Tài liệu Chuyên đề lý thuyết cơ bản về tương giao luyện thi đại học-đặng việt hùng

VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu tham khảo: 03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO Thầy Đặng Việt Hùng Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị f = f(x) và y = g(x) là f ( x ) = g ( x ) ⇔ h ( x ) = 0, (1) Số nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện tồn tại chính là số giao điểm của hai đồ thị đã cho. Việc biện luận số giao điểm của hai đồ thị quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1). Ví dụ. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây : 2x + 1   y = x3 − 3x − 2 y = a)  b)  x+2  y = m ( x − 2)  y = 2 x + m  y = x 4 + x 2 + 1 c)  2  y = (1 − m ) x + 2m Hướng dẫn giải:  y = x3 − 3x − 2 a)   y = m ( x − 2) ( ) Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3x − 2 = m ( x − 2 ) ⇔ ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 1 = m ( x − 2 ) , (1) x = 2 ⇔ 2 2 ( x + 1) = m ⇔ h ( x ) = x + 2 x + 1 − m = 0, ( 2 ) Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3.
Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm. Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2.  ∆′ < 0 1 − (1 − m ) < 0 ⇔ m < 0  ′  0 ∆ =  ⇔  m = 0 ⇔ m < 0. Từ đó ta có điều kiện tương ứng     → vno b   =2  x = −  −1 = 2 2a 
Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt. Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2.   ∆′ = 0   →m = 0  x = − b ≠ 2  2a Ta có điều kiện    ′   ∆ > 0 ⇔  m > 0  →m = 9     h ( 2 ) = 0  m = 9
Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm khi (1) có ba nghiệm phân biệt. m > 0  ∆′ > 0 Điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt và đều khác 2 ⇔  ⇔  h ( 2 ) ≠ 0  m ≠ 9 Kết luận: + Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m < 0. + Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi m = 0 hoặc m = 9. + Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi m > 0 và m ≠ 9. 2x + 1  y = b)  x + 2 . Điều kiện: x ≠ −2.  y = 2 x + m 2x + 1 Phương trình hoành độ giao điểm: = 2 x + m ⇔ 2 x 2 + ( m + 2 ) x + 2m − 1 = 0 ⇔ h ( x ) = 0, (1) . x+2 Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2.
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = −2. Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  m 2 + 4m + 4 − 8 ( 2m − 1) < 0 ∆ < 0 6 − 2 6 < m < 6 + 2 6   2  0 ∆ =    Ta có   ⇔ m − 12m + 12 = 0 ⇔  m = 6 ± 2 6 ⇔ 6 − 2 6 < m < 6 + 2 6.   vn  → b   o   − m + 2 = −2 = −2  x = −  m = 6 2a    4
Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có nghiệm kép khác −2 hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm là x = −2.   m 2 − 12m + 12 = 0  m = 6 ± 2 6   ∆ = 0 ⇔  →m = 6 ± 2 6   m 2 +  −  ≠ −2  m ≠ 6 b     x=− 4  ≠ −2  2a Ta có điều kiện:   ⇔ m > 6 + 2 6  2  0 ∆ >    12 12 0 m m − + >    → vno  8 − 2 m + 2 + 2m − 1 = 0 ⇔   m < 6 − 2 6    h ( 2 ) = 0 ( )      3 = 0 
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác −2 m > 6 + 2 6 2 m > 6 + 2 6  ∆ > 0 m − 12m + 12 > 0 Ta có điều kiện:  ⇔ ⇔   m < 6 − 2 6  → h ( 2 ) ≠ 0 8 − 2 ( m + 2 ) + 2m − 1 ≠ 0   m < 6 − 2 6 3 ≠ 0 Kết luận: + Hai đồ thị không cắt nhau khi 6 − 2 6 < m < 6 + 2 6. + Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m = 6 ± 2 6. m > 6 + 2 6 + Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi   m < 6 − 2 6 4 2  y = x + x + 1 c)  2  y = (1 − m ) x + 2m Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 + x 2 + 1 = (1 − m ) x 2 + 2m ⇔ x 4 + mx 2 + 1 − 2m = 0 ⇔ h ( x ) = 0, (1) . Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 4. Đặt t = x 2 , ( t ≥ 0 )  → h ( t ) = t 2 + mt + 1 − 2m = 0, ( 2 )
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép âm, hoặc có hai nghiệm âm phân biệt. + (2) vô nghiệm khi ∆ < 0 ⇔ m2 − 4 (1 − 2m ) < 0 ⇔ m2 + 8m − 4 < 0 ⇔ ( m + 4 ) < 20 ⇔ −4 − 2 5 < m < −4 + 2 5 2  m 2 + 8m − 4 = 0 ∆ = 0    m = −4 ± 2 5 + (2) có nghiệm kép âm khi  −b ⇔  −m ⇔  → m = −4 + 2 5. <0  m > 0 t = 2a < 0   2   m > −4 + 2 5   m 2 + 8m − 4.0   m < −4 − 2 5 ∆ > 0   1  ⇔ m > 0  → −4 + 2 5 < m < . + (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi t1 + t2 < 0 ⇔  − m < 0 2 t t > 0 1 − 2m > 0  1 12  m < 2   1 Hợp ba khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị không cắt nhau là −4 − 2 5 < m < . 2
Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có một nghiệm, điều đó chỉ xảy ra khi nghiệm đó là x = 0. 1 Từ đó ta được kiện 1 − 2m = 0 ⇔ m = . 2
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương, hoặc có hai nghiệm trái dấu. Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  m 2 + 8m − 4 = 0 ∆ = 0    m = −4 ± 2 5 ⇔  −m ⇔  → m = −4 − 2 5. + (2) có nghiệm kép dương khi  −b >0  m < 0 t = 2a > 0   2 1 + (2) có hai nghiệm trái dấu khi t1t2 < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m > . 2  m = −4 − 2 5 Hợp hai khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm là  m > 1  2
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0. 1  h ( 0 ) = 0 1 − 2m = 0 m = ⇔ ⇔ → vno . Điều đó xẩy ra khi  2  t1 + t2 > 0 −m > 0 m < 0 Vậy không có giá trị nào của m để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm.
Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm khi (1) có bốn nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt, và hai nghiệm đều dương.   m > −4 + 2 5   m 2 + 8m − 4 > 0   m > −4 − 2 5 ∆ > 0    ⇔ m < 0  → m < −4 − 2 5. Điều đó xẩy ra khi t1 + t2 > 0 ⇔  −m > 0 t t > 0 1 − 2m > 0  1 12  m < 2   Kết luận: 1 + Hai đồ thị không cắt nhau khi −4 − 2 5 < m < . 2 1 + Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m = . 2  m = −4 − 2 5 + Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi  m > 1  2 + Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi m < −4 − 2 5. Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu bài giảng: 04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Xét các hàm số y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n Ta có phương trình hoành độ giao điểm : ax 3  bx 2  cx  d  mx  n  Ax 3  Bx 2  Cx  D  0  h( x )  0 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho. DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIA O ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ DẠNG 2 . CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Loại 1: Các bài toán về hoành độ giao điểm Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  3mx  2 và đường thẳng d : y  5 x  1. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt a) có hoành độ dương b) có hoành độ lớn hơn 2 c) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12  x22  x32  21 ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 2 : Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3 x  3m  2 và đường thẳng d : y  5 x  1. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị ( C) tại ba điểm phân biệt a) có hoành độ lớn hơn –1 b) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12  x22  x32  15 ………………………………………………………………………………………………………………… Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  (m  1) x  m  1 và đường thẳng d : y  2 x  m  1. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 4 *: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1) Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010) Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn x12  x22  x32  4. Bài 2. Cho hs y  x 3  (m  3) x 2  4mx  m 2 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho x A2  xB2  xC2  8 . Đ/s. m  1 . Gợi ý. Đoán nghiệm x  m Bài 3. Cho hàm số y  x3  3mx 2  3x  3m  2 (Cm) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12  x22  x32  4 Bài 4. Cho hàm số y = x3 – 6x2 + mx. Tìm m để đường thẳng y = 2x cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương. Bài 5. Cho hàm số y = x3 – 3x – 2, có đồ thị là ( C). Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ xA = 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng a) Xác định k để d cắt ( C) tại 3 điểm phân biệt. b) Xác định k để d và (C) cắt nhau tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. Bài 6. Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số cộng. Bài 7. Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị là ( C). Gọi (dk) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại a) 3 điểm phân biệt. b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương. Bài 8. Cho hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 – 9x Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu bài giảng: 05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng ax + b  ( C ) : y = cx + d Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất  ( d ) : y = mx + n  ax + b = mx + n ⇔ Ax 2 + Bx + C = 0 ⇔ g ( x) = 0, (1) cx + d Trong đó g(x) = 0 là một phương trình bậc hai. Ta có phương trình hoành độ giao điểm Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x ≠ − d của phương trình (1). c DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ 1: Cho hàm số y = x+3 và đường thẳng d : y = − x + m. 2x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x + 3 và đường thẳng d : y = − mx + 2. x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Ví dụ 3: Cho hàm số y = −3 x + 2 và đường thẳng d : y = 2 x + m. x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Ví dụ 4: Cho hàm số y = x+2 và đường thẳng d : y = 3mx + 1. x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị. Ví dụ 5: Cho hàm số y = x −3 x +1 Viết phươn trình đường d đi qua I (−1;1) sao cho d cắt (C) tại M, N và I là trung điểm của MN. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = − mx + 1 và đường thẳng d : y = (m + 1) x + 2. x+3 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Bài 2: Cho hai đồ thị hàm số ( d ) : y = −2 x + m, ( C ) : y = Thầy Đặng Việt Hùng x+2 . Tìm giá trị của tham số m để 2x −1 a) hai đồ thị không cắt nhau. b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. 3x + 1 Bài 3: Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y = ; ( d ) : y = x + 2m. Tìm giá trị của tham số m để x−4 a) hai đồ thị không cắt nhau. b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1. 4x −1 Bài 4: Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y = ; ( d ) : y = − x + m. Tìm giá trị của tham số m để hai đồ thị hàm 2− x số cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x12 + x22 = 10. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Chuyên đề Hàm số LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng ax + b  ( C ) : y = cx + d Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất  ( d ) : y = mx + n  ax + b = mx + n ⇔ Ax 2 + Bx + C = 0 ⇔ g ( x) = 0, (1) cx + d Trong đó g(x) = 0 là một phương trình bậc hai. d Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x ≠ − của phương trình (1). c Ta có phương trình hoành độ giao điểm DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm x −1 và đường thẳng d : y = − x + m. 2x Ví dụ 1: Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin. 2x − 2 và đường thẳng d : y = 2 x + m. x +1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5. x+2 và đường thẳng d : y = x + m 2x − 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB 2 = 37 , với O là gốc tọa 2 độ. Ví dụ 4: Cho hàm số y = 2x + 1 . Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng d : y = kx + 2k + 1 cắt đồ x +1 thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = 2x . Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao x −1 cho độ dài AB ngắn nhất. Đ/s: m = 1. Bài 2: Cho hàm số y = x −1 (1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + 2 cắt đồ x+m Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Chuyên đề Hàm số LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2. Đ/s: m = 7. Bài 3: Cho hàm số y = 2x −1 (1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ x+2 thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2. Đ/s: m = 7; m = –1. Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) = 2x + 1 . Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): y = x + m cắt (C) tại 2 x −1 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (với I là tâm đối xứng của (C)). Đ/s: m = 3; m = –1. Bài 5: Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị là (C). Tìm các giá trị m để đường thẳng ∆ : y = −3 x + m cắt (C) tại A x −1 và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x − 2 y − 2 = 0 (với O là gốc tọa độ). Đ/s: m = − 11 . 5 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Chuyên đề Hàm số LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P3 Thầy Đặng Việt Hùng ax + b  ( C ) : y = cx + d Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất  ( d ) : y = mx + n  ax + b = mx + n ⇔ Ax 2 + Bx + C = 0 ⇔ g ( x) = 0, (1) cx + d Trong đó g(x) = 0 là một phương trình bậc hai. d Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x ≠ − của phương trình (1). c Ta có phương trình hoành độ giao điểm DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm (tiếp theo) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x và đường thẳng d : y = mx − m − 1. 1− x Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất với A(−1;1). Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x −1 và đường thẳng d : y = x + m. x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ. Ví dụ 3: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2010) Cho hàm số y = 2x +1 và đường thẳng d : y = −2 x + m. x +1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho S∆OAB = 3. Ví dụ 4: Cho hàm số y = x −1 và đường thẳng d : y = x + m. 2x − 4 a) Chứng minh rằng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt M, N với mọi m. b) Gọi P, Q là giao điểm của d và các tiệm cận của (C). Chứng minh rằng MP = NQ. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 2x −1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và cắt (C) tại hai điểm phân x −1 biệt A, B sao cho O là trung điểm của AB. Đ/s: y = –2x. Bài 1: Cho hs y = Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số x . Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B x −1 sao cho tam giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 .  m = −2 OA.OB. AB 1 Gợi ý. S ∆OAB = = d (O, AB ). AB . Suy ra OA.OB = 4 2  → 4R 2 m = 6 x Bài 3: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị (C) x −1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 600 (với O là gốc tọa độ). Đ/s: m = 6. 2x + 3 Bài 4: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai x−2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ). Bài 2: Cho hàm số y = 3x + 2 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m + 1 cắt (C) tại hai điểm x+2 phân biệt A, B sao cho góc
AOB tù. x +1 Bài 6: Cho hàm số y = . Gọi (d) là đường thẳng qua M(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai x−2   điểm phân biệt A, B sao cho MA = −2MB. Bài 5: Cho hàm số y = Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Chuyên đề Hàm số LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 06. TUƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng ax 4 + bx 2 + c − m = 0 ax 4 + bx 2 + c = m  h1 ( x) = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm  4 ⇔ ⇔   4 2 2 2 ax + bx + c = mx + n ax + ( b − m ) x + c − n = 0  h2 ( x) = 0 trong đó h1(x), h2(x) là các hàm trùng phương. Ở đây, ta chỉ xét một phương trình đại diện là h1 ( x) = ax 4 + bx 2 + c − m = 0, (1) . Số giao điểm của hai đồ thị chính là số nghiệm của phương trình (1). Tương tự như tương giao của hàm bậc ba đã xét, chúng ta cũng có hai dạng toán cơ bản với hàm trùng phương. DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 . Tìm m để đồ thị đã cho cắt trục Ox a) tại hai điểm phân biệt b) tại bốn điểm phân biệt. Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 4 + 2m . Chứng minh rằng đồ thị luôn cắt Ox tại ít nhất hai điểm với mọi m < 0. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 4 + 2m 2 x 2 + 1 (C) và đường thẳng d : y = x + 1. Chứng minh răng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM  x14 + x42 + x43 + x44 = α. Loại 1: Các giao điểm có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn   x1 + x2 + x 3 + x4 = β. Ví dụ 4: Cho hàm số y = x 4 + 2 ( m − 1) x 2 + m + 3 , với m là tham số. Tìm m để đường đồ thị cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn a) x14 + x24 + x34 + x44 = 16 b) x1 + x2 + x3 + x4 = 4 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = x4 + 2(1 + m)x2 − 1, (C) và đường cong (P) : y = −2x2. Tìm giá trị của tham số m để a) (C) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. b) (C) và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Bài 2: Tìm m để đồ thị các hàm số 4 2  a)  y = x − 2 x − 1 cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. y = m b) y = x 4 − m ( m + 1) x 2 + m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số c) y = x 4 − ( 2m − 3) x 2 + m 2 − 3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Bài 3: Cho hàm số y = x 4 − ( m − 1) x 2 + 2m − 3 , với m là tham số. Tìm m để đường đồ thị cắt đường thẳng y = 3 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1; x2; x3; x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 10 Đ/s: m = 4. Bài 4: Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m. Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4 điểm phân biệt a) đều có hoành độ nhỏ hơn 2. b) đều có hoành độ lớn hơn −3. c) có hoành độ là x1; x2; x3; x4 sao cho x14 + x24 + x34 + x44 < 12 Bài 5: Cho hàm số y = x 4 − (2m 2 + 1) x 2 − 1 (C) và đường thẳng d : y = 2x – 1. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 06. TƯƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng ax 4 + bx 2 + c − m = 0 ax 4 + bx 2 + c = m  h1 ( x) = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm  4 ⇔ ⇔   4 2 2 2 ax + bx + c = mx + n ax + ( b − m ) x + c − n = 0  h2 ( x) = 0 trong đó h1(x), h2(x) là các hàm trùng phương. Ở đây, ta chỉ xét một phương trình đại diện là h1 ( x) = ax 4 + bx 2 + c − m = 0, (1) . Số giao điểm của hai đồ thị chính là số nghiệm của phương trình (1). Tương tự như tương giao của hàm bậc ba đã xét, chúng ta cũng có hai dạng toán cơ bản với hàm trùng phương. DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM (tiếp theo)  x4 + x42 + x43 + x44 = α. Loại 1: Các giao điểm có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn  1  x1 + x2 + x 3 + x4 = β. Loại 2: Các giao điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng Ví dụ 1. Cho hàm số y = − x 4 + 2(m + 2) x 2 − 2m − 3 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Đ/s: m = 3; m = − 13 9 Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 4 + 2(m + 1) x 2 − 3m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Loại 3: Các giao điểm có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số nào đó Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m2 − 4 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn –4. Đ/s: − 5 < m < 22 2 Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m . Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số 4 điểm phân biệt a) có hoành độ nhỏ hơn 2. b) có hoành độ lớn hơn –3. c) có hoành độ thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 < 12 Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m + 1 . Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tìm m để đồ thị cắt Ox tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ tăng dần sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4, với K(3; –2). BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hàm số: y = x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m có đồ thị ( Cm ) . Tìm m để đồ thị hàm số ( Cm ) cắt đường thẳng y = −1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 + x32 + x42 + x1 x2 x3 x4 = 4 . Đ/s: m = − 1 9 Bài 2. Cho hàm số: y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị ( Cm ) . Tìm m để đồ thị hàm số ( Cm ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. 1 Đ/s: m = − ; m ≥ 1 2 Bài 3. Cho hàm số y = x 4 − (m − 1) x 2 + 2m − 5 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt a) có hoành độ nhỏ hơn 2. b) có hoành độ thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = Đ/s: b) m = 17 . 2 7 2 Bài 4. Cho hàm số y = x 4 − ( m − 1) x 2 + 2m − 3 , với m là tham số. Tìm m để đường đồ thị cắt đường thẳng y = 3 tại bốn điểm phân biệt a) có hoành độ cùng lớn hơn 2 b) có hoành độ thỏa mãn x1; x2; x3; x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 10 Hướng dẫn giải :  x2 = 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x − ( m − 1) x + 2m − 3 = 3 ⇔ x − ( m − 1) x + 2m − 6 = 0 ⇔  2  x = m − 3 4 2 4 m − 3 > 0 m > 3 Để hai đồ thị cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì  ⇔ m − 3 ≠ 2 m ≠ 5 2 ( *) Với điều kiện (*) thì ta có 4 nghiệm của phương trình là x = ± 2; x = ± m − 3  m−3 < 2 m < 5 m < 7 a) Các giao điểm có hoành độ đều lơn hơn 2 khi  ⇔ ⇔ 5 < m < 7 m ≠ 5  2 < m − 3 < 2 3 < m < 7 Kết hợp với điều kiện (*) ta được  m ≠ 5 (  b) Ta có x14 + x24 + x34 + x44 = 10 ⇔ 2  ± 2 ) + (± 4 4 m = 4 2 m − 3  = 10 ⇔ 4 + ( m − 3) = 5 ⇔    m = −2 ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Kết hợp với điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm. Bài 5. Cho hàm số ( Cm ) : y = x4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 , với m là tham số. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox sao cho có ba giao điểm có hoành độ nhỏ hơn 3. Hướng dẫn giải : Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0, (1) t = 1 Đặt t = x 2 ( t ≥ 0 )  → f (t ) = t 2 − 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 ⇔  t = 2 m + 1 Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 thì ta có hai khả năng xảy ra: 1
Khả năng 1: 2m + 1 = 0 ⇔ m = − . 2
Khả năng 2: 2m + 1 > 3 ⇔ 2m + 1 > 9 ⇔ m > 4 1 Vậy: m = − ; m > 1 là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM