Tài liệu Chuyên đề lượng giác và phương trình lượng giác

cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập Thư viện tài liệu trực tuyến Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn cbook.vn 1 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Cung cấp bởi cbook.vn Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả Liên hệ bộ môn: [email protected] 2 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................... 2 MỤC LỤC................................................................................................................................ 3 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ........................................................ 5 CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ........................ 8 VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ................................................... 8 CHƯƠNG III: HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ................................................................................................................... 35 Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương.......................................................... 35 Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi tương đương.......................................................... 38 2.1- Phương pháp đặt ẩn phụ. .......................................................................................... 38 2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ............................................................. 40 Phương pháp 3: Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc. ......................... 46 Phương pháp 4: Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích. ..................... 51 2.4.1Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích: .......................................................... 51 2.4.2- Phương pháp biến đổi tích thành tổng. ................................................................. 53 2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho .................................................................................. 54 2.4.4- Phương pháp tách hệ số. ....................................................................................... 56 Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sinx + b.cosx = c ( a2  b2  0 ) (1) ..................... 13 VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX . 18 VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX ................................. 22 VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP CHỨA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG. ........................................................................................................................ 28 VẤN ĐỀ 6: LOẠI NGHIỆM KHÔNG THÍCH HỢP CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ................................................................................................................................... 30 Phương pháp 1: Phương pháp loại nghiệm trực tiếp........................................................ 30 Phương pháp 2: Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác)........................... 31 Phương pháp 3: Phương pháp đại số................................................................................ 32 VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP...................... 33 Dạng 1: (1) ..................................................................................................................... 33 Dạng 2: (2) ...................................................................................................................... 33 Dạng 3: (3) ...................................................................................................................... 33 Dạng 4: (4) ...................................................................................................................... 33 3 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập 2.4.5- Phương pháp hằng số biến thiên. ........................................................................... 57 2.4.6- Phương pháp nhân. ................................................................................................ 58 2.4.7- Sử dụng các phép biến đổi. .................................................................................... 60 Phương pháp 5: Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm. .. 61 Phương pháp 6: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá. ..................... 65 2.6.1- Tính chất của hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác. ................................... 66 2.6.2Phương trình lượng giác dạng Pitago....................................................................... 68 2.6.3Sử dụng bất đẳng thức Cosi: .................................................................................... 69 Phương pháp 7: Dùng phương pháp khảo sát hàm số. ........................................................ 72 Phương pháp 8: Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số. .................................... 75 Bài tập tự luyện.................................................................................................................... 85 Cung cấp bởi cbook.vn CHƯƠNG IV: TUYỂN TẬP 200 BÀI LƯỢNG GIÁC .................................................... 88 KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 175 Liên hệ bộ môn: [email protected] 4 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. CÔNG THỨC I. 1. Công thức lượng giác cơ bản 1  , a   k (k  ) 2 cos a 2  1 tan a.cot a  1, a   k (k  ) 1  cot 2 a  2 , a  k  k   2 sin a I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt sin 2 a  cos2 a  1 1  tan 2 a  a. Cung đối:  và  cos     cos tan      tan  sin      sin  cot      cot  b. Cung bù:  và   sin      sin  tan       tan  cos      cos c. Cung phụ:  và  2 cot       cot     sin      cos 2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  d. Cung hơn kém  :  và     sin       sin  tan      tan  cos      cos cot      cot  Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot 3. Công thức cộng. sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn I. 5 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập tan a  tan b 1  tan a.tan b tan a  tan b tan  a  b   1  tan a.tan b tan  a  b   Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia 1 trừ tích tan. I. 4. Công thức nhân đôi sin 2a  2sin a.cos a cos2a  cos2a  sin 2 a  2cos2 a 1  1  2sin 2 a tan 2a  2tan a 1  tan 2 a I. 5. Công thức hạ bậc 1  cos2a 1  cos2a 1  cos2a sin 2 a  cos2a  tan 2 a  2 2 1  cos2a  I. 6. Công thức tính theo t  tan 2 2 2t 1 t 2t a   sin a  cos a  tan a    k , k    2 2 2 1 t 1 t 1 t 2 2  I. 7. Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin 3 a cos3a  4cos3 a  3cos a tan 3a  3tan a  tan 3 a 1  3tan 2 a I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng Liên hệ bộ môn: [email protected] ab a b sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 2 sin  a  b     tan a  tan b  a, b   k , k    cos a.cos b  2  cos a  cos b  2sin Cung cấp bởi cbook.vn ab a b cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 2 sin  a  b     tan a  tan b  a, b   k , k    cos a.cos b  2  cos a  cos b  2cos 6 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập 1 cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b  2 1 sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  2 1 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  2 I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt Cun g          2   3   5  00  0 300   450   600   900   1200   1350   1500   1800    3   6  6 4 3 2  4  sin 0 cos 1 tan 0 cot ║ 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 3 2 1 2 1 3 ║  3 1 3 1 1 3 0  1 3 1 3 2 1  2 1 0 1 2 2 2  2 2 0 3 2 1  3 1  3 ║  0 Chú ý: n với   00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n =0; 1; 2; 3; 4 . 2 a0    Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: 0 180  I. 11. Đường tròn lượng giác  sin   sin π 2 3π π 4 4 2π π 1 O -1 0 7π 5π 4 4 -1 3π 2 Liên hệ bộ môn: [email protected] cos Cung cấp bởi cbook.vn 1 7 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Để giải 1 Phương trình lượng giác, nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarít có nghĩa. Ngoài ra trong các Phương trình lượng giác có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện luận phương trình sin x  m (1) Do sin x 1;1 nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử  khi đó phương trình  x    k 2 sin x  sin    ,k   x      k 2 -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= sin  . Ta  x    k 2 có: sin x  sin    ,k  x      k 2   Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn sẽ có dạng đặc biệt. 8 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như  ;  ;  ;  ; ;2  vì 6 4 2 3  sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình sin x  1 4 Giải: Ta nhận thấy 1 1 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt = sin 4 4  x    k 2 Khi đó ta có: sin x  sin    ,k   x      k 2 Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình  3 sin(3x  )  4 2 Giải:  3  3 nên 2  3   sin(3x  )   sin(3x  )  sin 4 2 4 3      2    3x  4  3  k 2 3x   4  3  k 2  x  24  k 3    3x        k 2 3x        k 2  x  5  k 2  4 3 3 4 24 3   Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos x  m (b) Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu m  1phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu m  1 ta xét 2 khả năng: Liên hệ bộ môn: [email protected] k Cung cấp bởi cbook.vn Do sin 9 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc  . Khi đó phương trình có dạng  x    k 2 cos x  cos    x    k 2 ,k  -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó  x    k 2 đặt m = cos  .Ta có: cos x  cos    x    k 2 ,k  Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cos x   1 2 Giải: 1 2  Do cos(   )  cos 2   1 nên cos x    cos x  cos  x    k 2 (k  ) 2 3 3 3 3 2 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình:  3cos(2 x  )  1 6 Giải:   1 3cos(2 x  )  1  cos(2 x  )  6 6 3 1 1   1;1  và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc   0;  3 3 sao cho cos   1 3 Ta có: cos(2 x   2x    6  6 )  cos  2 x     k 2  x    12     k 2 6   2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm . Liên hệ bộ môn: [email protected]  k (k  ) Cung cấp bởi cbook.vn Vì 10 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan x  m (c) Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cos x  0  x   2  k , k  Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử  khi đó phương trình có dạng tan x  tan   x    k , k  -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m = tan  ta được tan x  tan   x    k , k  Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình tan x  3 Giải : Do 3  tan  6 nên ta có: tan x  3  tan x  tan  6 x  6  k k Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình  tan(  x)  2 5 Giải:   Do 2 không thể biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt nên ta đặt tan   2 . Từ đó ta có     tan(  x)  2  tan(  x)  tan    x    k  x     k (k  ) 5 5 5 5 Vậy phương trình có một họ nghiệm. Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn  Điều kiện: cos(  x)  0   x   k 5 5 2 11 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x  m (d ) Ta cũng đi biện luận theo m Bước1: Đặt điều kiện sin x  0  x  k k  Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử  khi đó phương trình có dạng cot x  cot   x    k , k  -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m = cot  ta được cot x  cot   x    k , k  Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cot(  x)  1 4 (1) 3 Giải:    Điều kiện cos(  x)  0   x  k  x   k k  4 4 4 (*) Ta có:      (1)  cot(  x)  cot   x   k  x    k 4 3 4 3 12 k Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình cot(4 x  35o )  1 Ta nhận thấy cot( 45 o)  1 nên ta có cot(4 x  35o )  1  cot(4 x  35o )  cot(45o ) 4 x  35o  45o  k180o  4 x  80o  k180o x  20o  k 45o (k  ) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn Giải: 12 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sinx + b.cosx = c ( a2  b2  0 ) (1) a)Định nghĩa: Phương trình a sin x  b cos x  c (1) trong đó a, b, c  và a 2  b2  0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x,cos x b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu a 2  b2 < c 2 phương trình vô nghiệm -Nếu a 2  b2  c 2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 a2  b2 , ta được Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho a a b 2 Vì ( a a b 2 a a 2  b2 2 2 b sin x  )2  (  cos , a b 2 b a b 2 2 2 cos x  c a  b2 2 )2  1 nên tồn tại góc  sao cho b a 2  b2  sin  Khi đó phương trình (1) có dạng sin x.cos  sin  .cos x  c a 2  b2  sin( x   )  c a 2  b2 Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải x Bước 1: Với cos  0  x    k 2 (k  ) thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm 2 hay không? x Bước 2: Với cos  0  x    k 2 (k  Z ) 2 Đặt t  tan x 2t 1 t2 suy ra sin x  , cos x  2 1 t2 1 t2 Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn Cách 2: Thực hiện theo các bước 13 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập Khi đó phương trình (1) có dạng a 2t 1 t2  b  c  (c  b)t 2  2at  c  b  0 (2) 2 2 1 t 1 t Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . sin x  cos x  0  x   . sin x  cos x  0  x   4  4  k (k  )  k (k  ) . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau  a2  b2  a sin x  b cos x  a2  b2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng y  a sin x  b cos x , y  a sin x  b cos x và phương pháp c sin x  d cos x đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví dụ minh họa: Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin 2 x  3cos2 x  3 (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho 12  32  10 ta được 1 3 3 sin 2 x  cos2 x  10 10 10 Đặt 3  sin  , 10 1  cos . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng 10  x    k 2 x      k 2     x   k 2 x        k 2  2 Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2:-Ta nhận thấy cos x  0 là nghiệm của phương trình Liên hệ bộ môn: [email protected] k Cung cấp bởi cbook.vn cos sin 2 x  sin  cos2 x  sin   sin(2 x   )  sin x 14 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập -Với cos x  0  x  sin 2 x   2  k , k  . Đặt t  tan x ,lúc đó 2t 1 t2 , cos2 x  1 t2 1 t2 2t 1 t2 Phương trình (1) sẽ có dạng 3  3  2t  3(1  t 2 )  3(1  t 2 )  t  3 2 2 1 t 1 t Hay tan x  3  tan   x    k ,k  Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng sin 2 x  3(1  cos2 x)  2sin x.cos x  6cos 2 x cos x  0  tan x  3  tan   (sin x  3cos x)cos x  0    sin x  3cos x  0 cos x  0  x    k   ,k   x   k  2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sin x  cos x)cos x  3  cos2 x  2 Giải: Ta biến đổi phương trình (2)  2 sin 2 x  2(1  cos2 x)  3  cos2 x Ta có: a  2 ; b  2 1 ; c  3  2 a 2  b2  2  ( 2  1)2  5  2 2 c2  (3  2)2  11  6 2 Suy ra a 2  b2 < c 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn  2 sin 2 x  ( 2  1)cos2 x  3  2 15 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phương trình (1  3)sin x  (1  3)cos x  2 (3) Giải : Cách 1:Thực hiện phép biến đổi 1 3 1 3 2 1 )sin x  ( )cos x   2 2 2 2 2 2 2 (3)  ( Đặt 1 3 1 3  cos x;  sin x 2 2 2 2 Phương trình (3) sẽ được viết thành sin x.cos  sin  .cos x      x     k 2    x  4    k 2 4    x        k 2  x  3    k 2  4  4 1   sin( x   )  sin 4 2 ,k  Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng   (sin x  cos x)  3(sin x  cos x)  2  2 sin( x  )  6 cos( x  )  2 4 4 1  3  1  sin( x  )  cos( x  )  2 4 2 4 2     1  sin( x  )cos  cos( x  )sin  4 3 4 3 2     )  sin 4 3 4       x  3  k 2  x  12  4  k 2      x  5  k 2  x      k 2   12 4 6 k Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn. Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn  sin( x  16 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập x Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt t  tan và ta cũng thu được nghiệm chẵn 2 *Chú ý: Đối với phương trình dạng a sin P( x)  b cos Q( x)  c sin Q( x)  d cos P( x) (*) trong đó a, b, c, d  thoả mãn a2  b2  c2  d 2 >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho a2  b2 ta có (*)  sin  P( x)     sin Q( x)    hoặc (*)  cos  P( x)     cos Q( x)    trong đó  ,  là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: cos7 x  sin5x  3(cos5x  sin7 x) (4) Giải: (4)  cos7 x  3sin7 x  3cos5x  sin5x 1 3 3 1  cos7 x  sin 7 x  cos5x  sin5x 2 2 2 2      cos cos7 x  sin sin 7 x  cos cos5 x  sin sin5 x 3 3 6 6    7 x   5x   k 2    3 6  cos(7 x  )  cos(5 x  )   3 6 7 x      (5x   )  k 2  3 6     2 x   k 2  x    12  k 6   3  12 x   x    k  k 2   8 6 2 k Z Bài tập: Giải các phương trình sau : 1. 3sin x  cos x  3 2. 10cos x  24sin 2 x  13 3. sin 2 x  6 cos x  3cos2 x  2 sin x 4. 4cos3 x  3sin3x  1  3cos x Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 17 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập 5. sin 4 x  cos4 x  1  2 2 sin x.cos x 6. 2( 3sin x  cos x)  7 sin2x  3(cos4 x  sin 4 x) 7. 8sin x  3 1  cos x sin x 8. 2 2(sin x  cos x)cos x  3  cos2x 9. 10. cos x  2cos2x  2 2  cos3x x  x  x 2 3x  2 cos(  )  6 sin(  )  2sin(  )  2sin(  ) 5 12 5 12 5 3 5 6 VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x , cos x là phương trình. a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d (1) trong đó a, b, c, d  b) Cách giải : Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin 2 x,cos2 x hoặc sin x.cos x . Chẳng hạn nếu chia cho cos2 x ta làm theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra: cos x  0  x   2  k , k  xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không? Bước 2: Với cosx  0 chia cả hai vế cho cos2 x lúc đó phương trình (1) trở thành a tan 2 x  b tan x  c  d (1  tan 2 x) Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin 2 x  1  cos2 x 1  cos2 x sin 2 x ; cos2 x  ; sin x.cos x  2 2 2 đưa phương trình đã cho về phương trình b sin 2 x  (c  a)cos2 x  d  c  a Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn  (a  d ) tan 2 x  b tan x  c  d  0 18 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n  3) với dạng tổng quát A(sin n x,cosn x,sin k x cosh x)  0 trong đó k  h  n; k , h, n  Khi đó ta cũng làm theo 2 bước : Bước 1: Kiểm tra xem cos x  0 có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu cos x  0 .Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn x ta sẽ được phương trình bậc n theo tan . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : 2 3cos2 x  6sin x.cos x  3  3 (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1)  3(1  cos2x)  3sin2x  3  3  cos2x  3sin2x  3 1 3 3  3  cos2 x  sin 2 x   cos(2 x  )  2 2 2 3 2      2 x    k 2    x  4  k 2 3 6    x       k 2  x    k 2  12  3 6 k Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với cos x  0  x   2  k 2 k  vào phương trình (1) ta có 0  3  3  vô lí. Vậy x   2  k 2 k  không là nghiệm của phươngtrình. 2 3  6tan x  (3  3)(1  tan2 x)  (3  3)tan 2 x  6tan x  3  3  0  tan x  1   x   k    4 3 3  tan x   tan    x    k 3 3 Vậy phương trình có hai họ nghiệm Liên hệ bộ môn: [email protected] k Cung cấp bởi cbook.vn +)Với cos x  0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được 19 cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp  Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin3 ( x  )  2 sin x 4 (2) Giải :  Ta nhận thấy sin( x  ) có thể biểu diễn được qua sin x  cos x . Luỹ thừa bậc ba biểu 4 thức sin x  cos x ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải     Phương trình (2)  2 2 sin ( x  )  4sin x   2 sin( x  )   4sin x 4 4   3 3  (sin x  cos x)3  4sin x +) Xét với cos x  0  x    2  k 2 k  . Khi đó phương trình có dạng   sin3 (  k )  4sin(  k )  mâu thuẫn 2 2 Vậy phương trình không nhận x   2  k 2 làm nghiệm +) Với cos x  0 . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos3 x ta được : (tan x  1)3  4(1  tan 2 x) tan x  3tan 3 x  3tan 2 x  tan x  1  0 . Đặt t  tan x phương trình có được đưa về dạng: 3t 3  3t 2  t  1  0  (t  1)(3t 2  1)  0  t 1 x    4  k k Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1  tan x  1  sin 2 x 1  tan x Liên hệ bộ môn: [email protected] (3) Cung cấp bởi cbook.vn Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . 20