Tài liệu Chuyên đề pt bpt hpt

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT §.PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC 1. PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM ÑAËC BIEÄT 3 1.x − x 2 − 8 x + 12 = 0 2.x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 + 0 3.x 5 − 8 x 4 + 20 x 3 − 20 x 2 + 19 x − 12 = 0 (1,3,4 ) ⎛ 1 −3 ⎞ 4.6 x 5 − 5 x 4 − 5 x 3 − 4 x 3 − 34 x + 12 = 0 ⎜ ,2, ⎟ 2 ⎠ ⎝3 2. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH. 4 1.x − 5 x 3 + 20 x − 16 = 0 2.x 4 + 7 x 3 + 11x 2 + 7 x + 10 = 0 3. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP. 1. ( x 2 + x + 4 ) + 3 x ( x 2 + x + 4 ) + 2 x 2 = 0 2 2. ( x 2 − x + 1) − 6 x 2 ( x 2 − x + 1) + 5 x 4 = 0 4 2 3. ( x 2 − 16 ) ( x − 3) + 9 x 2 = 0 2 4. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BA. d ⎛c⎞ ax + bx + cx + d = 0 víi = ⎜ ⎟ a ⎝b⎠ 3 3 2 c b 3 ⎡ 4 x + 3 x = m, ∀m 5. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ⎢ 3 ⎢⎣ 4 x − 3 x = m, ∀m : m > 1 Phöông trình coù nghieäm duy nhaát. Ta nghieân cöùu caùc khai trieån sau: Phöông trình coù moät nghieäm laø: x0 = − 3 1⎞ 1 1 ⎞ ⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 ⎞ 3⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ *⎜ a + ⎟ = a3 + 3 + 3 ⎜ a + ⎟ ⇒ ⎢ ⎜ a + ⎟ ⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟ + ⎜ a + ⎟ a⎠ a a ⎠ ⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 8 ⎝ a ⎠ 8⎝ a⎠ ⎝ ⎝ 3 3 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1⎞ ⎡1 ⎛ ⇒ 4 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟ + 3 ⎜ a + ⎟ a ⎠⎦ 2⎝ a ⎠ 2⎝ a⎠ ⎣2 ⎝ 3 1 ⎞⎤ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎡1 ⎛ ⎡1 ⎛ ⇒ 4 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ − 3 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟ a ⎠⎦ a ⎠⎦ 2 ⎝ a ⎠ ⎣2 ⎝ ⎣2 ⎝ 3 1⎞ 1 1⎞ ⎛ ⎛ * ⎜ a − ⎟ = a3 − 3 − 3 ⎜ a − ⎟ a a⎠ a⎠ ⎝ ⎝ 3 1 ⎞⎤ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1⎞ ⎡1 ⎛ ⎡1 ⎛ ⇒ 4 ⎢ ⎜ a − ⎟⎥ + 3 ⎢ ⎜ a − ⎟⎥ = ⎜ a3 − 3 ⎟ a ⎠⎦ a ⎠⎦ 2 ⎝ a ⎠ ⎣2 ⎝ ⎣2 ⎝ Do ñoù vôùi vieäc choïn a thích hôïp ta coù ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình. 6. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: 4 x 3 − 3 x = m, ∀m : m ≤ 1 Phöông trình coù khoâng quaù ba nghieäm Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Ñaët m = cos α = cos (α ± 2π ) ; α ∈ [ 0; π ] . Khi ñoù: m = cos α = 4 cos3 α 3 − 3cos Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT α 3 α ± 2π α ± 2π m = cos (α ± 2π ) = 4 cos3 − 3cos 3 3 Vaäy phöông trình coù ba nghieäm: x = cos α ; x = cos α ± 2π 3 3 7. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: t + at + bt + c = 0 a B1: Khöû baäc hai baèng caùch ñaët: t = y − → y 3 − py = q 3 3 2 B2: Ñöa veà pt cô baûn: 4 x 3 ± 3x = m baèng caùch ñaët y = 2 p 3 8. PHÖÔNG TRÌNH TRUØNG PHÖÔNG. Cho phöông trình x 4 + (1 − 2a ) x 2 + a2 − 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 9. Pt voâ nghieäm. Phöông trình coù moät nghieäm. Phöông trình coù hai nghieäm. Phöông trình coù 3 nghieäm. Phöông trình coù boán nghieäm. Phöông trình coù boán nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng. 4 4 PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG : ( x + α ) + ( x + β ) = χ 1. ( x + 4 ) + ( x + 6 ) = 2 4 4 2. ( x + 4 ) + ( x + 2 ) = 82 4 4 3. ( 2 x + 3) + ( 2 x − 5 ) = 706 4 4 10. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BOÁN. e ⎛d ⎞ ax + bx + cx + dx + e = 0, ®k: = ⎜ ⎟ a ⎝b⎠ 1.4 x 4 + 12 x 3 + 47 x 2 + 12 x + 4 = 0. 4 3 2 2 2.2 x 4 − 21x 3 + 74 x 2 − 105 x + 50 = 0. 3.Tìm ñeå phöông trình voâ nghieâïm: x 4 + mx 3 + mx 2 + mx + 1 = 0 . 11. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = e, a + b = c + d 1. ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) = 10 2. ( 6 x + 5) ( 3 x + 2 )( x + 1) = 35 2 12. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: A ( x 2 + ax ) + B ( x 2 + ax ) + C = 0 2 1.x 4 + 4 x 3 − 3 x 2 − 14 x + 6 = 0 2.3 x 4 − 6 x 3 + 5x 2 − 2 x − 5 = 0 13. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x 2 + α ) = a ( x + β ) Tác giả: Huỳnh Thanh Luân 2 2 Trang 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai 1.x 4 + 4 x − 1 = 0 Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 2.x 4 − 3 x 2 − 10 x − 4 = 0 3.x 4 + 2 x 2 + 8 x − 4 = 0 LUYEÄN TAÄP: Baøi taäp12: 1. ( x − 1) + ( x + 1) = 16 4 4 2. ( 2 x − 3) + ( 2 x − 5) = 2 4 4 3.x 4 + 6 x 3 + 16 x 2 + 21x + 12 = 0 ( 4. x 2 − 6 x − 9 ) 2 = x3 − 4 x2 − 9x 5.2 x 8 − 9 x 7 + 20 x 6 − 33 x 5 + 46 x 4 − 66 x 3 + 80 x 2 − 72 x + 32 = 0 ( 7. ( x )( )( ) 6. x 2 − 3 x + 1 x 2 + 3 x + 2 x 2 − 9 x + 20 = −30 2 − 6x ) 2 − 2 ( x − 3) = 81 2 (2;2; −1 ± 3 ) 8.x 4 − 2 x 3 − 6 x 2 + 16 x − 8 = 0 (α = 1) 9.x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − 8 x + 4 = 0 ( ) ( ) ( )( 10.2 x 2 x 2 + x + 3 + 13 x 2 x 2 − 5 x + 3 = 6 2 x 2 + x + 3 2 x 2 − 5 x + 3 ⇔ ( 2x 2 x 2 − 5x + 3 + ) ( 13 x 2x2 + x + 3 ) ) =6 2 13 + =6 3 3 2x + − 5 2x + + 1 x x 6 2 11.x − 7 x + 6 = 0 ⇔ → t 3 − 7t + 6 = 0 (t = 6 ) 12.x 7 − 2 x 6 + 3 x 5 − x 4 − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 = 0 Phöông trình hoài qui vôùi caùc heä soá ñoái xöùng vaø baäc leû neân phöông trình seõ coù nghieäm ñaëc bieät x = −1 vaø thu ñöôïc phöông trình hoài qui baäc chaün giaûi baèng caùch chia soá haïng chính giöõa. → ( x + 1) ( x 6 − 3 x 5 + 6 x 4 − 7 x 3 + 6 x 2 − 3 x + 1) = 0 Baøi taäp13: Cho phöông trình : x 4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình : 1. Coù boán nghieäm phaân bieät. 2. Coù khoâng ít hôn hai nghieäm aâm phaân bieät. Baøi taäp14: Cho phöông trình : x 4 − ax 3 − ( 2a + 1) x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình : 1. Coù boán nghieäm phaân bieät. 2. Coù hai nghieäm phaân bieät lôùn hôn 1. Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Baøi taäp15: Tìm m ñeå phöông trình : x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 1) x − ( m + 1) = 0 coù 3 nghieäm döông phaân bieät. Baøi taäp16: Giaûi vaø bieän luaän: x 3 − ( 2a + 1) x 2 + ( a 2 + 2a ) x − a 2 = 0 Baøi taäp17: Cho phöông trình : x 4 + 4 x 3 + ( m + 4 ) x 2 + 2mx + 2m = 0 . 1. Giaûi phöông trình khi m = 1. 2. Giaûi vaø bieän luaän. Baøi taäp18: Cho phöông trình : x 4 − 2 x 3 + x + 2 = a . 1. Giaûi phöông trình khi a = 132. 2. Giaûi vaø bieän luaän. Baøi taäp19: Cho phöông trình : x 4 − 4 x 3 + 8 x + 2 = a . 1. Giaûi phöông trình khi a = 5. 2. Giaûi vaø bieän luaän. Baøi taäp20: Cho phöông trình mx 3 − x 2 − 2 x + 8m = 0. Ñinh m ñeå: 1. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät 2. Phöông trình coù nghieäm boäi. 3. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät beù hôn -1. ÑÒNH LYÙ VIEÙT CHO PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC BAÄC CAO. Baøi taäp21: Cho phöông trình x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0 1. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm vaø toång bình phöông 3 nghieäm cuûa chuùng ñaït giaù trò nhoû nhaát. 2. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng. Baøi taäp22: Xaùc ñònh tham soá ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng. 1.x 3 − mx 2 + 2m ( m + 1) x + 9m 2 − m + 0 2.x 3 − 3ax 2 − x + 4a3 = 0 3.x 3 − 3 x 2 − 9 x − m = 0 4.x 3 − 3 x 2 + ( a − 9 ) x + 1 − b = 0 Baøi taäp23: Giaû söû phöông trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Haõy tính Sn = x1n + x2n + x3n Baøi taäp24: Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 4 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 3 2 Giaû söû phöông trình x + ax + bx + c = 0, a, b, c ∈ ] coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Cho f(x) laø moät ña thöùc nguyeân. CMR : f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) ∈ ] . Hd: Ta cm qui naïp döa vaøo coâng thöùc : Sn + aSn −1 + bSn −2 + cSn −3 = 0 . §.DUØNG AÅN PHUÏ TRONG GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH. A. Hieåu veà aån phuï: 1. Laø aån maø do ngöôøi giaûi töï ñöa vaøo chöù trong ñeà baøi khoâng noùi tôùi. 2. Ta ñöa aån phuï vaøo laø ñeå chuyeån daïng baøi toaùn veà daïng môùi deã nhaän daïng hôn hay laø daïng ñaõ quen thuoäc. B. Ñieàu kieän cho aån phuï: 1. Yù nghóa, lyù do: − Tìm ñieàu kieän cho aån phuï töùc laø ñi tìm mxñ cho baøi toaùn môùi. − Tuyø vaøo muïc ñích cuûa aån phuï maø ta tìm ñk aån phuï nhö theá naøo laø phuø hôïp nhaát ( deã, khoâng gaây sai baøi toaùn ). 2. Coù hai kieåu tìm aån ñk cho phuï: − Tìm ñk ñuùng cho aån phuï. − Tìm thöøa ñk cho aån phuï. C. Moät soá daïng ñaët aån phuï: Daïng 1: Giöõ nguyeân soá aån. 1, 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 2,10 x 3 + 8 = 3 ( x 2 − x + 6 ) 3, x 3 − 1 = x 2 + 3 x − 1 4,2 ( x 2 + x + 1) − 7 ( x − 1) = 13 ( x 3 − 1) 2 2 5, 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1 6, x 2 + a2 x 2 ( x + a) 2 = 8a2 Coù moät soá baøi toaùn ñaëc bieät raát goïn neáu duøng aån phuï löôïng giaùc. Duøng aån phuï löôïng giaùc töùc laø ta lôïi duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc ñeå töï phaù caên thöùc maø khoâng duøng pheùp naâng luyõ thöøa. Vì haøm löôïng giaùc laø haøm tuaàn hoaøn neân ta caàn löu yù choïn mieàn xaùc ñònh sao cho coù lôïi nhaát. 7, x 3 + (1 − x ) 2 3 ( = x a 1− x2 1 + 2x 1− x2 = 1− 2x2 2 3 ⎡ 9, 1 + 1 − x 2 ⎢ (1 − x ) − ⎣ ) 8, (1 + x ) ( 10, 1 + 1 − x 2 = x 1 + 2 1 − x 2 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân ) 3 ⎤ 2 ⎥ = 2 + 1− x ⎦ Trang 5 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai 11, ( )( Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT ) 1+ x −1 1− x + 1 = 2x 12, a + x + a − x = a, a ≥ 0 13, 1 + ax − 1 − ax = x 14,2 a + x − a − x = a − x + x ( a + x ) 2 2 ⎛ 3+ x ⎞ ⎛ 6− x ⎞ 15, 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m; HD : ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 16, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ −1;1] : 8 x (1 − 2 x 2 )( 8 x 4 − 8 x 2 + 1) = 1 1 x Daïng 2: Thay ñoåi soá aån, thöôøng laø taêng theâm soá aån ñeå giaûm nheï söï raéc roái, ñôn giaûn trong tính toaùn. 17, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ 0;1] : 32 x ( x 2 − 1)( 2 x 2 − 1) = 1 − 2 1, x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5 2, 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4 3, x 2 − 3 x + 3 + x 2 − 3 x + 6 = 3 4, 1 + x + 8 − x + (1 + x )( 8 − x ) = 3 5, 3 x − 9 = ( x − 3 ) + 6 3 6, 4 5 − x + 4 x − 1 = 2 7, 3 24 + x + 12 − x = 6 8, 3 x + 7 − x = 1 34 − x ) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x ( 9, 3 10. 3 34 − x − 3 x + 1 = 30 7− x − 3 x −5 = 6− x 7− x + 3 x −5 1 HD : 6 − x = ⎡⎣( 7 − x ) − ( x − 5) ⎤⎦ 2 3 11. x + 1 − x − 2 x ( x − 1) − 2 4 x ( x − 1) = −1 12. x + 4 x ( x − 1) + 4 (1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( x − 1) 2 3 13. 8 x + 1 + 3 x − 5 = 7 x + 4 + 2 x − 2 14. 2 x 2 − 1 + x 2 − 3 x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2 15. 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3 2 2 16.81sin x + 81cos x = 30 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 6 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 17. 3 sin 2 x + 3 cos2 x = 3 4 18.sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3 ⎛ 5 − x ⎞⎛ 5− x ⎞ 19.x ⎜ ⎟⎜ x + ⎟=6 x +1 ⎠ ⎝ x +1 ⎠⎝ 2 2 ⎛ x2 − 4 ⎞ ⎛ x −2⎞ ⎛ x+2⎞ 20.20 ⎜ − 5 + 48 ⎜ 2 ⎟=0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x +1 ⎠ ⎝ x −1 ⎠ ⎝ x −1 ⎠ Daïng 3: Chuyeån theo phöông trình aån phuï vaø xem aån ban ñaàu laø tham soá. 1. ( x + 3) log32 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16 2. ( 4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 3.4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 + x + 1 − x 2 4.2 ( x − 1) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1 5.1 + x − 2 x 2 = 3 x 2 − 1 − 2 x + 1 6.4 ( x + 5)( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) = 3 x 2 7.x 2 + x + 12 x + 1 = 36 8. sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1 ⎡ ⎤ ⎛x+y⎞ 2 9.4 ⎢3 4 x − x 2 sin 2 ⎜ ⎟ + 2 cos ( x + y ) ⎥ = 13 + 4 cos ( x + y ) 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ x −1 1 1 − 1− − 3 x − = 0 x x x Daïng 4: Chuyeån veà heä phöông trình goàm aån phuï vaø aån chính. Daïng naøy hay duøng ñoái vôùi phöông trình chöùa hai haøm soá ngöôïc nhau. 10.2 x + Loaïi 1: ( ax + b ) = α n px + q + β x + γ n 1, x 3 − 3 3 3 x + 2 = 2 2, x 2 + x + 1 = 1 ( 3, x = 5 − 5 − x 2 ) 2 1 1 1 = −a + a2 + x − ; 0 < a < 16 16 4 ⎧ 1 2 ⎪ y = −a + a + x − 1 ⎪ 16 HD : y = x 2 + 2ax + → ⎨ 16 ⎪ 1 2 x a a y = − ± + − ⎪⎩ 16 4, x 2 + 2ax + Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 7 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 5,3 + 3 + x = x 6, x 2 + x + 5 = 5 ( 7, x = a − b a − bx 2 ) 2 8, x 2 + x + a = a 29 12 x + 61 = 6 36 29 12 x + 61 3x 2 + x − = ⇔ 18 x 2 + 6 x − 29 = 12 x + 61 6 36 2 Vì f ( x ) = 18 x + 6 x − 29 => f '( x) = 6 ( 6 x + 1) → Ñaët 12 x + 61 = 6 y + 1 9, 3 x + x − 2 10, x − x − 2004 1 + 16032 x = 2004 (Thi choïn HSG Baéc Giang naêm hoïc 2003 – 2004). 1 Xeùt haøm soá f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Ñaët 1 + 16032 x = 2t − 1, t ≥ 2 2 ⎧⎪t 2 − t = 4008 x Ta coù heä PT sau: ⎨ 2 ⎪⎩ x − x = 4008t 63 x 3 3 2 9 11, 3 x − = − x + x 8 3 2 4 63 x 3 3 2 9 2 9 3 3x − = − x + x ⇔ 3 24 x − 63 = x 3 − 3 x 2 + x 8 3 2 4 3 2 2 3 9 9 2 2 Xeùt haøm soá f(x) = x − 3x + x ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 6 x + ⇒ f '' ( x ) = 4 x − 6 3 2 2 3 Ñaët 24 x − 63 = 2 y − 3 3 12,( Toaùn hoïc vaø Tuoåi treû Thaùng 6 naêm 2001) Giaûi PT sau: 3 81x − 8 = x 3 − 2 x 2 + Xeùt haøm soá f(x) = x − 2 x + 3 => f’’(x) = 6x – 4. Ñaët 2 3 4 x−2 3 4 x − 2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 3 81x − 8 = 3 y − 2 13) x 2 = 2 − x + 2 14) x 2 − 4 x − 3 = x + 5 15) x 3 + 2 = 33 3 x − 2 16) 3 x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5 17) x + 1 = x 2 + 4 x + 5 18) 4x + 9 = 7x2 + 7x 28 19) 9 x − 5 = 3x + 2 x + 3 2 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 8 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Caùc phöông trình keå treân laø caùc phöông trình ñoái xöùng, tuy nhieân hai ví duï sau cuõng caàn nghieân cöùu. 20,4 x 2 + 3 x + 1 + 5 = 13 x ⇔ ( 2 x − 3) = − 3 x + 1 + x + 4 2 2 ⎧ ⎪( 2 x − 3) = 2 y + x + 1 Ñaët − 3 x + 1 = 2 y − 3 → ⎨ 2 ⎪⎩( 2 y − 3) = 3 x + 1 21,8 x 3 + 53 x = 36 x 2 + 3 3 x − 5 + 5 ⇔ ( 2 x − 3) = 3 3 x − 5 + x − 2 3 ⎧( 2 x − 3)3 = 2 y + x − 5 ⎪ Ñaët 3 x − 5 = 2 y − 3 → ⎨ 3 ⎪⎩( 2 y − 3) = 3 x − 5 α x+β = b log a ( px + q ) + cx + d Loaïi 2: a 3 PP: Ñaët: log a ( px + q ) = α y + β 22,7 x = 2 log 7 ( 6 x + 1) + 1 3 23,3x = 1 + x + log3 (1 + 2 x ) ⎛1⎞ 24, ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 sin 2 x + 1 = cos2 x + log 4 ( 3cos2 x − 1) 2 §. PHÖÔNG PHAÙP “MOØ” NGHIEÄM 1 +2 1, 3 x + 3 + x 2 + 1 + x + x 2 = x +1 VT ñoàng bieán, VP nghòch bieán ⇒ coù khoâng quaù moät nghieäm. “Moø” x = 0 laø moät nghieäm. 2, ( 3) x − 2 x−1 = 2 Laäp baûng bieán thieân ⇒ coù khoâng quaù hai nghieäm. “Moø” x = 2, x = 4 laø nghieäm. ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 1 3, c ( c − a )( c − b ) a ( a − b )( a − c ) b ( b − c )( b − a ) x Trong ñoù a, b, c laø ba soá khaùc nhau vaø khaùc khoâng. Pt baäc 3 neân coù khoâng quaù 3 nghieäm. “Moø” coù ba nghieäm a, b, c. 4, ( a 2 − a ) ( x 2 − x + 1) = ( a 2 − a + 1) ( x 2 − x ) 2 3 3 2 Xeùt TH ñaëc bieät TQ: Pt baäc 6 neân coù khoâng quaù 6 nghieäm. Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 9 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 1 1 1 1 NX: Neáu x0 laø nghieäm thì cuõng &1 − x0 cuõng laø nghieäm, do ñoù ,1 − , x0 1 − x0 x0 1 − 1 x0 laø nghieäm. Deã thaáy a laø moät nghieäm. 5, 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x < 35 6, x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0 Moø ñöôïc nghieäm x = 3 neân ta seõ phaân tích ra thöøa soá chung ( x − 3) . x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 4 = 4x + 4 8 x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 ⇔ − 2 = 4 4x + 4 − 2 8 7, x 5 + x 3 − 1 − 3 x + 4 = 0 ⇔ 8, x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8 9, x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 + 5 13 x − 7 < 8 1 1 1 10,5 x + 4 x + 3x + 2 x = x + x + x − 2 x 3 + 5 x 2 − 7 x + 17 2 3 6 §. PHÖÔNG PHAÙP ÑAÙNH GIAÙ Phöông phaùp naøy hay duøng trong phöông trình coù nhieàu aån, coù nhieàu loaïi haøm soá, bieåu thöùc phöùc taïp. tan 2 x + tan 2 y = sin 2 x + sin 2 y 2 2 1 + tan x + tan y 2 2 Ñaët a = tan x, b = tan y ⇒ a, b ≥ 0 a+b a b Trôû thaønh: = + 1+ a + b 1+ a 1+ b a ⎧ a ≤ ⎪⎪1 + a + b 1 + a b a b a Ta coù: ⎨ ⇒ + ≤ + b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b ⎪ b ≤ ⎩⎪1 + a + b 1 + b 1, 2, 5 ( x 2 + 2 yz ) + 6 ( y 2 + 2 zx ) + 5 ( z 2 + 2 xy ) = 4 ( x + y + z ) G G 2 2 2 Xeùt 2 vector a = 5; 6; 5 , b = ( x + 2 yz; y + 2 zx; z + 2 xy ) Khi ñoù, GG G G VT = a.b;VP = a . b ( 3, 36 + x−2 ) 4 = 28 − 4 x − 2 − y − 1 y −1 Duøng CauChy. Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 4; 4 1 − x 2 + 4 1 − x + 4 1 + x = 3 *) 4 1 − x 2 ≤ 1 1+ 1+1− x 1+1+ x 1+ 2 2 + =2 2 2 1+ 1− x 1+ 1+ x + ≤ 2 2 ⎧x = 0 ⎪ ⇒ 4 1 − x2 + 4 1 − x + 4 1 + x = 3 ⇔ ⎨ 4 1 − x = 4 1 + x = 1 ⇔ x = 0 ⎪ ⎩ 1− x = 1+ x =1 5; tan 4 x + tan 4 y + 2cot 2 x.cot 2 y = 3 + sin 2 ( x + y ) *) 4 1 − x + 4 1 + x ≤ VT ≥ 2 tan 2 x.tan 2 y + 2cot 2 x.cot 2 y ≥ 4 tan x.tan y.cot x.cot y = 4 VP ≤ 3 + 1 = 4 ⎧ tan 2 x = tan 2 y ⎧ tan 2 x = tan 2 y ⎧ tan 2 x = tan 2 y ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ → ⎨ tan x.tan y = cot x.cot y ⇔ ⎨ tan x.tan y = ⇔ ⎨ tan 2 x.tan 2 y = 1 tan x.tan y ⎪sin 2 x + y = 1 ⎪ ⎪sin 2 x + y = 1 ( ) ( ) ⎩ ⎩ ⎪sin 2 ( x + y ) = 1 ⎩ π π ⎧ x= +k ⎪ π π 4 2 ⎧ ⎧ tan 2 x = 1 ⎪ x k = + ⎪ π π ⎪ ⎪⎪ 4 2 ⇔ ⎨ tan 2 y = 1 ⇔ ⎨y = + l ⇔⎨ (b»ng c¸ch rót l theo m, k ) π π 4 2 ⎪cos 2 x + y = 0 ⎪ ⎪ y = + ( 2m − k ) ( ) ⎩ ⎪⎩ π ⎪ 4 2 x y m π + = + ⎪⎩ 2 6; T×m m ®Ó ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m, ∀x ∈ [ −4;6] §kc : x = 1 → m ≥ 6 §k® : gs m ≥ 6, *) ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ 4+ x+6− x =5 2 *) x 2 − 2 x + m = ( x − 1) + m − 1 ≥ 5 2 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 11 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 7; x − 2 + 4 − x = x − 6 x + 11 2 (1 *) x − 2 + 4 − x ≤ 2 + 12 ) ( x − 2 + 4 − x ) = 2 *) x 2 − 6 x + 11 = ( x − 3) + 2 ≥ 2 2 8; x − 1 + x − 3 ≥ 2 ( x − 3) + 2 x − 2 2 *) x − 1 + x − 3 ≤ (1 2 2 + 12 ) ⎡( x − 1) + ( x − 3) ⎤ ⎣ ⎦ ⇒ x −1 = x − 3 9;sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = 2 2 *)sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = −2cos 2 x.sin x − 2sin 2 x 2 2 ≤ ⎡( −2cos 2 x ) + ( −2sin 2 x ) ⎤ ( sin 2 x + 1) ≤ 2 2 ⎣ ⎦ ⎧ −2cos 2 x −2sin 2 x = ⎪ → ⎨ sin x → vn0 1 ⎪sin 2 x = 1 ⎩ 3 10, x 2 = 2 x 8 + 8 2 *)Nn0 : x = ± 2 1 *)2 x 8 + ≥ x 4 8 1 *) x 4 + ≥ x 2 4 2 11, x + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 *) x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 ≤ ( 3 x + 3) + 1 ⇔ ( x + 1) ≤ 0 ⇔ x = −1 2 1 5 = x 2 1 *)Nn0 : x = 4 12,8 x 2 + *)8 x 2 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 = 8x 2 + + + + ≥ x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 13, x 2 − 4 x + 9 + x 2 + 4 x + 9 = 6 ( )( ) *)VT ≥ 2 4 x 2 − 4 x + 9 x 2 + 4 x + 9 = 2 4 x 4 + 2 x 2 + 81 ≥ 2 4 81 = 6 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 12 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai ( ) 14, 3 25 x 2 x 2 + 9 = 4 x + ( Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT 3 x ) ⇔ 3 25 x 4 2 x 2 + 9 = 4 x 2 + 3 *)VT ≤ 15, ( 5x 2 + 5x 2 + x 2 + 9 3 ) = VP 2 2 + x = x+9 x +1 1 x x ⎞ ⎛ 1 + x +1 ≤ ( 8 + x + 1) ⎜ + ⎟ = VP x +1 x +1 ⎝ x +1 x +1⎠ 1 16, 3 x 2 − 1 + x 2 − x − x x 2 + 1 = 7x2 − x + 4 2 2 *)VT = 2 2 ( *)VT ≤ (1 1 *)VP = 2 )( ⎡2 ( x + 2 ) + ( 5x ⎣ 2 ) ) + 12 + x 2 3 x 2 − 1 + x 2 − x + x 2 + 1 = 2 2 2 ) (x 2 )( + 2 5x 2 − x − x ⎤⎦ 1 ≥ 2 x 2 + 2 5x 2 − x = 2 ( )( ) ) (x 2 )( + 2 5x 2 − x ) 17, x 2 − 2 x + 5 − x 2 − 6 x + 10 = 5 *)VT = ( x − 1) + 2 2 − G G G G *) a − b ≤ a − b ( x − 3) 2 + 12 ≤ ⎡⎣( x − 1) − ( x − 3) ⎤⎦ + [ 2 − 1] = 5 2 2 2 18, ( 3 − x ) x − 1 + 5 − 2 x = 40 − 34 x + 10 x 2 − x 3 2 *)VT ≤ ⎡( 3 − x ) + 12 ⎤ ⎡ ⎣ ⎦ ⎢⎣ GG G G *)a.b ≤ a . b ( ) ( 2 x −1 + ) 2 5 − 2 x ⎤ = VP ⎥⎦ ⎧⎪ x + 1 + x + 3 + x + 5 = y − 1 + y − 3 + y − 5 19, ⎨ 2 2 ⎪⎩ x + y + x + y = 80 *) pt (1) ⇔ x = y − 6 697 ⎧ 4 2 ⎪x + y = 20, ⎨ 81 2 2 ⎪ x + y + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0 ⎩ Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 13 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT *) Xeùt phöông trình hai. Neáu xem laø phöông trình aån x thì ta ñöôïc 0 ≤ y ≤ ngöôïc laïi neáu xem laø phöông trình aån y thì ta laïi ñöôïc 0 ≤ x ≤ 4 7 , coøn 3 4 3 2 ⎛4⎞ ⎛7⎞ *) x + y ≤ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = VP ⎝ 3⎠ ⎝3⎠ 4 2 §. LÖÔÏNG LIEÂN HÔÏP. 1, ( x + 3) 2 x 2 + 1 = x 2 + x + 3 x2 + x + 3 ⇔ 2x + 1 = x+3 x2 + x + 3 2 ⇔ 2x + 1 − 1 = −1 x+3 2 ⇔ ( )( 2x + 1 − 1 2 x2 ⇔ 2x = x+3 2 ( ) x2 2x + 1 + 1 = x+3 2 ( ) 2x2 + 1 + 1 ) 2x2 + 1 + 1 2, ( 3x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + 2 x + 3 3x 2 + 2 x + 3 ⇔ x +3 = 3x + 1 ⎧ 2 3x 2 + 2 x + 3 x x + − = − 2x 3 2 ⎪⎪ x + 3 1 ⇔⎨ ⎪x > − 1 ⎪⎩ 3 3x 2 + 2 x + 3 2 2 P : x + 3 − (α x + β ) = − (α x + β ) 3x + 1 3; ( x + 3) x 2 + x + 2 = x 2 + 3 x + 4 2 4; ( x + 1) x + 8 = x 2 + x + 4 5; ( 2 x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + x + 2 4 20 − 3 3x x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 2 6; x − 3 = x − 7; ( 3 x + 1) Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 14 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT x −1 2x − 3 1 7 9; x + 3 = x − +5 2 2x 8; 2 x 2 − 3 x + 1 = 2 §. HOAÙN ÑOÅI VAI TROØ CUÛA AÅN SOÁ VAØ THAM SOÁ. 1; x − 10 x − 2 ( a − 1) x 2 + 2 ( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0 4 3 2; x 3 − ( 4a + 3) x 2 + 4a ( a + 2 ) x − 4 ( a 2 − 1) = 0 §. THAM SOÁ HOÙA CHO PHÖÔNG TRÌNH PP tham soá hoùa cho moät phöông trình laø ñöa vaøo phöông trình moät tham soá naøo ñoù. Coù hai daïng chính sau: Daïng 1: Choïn moät haèng soá phuø hôïp vaø tham soá hoùa noù, sau ñoù hoaùn ñoåi vai troø cuûa aån soá vaø tham soá ñeå giaûi. 1, x 3 + 68 15 = x3 x 2 17 17 − 2 = x3 x Choïn 17 laøm tham soá. Khi ñoù ta xeùt phöông trình sau: ⎡m = − x 2 2 2m m − 2 4 x3 + 3 = ⇔ x 2 m 2 − 2m − x 6 − 2 x 2 = 0 ⇔ ⎢ ⎢m = x + 2 x x ⎢⎣ x2 ⎡ − x 2 = 17 ⎢ Do ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi x 4 + 2 ⎢ ⎢⎣ x 2 = 17 2, x 4 + x 3 − 2 x 2 − 15 x + 25 = 0 ⇔ x3 + 3, x + 11 + x = 11 ⇔ (11 − x ) = 11 + x 2 Daïng 2: Möôïn tham soá trong ñònh lyù Lagrange. 4, x log3 7 = 2 log3 x + log3 x 5 ⇔ 7log3 x = 2 log3 x + 5log3 x ⇔ 7log3 x − 7log3 x = 2 log3 x − 2 log3 x α naøo ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Khi ñoù ta coù 7log α − 7log3 α = 2 log α − 2 log3 α log α Xeùt haøm soá f ( t ) = t 3 − t log3 α . Vì f ( t ) coù ñaïo haøm treân [ 2;7] neân theo ñònh lyù Gs soá döông 3 Lagrange ta coù: ∃m ∈ ( 2;7 ) : f ' ( m ) = Tác giả: Huỳnh Thanh Luân 3 f ( 7) − f ( 2 ) 7−2 Trang 15 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai ⇒ f ' ( m ) = 0 ⇔ log3 α .m log3 α −1 Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT − log3 α = 0 ⎡ log3 α = 0 ⎡α = 1 ⇔ ⎢ log α −1 ⇔⎢ 3 −1 = 0 ⎣α = 3 ⎣m Thöû laïi ta coù taäp nghieäm cuûa pt ñaõ cho laø S = {1;3} 5,7cot x − 11cot x = 12cot x ⇔ 7cot x − 11cot x = 3 (11 − 7 ) cot x ⇔ 7cot x + 3.7cot x = 11cot x + 3.11cot x → f ( t ) = t cot α + 3t cot α x 1 1 ⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞ 6, x − x = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ 2 3 ⎝ 14 ⎠ ⎝ 21 ⎠ x ⎧1 5 1 ⎪⎪ 2 = 14 + 7 NX : ⎨ ⎪1 = 4 + 1 ⎪⎩ 3 21 7 α ⎛ 1⎞ → f ( t ) = ⎜ t + ⎟ − tα ⎝ 7⎠ 7,2 log5 x + 2 log5 x = x + x log5 7 3 2 ⇔ 8log5 x + 4 log5 x = x + 7log5 x ⇔ 8log5 x + 4 log5 x = 5log5 x + 7log5 x ⇔ 8log5 x − 5log5 x = 7log5 x − 4 log5 x → f ( t ) = ( t + 3) log5 α − t log5 α 8, x log7 11 + 3log7 x = 2 x §. PHAÂN TÍCH HÔÏP LYÙ. 1, 1 2 1 7 + 2+ = 2x 4 x −1 x 2 ⇔ 1 2 1 7 ⎛1⎞ 1⎛ 1⎞ 3 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ −1 = − 2 − + = −2 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + = −2 ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ x 2x 4 x −1 ⎝ x ⎠ 2⎝ x ⎠ 4 ⎝ x 2 ⎠⎝ x 4 ⎠ Ta ph©n tÝch sao ®Ó tam thøc bËc hai cã nghiÖm ®Æc biÖt. 1− x −1 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ = −2 ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ x −1 ⎝ x 2 ⎠⎝ x 4 ⎠ 2− x 2− x⎛1 3⎞ ⇔ = −2 ⎜ + ⎟ 2x ⎝ x 4 ⎠ x −1 1+ x −1 ⇔ ( ) Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 16 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai x2 + x + 1 x2 + = 2, 2 x+4 1 x2 + 1 Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT +2 ⎛ x2 + x + 1 ⎞ ⎛ x2 3 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⇔⎜ − 1⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ⎟ x+4 ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ x +1 2 ⎠ 3 − x2 x2 − 3 x2 − 3 ⇔ + = ⎛ x2 + x + 1 ⎞ 2 2 x2 + 1 2 + x2 + 1 + 1⎟ ( x + 4 ) ⎜⎜ ⎟ 4 x + ⎝ ⎠ 3 3; x 3 − 3 x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0 ( ) − ( a + 1) ⎡ 3 ( a + 1) ⎤ 3 ( a + 1) =⎢ ⇒ cn x = − 0 ⎥ 1 −3 ⎣ −3 ⎦ 3 3 4; x3 − 3 x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0 2 gÇn gièng cña khai triÓn ( a − b ) 3 → ( a + 1) x3 − 3 x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0 2 3 2 3 → ax 3 + ⎡ x 3 − 3 x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ → ax 3 + ⎡⎣ x − ( a + 1) ⎤⎦ = 0 3 5; x8 − x5 + x 2 − x + 1 = 0 Khoâng nhaåm nghieäm vì baäc quaù cao vaø nghieäm höõu tyû cuûa pt chæ coù theå laø ±1 . Ta seõ phaân tích thaønh toång caùc bình phöông. x⎞ ⎛ *) x − x → ⎜ x 4 − ⎟ 2⎠ ⎝ 8 2 5 ⎛x ⎞ *) − x + 1 → ⎜ − 1⎟ ⎝2 ⎠ 2 2 2 2 ⎛ 4 x⎞ ⎛ x ⎞ x → x − x + x − x + 1 = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − 1⎟ + 2⎠ ⎝2 ⎠ 2 ⎝ 6;cos x − 3 3 sin x = cos7 x 8 5 2 ⇔ cos x − cos7 x − 3 3 sin x = 0 ⇔ 2sin 4 x.sin 3x − 3 3 sin x = 0 ⇔ 2sin 4 x.sin x ( 3 − 4sin 2 x ) − 3 3 sin x = 0 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT ⎡sin x = 0 ⇔⎢ ⎢⎣ 2sin 4 x + 4sin 4 x.cos 2 x = 3 3 (*) 3 3 (*) ⇔ sin 2 x.cos 2 x + sin 4 x.cos 2 x = 4 2 2 2 Ta cã: cos 2 x + sin 4 x = cos 2 x ⎡⎣1 + 4sin 2 2 x ⎤⎦ 2 1 1 ⎛ 4cos 2 2 x + 1 + 4sin 2 2 x ⎞ 25 ⎛ 3 3 ⎞ 2 2 = .4cos 2 x ⎣⎡1 + 4sin 2 x ⎦⎤ ≤ .⎜ <⎜ ⎟ → ptvno ⎟ = 4 4⎝ 2 ⎠ 16 ⎝ 4 ⎠ 2 7; (1 + cos x ) ( 2 + 4cos x ) = 3.4cos x §Æt t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1 → (1 + t ) ( 2 + 4t ) = 3.4t ⇔ 3.4t − (1 + t ) = 0 2 + 4t 3.4t 6.ln 4.4t §Æt f ( t ) = − (1 + t ) → f ' ( t ) = −1 t2 2 + 4t + 2 4 ( ) f ' ( t ) = 0 cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm nªn f ( t ) = 0 cã kh«ng qu¸ ba nghiÖm. 1 lμ ba nghiÖm. 2 1 2 2a + x −1 ≤ x −1 1− x 8; 1 2 −1 2 + 2 2− x + 2 t = 0; t = 1; t = a) Giaûi khi a = 4 b) Tìm a ñeå bpt coù ít nhaát hai nghieäm trong ñoù coù moät nghieäm nhoû hôn 1, moät nghieäm lôùn hôn 1. 1 2− x + 1 2 + 2 2 x −1 −1 ≤ 2a 2 2 2a ⇔ 1− x + x −1 ≤ x−1 1− x 1− x 2 +2 2 + 1 ( 2 − 1) 2 + 2 x −1 2 x−1 + 21− x ) ( 2 x−1 + 21− x a ⇔ 1− x ≤ ⇔ ≤a ( 2 + 1)( 2x−1 − 1) 2x−1 + 21− x ( 21− x + 1)( 2x−1 − 1) 2 ⎡( 21− x + 1) + ( 2 x −1 − 1) ⎤ ⎦ ≤a ⇔⎣ 1− x x −1 ( 2 + 1)( 2 − 1) 2 ⎡( 21− x + 1) + ( 2 x−1 − 1) ⎤ ⎦ ≤4 a) a = 4 → ⎣ x −1 1− x ( 2 + 1)( 2 − 1) 2 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai TH : ( 2 x −1 − 1) < 0 ⇔ x < 1 → VT < 0 → lu«n ®óng. Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT ⎡ ( a + b )2 ⎤ ≥ 4, ∀ab > 0 ⎥ TH : ( 2 − 1) > 0 ⇔ x > 1 → VT ≥ 4 = VP ⎢ ⎣⎢ ab ⎦⎥ b)§kc: ®Ó cã mét nghiÖm x > 1 → a ≥ 4 x −1 §k®: Khi th× bpt tháa yc bt. 9;log 2 log 2 x = log 3 log 3 x §k x > 1 ⎧⎪2t = 3t log 2 3 ⎧log 2 log 2 x = t ⎧⎪ x = 22 →⎨ t →⎨ §Æt t = log 2 log 2 x → ⎨ 2t 2 3t = log log x t ⎩ 3 3 ⎪⎩ x = 2 ⎪⎩2 = 3 t ⎧⎛ 2 ⎞t log 2 log 2 3 ⎪⎜ ⎟ = log 2 3 2 3 → ⎨⎝ 3 ⎠ →x=2 t ⎪ 2 ⎩x = 2 10;log 2 x + log 3 x + log 5 x = log 2 x.log 3 x.log 5 x §k: x > 0 → log 5 x ( log 2 5 + log 3 5 + 1) = log 2 x.log 3 x.log 5 x ⎡log 5 x = 0 →⎢ 2 ⎢⎣log 2 5 + log 3 5 + 1 = log 2 x.log 3 x = log 2 3 ( log 3 x ) ⎡x =1 ⎢ →⎢ log 2 5 + log 3 5 + 1 log 3 x = ± ⎢⎣ log 2 3 11;log 2 log 3 log 4 x = log 4 log 3 log 2 x §k: x > 4 → log 4 ( log 3 log 4 x ) = log 4 log 3 log 2 x 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 log 2 x 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 ( 2log 4 x ) = log 3 2 + log 3 log 4 x 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) − ( log 3 log 4 x ) − log 3 2 = 0 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) = 1 + 1 + 4log 3 2 , l−u ý ®k x > 4 → ( log 3 log 4 x ) > 0 2 Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai 12; x log x +1 ( x −1) + ( x − 1) log x +1 x Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT ≤2 §k: x > 1. L−u ý: a logb c = c logb a 13; x 2 ( ) ≥ 8 x 2 §k: x > 0 log 4 x LÊy logrit c¬ sè 2 hai vÕ → log 2 ( 4 x ) .log 2 x ≥ log 2 ( 8 x 2 ) 14;log 2 x + log 3 ( x + 1) = log 4 ( x + 2 ) + log 5 ( x + 3) §k: x > 0 x x+2 x+2 ⎧x x + 2 ⎧ > > > > 1 log log log 2 2 4 ⎪⎪ 2 ⎪⎪ 4 2 4 4 →⎨ *) x > 2 → ⎨ ⎪ x + 1 > x + 3 > 1 ⎪log x + 1 > log x + 3 > log x + 3 3 3 5 5 3 5 5 ⎩⎪ 3 ⎩⎪ ⎧⎪log 2 x > log 4 ( x + 2 ) →⎨ ⎪⎩log 3 ( x + 1) > log 5 ( x + 3) *) x < 2 tt *) x = 2 lμ n o 2x + 1 15;2 x 2 − 6 x + 2 = log 2 2 ( x − 1) §k: − 1 < x ≠1 2 → 2 x 2 − 6 x + 2 = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 ( x − 1) 2 ⇔ 2 ( x − 1) − ( 2 x + 1) + 1 = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 ( x − 1) 2 ⇔ 2 ( x − 1) − ( 2 x + 1) = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 2 ( x − 1) 2 2 2 2 2 ⇔ ⎡ 2 ( x − 1) + log 2 2 ( x − 1) ⎤ = ⎡⎣( 2 x + 1) + log 2 ( 2 x + 1) ⎤⎦ ⎣ ⎦ ⇔ 2 ( x − 1) = ( 2 x + 1) , v× hμm sè f ( t ) = t + log 2 t ®ång biÕn. 2 §. MOÄT SOÁ BAØI VEÀ HEÄ ÑOÁI XÖÙNG, ÑAÚNG CAÁP. ⎧x + y + z = 1 1; ⎨ xem z lμ tham sè. 2 2 2 2 1 x + y − xy + z = ⎩ Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 20