2 .
1
2
1
;x
2
;x
1
ln 1 2 x 1 ; x
f 1 ln 3 1
2
Do đó f x
ln 2 x 1 2 ; x 1
f 3 ln 5 2
2
Trang 5
f 1 f 3 3 ln15.
3x 2 2 x
Câu 10. Cho hàm số f ( x)
5 x
15
A. .
2
khi x 0
khi x 0
2
. Khi đó I
cos xf sin x dx bằng
B. 15 .
2
C. 8 .
D.
17
.
2
Lời giải:
Chọn A
x
t 1
2
Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận
.
x t 1
2
1
I
f t dt
1
1
f x dx
1
3x 2 2 x
f
(
x
)
Do
5 x
0
1
1
0
khi x 0
khi x 0
I 5 x dx 3x 2 2 x dx
x2 2 x 3
Câu 11. Cho hàm số f ( x)
x 1
41
A. .
B. 21 .
2
15
.
2
khi x 2
khi x 2
1
. Khi đó I f 3 2 x dx bằng
0
C.
41
.
12
D.
41
.
21
Lời giải
Chọn C
1
Đặt t 3 2 x dt 2dx dx dt . Đổi cận
2
3
x 0 t 3
.
x 1 t 1
3
1
1
I f t dt f x dx
21
21
x 2 2 x 3 khi x 2
Do f ( x)
khi x 2
x 1
2
3
41
1
I x 1 dx x 2 2 x 3 dx .
21
2
12
3
2
2
x 2 x khi x 2
Câu 12. Cho hàm số f ( x)
. Khi đó I sin xf cos x 1dx bằng
3
0
x 2
khi x
2
35
19
10
A. .
B. 3 .
C. .
D. .
4
3
12
Lời giải:
Chọn A
x 0 t 2
Đặt t cos x 1 dt sin xdx . Đổi cận
.
x
t
1
2
Trang 6
2
2
1
1
I f t dt f x dx
2
x 2 x
Do f ( x)
x 2
3
2
3
2
3
khi x
2
khi x
2
I x 2 dx x 2 2 x dx
3
2
1
x2 x
f
(
x
)
Câu 13. Cho hàm số
x
2
A. .
3
35
.
12
khi x 0
khi x 0
. Khi đó I
2
cos xf sin x dx bằng
2
1
C. .
3
B. 1 .
4
D. .
3
Lời giải:
Chọn A
x 2 t 1
Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận
.
x t 1
2
1
I
f t dt
1
1
f x dx
1
x2 x
Do f ( x)
x
0
khi x 0
khi x 0
1
2
I xdx x 2 x dx .
3
1
0
2
x 2 x 1 khi x 3
Câu 14. Cho hàm số f ( x)
. Khi đó I xf x 2 1dx bằng
2
x
1
khi
x
3
0
73
74
A. 24 .
B. .
C. .
D. 25 .
3
3
Lời giải:
Chọn B
1
x 0 t 1
Đặt t x 2 1 dt 2 xdx xdx dt . Đổi cận
.
2
x 2 t 5
5
I
5
1
1
f t dt f x dx
21
21
x 2 x 1 khi x 3
Do f ( x)
khi x 3
2 x 1
3
5
73
1
I 2 x 1 dx x 2 x 1 dx .
21
3
3
1
3 x 3 khi x 2
Câu 15. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân
x 4 khi x 1
2
2
f sin x cos xdx .
0
Trang 7
A. 8 .
B.
17
.
4
C.
13
.
2
D.
21
.
5
Lời giải:
Chọn B
2
Xét I f sin x cos xdx
0
Đặt sin x t cos xdx dt
Với x 0 t 0
x t 1
2
1
1
1
2
0
0
0
1
2
1
1
I f t dt f x dx f ( x )dx f ( x )dx 3x 3 dx x 4 dx
1
2
1
2
0
2 x 1
khi x 0
Câu 16. Cho hàm số f ( x) 2
. Tính tích phân
2 x x 1 khi x 0
33
15
A.
.
B.
.
C. 12.
2
23
Lời giải:
Chọn D
2
17
.
4
3
f 3cos x 2 sin xdx .
0
D.
19
.
24
3
Xét I f 3cos x 2 sin xdx
0
1
Đặt 3cos x 2 t 3sin xdx dt sin xdx dt
3
Với x 0 t 1
1
x t
2
3
1
1
0
1
1
1
1
1
I f t dt f x dx f ( x)dx f ( x)dx
3 1
3 1
3 1
30
1
3
2
0
2x
2
1
2
x 1 dx
2
2
1
1
19
2 x 2 1 dx .
30
24
1 x 2 khi x 1
Câu 17. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân
2
x
2
khi
x
1
11
A.
.
10
43
B.
.
31
4
f 5sin 2 x 1 cos 2 xdx .
2
31
C.
.
30
D.
31
.
10
Lời giải:
Chọn C
Xét I
4
f 5sin 2 x 1 cos 2 xdx
2
Đặt 5sin 2x 1 t 10 cos 2 xdx dt cos 2 xdx
1
dt
10
Trang 8
Với x
x
4
t 1
2
t 4
4
4
1
4
1
1
1
1
I
f t dt
f x dx
f ( x)dx f ( x)dx
10 1
10 1
10 1
10 1
1
4
1
1
31
1 x 2 dx 2 x 2 dx .
10 1
10 1
30
2 x3 x 5 khi x 2
Câu 18. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân
khi x 2
11 x
A.
69
.
2
B. 12 .
C.
e
1
f 2 ln x x dx .
1
e
25
.
2
D. 30 .
Lời giải:
Chọn A
e
1
Xét I f 2 ln x dx
x
1
1
Đặt 2 ln x t dx dt
x
1
Với x t 1
e
x e t 3
3
3
1
1
2
3
2
1
2
1
3
I f t dt f x dx f x dx f x dx 11 x dx 2 x3 x 5 dx
2
69
.
2
1 x khi x 3
Câu 19. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân f 3e x 1e x dx .
7 5 x khi x 3
0
13
102
94
25
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
15
33
9
9
Lời giải:
Chọn C
2
ln 2
Xét I
f 3e
x
ln 2
1 e x dx
0
1
x
x
x
Đặt 3e 1 t 3e dx dt e dx dt
3
Với x 0 t 2
x ln 2 t 5
5
3
5
3
5
1
1
1
1
1
94
I f t dt f x dx f x dx 1 x 2 dx (7 5 x)dx .
32
32
33
32
33
9
Mức độ 4
2
Câu 1.
Giá trị của tích phân
max sin x, cos x dx
bằng
0
A. 0 .
B. 1 .
C.
2.
D.
1
.
2
Lời giải
Chọn C
Trang 9
Ta có phương trình sin x cos x 0 có một nghiệm trên đoạn 0; là x .
4
2
Bảng xét dấu
Suy ra
2
4
2
0
0
max sin x, cos x dx cos xdx sin xdx sin x 04 cos x 2 2 .
4
4
2
Câu 2.
Tính tích phân I max x3 , x dx .
0
A.
9
.
4
B.
17
.
4
19
.
4
Lời giải:
C.
D.
11
.
4
Chọn B
Đặt f x x3 x ta có bảng xét dấu sau:
.
Dựa vào bảng xét dấu ta có.
x 0;1 , f x 0 x3 x 0 x3 x max x3 , x x .
x 1;2 , f x 0 x3 x 0 x3 x max x3 , x x3 .
2
1
2
Ta có: I max x , x dx max x , x dx max x 3 , x dx .
3
0
0
2
3
1
1
2
0
1
Nên I max x3 , x dx xdx x 3dx
0
Câu 3.
Cho hàm số y f x liên tục trên
Tính a 2 b 2 .
25
A. .
4
B.
1
2
1 2
1
17
x x4 .
2 0 4 1 4
f 1 2 ln 2
.
\ 0; 1 thỏa mãn f 2 a b ln 3; a, b
2
x x 1 . f x f x x x
9
.
2
C.
5
.
2
D.
13
.
4
Lời giải
Chọn B
Ta có x x 1 . f x f x x 2 x
(1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho x 1 ta được
2
x
1
x
. f x
f x
2
x 1
x 1
x 1
x
x
x
x
. f x
dx
. f x
, với x \ 0; 1 .
x 1
x 1
x 1
x 1
x
x 1
. f x x ln x 1 C f x
x ln x 1 C
x 1
x
Trang 10
Mặt khác, f 1 2ln 2 2 1 ln 2 C 2ln 2 C 1 .
x 1
x ln x 1 1 .
x
3
3 3
3
3
Với x 2 thì f x 1 ln 3 ln 3 . Suy ra a và b .
2
2 2
2
2
9
Vậy a 2 b 2 .
2
f 0 f 0 1
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên
thỏa mãn
,
f
x
y
f
x
f
y
3
xy
x
y
1
Do đó f x
Câu 4.
1
với x, y
. Tính
f x 1dx .
0
1
A. .
2
B.
1
.
4
C.
1
.
4
D.
7
.
4
Lời giải
Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f x y f y 3 x 2 6 xy , x
.
Cho y 0 f x f 0 3 x f x 1 3x 2
2
f x f x dx x 3 x C mà f 0 1 C 1 . Do đó f x x3 x 1 .
1
Vậy
f x 1dx
f x dx
1
0
Câu 5.
0
0
x
3
x 1 dx
1
1
.
4
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0 ,
1
f x dx 7 và
2
0
1
1
x f x dx 3 . Tích
2
1
phân
0
A.
f x dx bằng
0
7
.
5
B. 1 .
C.
7
.
4
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
1
1 3
x3
x
Ta có x f x dx f x f x dx . Suy ra
3
0 0 3
0
1 6
x
1
Hơn nữa ta dễ dàng tính được dx .
9
63
0
1
2
1
1
1
x3
1
0 3 f x dx 3 .
1
1
2
x3
x6
f x dx 212 dx 0 f x 7 x3 dx 0 .
3
9
0
0
0
0
7
7
Suy ra f x 7 x3 , do đó f x x 4 C . Vì f 1 0 nên C .
4
4
1
1
7
7
4
Vậy f x dx x 1 dx .
40
5
0
Do đó f x dx 2.21
2
Câu 6.
Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện f 1 1 và f 2 4 .
2
f x 2 f x 1
Tính J
dx .
x
x2
1
Trang 11
A. J 1 ln 4 .
B. J 4 ln 2 .
C. J ln 2
1
.
2
D. J
1
ln 4 .
2
Lời giải
Chọn D
2
2
2
f x 2 f x 1
f x
f x
2 1
dx 2 dx 2 dx .
Ta có J
dx
2
x
x
x x
x
x
1
1
1
1
1
1
u
d u 2 dx
x
x
Đặt
.
dv f x dx v f x
2
2
2
2
f x
f x
f x 2 f x 1
1
2 1
J
d
x
.
f
x
d
x
d
x
2 dx
2
2
2
x
x
x
x
x
x x
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
f 2 f 1 2 ln x ln 4 .
2
x 1 2
Câu 7.
Cho hàm số f ( x ) xác định trên
f x
\ 2;1 thỏa mãn
1
1
, f 3 f 3 0, f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4
x x2
3
2
bằng
1
1
A. ln 20 .
3
3
B.
1
1
ln 2 .
3
3
C. ln80 1 .
D.
1 8
ln 1 .
3 5
Lời giải
Chọn B
Ta có: f x
Câu 8.
1
1 1
1
x x 2 3 x 1 x 2
2
1
3 ln 1 x ln x 2 C1 ; x ; 2
1 1
1
1
x 1
1
f x
C ln 1 x ln x 2 C2 ; x 2;1
dx ln
3 x 1 x 2
3 x2
3
1
3 ln x 1 ln x 2 C3 ; x 1;
1
1
1
1
1
Với f 0 ln 1 0 ln 0 2 C2 C2 ln 2
3
3
3
3
3
1 1
Với f 3 f 3 0 C1 C3 ln
3 10
1 5 1
1 1
1
1
Nên f 4 f 1 f 4 ln ln 2 ln C2 C1 C3 ln 2 .
3 2 3
3 2
3
3
Cho hàm số f x xác định và liên tục trên
đồng thời thỏa mãn
f x 0, x
x 2
f x e f x , x .
f 0 1
2
Tính giá trị của f ln 2 .
A. f ln 2
1
.
4
1
3
B. f ln 2 .
C. f ln 2 ln 2
1
1
2
. D. f ln 2 ln 2 .
2
2
Lời giải
Chọn B
Trang 12
Ta có f x e x f 2 x
f x
f
2
x
dx e x dx
f x
f
2
x
e x ( do f x 0 )
1
1
e x C f x x
.
f x
e C
1
1
1
0
C 1 .
2
e C 2
1
1
1
f x x
f ln 2 ln 2
.
e 1
e 1 3
Mà f 0
Câu 9.
f 1 g 1 4
Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1; 4 , thỏa mãn g x xf x với mọi
f x xg x
4
x 1; 4 . Tính tích phân I f x g x dx .
1
A. 3ln 2 .
C. 6ln 2 .
B. 4 ln 2 .
D. 8ln 2 .
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có f x g x x. f x x.g x
f x x. f x g x x.g x 0 x. f x x.g x 0
C
x. f x x.g x C f x g x
x
4
4
4
Mà f 1 g 1 4 C 4 I f x g x dx dx 8ln 2 .
x
1
1
Câu 10. Cho hai hàm f ( x ) và g ( x) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f (1) g (1) 0 và
x
g ( x) 2017 x ( x 1) f ( x)
2
( x 1)
, x 1; 2.
3
x
g ( x) f ( x) 2018 x 2
x 1
2
x 1
x
g ( x)
f ( x) dx .
Tính tích phân I
x 1
x
1
1
3
A. I .
B. I 1 .
C. I .
2
2
Lời giải
Chọn A
x 1
1
( x 1) 2 g ( x) x f ( x) 2017
, x 1; 2.
Từ giả thiết ta có:
x g ( x) 1 f ( x) 2018
x 1
x2
Suy ra:
D. I 2 .
1
x 1
x
1
x
x 1
g
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
1
g
(
x
)
f
(
x
)
( x 1) 2
x
x 1
x
1
x 1
x2
x
x 1
g ( x)
f ( x) x C.
x 1
x
2
2
x 1
1
x
g ( x)
f ( x) dx ( x 1)dx .
Mà f (1) g (1) 0 C 1 I
x 1
x
2
1
1
Trang 13
x x 2 khi x 1
Câu 11. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân
khi x 1
x 3
21
13
20
A.
.
B.
.
C.
.
2
3
4
Lời giải:
Chọn A
3
2
f 3sin
2
x 1 sin 2 xdx .
0
D.
5
.
6
2
Xét I f 3sin 2 x 1 sin 2 xdx
0
1
2
Đặt 3sin x 1 t 3sin 2 xdx dt sin 2 xdx dt
3
Với x 0 t 1
x t 2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
I f t dt f x dx f ( x)dx f ( x)dx
3 1
3 1
3 1
31
1
2
1
1
21
x3 x 2 dx x 3 dx .
3 1
31
4
13
2 x 1 khi x 1
Câu 12. Cho hàm số f ( x) 2
. Tính tích phân f
khi x 1
x
1
231
97
16
A.
.
B.
.
C.
.
5
3
6
Lời giải:
Chọn B
13
Xét I f
x 3 2 dx .
D.
113
.
3
x 3 2 dx
1
Đặt x 3 2 t x 3 t 2 x 3 (t 2)2 dx 2(t 2)dt
Với x 1 t 0
x 13 t 2
2
2
1
2
0
0
1
I 2 (t 2) f t dt 2 ( x 2) f x dx 2 ( x 2) f x dx 2 ( x 2) f x dx
0
1
2
0
1
2 ( x 2) x 2dx 2 (2 x 1)( x 2)dx
97
.
6
2 x 4 khi x 2
Câu 13. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân
4 2 x khi x 2
A.
2
.
3
B.
1
.
2
C.
2
f 3 4 cos x sin 2 xdx .
2
4
21
.
4
D.
5
.
12
Lời giải:
Chọn A
Xét I
f 3 4 cos x sin 2 xdx
2
2
4
2
Đặt 3 4 cos x t sin 2 xdx
1
dt
4
Trang 14
Với x
x
2
t 1
4
t 3
3
3
2
3
1
1
1
1
I f t dt f x dx f ( x)dx f ( x)dx
41
41
41
42
2
3
1
1
2
4 2 x dx 2 x 4 dx .
31
32
3
4
2
x 2 x 1 khi x 1
Câu 14. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân
2
3
x
khi
x
1
16
11
A.
.
B. 17 .
C.
.
3
6
Lời giải:
Chọn C
e4
Xét I
f
4 ln x
1
e4
f
4 ln x
1
1x dx .
D.
6
.
11
1x dx
1
4 ln x t 4 ln x t 2 dx 2tdt
x
Với x 1 t 2
x e4 t 0
Đặt
2
2
0
0
1
2
0
1
I 2 t. f t dt 2 x. f x dx 2 x. f ( x)dx 2 x. f ( x)dx
1
2
2 x x 4 2 x 2 1 dx 2 x 3 x 2 dx
0
1
11
.
6
2 x 1 khi x 0
Câu 15. Cho hàm số f ( x) x 1
khi 0 x 2 . Tính tích phân
5 2 x khi x 2
2
A.
201
.
77
B.
34
.
103
C.
4
1
f 2 7 tan x cos
2
x
dx .
4
155
.
7
D.
109
.
21
Lời giải:
Chọn D
Xét I
4
1
f 2 7 tan x cos
2
Với x
4
t 9
4
1
1
dx dt
2
cos x
7
t 5
9
I
0
dx
4
Đặt 2 7 tan x t
x
x
9
0
2
9
1
1
1
1
1
f t dt f x dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
7 5
7 5
7 5
70
72
2
9
1
1
1
109
2 x 2 1 dx x 1 dx 5 2 x dx
.
7 5
70
72
21
Trang 15
2
2
x x khi x 0
Câu 16. Cho hàm số f ( x)
. Khi đó I 2 cos xf sin x dx 2 f 3 2 x dx bằng
khi x 0
x
0
0
7
8
10
A. .
B. .
C. 3 .
D. .
3
3
3
Lời giải:
Chọn D
2
2
2
0
0
Ta có: I 2 cos xf sin x dx 2 f 3 2 x dx I1 I 2
x 0 t 0
Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận
.
x 2 t 1
1
1
1
1
1
I1 2 f t dt f t dt f x dx
0
x x
Do f ( x)
x
khi x 0
2
0
khi x 0
1
2
I1 xdx x 2 x dx .
3
1
0
1
Đặt t 3 2 x dt 2dx dx dt . Đổi cận
2
3
I2
x 0 t 3
.
x 2 t 1
3
f t dt f x dx
1
1
x x khi x 0
Do f ( x)
khi x 0
x
0
3
I 2 xdx x 2 x dx 4 .
0
1
10
Vậy I I1 I 2
3
khi x 2
4 x
Câu 17. Cho hàm số f ( x)
. Tính tích phân
2 x 12 khi x 2
2
3
I
x. f
x2 1
x 1
2
0
dx
ln 3
e
2x
. f 1 e 2 x dx
ln 2
A. 84 .
B. 83 .
C. 48 .
D. 84 .
Lời giải:
Chọn A
3
Ta có: I
0
x. f
x2 1
x 1
2
dx
ln 3
e
2x
. f 1 e 2 x dx I1 I 2
ln 2
x 0 t 1
Đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 2tdt 2 xdx xdx tdt . Đổi cận
.
x 3 t 2
2
2
2
1
1
1
I1 f t dt f t dt f x dx
Trang 16
khi x 2
4 x
Do f ( x)
2 x 12
khi x 2
2
I1 2 x 12 dx 9 .
1
Đặt t 1 e 2 x dt 2e 2 x dx e 2 x dx
10
I2
1
dt . Đổi cận
2
x ln 2 t 5
.
x ln 3 t 10
10
1
1
f t dt f x dx
25
25
khi x 2
4 x
Do f ( x)
2 x 12
10
1
I 2 4 x 75 .
25
khi x 2
Vậy I I1 I 2 84
2 x3 x
Câu 18. Cho hàm số f ( x)
3x 2
khi x 1
khi x 1
3
. Biết I
f tan x
cos 2 x
e 1
dx
0
x. f ln x 2 1
x2 1
dx a
b
4
a
là phân số tối giản. Giá trị của tổng a b bằng
b
A. 69 .
B. 68 .
C. 67 .
Lời giải:
Chọn A
với
3
I
f tan x
cos 2 x
e 1
dx
x. f ln x 2 1
x2 1
0
dx I I
1
D. 66 .
2
4
x t 1
1
4
dx . Đổi cận
Đặt t tan x dt
.
2
cos x
x t 3
3
3
I1
f t dt
1
3
f x dx
1
2x
x
1
dx 2 dx dt . Đổi cận
Đặt t ln x 1 dt 2
x 1
x 1
2
2
I2
1
2
x 0 t 0
1.
e 1 t
x
2
1
2
1
1
f t dt f x dx
20
20
2 x3 x
Do f ( x)
3x 2
khi x 1
khi x 1
3
I I1 I 2
2x
1
3
x dx
1
2
1
53
3x 2 dx a 53, b 16 .
20
16
Vậy a b 69
Trang 17
1
e2
2 6
f ln x
a
x 2 khi 0 x<2
Câu 19. Cho hàm số f ( x) 2
. Biết I
dx x. f x 2 1 dx với
x
b
1
3
x 7 khi 2 x 5
a
là phân số tối giản. Giá trị của hiệu a b bằng
b
A. 77 .
B. 67 .
C. 57 .
D. 76 .
Lời giải:
Chọn A
e2
2 6
f ln x
I
dx x. f x 2 1 dx I1 I 2
x
1
3
Đặt t ln x dt
2
2
0
0
1
dx . Đổi cận
x
x 1 t 0
.
2
x e t 2
I1 f t dt f x dx
x 3 t 2
Đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 2tdt 2 xdx xdx tdt . Đổi cận
.
x
2
6
t
5
5
5
2
2
I 2 t. f t dt x. f x dx
1
x 2 khi 0 x<2
Do f ( x) 2
x 7 khi 2 x 5
2
5
79
1
I I1 I 2 x 2 dx x. x 7 dx a 79, b 2 .
2
2
0
2
Vậy a b 77
e
2
x x 1 khi x 0
f ln x
a
dx
Câu 20. Cho hàm số f ( x)
. Biết I f (2sin x 1) cos x dx
x
b
khi x 0
2 x 3
0
e
a
với
là phân số tối giản. Giá trị của tích a b bằng
b
A. 305 .
B. 305 .
C. 350 .
D. 350 .
Lời giải:
Chọn B
2
2
2
e2
0
e
I f (2sin x 1) cos x dx
f ln x
x
dx I1 I 2
dt
Đặt t 2sin x 1 dt 2 cos xdx cos xdx . Đổi cận
2
1
I1
x 0 t 1
.
x 2 t 1
1
1
1
f t dt f x dx
2 1
2 1
x 2 x 1 khi x 0
Do f ( x)
khi x 0
2 x 3
0
1
1
13
I 2 x 3 dx x 2 x 1 dx .
2 1
12
0
Trang 18
Đặt t ln x dt
2
x e t 1
1
dx . Đổi cận
.
2
x
x e t 2
2
I 2 f t dt f x dx
1
1
x x 1
Do f ( x)
2 x 3
2
2
I x 2 x 1 dx
1
I I1 I 2
khi x 0
khi x 0
29
.
6
377
a 377, b 72
72
Vậy a b 305
Trang 19
- Xem thêm -
.PDF 
19 
1 
57 
