CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
I. Tọa độ
r ur
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị i , j
r r
y
i j 1 .
uu
r
ur
2. u x; y � u
r uuuuur
uuuuu
r uuuuu
r
uu
r
xi y j ;
r
uu
r
M(x;y) OM OM1 OM 2 xi y j
r
r
3. Tọa độ của vectơ: cho u ( x; y), v( x '; y ')
r r
r r
r
a. u v � x x '; y y '
b. u �v x �x '; y �y '
u
r
u
rr
c. ku (kx; ky )
d. u.v xx ' yy '
r
r
r r
2
2
2
2
e. u v � xx ' yy ' 0
f. u x y , v x� y �
ur r
u.v
r r
g. cos u , v r r .
M2
M
r
u
r
j
r
i
o
M1
u.v
4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)
uuur
a. AB xB x A ; y B y A
b. AB
xB x A 2 y B y A 2
c. G là trọng tâm tam giác ABC
tarcó:uuur
uuu
r uuu
uuu
r uuur uuur ur uuur OA OB OC
y yB yC
x A xB xC
; yG= A
� xG=
GA GB GC O , OG
3
3
uuur
uuur
x kxB
y ky B
; yM A
d. M chia AB theo tỉ số k: MA k MB � xM A
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM
1 k
x A xB
y yB
; yM A
.
2
2
uuu
r uuur
3
1 k
e) Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC
h) Tính chất đường phân giác:
Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của góc A (D �BC; E �BC), ta có:
uuur
uuu
r
DB
AB
EB AB
uuur
uuur
;
AC
DC
EC AC
k) Diện tích :
uuur
uuu
r
* Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc ABC vôùi : AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2)
thì
S=
1
| x1y2 – x2y1|
2
1
1
abc
aha ab sin C
pr p ( p a )( p b)( p c)
2
2
4R
1
(Với a, b, c là ba cạnh, ha là đường cao thuộc cạnh a, p (a b c) , R và r lần lượt là bán
2
kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC)
* Công thức khác: S
x x'
g/ u cuøng phöông vôùi u '
y y'
= xy’ – x’y = 0
uuu
r
uuur
x1 y1
uuur
uuu
r
-A,B,C phân biệt thẳng hàng khi AB k AC �
, với AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2), k �0
x2 y2
x
II. Phương trình đường thẳng
1. Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến
r
r
r
n A; B hoặc một vectơ chỉ phương u a; b ta có thể chọn u a B; b A
*Phương trình tổng quát A x x0 B y y0 0 � Ax By C 0 .
�x x0 at
*Phương trình tham số: �
, t �R . M �() � M x0 at ; y0 bt
�y y0 bt
n
a
*Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k: y k x x0 y0 .
x xA
y yA
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ):
xB x A y B y A
2. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng : Ax By C 0 là:
d M ,
AxM ByM C
A2 B 2
.
Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt tại H thì d M , MH
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng
r
M
I
1 : a1 x b1 y c1 0
2 : a 2 x b2 y c 2 0
(C)
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 và 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình
a1 x b1 y c1 0
a2 x b2 y c2 0
Chú ý: Nếu a2b2c2 0 thì :
(I)
1 2
a1 b1
a 2 b2
1 // 2
a1 b1 c1
a 2 b2 c 2
1 2
a1 b1 c1
a 2 b2 c 2
4. Góc giữa hai đường thẳng.
*Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 của (I) có VTPT n1 và n 2 được tính theo công thức:
cos( 1 , 2 ) cos( n1 , n2 )
r
bằng u
| n1 . n2 |
| n1 || n2 |
| a1 a 2 b1b2 |
2
1
2
2
2
1
2
2
a a . b b
r
hoặc tính theo véc tơ chỉ phương thay n
* Góc giữa hai đường thẳng:( ): y = k 1 x + b và ( ’): y = k 2 x + b’ là:
tan (; ')
k2 k1
1 k1.k2
(Công thức tan)
III. Phương trình đường tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
Phương trình:
Dạng 1: x a y b r 2 .
2
2
Dạng 2: x 2 y 2 2ax 2by d 0 , điều kiện a 2 b2 d 0 và r a 2 b 2 d .Tâm
I(a;b)
2. Điều kiện để đường thẳng : Ax By C 0 (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:
d I,
Aa Ba C
r
A2 B 2
Đôi khi ta xét b= 0 thay xét trực tiếp và sau đó xét b �0 thì đường thẳng (1) thành y kx b hoặc
kx y b 0 thì bài toán đơn giản hơn.
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M0 .
Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: M x; y �
uuuu
r uuuuuur
IM 0 .M O M 0 ta có (x – x0) (x0 – a)+ (y – y0) (y0 – b)= 0
hoặc x0 x y0 y a ( x x0 ) b ( y y0 ) c 0
uuuur uuur uuuur
uuuuruuur uuuur
IM 0 .( IM IM 0 ) 0 � IM 0 IM IM 02 0 � x0 a x a y0 b y b R 2
IV. Ba đường conic
Elip
x2 y 2
1. Phương trình chính tắc: 2 2 1 , (a>b>0).
a
b
2. Các yếu tố: c 2 a 2 b 2 , a> c>0.,a>b>0
Tiêu cự: F1F2=2c;
Độ dài trục lớn A1A2=2a
Độ dài trục bé B1B2=2b.
Hai tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 .
Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn A1 a;0 , A2 a;0 ,
y
B1
2 đỉnh trên trục bé B1 0; b , B2 0; b .
A
c
Tâm sai: e 1
a
1
F2
F1
2
x
O
�MF1 r1 a ex0
Bán kính qua tiêu điểm: M( x0 ; y0 )thuộc (E) thì �
�MF2 r2 a ex0
A
M
B2
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2. hoặc dùng điều kiện
nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm.
Hyperbol
1. Phương trình chính tắc:
x2 y 2
1 , (a> b>0).
a2 b2
2. Các yếu tố: c 2 a 2 b 2 , c>a>0.
Tiêu cự: F1F2=2c;
y
y=
Độ dài trục ảo Ba1Bx2=2b.
Độ dài trục thực A1A2=2a
Hai tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 .
b
B2
F1
F2
A1
O
B1
y=-
b
a
x
A2
x
Hai đỉnh: đỉnh trên trục thực A1 a;0 , A2 a;0 ,
Bán kính qua tiêu điểm: M( x0 ; y0 )thuộc (H) :
c
�
MF1 a x0
�
�
a
x0 �a thì �
�MF a c x
0
� 2
a
c
�
MF1 a x0
�
�
a
x0 � a thì �
�MF a c x
0
� 2
a
�
c
�MF1 a a x0
�
hoặc tổng quát: �
�MF a c x
2
0
�
a
�
b
Hai đường tiệm cận: y � x
a
Tâm sai: e
c
1
a
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A2a2B2b2=C2.
Parabol
y
1. Phương trình chính tắc: y 2 px , (p>0 gọi là tham số tiêu).
2
B2
2. Các yếu tố:
p
�p �
Một tiêu điểm F � ;0 �, đường chuẩn x
2
�2 �
F2
O
x
B. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x y 1 0 , phân
giác trong BN : 2 x y 5 0 .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn:
A
+ Do AB CH nên AB: x y 1 0 .
H
�2 x y 5 0
N
Giải hệ: �
ta có (x; y)=(-4; 3).
�x y 1 0
Do đó: AB �BN B(4;3) .
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A ' �BC .
- Phương trình đường thẳng (d) qua A và
B
C
Vuụng gúc với BN là (d): x 2 y 5 0 .
�2 x y 5 0
Gọi I ( d ) �BN . Giải hệ: �
. Suy ra: I(-1; 3) � A '(3; 4)
�x 2 y 5 0
7 x y 25 0
�
13 9
+ Phương trình BC: 7 x y 25 0 . Giải hệ: �
Suy ra: C ( ; ) .
4 4
� x y 1 0
450 d ( A; BC ) 7.1 1(2) 25 3 2
,
.
4
7 2 12
1
1
450 45
Suy ra: S ABC d ( A; BC ).BC .3 2.
.
2
2
4
4
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 : x y 3 0 và
+ BC (4 13 / 4) 2 (3 9 / 4) 2
d 2 : x y 6 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
Ta có: d 1 d 2 I . Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
x y 3 0
x 9 / 2
9 3
. Vậy I ; Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm
2 2
x y 6 0
y 3 / 2
2
2
9 3
cạnh AD M d 1 Ox Suy ra M( 3; 0) Ta có: AB 2 IM 2 3 3 2
2 2
S ABCD
12
2 2
Theo giả thiết: S ABCD AB.AD 12 AD
AB
3 2
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 d 1 AD
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT:
1(x 3) 1(y 0) 0 x y 3 0 . Lại có: MA MD 2
x y 3 0
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
2
x 3 y 2 2
y x 3
y x 3
y 3 x
x 2
x 4
hoặc
.
2
2
2
2
x
3
1
y
1
y
1
x
3
y
2
x
3
(
3
x
)
2
Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
x C 2 x I x A 9 2 7
9 3
Do I ; là trung điểm của AC suy ra:
2 2
y C 2 y I y A 3 1 2
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
1
2
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0)
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ
các đỉnh của hình chữ nhật đó.
A
B
HƯỚNG DẪN
+) d ( I , AB )
5 �
AD
2
= 5 AB = 2 5 BD = 5.
2
I
2
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2) + y = 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
�
x2
�
�
�
1 2
25
�
2
y2
(x ) y
�
�
�
� A( 2; 0), B (2; 2)
2
4 � �
�
x 2
�
�
x 2y 2 0
�
�
�
y0
�
�
�
D
C
� C (3;0), D ( 1; 2)
Bµi 4: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng
träng t©m thuéc ®êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
Híng dÉn:
5 5
Ta cã: AB = 2 , M = ( ; ), pt AB: x – y – 5 = 0
2 2
3
1
3
S ABC = d(C, AB).AB = � d(C, AB)=
2
2
2
3
vµ
2
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=
� d(G, AB)=
t (3t 8) 5
=
1
2
1
� t = 1 hoÆc t = 2
2
2
� G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
uuuu
r uuuur
Mµ CM 3GM � C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4)
Bµi 5:
2
2
Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): x y 1 vµ ®êng th¼ng :3x + 4y =12. Tõ ®iÓm M bÊt k×
4
3
trªn kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm
cè ®Þnh.
Híng dÉn:
Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
xx y y
xx yy
TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng 1 1 1 TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn 0 1 0 1 1 (1)
4
3
4
3
xx0 yy0
Ta thÊy täa ®é cña A vµ B ®Òu tháa m·n (1) nªn ®êng th¼ng AB cã pt
1
4
3
4 xx0 4 yy0
4 xx0 y (12 3 x0 )
do M thuéc nªn 3x0 + 4y0 =12 � 4y0 =12-3x0 �
4�
4
4
3
4
3
Gäi F(x;y) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ AB ®i qua víi mäi M th×
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0
�
4xyy400 � xy11
VËy AB lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh F(1;1)
Bài 6:
Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3x 4 y 4 0 .
Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC
bằng15.
Hướng dẫn:
3a 4
16 3a
) � B(4 a;
) . Khi đó diện tích tam giác ABC là
1. Gọi A(a;
4
4
1
S ABC AB.d (C � ) 3 AB .
2
2
a4
�
�6 3a �
Theo giả thiết ta có AB 5 � (4 2a) 2 �
� 25 � �
a0
� 2 �
�
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
Bài 7:
x2 y 2
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) :
1 và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) .
9
4
Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn
nhất.
Hướng dẫn:
Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0
x2 y 2
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có
1 và diện tích tam giác ABC là
9
4
S ABC
85 �x 2 y 2 �
170
1
85
85 x y
�
3
2 � � 3
AB.d (C � AB )
2x 3y 3
13 �9
4 �
13
2
13 3 4
2 13
�x 2 y 2
2
1 �
�
�9
�x 3
3 2
4
��
2
Dấu bằng xảy ra khi �
. Vậy C (
; 2) .
2
�x y
�y 2
�
�3 2
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0
và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
Hướng dẫn:
Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)
Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)
Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)
Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 9:
Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi
qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình cần tìm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2
Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình
�
(1 a ) 2 b 2 R 2
�
a0
�
�
(1 a ) 2 (2 y )2 R 2 � �
b 1 Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)2 = 2
�
�
�R 2 2
(a b 1) 2 2 R 2
�
�
Bài 10 :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có
tâm I và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm
phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
Hướng dẫn :
Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
I
Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
5
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.
H
B
A
| m 4m |
| 5m |
IH = d ( I , )
m 2 16
m 2 16
AH IA2 IH 2 25
(5m) 2
m 2 16
SIAB 12 � 2S IAH 12
20
m 2 16
Diện tích tam giác IAB là
m �3
�
�
d ( I , ). AH 12 � 25 | m | 3( m 16) �
16
�
m�
3
�
2
Bài 11:
Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B ( 2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®êng
th¼ng x 4 0 , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng 2 x 3 y 6 0 . TÝnh diÖn tÝch
tam gi¸c ABC.
Híng dÉn:
1 2 4
1 5 yC
y
Ta cã C ( 4; yC ) . Khi ®ã täa ®é G lµ xG
1, yG
2 C . §iÓm G n»m trªn
3
3
3
®êng th¼ng 2 x 3 y 6 0 nªn 2 6 yC 6 0 , vËy yC 2 , tøc lµ
C (4; 2) . Ta cã AB ( 3; 4) , AC (3;1) , vËy AB 5 , AC 10 , AB. AC 5 .
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S
1
2
AB 2 . AC 2 AB. AC
2
1
15
25.10 25 =
2
2
Bµi 12: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2; 1) , B (1; 2) , träng t©m G
cña tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng x y 2 0 . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC
b»ng 13,5 .
Híng dÉn:
V× G n»m trªn ®êng th¼ng x y 2 0 nªn G cã täa ®é G (t ; 2 t ) . Khi ®ã AG (t 2;3 t ) ,
AB ( 1; 1) VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ
S
1
2
AG 2 . AB 2 AG. AB
2
1
2t 3
2 (t 2) 2 (3 t ) 2 1 =
2
2
NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 : 3 4,5 . VËy
2t 3
4,5 , suy ra t 6 hoÆc t 3 . VËy cã hai ®iÓm G : G1 (6; 4) , G 2 ( 3; 1) . V× G lµ
2
träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC 3 xG ( xa xB ) vµ yC 3 yG ( ya yB ) .
Víi G1 (6; 4) ta cã C1 (15; 9) , víi G 2 ( 3; 1) ta cã C2 ( 12;18)
Bµi 13.
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 vµ ®êng th¼ng d
cã ph¬ng tr×nh x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®îc
hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
Híng dÉn:
Tõ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®îc 2 tiÕp tuyÕn AB,
AC tíi ®êng trßn vµ AB AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 3 IA 3 2
m 1
m 5
3 2 m 1 6
2
m 7
Bài 14:
Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);
B (3;4). Tìm điểm M () sao cho 2MA 2 + MB 2 có giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn :
uuuu
r
uuuu
r
M� � M (2t 2; t ), AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4)
2 AM 2 BM 2 15t 2 4t 43 f (t )
� 2�
26 2
Min f(t) = f
=> M ;
15
15 15
Bài 15:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
2
x y 2 4 3x 4 0 .
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C)
tại A.
Hướng dẫn:
A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’
uur
uuur
x 2 3t
1
Pt đường thẳng IA :
, I ' IA => I’( 2 3t ; 2t 2 ), AI 2 I ' A t > I '( 3;3)
2
y 2t 2
(C’): x
3
2
y 3 4
2
Bài 16:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ
nhật.
Hướng dẫn:
BD AB B (7;3) , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
A AB A(2a 1; a), C BC C (c;17 2c), a 3, c 7 ,
2a c 1 a 2c 17
;
I =
là trung điểm của AC, BD.
2
2
I �BD � 3c a 18 0 � a 3c 18 � A(6c 35;3c 18)
uuur uuuu
r
c 7(loai )
M, A, C thẳng hàng MA, MC cùng phương => c2 – 13c +42 =0
c 6
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
Bài 17:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình
C2 : x 2 y 2 6 x 8 y 16 0.
C1 : x2 y 2 4 y 5 0
Lập phương trình tiếp tuyến chung của C1 và C2 .
Hướng dẫn:
C1 : I1 0; 2 , R1 3; C2 : I 2 3; 4 , R2 3.
2
2
Gọi tiếp tuyến chung của C1 , C2 là : Ax By C 0 A B 0
là tiếp tuyến chung của C1 , C2
2
2
1
d I1; R1
2 B C 3 A B
d I 2 ; R2
3 A 4 B C 3 A2 B 2 2
3 A 2B
Từ (1) và (2) suy ra A 2 B hoặc C
2
Trường hợp 1: A 2 B .
Chọn B 1 � A 2 � C 2 �3 5 � : 2 x y 2 �3 5 0
Trường hợp 2: C
3 A 2B
. Thay vào (1) được
2
Bµi 18:
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C ) : x 2 y 2 – 2 x – 2 y 1 0, (C ') : x 2 y 2 4 x – 5 0 cùng đi qua M(1; 0). Viết
phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
Hướng dẫn:
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R 1, R ' 3 , đường thẳng (d)
qua M có phương trình a( x 1) b( y 0) 0 � ax by a 0, (a 2 b 2 �0)(*) .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
2
2
Khi đó ta có: MA 2MB
IA2 IH 2 2 I ' A2 I ' H '2 � 1 d ( I ;d ) 4[9 d ( I ';d ) ] ,
IA IH .
9a 2
b2
36a 2 b 2
35
�
35 � a 2 36b 2
a2 b2 a 2 b2
a 2 b2
a 6
�
Dễ thấy b �0 nên chọn b 1 � �
.
�a 6
Kiểm tra điều kiện IA IH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
� 4 d ( I ';d ) d ( I ;d ) 35 � 4.
2
Bài 19:
2
và
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực
tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
Hướng dẫn:
+uuuĐường
thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
r
HK (1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên
( AC ) : x 2 y 4 0. Ta cũng dễ có:
( BK ) : 2 x y 2 0 .
+ Do A �AC , B �BK nên giả sử
A(2a 4; a ), B (b; 2 2b). Mặt khác M (3;1) là
trung điểm của AB nên ta có hệ:
2a b 10
a4
�2a 4 b 6
�
�
��
��
.
�
a 2 2b 2
b2
�
�a 2b 0
�
Suy ra: A(4; 4), B(2; 2).
uuu
r
+ Suy ra: AB (2; 6) , suy ra: ( AB ) : 3x y 8 0 .
uuur
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HA (3; 4) , suy ra:
( BC ) : 3x 4 y 2 0.
KL: Vậy : ( AC ) : x 2 y 4 0, ( AB ) : 3x y 8 0 , ( BC ) : 3x 4 y 2 0.
Bài 20: (đề 2010)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và d2: 3x y 0 . Gọi (T)
là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại
3
B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
và điểm A có hoành độ
2
dương.
Hướng dẫn:
. Ta thấy d1 , d 2 tạo với Oy góc 300 Từ đó �
AOB 600 ; �
ACB 300
S ABC
1
3
3
3
AB.BC
AB 2 �
AB 2
� AB 1 OA 2 . AB 2 � A �1 ; 1�
�
�
2
2
2
2
3
3
�3
�
OC 2OA
4
� 2
�
�C �
; 2 �Đường tròn (T) đường kính AC có:
3
� 3
�
2
3�
AC
� 1
I�
; �
, R
1
2
� 2 3 2�
2
1 � � 3�
�
Phương trình (T): �x
� �y � 1
� 2 3� � 2�
Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng
đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B
và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn:
Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB
Â
Ta có d A,
664
4 2
2
Vì là đường trung bình của V ABC
� d A; BC 2d A; 2.4 2 8 2
Gọi phương trình đường thẳng BC là: x y a 0
a4
66 a
�
8 2 � 12 a 16 � �
Từ đó:
a 28
2
�
E
B
C
H
Nếu a 28 thì phương trình của BC là x y 28 0 , trường hợp này A nằm khác phía đối với
BC và , vô lí. Vậy a 4 , do đó phương trình BC là: x y 4 0 .
Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và BC : x y 4 0 nên có phương
trình là x y 0 .
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình
�x y 0
�x 2
��
�
�x y 4 0 �y 2
Vậy H (-2;-2)
Vì BC có phương trình là x y 4 0 nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a)
Lại vì H là trung điểm BC nênuuC(-4-a;
a)
u
r
uuu
r
CE 5 a; 3 a , AB (a 6; 4 a 6)
Suy ra:
uuu
r uuu
r
Vì CE AB nên AB.CE 0 � a 6 a 5 a 3 a 10 0
�
a0
�
2a 2 12a 0 � �
Vậy
a 6
�
�
�B 0; 4
�
C 4;0
�
hoặc
�
�B 6; 2
.
�
C 2; 6
�
C. BÀI TẬP TỰ RÈN
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ
A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y9=0 và x+3y5=0. Tìm tọa độ các
đỉnh A và B.
ĐS: A(1;4), B(5;0).
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) x 2 y 2 4 x 4 y 6 0 và đường
thẳng : x my 2m 3 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để
Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình
x2 y2
1 . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho
16
9
đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ
nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
ĐS: M 2 7 ;0 , N 0; 21 , MN min 7
4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x1)2+(y2)2=4 và
đường thẳng d: xy1=0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua
đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
ĐS: A(1;0), B(3;2)
5. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có
phương trình là x3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= 0.
Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.
6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E):
x2 y2
1 .
4
1
Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành
và tam giác ABC là tam giác đều.
2 4 3
2
ĐS: A 7 ; 7 , B 7 ;
4 3
7
2
hoặc A 7 ;
4 3 2 4 3
, B ;
7 7
7
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x+y +3=0, d2: xy 4=0, d3:
x2y =0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
ĐS: M(22;11), (2;1).
8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y22x2y+1=0 và đường thẳng d:
xy+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán
kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
ĐS: M1(1;4), M2(2;1)
9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao
cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x 2y+3=0.
ĐS:
A(2;0),
B(0;4).
10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x1)2+(y+2)2=9 và đường thẳng d:
3x4y+m=0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến
PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
ĐS: m=19, m=41
11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB.
Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x2y3=0 và
6xy4=0. Viết phương trình đường thẳng AC.
ĐS: AC: 3x4y+5=0
12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD
thuộc đường thẳng : x+y5=0. Viết phương trình đường thẳng AB.
ĐS: AB: y5=0; x4y+19=0
13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E)
có tâm sai bằng
5
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.,
3
ĐS:
x2 y2
1
9
4
13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(2;2) và C(4;2). Gọi H
là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
ĐS: x2+y2x+y2=0
14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x+y+3=0, d2: xy4=0, d3:
x2y=0. Tìm tọa độ điểm M mằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
ĐS: M1(22;11), M2(2;1)
15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1: xy=0 và d2: 2x+y1=0. tìm tọa độ
các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc
trục hoành.
ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;1), D(0;0)
16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và B 3; 1 . Tìm tọa độ trực tâm
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS: H 3; 1, I 3;1
17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng
BC là 3 x y 3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp
bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
74 3 62 3
;
3
3
18. ĐS: G
4 3 1 6 2 3
;
3
3
hoặc G
19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)2+y2=4/5 và hai đường thẳng 1:
xy=0, 2: x7y=0. Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1)
tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc đường tròn (C).
ĐS:
2 2
8 4
K ; , R
5
5
5
20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng
hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(1;1), đường phân giác trong của
góc A có phương trình xy+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y1=0.
ĐS:
10 3
C
;
3 4
21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y2=0, d2:
x+y8=0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A.
ĐS: B(1;3), C(3;5) hoặc B(3;1), C(5;3)
22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn (C): x2+y22x6y+6=0 và điểm M(3;1).
Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường
thẳng T1T2.
ĐS: T1T2: 2x+y3=0
23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS: (C1): (x2)2+(y1)2=1 hoặc (x2)2+(y7)2=49
24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;3). Tìm điểm C thuộc đường
thẳng x2y1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
ĐS: C1 7;3, C 2
26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
2
3
43 27
;
11 11
^
BAC 900 . Biết M(1;1) là
trung điểm cạnh BC và G ;0 là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
ĐS: A(0;2), B(4;0), C(2;2)
1
2
27.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phương trình
đường thẳng AB là x2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có
hoành độ âm.
ĐS: A(2;0), B(2;2), C(3;0), D(1;2)
- Xem thêm -
.DOC 
13 
92 
95 
