A.
HUỲNH VĂN LƯỢNG
0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305
0967.859.305 – 0929.105.305 – 0666.513.305
www.huynhvanluong.com
--
----
LƯU HÀNH NỘI BỘ
Các nội dung trong Quyển 5:
Hệ phương trình
Trang 2
Phương trình, Bpt đại số
Trang 21
Tìm đọc trọn bộ gồm 6 Quyển với các nội dung:
Quyển 1: Hàm số - Số phức-Mũ và logarit
Quyển 2: Tích phân – Hình oxyz
Quyển 3: Lượng giác – Tổ hợp - Xác suất
Quyển 4: Hình cổ điện – Hình Oxy
Quyển 5: Phương trình, bpt và hệ pt đại số
Quyển 6: 100 đề thi THPT Quốc gia
Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới
Huỳnh Văn Lượng
(đồng hành cùng hs trong suốt chặn đường THPT)
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
ooOoo
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
I. ĐN: là hệ hai ẩn x, y có dạng:
II. Cách giải:
Bước 1: Tính các định thức :
D=
a1
a2
b1
= a1b2 − a 2 b1
b2
(gọi là định thức của hệ)
Dx =
c1
c2
b1
= c1b2 − c 2 b1
b2
(gọi là định thức của x)
Dy =
a1
a2
c1
= a1c 2 − a 2 c1
c2
(gọi là định thức của y)
Bước 2: Biện luận
Dx
x = D
* D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất
y = Dy
D
* D = 0 và D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 : hệ vô nghiệm
* D = Dx = Dy = 0: hệ có vô số nghiệm
Bài tập:
mx + y = m + 1
x + my = 2m
1. Cho hệ phương trình:
a) Giải và biện luận hệ
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập m
c) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên
mx + 2 y = m + 1
2 x + my = 2m + 5
2. Cho hệ phương trình:
a) Tìm m để hệ vô nghiệm
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa x 0 ∀x, y ) ⇔ y = x.
2 4
Thay y = x vào (1) ta được:
Huỳnh văn Lượng
Trang 3
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
x = 1
x − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = 0 ⇔
x = −1 ± 5
2
3
2
−1 − 5 −1 − 5 −1 + 5 −1 + 5
;
;
;
.
2
2
2
2
x + y =1
Ví dụ 3 (D2004). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
x x + y y = 1 − 3m
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là: (1; 1) ;
S = xy , S ≥ 0
HD: - Đặt
P = x + y , P ≥ 0
( S 2 − 4 P ≥ 0)
- Đưa hệ phương trình theo ẩn S,P. Sau đó giải tìm S, P
1 1
- Điều kiện để hệ có nghiệm là: S≥0, P≥0, S2-4P≥0. ĐS: m ∈ ;
4 3
Bài tập:
1. Giaûi caùc heä phöông trình sau :
x − y + xy = −1
x 2 + xy + y 2 = 4
xy + x + y = 2
1)
2)
x 2 + y 2 = 13
3( x + y ) + 2 xy + 9 = 0
4)
x y + y x = 30
7)
x x + y y = 35
Đáp số: 1) (0;2); (2;0)
4) (3; −2),(−2;3),(−2 ±
xy + x + y = 11
3)
x + y − xy = 1
x 2 y + xy 2 = 30
5) 3 3
x + y = 35
2
2
2
2
x y + xy = 30
x y + y x = 6
6) 2
x y + xy 2 = 20
x+ y =4
8)
x + y − xy = 4
x 4 + y 4 = 34
9)
x + y = 2
2) (0; −1),(−1;0)
3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
10
10
; −2 ∓
) 5) (2;3);(3;2)
2
2
6) (1;4),(4;1)
7) (4;4)
2. Giaûi caùc heä phöông trình sau:
2 x 2 + y = 3y 2 − 2
1) 2
2
2 y + x = 3 x − 2
3 x + y =
4)
3y + x =
1
x2
1
y2
2 x − 3 x = y − 2
7) 2
(QG − 2000)
2
2
3
2
x − 2x + 2x + 1 = 2y
6) 3
2
y − 2y + 2y + 1 = 2x
x 2 = 3x − y
2
8)
2
y = 3 y − x
2 y − 3 y = x − 2
1 3
2 x + y = x
9)
(QG − 99)
2 y + 1 = 3
x y
Huỳnh văn Lượng
y 2 = x 3 − 3 x 2 + 2 x
3) 2 3
2
x = y − 3y + 2 y
2 x 2 + xy = 3 x
2) 2
2 y + xy = 3 y
y2 + 2
3
=
y
x2
5)
2
3 x = x + 2
y2
( MTCN − 98)
x 3 = 3 x + 8y
10)
3
y = 3 y + 8 x
Trang 4
(QG − 98)
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
2 x + y =
11)
2 y + x =
www.huynhvanluong.com
y2 + 2
3 y =
x2
12)
( KhèiB − 2003)
2
x
+
2
3 x =
y2
3
x2
( TL − 2001)
3
y2
x − 3y = m
3. Cho hệ phương trình: 3
3
y − 3 x = m
a) Giải hệ khi m = -2
b) Tìm m để hệ phương trình có 03 nghiệm phân biệt
------------------------------
HEÄ ĐẲNG CẤP (THUẦN NHẤT)
ooOoo
I. ĐN: là hệ có ẩn số x, y cùng bậc hai hoặc cùng bậc ba
a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1
2
2
a2 x + b2 xy + c2 y = d2
a1 x 3 + b1 x 2 y + c1 xy 2 + d1 y 3 = e1
3
2
2
3
a2 x + b2 x y + c2 xy + d2 y = e2
II. Cách giải:
Bước 1: Kiểm tra xem (0;y) có phải là nghiệm của hệ hay không?
Bước 2: Với x ≠ 0 ta đặt y = kx. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn k,x.
Từ 2 phương trình, lập tỉ số khử x để được 1 phương trình chứa k.
Bước 3: Giải phương trình tìm k rồi suy ra x,y.
--------2 x 2 + 3 xy − y 2 = 4
Ví dụ: Giải hệ phương trình 2
2
x − 4 xy + 5y = 2
Hướng dẫn:
- Ta thấy (0; y) không phải là nghiệm của hệ.
- Đặt y = kx, thế vào hệ rồi lập tỉ số tìm được k=0; k =1
- Thế k vào một trong hai phương trình để tìm x, rồi suy ra y
ĐS: hệ có 4 nghiệm: (1; 1) ; ( −1; -1) ;
(
) (
)
2; 0 ; − 2; 0 .
Bài tập:
1. Giải các hệ phương trình sau :
3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11
1) 2
2
3
2
6 x 2 − xy − 2 y 2 = 56
2 x + 3 x y = 5
2) 2
3)
3
2
2
x + 2 xy + 5y = 25
x3 − y 3 = 2
4) 3 2
2
x + x y + xy = 1
5 x − xy − y = 49
3 x − 2 xy = 16
5) 2
2
y + 6 xy = 7
2
x − 3 xy − 2 x = 8
( HH − TPHCM )
2. Giải các hệ phương trình sau :
x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9
1) 2
( HVNH − TPHCM )
2
2 x − 13 xy + 15 y = 0
2 y( x 2 − y 2 ) = 3 x
2) 2 2
( M § C − 97)
x ( x + y ) = 10 y
-------------------------------------Huỳnh văn Lượng
Trang 5
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI HEÄ PHƯƠNG TRÌNH
ooOoo
I. ĐN: để ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phương trình thì hệ đó phải có
một phương trình dạng: f(x) = f(y) (hoặc f(u) = f(v)), trong đó hàm số f(t) là đồng biến
hoặc nghịch biến trên điều kiền xác định D của hệ phương trình.
II. Ví dụ:
1
1
x − x = y − y
Ví dụ 1(A2003). Giải hệ phương trình
2 y = x3 + 1
Điều kiện xác định của hệ phương trình x ≠ 0, y ≠ 0
1
t
1
> 0, ∀t ≠ 0
t2
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên R \ {0}
Xét hàm số f (t ) = t − ⇒ f '(t ) = 1 +
1
x
1
y
Mặt khác: x − = y − ⇔ f ( x) = f ( y) ⇒ x = y
x = y
x = y
x = y
Ta được hệ phương trình như sau
⇔ 3
⇔
−1 ± 5
3
2 y = x + 1 x − 2 x + 1 = 0
x = 1, x =
2
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm x = y = 1, x = y =
−1 ± 5
2
x 3 + x = ( y + 2) y + 1
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 2
x + y = 1
(1) ⇔ x 3 + x = ( y + 1)3 + y + 1 ⇔ f ( x) = f ( y + 1), f (t ) = t 3 + t ⇔ x =
y +1
y = 0 ⇒ x =1
y = −1 ⇒ x = 0
Thay x = y + 1 vào (2) ta có: y + 1 + y 2 + 1 = 0 ⇔
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)
Bài tập:
1. Giải các hệ phương trình sau :
1
3 1
3
x − x = y − y
b)
x3 − 3 y + 2 = 0
tan x − tan y = y − x
a)
2 x − y = π
2. Giải các hệ phương trình sau :
x3 − y 3 + x − y = 0
a)
x + 2 y = 6
2
2
x + x − 1 = y + y − 1
c)
x + 2 y = 9
x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y
e)
2
2
x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0
x + e x = y + e y
b) 2
2
x + xy + y = 12
x + ln x = y + ln y
d) 3
2 x − 3xy + 1 = 0
3
2(2 x + 1) + 2 x + 1 = (2 y − 3) y − 2
e)
4x + 2 + 2 y + 4 = 6
------------------------------
Huỳnh văn Lượng
Trang 6
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO
ĐỂ GIẢI HEÄ PHƯƠNG TRÌNH
I. ĐN: để ứng dụng định lý Vi-et đảo để giải hệ phương trình thì hệ đó phải có một
trong các dạng sau:
x + y = S
xy = P
1)
⇒ x; y là nghiệm của phương trình: X2-SX+P=0
x + y + z = S
2) xy + yz + zx = R
xyz = P
⇒ x; y là nghiệm của phương trình: X3-SX2+RX – P = 0
II. Bài tập:
Bài tập 1. Giải các hệ phương trình:
x + xy + y = 3
a)
2
x( x + 1) y ( y + 1) = 72
b) 2
2
x + y + x + y = 18
2
x y + xy = 2
Bài tập 2. Giải các hệ phương trình:
x + y + z = 6
1 1 1 11
b) + + =
x y z 6
xyz = 6
--------------------------------------------------------------
x + y + z = 4
a) x 2 + y 2 + z 2 = 6
xyz = 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
I. Phương pháp biến đổi tương đương: Để biến đổi tương đương một hệ phương
trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng
đại số. Cùng với đó ta cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình
trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích,
bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…
1) DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y (ta sử dụng
phương phế thế: D2009-B2009-B2002-A2004-B2005-B2008).
x − 2 y +1 = 0
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
2
2
x − y + xy − 1 = 0
Huỳnh văn Lượng
Trang 7
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
Lời giải:
www.huynhvanluong.com
x = −1
x = 2 y − 1
x − 2 y +1 = 0
y = 0
⇔
⇔
2
2
2
2
x = 1
( 2 y − 1) − y + y ( 2 y − 1) − 1 = 0
x − y + xy − 1 = 0
y = 1
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta có thể
rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, theo quy tắc thế ta
nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận được có một phương trình là
phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
2
xy + x + 1 = x
(1)
(2)
Lời giải: Nhận thấy x = 0 không thoả mãn (1) của hệ nên hệ không có nghiệm ( 0; y ) .
Khi x ≠ 0 từ phương trình (2) ta có y + 1 =
x2 −1
thay vào phương trình (1) ta được:
x
2 x2 − 1
x2 −1
2
2
2
x
x
+
= 3 x − 4 x + 1 ( x − 1)( 2 x − 1) = ( x − 1)( 3 x − 1)
x
x
⇔
x2 −1
2
x −1
y +1 =
x
y + 1 = x
x = 1
x = 1
2
2 x ( x − 1) ( x + 2 ) = 0
y = −1
x = −2
⇔
⇔
⇔ x = −2
x2 −1
x2 −1
y +1 =
y
+
1
=
5
x
x
y = − 2
5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (1; − 1) ; −2; − .
2
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên ta tiến
hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên việc tính y theo
x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét ( 0; y ) không là nghiệm của hệ để
từ đó với x ≠ 0 ta có thể tính y + 1 =
x2 −1
và hệ nhận được tương đương với hệ đã cho.
x
x 2 + y 2 − 10 x = 0
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
2
2
x + y + 4 x − 2 y − 20 = 0
Lời giải: Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được y = 7 x − 10 .
Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
Huỳnh văn Lượng
Trang 8
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
x = −1
x + ( 7 x − 10 ) − 10 x = 0
x + y − 10 x = 0
y = −17
⇔
⇔
x = −2
y = 7 x − 10
y = 7 x − 10
y = −24
2
2
2
2
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào là phương
trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với
vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn,
nhờ đó ta đã giải được hệ.
x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
Lời giải:
*) Dễ thấy x = y = 0 là nghiệm của hệ.
*) Các cặp số ( x ; y ) víi x = 0; y ≠ 0 hay x ≠ 0; y = 0 đều không là nghiệm.
*) Với xy ≠ 0. Chia cả hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho xy ≠ 0 ta được:
1 1
x + y + 2x + y = 5
1 1
Suy ra 5 − 2 x − y = + = 4 − 3 x + y ⇒ x = 2 y − 1
x y
1 + 1 + 3x − y = 4
x y
Thay x = 2 y − 1 vào phương trình thứ 2 của hệ ban đầu ta được:
x = 2 y − 1
2 y − 1 + y + ( 2 y − 1) y 3 ( 2 y − 1) − y = 4 y ( 2 y − 1)
x = 2 y − 1
x = 2y − 1
⇔ 3
⇔
2
2
10 y − 19 y + 10 y − 1 = 0
( y − 1) 10 y − 9 y + 1 = 0
x = 2y − 1
41 − 1
− 41 − 1
y = 1
x=
x =
x = 1
10
10
⇔
hoÆc
hoÆc
9 + 41 ⇔
y
=
=
y
1
9 + 41
9 − 41
20
y = 20
y = 20
9 − 41
y = 20
(
)
41 − 1 9 + 41 − 41 − 1 9 − 41
;
;
;
.
20 10
20
10
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( 0; 0 ) ; (1; 1) ;
Nhận xét: Để giải hệ trên ta có thể biến đổi ngay từ hệ ban đầu nhờ quy tắc cộng đại
số như sau:
Huỳnh văn Lượng
Trang 9
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy
x + y + xy ( 3 x − y ) − x + y + xy ( 2 x + y ) = 4 xy − 5 xy
⇔
x + y + xy ( 3x − y ) = 4 xy
x + y + xy ( 3x − y ) = 4 xy
x = 0
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
xy ( x − 2 y + 1) = 0
y = 0
⇔
⇔
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
x = 2 y − 1
x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
Đến đây việc giải hệ ban đầu được đưa về việc giải 3 hệ phương trình đơn giản
hơn. Cách biến đổi này khá đơn giản nên học sinh khá dễ tiếp thu.
x3 − y 3 = 9
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau: 2
2
x + 2 y = x − 4 y
Lời giải:
3
3
x − y = 9
⇔
2
2
3 ( x + 2 y ) = 3 ( x − 4 y )
x3 − y 3 = 9
x 3 − y 3 = 3 x 2 − 3 x + 6 y 2 + 12 y + 9
⇔ 2
⇔
2
2
2
3 x − 3 x + 6 y + 12 y + 9 = 9
x + 2 y = x − 4 y
( x − 1)3 = ( y + 2 )3
x −1 = y + 2
⇔
⇔ 2
2
2
2
x + 2 y = x − 4 y
x + 2 y = x − 4 y
x = 2
x = y + 3
x = y + 3
y = −1
⇔
⇔
⇔
2
2
2
x = 1
y + 3y + 2 = 0
( y + 3) + 2 y = ( y + 3) − 4 y
y = −2
x3 − y 3 = 9
2
2
x + 2 y = x − 4 y
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (1; − 2 ) ; ( 2; − 1) .
Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau
x 3 − y 3 = 3 ( x − y )
1)
x + y = 1
x + 2y + 1 = 0
2) 2
2
x − y + xy − 1 = 0
x + y = 4
3)
2
( x + 1) y + xy = 4 ( y + 2 )
x + y = 1
4) 3
3
2
2
x + y = x + y
x 3 + y 3 = 1
5) 5
5
2
2
x + y = x + y
x 3 − y 3 = 35
6) 2
2
2 x + 3 y = 4 x − 9 y
x 3 + y 3 = 9
7) 2
2
x + 2 y = x + 4 y
x 2 + 5 x + y = 9
8) 3
2
2
3 x + x y + 2 xy + 6 x = 18
2) DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích (A2011).
Huỳnh văn Lượng
Trang 10
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
x 2 − 5 xy + 6 y 2 = 0
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau 2 2
2 x + y = 1
Lời giải:
2
2
x − 5 xy + 6 y = 0
( x − 2 y )( x − 3 y ) = 0
⇔ 2
2
2
2
2 x + y = 1
2 x + y = 1
x = 2 y
x = 2 y
x = 2 y
2
2
2
2
2
2 x + y = 1 2 ( 2 y ) + y = 1 9 y = 1
⇔
⇔
⇔
x
=
3
y
x = 3y
x = 3y
2
2
2
2
2 x + y = 1
19 y 2 = 1
2 ( 3 y ) + y = 1
3 19
3 19
2
2
x =
x = −
x = 3
x = − 3
19
19
⇔
hoÆc
hoÆc
hoÆc
1
1
y =
y = −
y = 19
y = − 19
3
3
19
19
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:
19
2 1 −2 −1 3 19
;
;
; ; ;
;
3 19
19
3 3 3
−3 19 − 19
;
.
19
19
Nhận xét: có thể giải bằng cách đặt x = ky
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:
2
2
2 x − y + xy + y − 5 x + 2 = 0 (1)
2
2
(2)
x + y + x + y − 4 = 0
Lời giải: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phương trình (1)
về dạng tích.
x + y − 2 = 0
(a)
2
2
2 x − y + xy + y − 5 x + 2 = 0
( x + y − 2 )( 2 x − y − 1) = 0
x + y + x + y − 4 = 0
⇔ 2
⇔
2
2
2
2x − y −1 = 0
x + y + x + y − 4 = 0
x + y + x + y − 4 = 0
(b)
x 2 + y 2 + x + y − 4 = 0
2
2
y = 2 − x
y = 2− x
x = 1
⇔
⇔
⇔
2
2
2
2
2
y =1
x + y + x + y − 4 = 0
x − 2x + 1 = 0
x + ( 2 − x ) + x + ( 2 − x ) − 4 = 0
x + y − 2 = 0
Giải(a):
Giải hệ (b):
x = 1
y = 1
y
=
2
x
−
1
2
x
−
y
−
1
=
0
y
=
2
x
−
1
⇔ 2
⇔ 2
⇔ x = −4
2
2
2
x + y + x + y − 4 = 0
5 x − x − 4 = 0
5
x + ( 2 x − 1) + x + ( 2 x − 1) − 4 = 0
−13
y =
5
Huỳnh văn Lượng
Trang 11
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
−4 −13
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 1) ; ;
.
5
5
www.huynhvanluong.com
2 xy
2
2
x + y + x + y = 1 (1)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:
x + y = x2 − y
(2)
Lời giải:
*) §K : x + y > 0
2
2
Ta cã (1) ⇔ x + y +
⇔
⇔
( x + y)
2
− ( x2 + y2 )
x+ y
( x + y ) ( x2 + y 2 ) + ( x + y )
2
=1
− ( x2 + y 2 ) − ( x + y )
x+ y
( x + y − 1) ( x 2 + y 2 ) + ( x + y − 1)( x + y )
x+ y
=0
=0
x2 + y 2
⇔ ( x + y − 1)
+ 1 = 0
x+ y
⇔ x + y −1 = 0
(V × x + y > 0 nª n
x2 + y 2
+ 1 > 0)
x+ y
⇔ x + y =1
Thay vµo pt (2) ta ®−îc : 1 = x 2 − (1 − x ) ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 hoÆc x = −2.
Tõ ®ã suy ra hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm ( x; y ) ∈ {(1; 0 ) ; ( −2; 3)}.
Cách khác:
x2 + y2 +
2 xy
=1
x+ y
⇔ ( x 2 + y 2 + 2 xy ) − 1 +
2 xy
− 2 xy = 0
x+ y
⇔ ( x + y − 1)( x + y + 1)( x + y ) − 2 xy ( x + y − 1) = 0
⇔ ( x + y − 1) ( x + y )( x + y + 1) − 2 xy = 0
⇔ ( x + y − 1) ( x 2 + y 2 + x + y ) = 0 ⇔ x + y − 1 = 0
( Do x + y > 0 nên x
2
+ y 2 + x + y > 0)
x2 + 4y2 = 5
4 xy + x + 2 y = 7
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau
Lời giải: Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được:
(x
2
)
2
+ 4 xy + 4 y 2 + ( x + 2 y ) = 12 ⇔ ( x + 2 y ) + ( x + 2 y ) − 12 = 0
⇔ ( x + 2 y + 4 )( x + 2 y − 3) = 0 ⇔ x + 2 y = −4 hoÆc x + 2 y = 3
Huỳnh văn Lượng
Trang 12
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
x + 2 y = −4
(a)
x + 4y = 5
4 xy + x + 2 y = 7
Do đó ta có:
⇔
x + 2 y = 3
4 xy + x + 2 y = 7
(b)
4 xy + x + 2 y = 7
2
2
x = −2 y − 4
x + 2 y = −4
x = −2 y − 4
( VN )
⇔
⇔ 2
4 xy + x + 2 y = 7
8 y + 16 y + 11 = 0
4 y ( −2 y − 4 ) + ( −2 y − 4 ) + 2 y = 7
Giải (a):
x = 3 − 2 y
⇔
4 y ( 3 − 2 y ) + ( 3 − 2 y ) + 2 y = 7
x = 3 − 2y
x = y = 1
y = 1
x = 2
⇔
⇔
1
y = 1
y=
2
2
x + 2y = 3
4 xy + x + 2 y = 7
Giải (b):
x = 3 − 2y
⇔ 2
2 y − 3 y + 1 = 0
1
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (1; 1) ; 2; .
2
Nhận xét: Trong hệ trên chưa có phương trình nào của hệ có thể đưa ngay về dạng
tích, tuy nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo quy tắc cộng ta
nhận được một hệ mới, trong hệ mới này có một phương trình đưa về dạng tích.
BÀI TẬP.
Giải các hệ phương trình sau:
x3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0
1)
x − y + x + y = 2
y −3
x+ y + x+3 =
x
2)
x+ y + x = x+3
2
2
xy + x + y = x − 2 y
3)
x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y
2
2
x + y + x − y = 1 + x − y
4)
x + y = 1
3 ( x − y ) = 2 xy
5)
2
2 x − y = 8
x3 + 4 y = y 3 + 16 x
6)
2
2
1 + y = 5(1 + x )
2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Thông thường việc biến đổi hệ chỉ xoay quanh việc cộng, trừ 2
phương trình của hệ theo vế hoặc chia cả hai vế của một phương trình hay cả hai phương
trình của hệ cho một đại lượng khác 0 nào đó đã chỉ ra trong các phương trình, nhờ đó nhận
ra việc phải chọn ẩn phụ như thế nào cho hợp lí (A2008-D2007-D2010).
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
(1)
2
2
y ( x + y ) = 2 x + 7 y + 2 (2)
Lời giải:
Huỳnh văn Lượng
Trang 13
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
* Nhận thấy mọi cặp số ( x; y ) với y = 0 đều không phải là nghiệm của hệ.
* Khi y ≠ 0 , chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được hệ:
x2 + 1
y + ( x + y) = 4
2
( x + y )2 = 2. x + 1 + 7
y
x2 + 1
u =
Đặt
y , khi đó hệ trên trở thành:
v = x + y
u + v = 4
2
v = 2.u + 7
ĐS: hệ đã cho có 2 nghiệm: (1; 2 ) ; ( −2; 5) .
Nhận xét:
- Với hệ phương trình trên việc vận dụng các phép biến đổi tương đương một hệ gặp khó
khăn vì không thể sử dụng được quy tắc thế hay quy tắc cộng đại số.
- Để có thể làm xuất hiện những yếu tố được lặp đi lặp lại trong các phương trình của
hệ, nhờ đó ta đặt ẩn phụ thì cần chia hai vế của từng phương trình cho y ≠ 0 .
x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 2
.
x y + x 2 + 2 y − 22 = 0
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
2
2
( x − 2) + ( y − 3) = 4
( x − 2) + ( y − 3) = 4
⇔
2
2
2
2
( x + 2) y + x − 22 = 0
( x − 2 + 4)( y − 3 + 3) + x − 2 − 20 = 0
x2 − 2 = u
Đặt
y −3 = v
u 2 + v 2 = 4
u.v + 4(u + v) = 8
, khi đó hệ phương trình trên trở thành:
u = 2
u = 0
hoặc
.
v = 0
v = 2
Giải hệ trên ta được
Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là:
x = 2 x = −2
;
;
y = 3 y = 3
x = 2
;
y = 5
x = − 2
.
y = 5
Nhận xét:
-
Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt ẩn phụ
khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất của hệ.
Huỳnh văn Lượng
Trang 14
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
-
www.huynhvanluong.com
Ta cũng có thể giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo x từ
phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất. Tuy nhiên theo cách này sẽ
xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải.
3
2
2
4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7
(
)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:
2 x + 1 = 3
x+ y
Lời giải:
* ĐK: x + y ≠ 0.
* Hệ đã cho được viết lại dưới dạng sau:
3
2
4 xy + 4 ( x + y ) − 2 xy + x + y 2 = 7
(
)
( x + y ) + 1 + ( x − y ) = 3
x+ y
3
2
=7
2
4 ( x + y ) − 4 xy +
x + y)
(
⇔
( x + y ) + 1 + ( x − y ) = 3
x+ y
1
2
2
3 ( x + y ) +
+ ( x − y) = 7
2
( x + y )
⇔
1
( x + y ) + x + y + ( x − y ) = 3
1
; u ≥2
u = x + y +
x+ y
, khi đó hệ đã cho trở thành:
* Đặt
v = x − y
3 ( u 2 − 2 ) + v 2 = 7
u + v = 3
x = 1
.
y = 0
ĐS: hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
5
2
3
2
x + y + x y + xy + xy = − 4
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau:
(§¹i häc khèi A2008)
x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = − 5
4
Lời giải:
5
2
2
+
+
(
+
)
+
=
−
x
y
xy
x
y
xy
4
Hệ đã cho tương đương với
.
5
2
2
( x + y ) + xy = −
4
Huỳnh văn Lượng
Trang 15
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
5
a + ab + b = −
x + y = a
4
Đặt
, khi đó ta được hệ mới
xy = b
a 2 + b = − 5
4
3
3 10
100
Giải hệ phương trình mới rồi tìm được nghiệm :
; −
;
2
4
BÀI TẬP: Giải các hệ phương trình sau:
2
3
1; − .
2
x 2 + 1 + y ( y + x ) = 4 y
1) 2
( x + 1) ( y + x − 2 ) = y
1
( x + y ) 1 + = 5
xy
2)
xy + 1 = 4
xy
x y
+ ( x + y ) = 15
y x
3)
2
2
x + y x 2 + y 2 = 85
)
y 2 x 2 (
2
2
x − xy + y = 3 ( x − y )
4)
2
2
2
x + xy + y = 7 ( x − y )
1
2
2 x + x − y = 2
5)
y − y 2 x − 2 y 2 = −2
2
2
2 2
x + y + x y = 1 + 2 xy
6)
2
2
x + x y + xy = y + xy + 1
III. Phương pháp nhân lượng liên hợp: học trên lớp
IV. Phương pháp đánh giá
Với phương pháp này đòi hỏi người làm toán phải tiến hành đánh giá giá trị hai vế
của một hoặc hai phương trình trong hệ. Nhờ đó ta có thể thu hẹp được miền giá trị của
các ẩn, tạo điều kiện cho ta chỉ ra nghiệm của hệ hoặc chứng minh hệ đã cho vô
nghiệm. Tuy nhiên với phương pháp này, đòi hỏi người làm toán cần nắm rất vững kiến
thức về bất đẳng thức, các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dưới đây là
một số ví dụ có tính chất minh hoạ cho phương pháp này.
1
= z+4
2
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau 1 + ( x − y )
z + 3 + 2x = 8
Lời giải: Xét phương trình thứ nhất của hệ ta có:
( x − y)
2
2
≥ 0 ⇔ 1+ ( x − y) ≥ 1 ⇔
1
1+ ( x − y)
2
≤ 1 ⇔ z + 4 ≤ 1 ⇔ z ≤ −3
Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta có: z + 3 ≥ 0 ⇔ z ≥ −3 .
Do vậy ta suy ra z = −3 và 2 x = 8 ⇔ x = 4 .
Thay x = 4, z = −3 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được y = 4.
Huỳnh văn Lượng
Trang 16
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ( x; y; z ) = ( 4; 4; − 3) .
Nhận xét:Ta cũng có thể giải hệ trên bằng cách đánh giá như sau:Từ phương trình thứ
8 − 2 x ≥ 0
hai của hệ ta có: z + 3 = 8 − 2 x ⇔
z + 3 = ( 8 − 2 x )
2
x ≤ 4
⇔
2
z + 4 = ( 8 − 2 x ) + 1 ≥ 1
Do đó từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
1
1+ ( x − y)
2
2
≥ 1 ⇔ ( x − y ) ≤ 0 ⇔ x = y.
Thay x = y vào phương trình thứ nhất của hệ ta được z = −3 . Thay z = −3 vào
phương trình thứ hai ta được x = y = 4.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ( x; y; z ) = ( 4; 4; − 3) .
1
2
1 + y − 1 = y 2 − ( x + z )
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau
x2 + y 2 = 2 y
Lời giải ĐK: y ≥ 1 .Đánh giá giá trị hai vế của phương trình thứ nhất của hệ ta có:
1 + y −1 ≥ 1 ≥
Suy ra:
1+ y −1 =
1
2
− (x + z)
2
y
x = −z
1
1
2
2
− ( x + z ) ⇔ 1+ y −1 = 2 − ( x + z ) = 1 ⇔
2
y
y
y = 1 (Tho¶ y ≥ 1)
Thay y = 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta có x 2 = 1 ⇔ x = ±1 .
Với x = 1 ⇒ z = −1, với x = −1 ⇒ z = 1. ĐS: hệ có hai nghiệm: (1; 1; − 1) ; ( −1; 1; 1.)
697
4
2
x + y =
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau
81
x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0
Lời giải:Phương trình thứ hai viết lại như au: x 2 + ( y − 3) x + ( y 2 − 4 y + 4 ) = 0
2
Phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn x có ∆ x = ( y − 3) − 4 ( y − 2 )
2
7
3
Để phương trình có nghiệm thì ∆ x ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ .
Tương tự coi phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai với ẩn y ta cũng có:
4
2
4
697
4
7
4 7
0 ≤ x ≤ . Từ đó suy ra: x 4 + y 2 ≤ + =
.⇒ x = ; y = .
3
81
3
3
3 3
4
3
Thay x = ; y =
7
vào hệ ban đầu thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
3
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau
Huỳnh văn Lượng
Trang 17
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
x + 1 + x + 3 + x + 5 =
2
2
x + y + x + y = 80
www.huynhvanluong.com
y −1 + y − 3 + y − 5
x ≥ −1
. Nhận thấy nếu thay x = y − 6 vào phương trình thứ nhất của hệ thì
y ≥ 5.
Lời giải:ĐK:
vế trái bằng vế phải. Do đó ta xét các trường hợp sau:
* Nếu x > y − 6 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
VT = x + 1 + x + 3 + x + 5 > y − 5 + y − 3 + y − 1 = VP
Do vậy hệ không có nghiệm khi x > y − 6 .
* Nếu x < y − 6 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
VT = x + 1 + x + 3 + x + 5 < y − 5 + y − 3 + y − 1 = VP
Do vậy hệ không có nghiệm khi x < y − 6 .Do đó hệ đã cho tương đương với hệ:
x = y − 6
2
2
x + y + x + y = 80
x = y − 6
⇔
2
2
( y − 6 ) + y + ( y − 6 ) + y = 80
−7 + 5 5 5 + 5 5 7 + 5 5 5 − 5 5
;
;
; −
.
2
2
2
2
ĐS: hệ đã cho có hai nghiệm:
----------------------------------
TỔNG HỢP CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2016
Bài 1 (ĐH B2002) Gải hệ phương trình :
3
x = 1 x =
2
ĐS :
∨
y = 1
1
y =
2
3 x − y = x − y
x + y = x + y + 2
Bài 2 (ĐH D2002) Gải hệ phương trình :
23 x = 5 y 2 − 4 y
x
4 + 2 x +1
=y
x
2 +2
Bài 3 (ĐH A2003) Gải hệ phương trình :
x = 0 x = 2
ĐS :
∨
y = 1 y = 4
−1 ± 5
x = 1 x =
2
ĐS :
∨
y = 1
−
1
±
5
y =
2
1
1
x − x = y − y
2 y = x3 + 1
Bài 4 (ĐH B2003) Gải hệ phương trình :
y2 + 2
3 y =
x2
2
3 x = x + 2
y2
Huỳnh văn Lượng
x = 1
ĐS :
y = 1
Trang 18
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
www.huynhvanluong.com
Bài 5 (ĐH A2004) Giải hệ phương trình:
1
log 1 ( y − x) − log 4 y = 1
4
x 2 + y 2 = 25
x = 3
ĐS :
y = 4
Bài 6 (ĐH D2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
x + y = 1
1
ĐS : 0 ≤ m ≤
4
x x + y y = 1 − 3m
Bài 7 (ĐH B2005) Giải hệ phương trình:
x − 1 + 2 − y = 1
x = 1 x = 2
ĐS
:
∨
2
3
y = 1 y = 2
3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3
Bài 8 (ĐH A2006) Giải hệ phương trình:
x + y − xy = 3
x = 3
ĐS :
( x, y ∈ R )
y = 3
x + 1 + y + 1 = 4
Bài 10 (ĐH D2007) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :
1
1
7
x + x + y + y = 5
≤m≤2
ĐS : 4
m ≥ 22
x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10
3
3
x
y
Bài 11 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình :
5
2
3
2
x + y + x y + xy + xy = − 4
x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = − 5
4
( x, y ∈ R )
5
x = 1
x = 3
4
∨
ĐS :
y = − 3
25
2 y = − 3
16
Bài 12 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình :
x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9
2
x + 2 xy = 6 x + 6
( x, y ∈ R )
Bài 13 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình :
xy + x + y = x 2 − 2 y 2
( x, y ∈ R )
x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y
Bài 14 (ĐH A2009−NC) Giải hệ phương trình :
log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
(x, y∈ R)
x2 − xy + y3
= 81
3
Bài 15 (ĐH B2009) Giải hệ phương trình :
xy + x + 1 = 7y
2 2
2
x y + xy + 1 = 13y
(x, y ∈ R)
Bài 16 (ĐH D2009) Giải hệ phương trình :
x(x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)2 − 5 + 1 = 0 (x, y ∈ R)
x2
Bài 17 (ĐH A2010) Giải hệ phương trình :
Huỳnh văn Lượng
Trang 19
x = −4
ĐS :
y = 17
4
x = 5
ĐS :
y = 2
x = 2 x = −2
ĐS :
∨
y = 2 y = −2
x = 1 x = 3
ĐS :
∨
y = 1 y = 1
3
x = 1 x = 2
ĐS :
∨
y = 1 y = − 3
2
0918.859.305-01234.444.305
Luyện THPT Quốc gia (Quyển 5: Pt, Bpt và hệ phương trình
(4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
( x, y ∈ R )
2
2
4 x + y + 2 3 − 4 x = 7
www.huynhvanluong.com
x = 1
ĐS :
2
y = 1
Bài 18 (ĐH B2010−NC) Giải hệ phương trình :
x = −1
ĐS :
y = 1
2
log 2 (3 y − 1) = x
( x, y ∈ R )
x
x
2
4 + 2 = 3 y
Bài 19 (ĐH D2010−NC) Giải hệ phương trình :
x 2 − 4 x + y + 2 = 0
( x, y ∈ R )
2 log 2 ( x − 2) − log 2 y = 0
Bài 20 (ĐH A2011 Giải hệ phương trình :
5 x y − 4 xy + 3 y − 2( x + y ) = 0
( x, y ∈ R )
2
2
2
xy ( x + y ) + 2 = ( x + y )
2
2
3
x = 3
ĐS :
y = 1
2 10
x = ±1 x = ±
5
ĐS :
∨
y = ±1
10
y = ±
5
Bài 21 (ĐH A2012) Giải hệ phương trình :
x = 1
x = 3
2 ∨
2
ĐS :
3
1
y = −
y = −
2
2
x3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y
(x, y ∈ R).
2
1
2
x + y − x + y =
2
Bài 22 (ĐH D2012) Giải hệ phương trình :
x = 1 x = −1 ± 5
ĐS :
∨
2
y = 1
y
5
=
±
xy + x − 2 = 0
(x, y ∈ R)
3 2
2
2
2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0
Bài 23 (ĐH A2013) Giải hệ phương trình :
x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y
(x, y ∈ R).
2
2
x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0
Bài 24 (ĐH B2013) Giải hệ phương trình :
2 x 2 + y 2 − 3 xy + 3x − 2 y + 1 = 0
(x, y ∈ R).
2
2
4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y
Bài 25 (ĐH B2013−NC) Giải hệ phương trình :
2
x + 2 y = 4 x − 1
(x, y ∈ R).
2 log 3 ( x − 1) − log 3 ( y + 1) = 0
x = 1 x = 2
ĐS :
∨
y = 0 y = 1
x = 0 x = 1
ĐS :
∨
y = 1 y = 2
x = 3
ĐS :
y = 1
Bài 26 (ĐH A2014) Giải hệ phương trình:
x 12 − y + y (12 − x 2 ) = 12
3
x − 8 x − 1 = y − 2
Bài 27 (ĐH B2014) Giải hệ phương trình:
(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y
2
2 y − 3 x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3
Bài 28 (CĐ2014) Giải hệ phương trình
x 2 + xy + y 2 = 7
2
2
x − xy − 2 y = − x + 2 y
x = 3
y = 3
ĐS:
1 + 5 −1 + 5
;
2
2
ĐS: (3;1),
ĐS: (2; 1); (-2; -1); (-3; 2); (2; -3)
----------------------------------
Huỳnh văn Lượng
Trang 20
0918.859.305-01234.444.305
- Xem thêm -
.PDF 
22 
179 
98 
