Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong
GIAÛI TÍCH 12
HÀM SỐ
LŨY THỪA
MŨ VÀ LÔGARIT
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên
soạn cuốn tài liệu TRỌNG TÂM GIẢI TÍCH 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và
Đào tạo quy định.
Bài tập Giải tích 12 gồm 2 phần
Phần 1. Phần tự luận
Ở phần này tôi trình bày đầy đủ lí thuyết và bài tập có hướng dẫn
giải ở từng bài học. Với mong muốn mong các em nắm được
phương pháp giải bài tập trước khi chuyển sang giải Toán trắc
nghiệm.
Phần 2. Phần trắc nghiệm có đáp án
Ở phần này tôi trình bày tóm tắt các lý thuyết cần nắm, kĩ năng
làm bài trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần
thiết trong quá trình làm bài trắc nghiệm.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất
mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các
em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0939 98 99 66 – 0916 620 899
Email:
[email protected]
Chân thành cảm ơn.
Lư Sĩ Pháp
GV_ Trường THPT Tuy Phong
MỤC LỤC
Phần 1. Hàm số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit
Bài 1. Lũy Thừa.................................................................................. 01 – 08
Bài 2. Hàm Số Lũy Thừa ................................................................... 09 – 13
Bài 3. Lôgarit ...................................................................................... 14 – 24
Bài 4. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit .............................................. 25 – 34
Ôn Tập Hàm Số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit .................................... 35 – 41
Phần 2. Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lôgarit
Bài 1. Phương Trình Mũ ................................................................... 42 – 52
Bài 2. Phương Trình Lôgarit ............................................................ 53 – 64
Bài 3. Hệ Phương Trình Mũ – Lôgarit ............................................ 65 – 71
Bài 4. Bất Phương Trình Mũ ............................................................ 72 – 77
Bài 5. Hệ Phương Trình Lôgarit ...................................................... 78 – 83
Ôn tập Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lôgarit ....................................................................................... 84 – 98
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II
Bài 1. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa .................................................. 99 – 104
Bài 2. Lôgarit ..................................................................................... 105 – 108
Bài 3. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit .............................................. 109 – 119
Bài 4. Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lôgarit ....................................................................................... 120 – 126
Ôn tập chương II ................................................................................ 127 – 153
Một số câu trong kì thi THPT .......................................................... 154 – 169
Đáp án ................................................................................................. 170 – 175
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
CHƯƠNG II
PHẦN I
HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
---o0o---
§1. LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho a ∈ ℝ, n ∈ ℕ* . Khi đó: a n = a.a...a .
n thöøa soá
n
Trong biểu thức: a , ta gọi a là cơ số, n là số mũ
2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0
1
Cho a ≠ 0, n ∈ ℕ* , quy ước: a − n = , a 0 = 1
a
Chú ý:
0 0 và 0 − n không có nghĩa
Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những
số rất bé. Chẳng hạn: Khối lượng của Trái Đất là 5,97.1024 kg ; khối lượng nguyên tử của hiđrô là
1,66.10 −24 kg .
3. Căn bậc n
a) Khái niệm
Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n = b
Khi n lẻ và b ∈ ℝ : Tồn tại duy nhất căn bậc n của b , kí hiệu
Khi n chẵn:
b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b
b = 0 : Có một căn bậc n của b , kí hiệu
n
n
b
0=0
b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu, kí hiệu giá trị dương là
b) Tính chất của căn bậc n
Với hai số không âm a, b , hai số nguyên dương m, n , ta có:
a . n b = n a.b
.
n
a = m .n a
.
n
.
n
.
m n
a na
=
,( b > 0)
b nb
a, khi n leû
an =
a , khi n chaün
.
n
b , còn giá trị âm là − n b
( )
n
a
m
= n am
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ r =
m
, trong đó m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 .
n
m
n
Lũy thừa của a với số mũ r là số a xác định bởi: a = a = n a m
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Giả sử a là một số dương, α là một số vô tỉ và ( rn ) là một dãy số hữu tỉ sao cho lim rn = α .
r
r
n →+∞
α
Khi đó: a = lim a
rn
n →+∞
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
1
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b là những số thực dương; α , β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
aα
2) β = aα − β
a
1) a .a = a
α
β
( )
3) aα
α +β
β
4) ( a.b ) = aα .bα
α
= aα .β
α
a
aα
5) = α
b
b
7) Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β
6) aα > 0
8) Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β
B. BÀI TẬP
D
ẠNG 1.
Tính các giá trị của một biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Bài 1.1. Tính các biểu thức sau:
2
2
2
2
3
a) A = 9 5 .27 5
−0,75
3
5
−
1
2
c) C =
+ 0,25
16
HD Giải
b) B = 144 4 : 9 4
2
5
2
3 5
4
( ) .(3 )
a) A = 9 5 .27 5 = 32
3
3
3
6
4 6
+
5
= 3 5 .3 5 = 3 5
3
3
3
d) D = ( 0, 04 )
−1,5
− ( 0,125)
−
2
3
= 32 = 9
3
b) B = 144 4 : 9 4 = 12 2 : 3 2 = 4 2 .3 2 : 3 2 = 23 = 8
1
c) C =
16
−0,75
−
+ 0,25
5
2
3
5
= 16 4 + 4 2 = 23 + 25 = 40
1
d) D = ( 0, 04 ) − ( 0,125 ) =
25
Bài 1.2. Tính các biểu thức sau:
−1,5
−
1
a) A =
3
−10
2
3
.27 + ( 0,2 )
−3
(
c) C = 251+
2
− 52
2
)
−4
.5−1−2
3
2
−
1
−
8
−
2
3
= 53 − 22 = 121
1
.25 + 128 .
2
−2
−9
b) B = 43+ 2 .21− 2 .2 −4 −
−1
2
d) D =
6 3+
2
5
22+ 5 .31+
5
HD Giải
1
a) A =
3
−10
−9
−4
1
1
1
1
1 9
.27−3 + ( 0,2 ) .25−2 + 128−1. = 310. 3 +
. 2+
.2 = 3 + 1 + 4 = 8
4
27 0,2 25 128
2
b) B = 43+ 2 .21− 2 .2 −4−
(
c) C = 251+
d) D =
2
63+
− 52
5
2
=
2
) .5
= 26 + 2
−1− 2 2
23+ 5 .33+
2 +1− 2 − 4 − 2
(
= 52+ 2
5
= 23+
2
− 52
5 − 2− 5
2 .3
2 .3
Bài 1.3. Tính các biểu thức sau:
2+ 5
1+ 5
a) A = 81
−0,75
2+ 5
1+ 5
1
+
125
−
1
3
= 23 = 8
1
−
32
−
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
3
5
2
) .5
.33+
−1− 2 2
= 52+ 2
5 −1− 5
= 2.32 = 18
1
2 −1− 2 2
− 52
2 −1− 2 2
2
b) B = 0, 001 3 − ( −2 ) .64 3 − 8
−
2
−2
= 5 − 5− 1 =
−1
1
3
( )
+ 90
24
5
2
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
2
3
1
c) C = 27 +
16
−0,75
− 25
1
−2
4
d) D = ( −0,5) − 625
−4
0,5
0,25
−1
1
2
+ 19 ( −3 )
−3
HD Giải
−
−0,75
a) A = 81
1
3
1
1
+
−
125
32
1
2
−
b) B = 0, 001 3 − ( −2 ) .64 3 − 8
−
−2
2
3
1
c) C = 27 +
16
−0,75
− 25
0,5
3
5
−1
( )
= ( 3)
1
3
4
−
3
4
1 3
+
5
( ) (
+ 90
2
= 10−3
( ) ( )
= ( 3)
1
d) D = ( −0,5) − 6250,25 − 2
4
−4
−1
1
2
2
3 3
+ (2)
−4
−
)
3
4
−
1
3
−
2
3
3
5
−
= ( 3)
( ) ( )
( )
− 52
(
1 5
−
2
− 2 −2 2 6
+ 19 ( −3 ) = ( −2 )
−3
1
3
−1
1
2
)
− 23
−
4
3
−3
−1
−3
1
1
80
+ − = −
27
5
2
+ 1 = 10 − 22 − 2−4 + 1 =
111
16
= 32 + 23 − 5 = 12
−4
3 2
−
2
1
4 4
( )
− 5
−
3
2
−
19
27
−3
3
19
8 19
= 2 −5− −
= 11 − −
= 10
27
27 27
2
4
Bài 1.4. Tính các biểu thức sau:
b) B = 3 3 3
a) A = 5 4. 5 −8
c) C = 4 5
1
16
d) D =
3
729
HD Giải
a) A = 5 4. 5 −8 = 5 −32 =
5
( −2 )
5
b) B = 3 3 3 =
= −2
3
( 3)
3
= 3
1 4 81 4 81 3
=
=
=
d) D = 3 729 = 6 729 = 3
4
16
16
16 2
Bài 1.5. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
c) C = 4 5
a) A =
a
(
a
7 +1
.a
2 −2
(
b) B =
2− 7
)
2 +2
a
a
3 −1
5 −3
)
(
c) C =
3 +1
.a 4−
5
4
)
a3 b 2
3
12
a b
4
1
d) D =
6
7
a3 − a 3
1
3
a −a
4
3
−
a
−
2
1
3
5
− a3
a3 + a
−
HD Giải
a) A =
a
7 +1
.a
2− 7
(a )
2 −2
(
c) C =
3
4
a3 b 2
2 +2
)
a
7 +1+ 2 − 7
(a )
b) B =
a
=
= −2 = a 5
2
2
2
2
−
+
( )( ) a
a
a
4
1
3 2
ab
3 2
ab
=
= 2 = ab
6 12 6
ab
a b
a12 b6
3 +1
3 −1
3
d) D =
(
a 3 1 − a2
1
3
5 −3
.a 4−
1
3
5
=
a
(
a
a (1 − a )
−
a
(
(
3
)
3 +1
5 −3+ 4 − 5
=
) − (1 − a ) = 1 + a
a
−
1
3
2
( a + 1)
Bài 1.6. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
4
2
− 13
1
3
a a + a 3
b 5 5 b 4 − 5 b −1
a) A = 1 3
b) B = 2
1
−
b 3 3 b − 3 b −2
a 4 a 4 + a 4
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
)(
3 −1
(
a2
=a
a
) − (1 − a ) = 2a
)
)
SyPhap 0939989966 – 0916620899
1
3
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
1
a3b
c) C =
3
−
1
3
−
1
1
1
− a 3b3
d) D =
a2 − 3 b2
1
a3 a + b3 b
6
a+6b
HD Giải
2
− 13
4 1
4 2
a a + a 3
−
+
3 3
3 3
a
+
a
a + a2
a) A = 1 3
=
=
= a, ( a ≠ −1)
1 3
1 1
1
+
−
a
+
1
−
a 4 a 4 + a 4 a 4 4 + a 4 4
1
1
45
−
1
5
5
1 4
1 1
5
5
b
b
−
b
−
4
1
+
−
b5 b − b
b5 5 − b5 5 b −1
b) B = 2
= 2 1
= 2 1
=
= 1,(b ≠ 1)
2 2
2
+
−
b −1
3
−
3 −2
3 3
3 3
3 3
3
3
b
b− b
b b − b b − b
1
1
2
2
−
−
1
1
1 1
a 3 b 3 a 3 − b 3
−
−
1
1
a3b 3 − a 3b3
= a− 3 b− 3 = 1 , a ≠ b
c) C =
=
( )
2
2
3
3 2
ab
a − 3 b2
3
3
a −b
1
1
1
1
1
1
a 3 .b 3 a 6 + b 6
1
1
a3 b + b3 a
= a 3 .b 3 = 3 ab
=
d) D =
1
1
6
a+6b
a6 + b6
Bài 1.7. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
4
3
)
)
(
(
1
b b 12
a) A = 1 − 2
+ : a − b 2
a a
1
3
c) C = a + b
1
3
2
1
4
9
4
1
4
5
4
a −a
b) B =
a −a
a
b
: 2 + 3 + 3
b
a
d) D =
(
3
−
b
−
1
2
−b
1
2
−
3
2
1
2
b +b
2
2
a + 3 b a 3 + b 3 − 3 ab
)
HD Giải
2
2
1
b b 12
b
a) A = 1 − 2
+ : a − b 2 = 1 −
:
a
a
a
b) B =
1
4
9
4
1
4
5
4
a −a
a −a
−
b
−
1
2
1
2
−b
b +b
−
3
2
1
2
1
4
=
(
a 1− a
1
4
2
(
1
2
a− b
) − b (1 − b ) = 1 + a
a (1 − a )
−
b
−
1
1
2
2
( b + 1)
1
(
1
1
a
b
a3 + b3
=
c) C = a 3 + b 3 : 2 + 3 + 3 =
2 3 ab + 3 a + 3 b
b
a
3
ab
(
)
2
a− b
=
:
a
2
(
3
(
)
3
a+3b
)
ab
2
=
3
)
a− b
)
2
=
1
a
) − (1 − b ) = a + b
a+3a
3
(
3
3
ab
a+3b
3
2
1
1 1
2
2
1
2
1 1
d) D = a + b a 3 + b 3 − 3 ab = a 3 + b 3 a 3 − a 3 b 3 + b 3 = a 3 + b 3 = a + b
ạng 2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
So sánh giá trị của biểu thức
Chú ý: Nếu a > 1 thì α < β ⇔ aα < a β
3
3
D
Nếu 0 < a < 1 thì α < β ⇔ aα > a β
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
4
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 1.8. Hãy so sánh các cặp số sau:
2 5
2 3
a) 5
3 2
và 5
b) 7
6 3
và 7
3 6
1
c)
và
3
HD Giải
1
3
3 2
3
d)
4
8
3
và
4
1
d)
3
3
1
và
3
3
a) Ta có: 2 3 = 12,3 2 = 18 .Do 12 < 18 nên 2 3 < 3 2
Vì cơ số a = 5 > 1 nên 52 3 < 53 2
6 3 = 108 > 54 = 3 6
b) Ta có:
⇒ 76 3 > 73 6
a = 7 > 1
2 5 = 20 > 18 = 3 2
2 5
3
1
1
c) Ta có:
⇒ <
1
3
3
0 < a = < 1
3
8< 9 =3
8
3
3
3
d) Ta có:
⇒ >
1
4
0 < a = < 1 4
2
Bài 1.9. Hãy so sánh các cặp số sau:
a) 3 10 và
5
20
b)
4
5 và
3
7
2
c) 4 13 và
5
23
2
HD Giải
a) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15, ta được:
3 10 = 15 105 = 15 100000
. Do 100000 > 8000 nên 3 10 > 5 20
5
15
3
15
20 = 20 = 8000
4 5 = 12 53 = 12 125
b) Ta có:
. Do 125 < 2401 nên 4 5 < 3 7
3 7 = 12 74 = 12 2401
4 13 = 20 135 = 20 371293
c) Ta có:
. Do 371293 > 279841 nên 4 13 > 5 23
20
5
4
20
23 = 23 = 279841
3> 2
3
2
1
1
d) Ta có:
⇒ <
1
3
0 < a = < 1 3
3
Bài 1.10. Hãy so sánh các cặp số sau:
2 và
a)
c)
3
3
3
7 + 15 và 10 + 3 28
( )
3 + 3 30 và
b)
d)
( 3)
5
−
6
và
3
3
63
3−1 4
1
3
HD Giải
6
3
2 = 2 =2 =8
a) Ta có:
. Do 8 < 9 nên 2 < 3 3
6
3 3 = 32 = 9
3 > 1
⇒ 3 + 3 30 > 4
3
3
b) Ta có: 30 > 27 = 3
⇒ 3 + 3 30 > 3 64
3
3
63 < 64 = 4
( )
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
5
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
3 7 < 3 8 = 2
⇒ 3 7 + 15 < 6
15 < 16 = 4
c) Ta có:
⇒ 3 7 + 15 < 10 + 3 28
10 > 9 = 3
⇒ 10 + 3 28 > 6
3
3
28 > 27 = 3
5
5
−
−
3 6 = 3 12
d) Ta có:
1
5
5 ⇒
−
−
3
3 −
3 3−1 4 1 = 3 3−1. 1 = 3−1.3 4 = 3 4 = 3 12
1
3
34
Bài 1.11. Không dùng máy tính và bảng số. Chứng minh:
( )
a)
3
c)
3
a)
( 3)
−
5
6
= 3 3− 1 4
847 3
847
+ 6−
=3
27
27
7+5 2 + 3 7−5 2 = 2
b)
4+2 3 − 4−2 3 = 2
d) 3 9 + 80 + 3 9 − 80 = 3
HD Giải
7+5 2 + 3 7−5 2 = 2
3
6+
(
1
3
)
(
3
Cách 1. Ta có: 7 + 5 2 = 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 1 + 2 .Tương tự: 7 − 5 2 = 1 − 2
Suy ra:
3
)
3
7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 1+ 2 +1− 2 = 2
Cách 2. Đặt x = 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 . Ta cần chứng minh x = 2
Ta có:
3
x 3 = 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 + 3 3 7 + 5 2 . 3 7 − 5 2 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2
3
3
= 14 − 3 7 + 5 2 + 7 − 5 2 = 14 − 3 x
(
)
Từ đó ta có: x 3 + 3 x − 14 = 0 ⇔ ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 7 = 0 ⇔ x = 2 (vì x 2 + 2 x + 7 > 0 )
7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 2 nếu 3 7 + 5 2 và
3 7 + 5 2 = 1 + 2 (1)
7 − 5 2 là nghiệm của phương trình X 2 − 2 X − 1 = 0 , tức là:
3 7 − 5 2 = 1 − 2 (2)
Cách 3. Ta có:
3
3
7 + 5 2 . 3 7 − 5 2 = −1 . Do đó
(
Ta chứng minh đẳng thức (1). Ta có: 1 + 2
)
3
3
= 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 7 + 5 2 . Từ đó suy ra (1).
Đẳng thức (2) chứng minh tương tự. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
b)
3
6+
847 3
847
847 3
847
+ 6−
= 3 . Đặt x = 3 6 +
+ 6−
. Ta cần chứng minh x = 3
27
27
27
27
847 3
847
Ta có: x 3 = 3 6 +
+ 6−
27
27
⇔ x3 = 6 +
3
847
847
847 3
847 3
847 3
847
+6−
+ 33 6 +
. 6−
6+
+ 6−
27
27
27
27
27
27
⇔ x 3 = 12 + 3 3 36 −
847
5
.x ⇔ x 3 = 12 + 3. x ⇔ x 3 − 5 x − 12 = 0 ⇔ ( x − 3 ) x 2 + 3 x + 4 = 0 ⇔ x = 3
27
3
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
(
6
)
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
(vì x 2 + 3 x + 4 > 0 )
c) 4 + 2 3 − 4 − 2 3 = 2
Cách 1. Ta có:
( 4 + 2 3 )( 4 − 2 3 ) = 8 − 2 16 − 12 = 4
2
4+2 3 − 4−2 3 = 4+2 3 +4−2 3 −2
4 + 2 3 − 4 − 2 3 > 0 nên
Vì
( 3 ) ± 2 3 + 1 = ( 3 ± 1)
3 = ( 3 + 1) − ( 3 − 1) = 2
Cách 2. Ta có: 4 ± 2 3 =
Nên:
d)
3
4+ 2 3 − 4 −2 3 = 2.
2
4+2 3 − 4−2
2
9 + 80 + 3 9 − 80 = 3 . Có thể giải bằng ba cách như câu a)
Đặt x = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 . Ta cần chứng minh x = 3
3
(
)
Ta có: x 3 = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 ⇔ x 3 − 3 x − 18 = 0 ⇔ ( x − 3 ) x 2 + 3 x + 6 = 0 ⇔ x = 3 (vì
2
x + 3x + 6 > 0 )
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.12. Hãy tính:
3
( )
3
a) A = 3
b) B = 41− 2 3 .161+
Bài 1.13. Đơn giản các biểu thức sau:
a) A =
a− b
4
a−4b
3
c) C = 27
a + 4 ab
−
a+4b
a+b
c) C =
− 3 ab : 3 a − 3 b
3
3
a+ b
)
2
a) A =
c) C =
(a
2
−b
a
2 5
3
3
5
5
3
3
)
2
( )
a + a .b
Bài 1.16. So sánh các số:
a) 3
600
và 5
400
c) C = a
(a
b) B =
+1
−b
7
7
3
1
b)
2
+b
−
5
7
d) D =
2 7
3
và
1
Bài 1.17. Chứng minh rằng:
16
2.2
−0,75
a−3b
a −1
3
1
3
2 3
3
(a
c) 7
30
)(
π
+b
3
4 3
a +1
)
2
+ a 3 + a3
−a
−
5
2
và 4
5
4
a+3b
1
.a 4 + 1
3
− 1 a2
40
8
d) D = a 2 .a13 : a3
a
π
3
a+4a
.
5
a+b
3
2
)
3
π
1
− 4 π ab
π
3
14
+ ( 0,25 )
3
−
a4 + a2
2 −1
− b2
a−b
d) D =
1
a) A = a 2 .
b) B = aπ . 4 a2 : a 4π
a
Bài 1.15. Đơn giản các biểu thức sau:
2
d) D = 2
:3
Bài 1.14. Đơn giản các biểu thức sau:
a2
( )
3 2
b) B =
4
(
2
1
1
d) và
9
9
3,14
= 40
Bài 1.18. Rút gọn các biểu thức sau:
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
7
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
−2
−3
b 2 a2
a) . ( a ≠ 0, b ≠ 0 )
a b
4
2
− 13
3
a a + a 3
,(a > 0)
c) 1 3
1
−
a 4 a 4 + a 4
1
1
4
2n 3 3n 3 − 4 n 3
e)
2n
(
b) a2 + b2
)( a
y
d) 2 x +
2
( )
4a
3
f)
1
−
3
6
−1
−2
+ b −2
)
−1
,( a ≠ 0, b ≠ 0 )
−1
−1
y
( 2 x ) +
2
2
4a
Kết quả:
Bài 1.12. A = 3 3 , B = 64 , C = 1 , D = 4
Bài 1.13. A = 4 b , B = 2 3 ab , C = 1 , D = a
Bài 1.14. A = a , B = a , C = a3 , D = a1,3
2a
Bài 1.15. A =
a
Bài 1.16. a) 3
600
Bài 1.18. a)
1
a4b
2
2
−b
>5
400
3
, B=a
1
, b)
2
b) a 2 b 2
−
3
5
7
5
7
+ 1 , C = a 3 − b 3 , D = aπ − bπ
π
3
14
1 1
= 2.2 , c) 7 > 4 , d) <
9 9
c) a
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
30
d)
3,14
40
1
xy
8
e) 3n − 4n 2
f) 2 a
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Hàm số y = x α , với α ∈ ℝ , được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α :
Với α nguyên dương, tập xác định là D = ℝ.
Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là D = ℝ \ {0} .
Với α không nguyên, tập xác định là D = ( 0; +∞ ) .
Lưu ý: y = xα , α =
1
, n là số chẵn. Tập xác định: D = [0; +∞).
n
3. Đạo hàm
( )
Hàm số y = x α ( α ∈ ℝ ) có đạo hàm với mọi x > 0 và x α
/
= α x α −1
( )
/
Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng: uα
4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng ( 0; +∞ )
= α uα −1 .u /
α >0
Đạo hàm
Chiều biến thiên
y =αx
Hàm số luôn đồng biến
Tiệm cận
Không có
/
α <0
y =αx
Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận ngang là trục Ox ,
tiệm cận đứng là trục Oy
α −1
/
α −1
Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1)
Hình dạng đồ thị ứng với các giá trị khác nhau của α
Đồ thị
D
B. BÀI TẬP
ẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α :
Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ
Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0}
Với α không nguyên, tập xác định là ( 0; +∞ )
Bài 2.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = (1 − x )
−
1
3
(
b) y = 2 − x 2
)
3
5
(
)
c) y = x 2 − 1
−2
(
d) y = x 2 − x − 2
)
2
HD Giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − x > 0 ⇔ x < 1
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞;1)
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
9
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 − x 2 > 0 ⇔ − 2 < x < 2
(
Vậy tâp xác định là: D = − 2; 2
(
)
c) y = x 2 − 1
−2
1
=
(x
2
)
−1
2
)
. Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1
Vậy tâp xác định là: D = ℝ \ {−1;1}
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − x − 2 > 0 ⇔ x < −1 hoặc x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )
Bài 2.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = 3 ( x − 1)
−3
(
b) y = 4 x 2 − 3 x − 4
c) y = x 3 − 8
)
π
(
d) y = x 3 − 3 x 2 + 2 x
3
)
1
4
HD Giải
a) y = 3 ( x − 1) =
3
−3
. Hàm số xác định khi và chỉ khi ( x − 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
3
( x − 1)
3
Vậy tâp xác định là: D = ℝ \ {1}
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − 3 x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 hoặc x ≥ 4
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞; −1 ∪ 4; +∞ )
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 3 − 8 > 0 ⇔ x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( 2; +∞ )
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 3 − 3 x 2 + 2 x > 0 ⇔ 0 < x < 1 hoặc x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ )
D
ẠNG 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Cho hàm số y = x α có tập xác định D; α ∈ ℝ
(x )
α
/
( ) 2
( x) = n
/
x
Lưu ý:
=
α
= α uα −1 .u / với u = u( x ), y = uα ( x )
/
u/
=
u
x
1
n
/
( ) 2u
( u( x) ) = n uu ( x()x)
1
/
n
(u )
= α .xα −1
/
/
n
x n −1
n −1
n
Bài 2.3. Tính đạo hàm các hàm số sau:
(
)
a) y = 2 x 2 − x + 1
1
3
π
(
b) y = ( 3 x + 1) 2
c) y = 4 − x − x 2
)
1
4
d) y = ( 5 − x )
3
HD Giải
a) y / = 2 x 2 − x + 1
(
)
1
3
/
1
2
= 2 x − x + 1
3
(
)(
/
)
2x2 − x + 1
1
−1
3
=
1
( 4 x − 1) 2 x 2 − x + 1
3
(
)
−
2
3
/
π
π
π
π
/
−1
−1
3π
b) y = ( 3 x + 1) 2 = ( 3 x + 1) ( 3 x + 1) 2 =
3 x + 1) 2
(
2
2
1
/
−1
1
1
c) y / = 4 − x − x 2 4 − x − x 2 4 = ( −1 − 2 x ) 4 − x − x 2
4
4
/
(
)(
)
/
3
/
d) y / = ( 5 − x ) = 3 ( 5 − x ) ( 5 − x )
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
(
3 −1
= − 3 (5 − x )
10
)
−
3
4
3 −1
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 2.4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a
1 + x3
b) y =
1 − x3
a) y = ( 2 x + 1)
π
b
x a
c) y = ,(a > 0, b > 0)
b x
HD Giải
3
(
d) y = x 3 − 8
)
π
3
/
π
/
π −1
π −1
a) y / = ( 2 x + 1) = π ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) = 2π ( 2 x + 1)
/
6x2
1 + x3
2
/
3
1 + x3
1 − x3
1
−
x
2x2
/
b) y = 3
=
=
=
3
2
2
2
2
1 + x3
1 + x3
1 + x3
1 − x
3
33
33
1− x 3
3
3
3
1− x
1− x
1− x
(
)
(
/
)
/
x a a b x a a b x a a b
/
c) y = = +
b x b x b x
a x
=
bb
a −1
b
a
a x a
+ b
x b x
/
π
3
π 3
d) y = x − 8 3 =
x −8
3
(
/
)
(
) (x
/
b −1
3
/
a
b
(x
π
a x a a−b
− 2 =
x b x x
−8
)
π
3
−1
=πx
2
3
−8
)
3
−1
D
ẠNG 3. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α
Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thểm ta phải xét hàm số đó trên toàn tập xác định của nó
Tập xác định
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α
Sự biến thiên
Tìm đạo hàm y / . Xét dấu y / và kết luận chiều biến thiên của hàm số
Tìm tiệm cận (nếu có)
Lập bảng biến thiên
Đồ thị
Lưu ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1;1)
Bài 2.5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4
b) y = x −3
a) y = x 3
4
a) y = x 3
d) y = x 2
Tập xác định: D = ( 0; +∞ )
4 13
x
3
y / > 0 trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến
Đạo hàm: y / =
Sự biến thiên:
Bảng biến thiên:
x
π
c) y = x −4
HD Giải
Giới hạn: lim y = 0, lim y = +∞
x →0
x →+∞
Đồ thị:
0
y
+∞
+
y'
+∞
y
1
0
0
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
11
1
x
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
b) y = x −3 =
GV. Lư Sĩ Pháp
1
x3
Tập xác định: D = ℝ \ {0}
3
< 0, ∀x ∈ D
x4
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) và ( 0; +∞ )
Đạo hàm: y / = −
Sự biến thiên:
Giới hạn: lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 0 là TCĐ
x →0
x →0
lim y = 0, lim y = 0 ⇒ y = 0 là TCN
x →−∞
x →+∞
Bảng biến thiên:
x
+∞
0
∞
Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số lẻ. Nên đồ thị
hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
y
y'
+∞
0
1
y
0
∞
c) y = x −4 =
1
x4
0
1
x
Tập xác định: D = ℝ \ {0}
4
x5
y / > 0 trên khoảng ( −∞; 0 ) nên hàm số đồng biến trên khoảng này và y / < 0
Đạo hàm: y / = −
Sự biến thiên:
trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Giới hạn: lim− y = +∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 0 là TCĐ
x →0
x →0
lim y = 0, lim y = 0 ⇒ y = 0 là TCN
x →−∞
x →+∞
Bảng biến thiên:
x
Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số chẵn. Nên đồ
thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
+∞
0
∞
y
+
y'
+∞ +∞
y
0
0
1
1 0
π
d) y = x 2
1
x
Tập xác định: D = ( 0; +∞ )
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y / =
π
π
x2
−1
2
y > 0 trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến
/
Giới hạn: lim y = 0, lim y = +∞
x →0
x →+∞
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
12
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
Bảng biến thiên:
x
Đồ thị:
0
y
+∞
+
y'
+∞
y
0
1
0
1
x
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2.6. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = x 4
b) y = x 7
−
7
c) y = x 0
5
8
f) y = x
g) y = x
Bài 2.7. Tìm tập xác định các hàm số sau:
(
b) y = 4 − x 2
a) y = 3 5 x + 4
)
1
2
h) y = x
d) y = x −15
π
i) y = x
(
c) y = x 2 + x − 2
)
−2
3
j) y = x
1
4
d) y = x 2 + 3 x − 4
Bài 2.8. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1
a) y = 5 x
b) y =
5
x
c) y = n x − 1
e) y = 4 x 4 + x 2 + 1
g) y = (12 − x )
f) y = 4 x 2 − 3 x − 1
e) y = 8 x
d) y = n x m
(
3
h) y = x 2 + x − 4
Bài 2.9. Hãy vẽ đồ thị mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
1
1
a) y = x 4 và y = x 4
b) y = x 5 và y = x −5
c) y = x 2 và y = x 2
Bài 2.10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = x
−
1
2
π
b) y = x 4
c) y =
( 3)
x
Kết quả:
Bài 2.6. a) D = ℝ ; b) D = ℝ ; c) D = ℝ \ {0} ; d) D = ℝ \ {0} ; e) D = 0; +∞ ) ;
f) D = ℝ ; g) D = ( 0; +∞ ) ; h) D = ( 0; +∞ ) ; i) D = ( 0; +∞ ) ; j) D = ( 0; +∞ )
Bài 2.7. a) D = ℝ ; b) D = −2; 2 ; c) D = ℝ \ {−2;1} ; d) D = ( −∞; −4 ∪ 1; +∞ )
Bài 2.8. a)
e)
1
5
5 x
4
;
b) −
4x3 + 2x
(
)
33 x4 + x2 + 1
2
1
5
5x x
; f)
4
;
c)
8x − 3
2 4 x − 3x − 1
2
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
1
n n ( x − 1)
n −1
;
; g) − 3 (12 − x )
13
d)
3 −1
m n m−n
x
n
; h)
2x + 1
(
4 4 x2 + x − 4
)
3
SyPhap 0939989966 – 0916620899
)
1
4
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
§3. LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Với hai số dương a, b ( a ≠ 1) . Số α nghiệm đúng đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của
b và kí hiệu là log a b . Như vậy: α = log a b ⇔ aα = b
Chú ý: Không có lôgatir của số âm và số 0.
2. Tính chất
Cho hai số dương a và b, a ≠ 1 . Ta có:
log a 1 = 0
log a a = 1
( )
a loga b = b
log a aα = α
3. Quy tắc tính
a) Lôgarit của một tích
Với các số dương a, b1 , b2 và a ≠ 1 . Ta có: log a ( b1b2 ) = log a b1 + loga b2
Lưu ý: Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit
b) Lôgarit của một thương
b
Với các số dương a, b1 , b2 và a ≠ 1 . Ta có: log a 1 = log a b1 − log a b2
b2
Lưu ý: Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit
1
log a = − loga b, (a, b > 0, a ≠ 1)
b
c) Lôgarit của một lũy thừa
Với các số dương a, b và a ≠ 1 . Với mọi α , ta có: log a bα = α log a b
Lưu ý: Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
1
log a n b = log a b, (a, b > 0, a ≠ 1)
n
d) Đổi cơ số
Cho ba số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 . Ta có:
logc b
log a b =
log a b = loga c.logc b
logc a
1
1
, b ≠1
log aα b = loga b, α ≠ 0
α
log b a
4. Kí hiệu lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên
a) Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. log10 b thường được viết là log b hoặc lg b
b) Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên (lôgarit Nê – pe) là lôgarit cơ số e . loge b được viết là ln b
log a b =
n
1
Lưu ý: e = lim 1 + và một giá trị gần đúng của e là: e ≈ 2, 718281828459045
n →+∞
n
B. BÀI TẬP
D
ạng 1. Tìm điều kiện để một biểu thức lôgarit có nghĩa
b > 0
Lưu ý:
log a b có nghĩa
0 < a ≠ 1
Bài 3.1. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
14
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
( )
( x + x − 2x )
a) log2 1 − x 2
c) log 1
3
3
(
(x
b) logπ x 2 + 3 x − 4
2
d) log 1
2
4
)
+ 5x 2 − 6
)
HD Giải
có nghĩa ⇔ 1 − x > 0 ⇔ x < 1 ⇔ −1 < x < 1
( )
b) log ( x + 3 x − 4 ) có nghĩa ⇔ x + 3 x − 4 > 0 ⇔ x < −4 hoặc x > 1
c) log ( x + x − 2 x ) có nghĩa ⇔ x + x − 2 x > 0 ⇔ −2 < x < 0 hoặc x > 1
a) log2 1 − x
2
2
2
2
2
π
3
2
3
2
1
3
x 2 < −6
x < −1
d) log 1 x 4 + 5 x 2 − 6 có nghĩa ⇔ x 4 + 5 x 2 − 6 > 0 ⇔ 2
⇔
x > 1
x > 1
2
Bài 3.2. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
7
a) log x −3 x 2 − 4
b) log x
3x − 2
HD Giải
3 < x ≠ 4
0 < x − 3 ≠ 1
2
a) log x −3 x − 4 có nghĩa ⇔ 2
⇔ x < −2 ⇔ 3 < x ≠ 4
x − 4 > 0
x > 2
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
7
2
b) log x
có nghĩa ⇔ 7
⇔
⇔ < x ≠1
2
3x − 2
3
>0
x >
3
3x − 2
ạng 2. Tính giá trị của một biểu thức
Rút gọn biểu thức
Lưu ý: Vận dụng và dùng linh hoạt tính chất; quy tắc tính lôgarit.
Bài 3.3. Tính:
1
a) log 1 4
b) log3
c) log 1 8
d) 32 log3 5
27
2
2
(
)
(
(
)
)
D
HD Giải
−2
1
a) log 1 4 = log 1 2 = log 1 = −2
2
2
2
2
2
3
1
1
b) log3
= log3 = log3 3−3 = −3
27
3
−3
1
c) log 1 8 = log 1 2 = log 1 = −3
2
2
2
2
Bài 3.4. Tính:
1
a) log2
b) log 1 2
8
4
3
2 log3 5
d) 3
(
= 3
c) log3 4 3
log3 5
)
2
= 52 = 25
d) log 0,5 0,125
HD Giải
a) log2
1
= log2 ( 2 ) = −3 log2 2 = −3
8
−3
1
c) log3 4 3 = log3 ( 3) 4 =
1
1
log3 3 =
4
4
1
1
b) log 1 2 = log2−2 2 = − log2 2 = −
2
2
4
d) d) log 0,5 0,125 = log 0,5 ( 0,5) = 3
3
Bài 3.5. Tính:
a) 4 log2 3
b) 27log9 2
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
log
c) 9
HD Giải
15
3
2
d) 4 log8 27
SyPhap 0939989966 – 0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
a) 4 log2 3 = 22 log2 3 = 2
log
2 log
2
c) 9 3 = 3
Bài 3.6. Tính:
a) 4
log2
2
1
32
( ) =9
2
log2 3
3log
b) 27log9 2 = 3
4
= 34 log3 2 = 3log3 2 = 24 = 16
1
7
1
b)
25
log5
1
3
d) 4 log8 27 = 2
2
32
2log 3 33
2
=3
3
log 2
2 3
=3
3
log3 2 2
3
= 22 = 2 2
2
= 22 log2 3 = 2log2 3 = 9
c) 35log3 2
d) 3
log 1 2
27
HD Giải
a) 4
log2
1
7
=2
2
log2
(
1
7
2
2
log2 1 1
1
= 2 7 = =
49
7
1
b)
25
)
d) 3
5log 2
log 2
c) 3 3 = 3 3
5
log 1 2
= 25 = 32
27
log5
1
3
( )
= 5
log
=3
3−3
−2
2
log5
1
3
−2
−2
log5 1
1
= 5 3 = = 9
3
1
− log3 2
3
=3
(
log3 2
= 3
)
−
1
3
=2
−
1
3
=
Bài 3.7. Tính:
a) log 1 2 + 2 log 1
2
2
1
3
+ log 1
3
8
2
1
b) 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45
2
3
3
3
1
d) log5 3 − log5 15
2
HD Giải
1 1 3
1
3
1
1
3
1
a) log 1 2 + 2 log 1 + log 1 = log 1 2 + log 1 + log 1 + log 1 = log 1 2. . . = log 1
3
8
3
3
8
3 3 8
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c) log 7 49 − log7 343
1
1
b) 2 log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 ( 400 ) 2 + log 1
2
3
3
3
3
3
3
3
c) log 7 49 − log 7 343 = log 7
3
3
3
36.45
= log 1 81 = − log3 34 = −4
20
3
= log 1 36 − log 1 20 + log 1 45 = log 1
3
( 45 )
3
49
1
= log7 = − log7 7 = −1
343
7
1
−
1
3
1
1
d) log5 3 − log5 15 = log5 3 − log5 15 = log5
= log5
= log5 5 2 = −
2
2
15
5
Bài 3.8. Tính:
log7 16
1
a)
b) log5 3 − log5 12 + log5 50
log 7 15 − log 7 30
2
c) log 1 ( log3 4.log2 3 )
d) log8 12 − log8 15 + log8 20
4
HD Giải
log 7 16
log 7 16 log 7 2
4 log 7 2
a)
=
=
=
= −4
−1
15 log7 2
log7 15 − log 7 30
− log 7 2
log 7
30
1
1
1
1
b) log5 3 − log5 12 + log5 50 = log5 3 − log5 3 − log5 4 + 2 log5 5 + log5 2
2
2
2
2
= − log5 2 + 2 + log5 2 = 2
4
1
1
c) log 1 ( log3 4.log2 3 ) = log 1 ( 2 log3 2.log2 3 ) = log 1 2 = − log2 2 = −
2
2
4
4
4
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
16
SyPhap 0939989966 – 0916620899
1
3
2
.PDF 
179 
441 
67 
