Tài liệu CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG TOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. LÝ THUYẾT: Giôùi haïn höõu haïn 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1 1 lim  0 (k �� ) lim  0 k n��n n ��n ; lim q n  0 ( q  1) n�� Giôùi haïn voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: lim n k  �(k �� ) lim n  � lim q n  �(q  1) lim C  C ; n�� 2. Ñònh lí : a) Neáu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a lim n  vn b  (neáu b  0) b) Neáu un  0, n vaø lim un= a un  a thì a  0 vaø lim un �vn c) Neáu ,n vaø lim vn = 0 thì lim un = 0 lim un  a d) Neáu lim un = a thì 2. Ñònh lí: a) Neáu lim un  � lim thì un b) Neáu lim un = a, lim vn =  thì lim vn =0 un c) Neáu lim un = a  0, lim vn = 0 thì lim �� Cho trong bảng sau: un lim vn lim vn + + + - � 0 d) Neáu lim un = �� = un vn Dấu của vn lim � - + � - � �� , lim vn = a thì lim(un.vn) = Cho trong bảng sau: un vn lim lim GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 1 0 un un .vn lim TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 3. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn u1 1  q  q  1 2 S = u1 + u1q + u1q + … = + � � + � � - � � - � � * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ 0 � 0 � ñònh: , ,  – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû daïng voâ ñònh. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: P ( n) lim Q ( n) 1.DẠNG 1: (Trong đó P(n), Q(n) là các đa thức có chứa biến n) Phương pháp: Chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa n. �k ,khi deg( P(n))deg(Q(n)) P (n) � � lim  �0 ,khi deg( P(n))deg(Q( n)) Q ( n) � � � ,khi deg( P(n))deg(Q(n)) �� Chú ý: 1 1 n 1 n 1 lim  lim 3 2 2n  3 2 n VD1: a) 1 1  n 1 n n2 0 lim 2  lim  0 3 2n  3 2 2 2 n b) 1 1 2 n2  1 n  � lim  lim 2 3 2n  3  2 n n c) 1 � lim(1  ) 1 � n2 � � 2 3 lim(  2 )  0 � � n n �2 3 * �n  n 2  0, n �� � Do: GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO lim 2 n  n  3n  lim 1  2n d) 1 3 n 1 1 2 n 1 1 1 n n n 0 n lim  lim  0 3 1 2 n  4n 2  n  2 1 4   2 n n 1 2 e) 1 3 n  n  3n n lim  lim  � 1 1 2 1  2 n  4 n2  n  2 2 4  2 n n n 1 2 f) Do: � 1 lim( 1   3)  2  0 � n � � 1 2 � 1 lim(  2  4   2 )  0 � n n � n �1 1 2 * �  2  4   2  0, n �� n n �n lim(n3  n  3)  lim g) Do: 1 1 3  3 2 n n  � 1 n 1 3 � lim(1  2  3 )  2  0 � n n � � 1 lim  0 � � n �1 * �n  0, n �� � lim P (a n ) Q (b n ) P( a n ), Q(bn ) 2.DẠNG 2: (Trong đó Do: là các đa thức chứa Do: Phương pháp giải: Chia caû töû vaø maãu cho số lớn nhất có chứa mũ n. �k ,khi a b P( a n ) � � lim  �0 ,khi ab Q(b n ) � � � ,khi a b �� Chú ý: GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG an và bn ) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO n lim VD1: 3n  1 n 2.3  3  lim a) b) c) �1 � 1 � � �3 � n �1 � 2  3. � � �3 � n  1 2 n �2 � �1 � n � � � � 0 2 1 3 3 lim  lim � � � n�   0 n 2.3  3 �1 � 2 2  3. � � �3 � n �1 � 1 � � n 3 1 �3 � lim  lim  � n n n 2.2  3 �2 � �1 � 2. � �  3. � � �3 � �3 � Do: n � �1 � lim(1  � � �)  1 �3 � � n n � � �2 � �1 � lim(2. � � 3. � �)  0 � �3 � �3 � � n n � �2 � �1 � � 2. � � 3. � �  0, n ��* � � �3 � �3 � 3.DẠNG 3: Nhaân löôïng lieân hôïp: Phương pháp giải: Duøng caùc haèng ñaúng thöùc  a  b   a  b   a  b;  3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b 2   a  b  3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2   a  b VD2: a) lim  lim b) lim c) GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG n 2  3n  n  1 n2  3n  n lim n2  3n  n n2  3n  n  =  lim 4n2  3n  2n  n 2  n2  3n  n  3n  n    lim n2  3n  n 3n 3n    n2  3n  n n2  3n  n  4n2  3n  2n  3n lim   lim  lim  2 n  3n  n = 2 n  3n  n  2 = n  3n  n 2  3n 3 n2  3n  n 4n2  3n  2n  1 2 3 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO lim d) lim  3 n3  3n  n  3 3 3 2 2 2 2�  3 n3  3n2  n  � �3  n  3n   n. n  3n  n � � 3 = n 3  3n �  2 2  n.3 n3  3n2  n2 3n2 lim 3 n 3  3n2  2  n.3 n3  3n2  n 2 = =-1 4.DẠNG 4: Tính giới hạn của tổng hữu hạn: Phương pháp giải: Áp dụng các công thức đã học 2(u  u )  un  csc : u1  u2  ...  un  1 n n u (1  q n )  un  cs n : u1  u2  ...  un  1 1 q 1 1 1   n(n  1) n n  1 VD3: a �1 1 1 � 1 lim �   ...   lim(1  ) 1 � 1.2 2.3 n(n  1) � n 1 � lim 1  3  32  ...  3n 2 1  4  4  ...  4 b) n  lim   0 2 1 4  3 1  3n n 5.DẠNG 5: Duøng ñònh lí keïp: un �vn Phương pháp giải: Duøng ñònh lí keïp: Neáu ,n vaø lim vn = 0 thì sin n lim n VD4: a) . sin n 1 1 sin n � lim  0 lim 0 n n n n Vì 0  vaø neân 3sin n  4 cos n lim 2n 2  1 b) . Vì 3sin n  4 cos n � (32  42 )(sin 2 n  cos2 n)  5 GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG lim un = 0 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 3sin n  4 cos n 2n 2  1 neân 0  lim Maø lim 5 2 2n  1 4n Vì 0  d) 4 n n �1 � �� � �4 � n 4n Vì 0  n vaø �1 � lim � �  0 �4 � lim sin n neân 4n 0 . n �1 � �� � n 4 �2 � n  sin n e) III. BÀI TẬP: 0 2n2  1 neân n lim lim . 3sin n  4 cos n . sin n lim 0 sin n c) 5 � 2n 2  1 4n n vaø  lim �1 � lim � �  0 �2 � n 4n  lim sin n 4n lim neân n 4n 0 0 . BÀI 1: Tính caùc giôùi haïn sau: lim a) lim 2n 2  n  3 3n2  2n  1 a) lim (n  1)(2  n)(n2  1) a) lim e) 1  3n 4  3n lim b) 2n  5n1 1  5n d) BÀI 3: Tính caùc giôùi haïn sau: lim b) n4 d) BÀI 2: Tính caùc giôùi haïn sau: lim lim lim e) 4n2  1  2n  1 n 2  4n  1  n GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG lim b) 2n  1 n3  4 n 2  3 lim lim f) 4.3n  7n1 2.5n  7n 2n 4  n 2  3 3n3  2n2  1 lim 4n 1  6 n 2 c) 1  2.3n  7n 5n  2.7n n3  4 c) n2  1 2n 4  n  1 3n3  2n 2  n lim f) 1  2.3n  6 n 2 n (3n1  5) n2  3  n  4 n2  2  n 5n  8n lim c) 3 n2  1  n6 n 4  1  n2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO lim 4n 2  1  2 n (2n n  1)( n  3) lim (n  1)(n  2) n2  4n  1  n d) e) BÀI 4: Tính caùc giôùi haïn sau: �1 � 1 1 lim �   ...  � 1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) � � a) � 1 � � 1 � � 1 � lim � 1 � 1  �... � 1 � 2 � � 2 � � 32 � � n2 � c) 1  2  ...  n lim n2  3n e) BÀI 5: Tính caùc giôùi haïn sau: � 2 lim � � n  2n  n  1� � � a) d) lim � 1  n2  n 4  3n  1 � � � � � lim a) lim d) e) 4n2  1  2n  1 n2  4n  1  n g) BÀI 6: Tính caùc giôùi haïn sau: lim b) lim h) lim 2 n 1 b) 3sin6 n  5 cos2 (n  1) n2  1 d) lim  lim 3n2  1  n f) �1 1 1 � lim �   ...  � 1.3 2.4 n(n  2) � � �1 1 1 � lim �   ...  � 1.2 2.3 n(n  1) � � lim f) 1  2  22  ...  2n 1  3  32  ...  3n � 2 2 lim � �n n  n 2� � � lim 2 cos n2 b) n2  4n  4n2  1 n2  n  n  c) 3sin 2 (n3  2)  n2 2  3n2 n2  2  n2  4 f) n2  1  n6 (1)n sin(3n  n2 ) 3n  1 1 lim 3 n4  1  n2 3 � 3 lim � � 2n  n  n  1� � � n2  4n  4n2  1 lim 3n2  1  n i) lim 2  2 n cos n 3n  1 lim 3n2  2n  2 n(3 cos n  2) c) e) f) � 1 � � 1 �� 1 � 1 � 1 � ... � 1 � � 2 � � 2 � � 32 � � n2 � BÀI 7: Cho daõy soá (un) vôùi un = , vôùi  n  2. a) Ruùt goïn un. b) Tìm lim un. BÀI 8: 1 1 1   n n  1  (n  1) n n n 1 a) Chöùng minh: (n  N*). GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 1 b) Ruùt goïn: un = c) Tìm lim un. 1 2 2 1  1 2 3 3 2  ...  1 n n  1  ( n  1) n � u 1 �1 1 � un1  un  (n �1) � � 2n BÀI 9: Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: . a) Ñaët vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. � u1  0; u2  1 � 2un2  un1  un , (n �1) � BÀI 10: Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: 1  un  1 2 a) Chöùng minh raèng: un+1 = , n  1. 2 3 b) Ñaët vn = un – . Tính vn theo n. Töø ñoù tìm lim un. GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG .