Tài liệu Chuỗi fourier và biến đổi hilbert.

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2 KHOA TOÁN ********** nguyễn thị nhâm chuỗi fourier và biến đổi hilbert Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS.BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội - 2010 Nguyễn Thị Nhâm 1 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành tại tổ Giải Tích, khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Bùi Kiên Cường - người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải Tích, Khoa Toán, Trường ĐHSP Hà Nội 2 cùng gia đình và bạn bè đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010 Sinh Viên Nguyễn Thị Nhâm Nguyễn Thị Nhâm 2 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của sự nỗ lực bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Vì vậy em xin cam đoan nội dung của khóa luận không trùng lặp với các công trình nghiên cứu của các tác giả trước đã được công bố. Sinh Viên Nguyễn Thị Nhâm Nguyễn Thị Nhâm 3 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………………………….3 Mở Đầu ............................................................................................................. 6 Chƣơng 1 Hàm cực đại Hardy-Littelewood ................................................. 7 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị: .................................................................... 7 1.2 Hàm cực đại Hardy-Littelewood............................................................ 7 1.3 Bất đẳng thức yếu .................................................................................. 8 1.3 Tính khả vi .......................................................................................... 11 1.5 Nội suy ................................................................................................ 13 1.6 Bất đẳng thức tổng quát ....................................................................... 16 Chƣơng 2 Chuỗi Fourier .............................. Error! Bookmark not defined. 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị ................................................................... 18 2.2 Chuỗi Fourier ...................................................................................... 18 2.3 Hạt nhân Dirichlet ............................................................................... 19 2.4 Chuỗi Fourier của các hàm liên tục ..................................................... 22 2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach. ...................................................... 26 2.6 Tính khả tổng ...................................................................................... 28 2.7 Hàm liên hợp ...................................................................................... 33 2.8 Biến đổi Hilbert trên R ....................................................................... 36 2.9 Giả thuyết của Luzin ........................................................................... 39 Chƣơng 3 Biến đổi Hilbert ........................... Error! Bookmark not defined. 3.1 Toán tử cực đại.................................................................................... 41 3.2 Toán tử chặt cụt trên ℒ 2 (𝑹)................................................................. 41 Nguyễn Thị Nhâm 4 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 3.3 Toán tử chặt cụt trên ℒ 1 (𝑹)................................................................. 43 3.4 Nội suy ................................................................................................ 48 3.5 Biến đổi Hilbert. .................................................................................. 49 3.6 Biến đổi Hilbert cực đại....................................................................... 52 Kết Luận......................................................... Error! Bookmark not defined. Tài Liệu Tham Khảo ..................................... Error! Bookmark not defined. Nguyễn Thị Nhâm 5 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert MỞ ĐẦU Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng. Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực khác của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học, thiên văn học, … Trong giải tích, các kết quả về chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt là trong việc giải quyết các bài toán vật lý. Chính vì vậy trong khóa luận này em chọn đề tài “Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert”. Việc nghiên cứu đề tài này đã giúp em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về nguồn gốc của chuỗi Fourier và những tính chất của biến đổi Hilbert. Nội dung của khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Hàm cực đại Hardy-Littelewood. Chương 2: Chuỗi Fourier. Chương 3: Biến đổi Hilbert. Khóa luận này hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá, … Đối với những vấn đề đã được lựa chọn cho khóa luận này, em hi vọng nó có thể giúp cho việc nghiên cứu các đối tượng khác của toán học cũng như của vật lý. Nguyễn Thị Nhâm 6 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert CHƢƠNG 1 HÀM CỰC ĐẠI HARDY – LITTELEWOOD 1.1 . Một số kiến thức chuẩn bị: 1.1.1. Một số không gian hàm. Cho không gian ℒ 𝑝 , 1 < 𝑝 ≤ ∞ Định nghĩa: Cho 𝑝 ∈ 𝑹 với 1 < 𝑝 ≤ ∞. Ta định nghĩa: ℒ 𝑝 𝛺 = 𝑓: 𝛺 → 𝑹 hoặc 𝑪 ; 𝑓 đo được và 𝑓 𝑝 khả tích , ℒ ∞ 𝜴 = 𝑓: 𝛺 → 𝑹 hoặc 𝑪 ; 𝑓 đo được và ∃𝐶, 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶 hầu hết . Và kí hiệu 1 𝑝 𝑓 𝑝 𝑓(𝑥) 𝑝 𝑑𝑥 = , 𝛺 𝑓 ∞ 𝐻𝐵 = inf 𝐶; 𝑓 𝑥 ≤ 𝐶 hầu hết . Nhận xét: Nếu 𝑓 ∈ ℒ ∞ (𝛺) thì 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 ∞ hầu hết 𝑥 ∈ 𝛺. 𝑛 Hàm 𝑓 xác định trên 𝑹 , 𝑓 là hàm khả tích địa phương khi nó khả tích trên mọi tập bị chặn trong 𝑹𝑛 1.1.2. Định lý Fubini Giả sử 𝑓𝑛 𝑛≥1 là một dãy hàm thực không giảm trên đoạn 𝑎, 𝑏 sao cho: ∞ 𝑛=1 𝑓𝑛 𝑥 ≔ 𝑓(𝑥) tồn tại với ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . Khi đó 𝑓 là khả vi hầu hết ′ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 và với hầu hết 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓 ′ 𝑥 = ∞ 𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥). 1.2. Hàm cực đại Hardy-Littelewood 1 Nếu 𝑓 ∈ ℒloc (𝑹𝑛 ) thì hàm Nguyễn Thị Nhâm 7 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert ℳ𝑓 𝑥 = sup 𝑄 1 𝑄 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑄 được gọi là hàm cực đại Hardy - Littelewood. Trong đó 𝑄 là ký hiệu của một hình lập phương tâm 𝑥, cạnh 𝑕, 𝑄 là thể tích hình lập phương. 1 Trong trường hợp 1 chiều ta có 𝑄 = 𝑥 − 𝑕, 𝑥 + 𝑕 . Khi đó cho 𝑓 ∈ ℒloc (𝑹) thì: 1 ℳ𝑓 𝑥 = sup 𝑕 >0 𝑕 𝑥+𝑕 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑥−𝑕 1.3. Bất đẳng thức yếu Trước hết chú ý rằng đã cho hàm khả tích địa phương 𝑓, hàm ℳ𝑓: 𝑅𝑛 → 0, +∞ là đo được. Thực ra thì mọi số thực dương 𝛼 thì tập ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 là tập mở, bởi vì cho 𝑥 ∈ 𝑹𝑛 với ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 tồn tại một hình lập phương 𝑄 tâm 𝑥 sao cho 1 𝑄 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 > 𝛼. 𝑄 Ta chỉ phải chú ý rằng hàm 𝑦→ 1 𝑄 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑦 +𝑄 là liên tục. Nguyễn Thị Nhâm 8 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Nếu 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹𝑛 ) với 1 < 𝑝 < +∞, ta sẽ chỉ ra rằng ℳ𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹𝑛 ). Tuy nhiên với p=1 điều này không đúng nữa. Những gì ta có thể nói chỉ là 𝑓 ∈ ℒ 1 -yếu, nghĩa là: 𝔪 ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 ≤ 𝑐𝑛 𝑓 1 . 𝛼 Bổ đề 1.1 ( Bổ đề phủ) Giả sử 𝑹𝑑 được cho với chuẩn nào đó và giả sử 𝑐𝑑 = 2. 3𝑑 . Nếu 𝐴 ⊂ 𝑹𝑑 là tập hợp khác rỗng có độ đo ngoài hữu hạn, và 𝒰 là một phủ của 𝐴 gồm các hình cầu mở thì tồn tại một họ hữu hạn các hình cầu rời nhau 𝐵1 , … , 𝐵𝑛 của 𝒰 sao cho 𝑛 𝔪 𝐵𝑗 ≥ 𝔪∗ 𝐴 . 𝑐𝑑 𝑗 =1 Chứng minh: Chúng ta có thể giả thiết rằng 𝐴 đo được , vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại tập mở 𝐺 ⊃ 𝐴 với 𝔪(𝐺) hữu hạn và như vậy 𝑈 có thể là phủ của 𝐺. Bây giờ giả sử 𝐴 đo được thì tồn tại 1 tập compact 𝐾 ⊂ 𝐴 với 𝔪(𝐾) ≥ 𝔪(𝐴) 2. Ta phải chọn một phủ con hữu hạn của 𝐾. Gọi các hình cầu 𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑚 là những hình cầu được sắp xếp theo thứ tự bán kính giảm dần và chọn các hình cầu 𝐵𝑗 theo cách sau. Trước hết 𝐵1 = 𝑈1 là hình cầu lớn nhất, sau đó 𝐵2 là hình cầu đầu tiên trong dãy 𝑈𝑗 khác với 𝐵1 . Sau đó 𝐵3 sẽ là hình cầu đầu tiên của dãy 𝑈𝑗 khác với 𝐵1 ∪ 𝐵2 . Tiếp tục quá trình này, đến khi mọi hình cầu của dãy 𝑈𝑗 có giao với 𝐵𝑗 khác rỗng. Nguyễn Thị Nhâm 9 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Bây giờ ta cho rằng 𝐾 ⊂ 𝑛 𝑗 =1 3𝐵𝑗 mà ta biết 𝐾 ⊂ 𝑛 𝑗 =1 𝑈𝑗 . Do đó với mỗi 𝐾, ∃𝑗 sao cho 𝑥 ∈ 𝑈𝑗 . Nếu 𝑈𝑗 = 𝐵𝑘 nào đó, rõ ràng ta có 𝑥 ∈ 𝐵𝑘 ⊂ 3𝐵𝑘 . Ngược lại 𝑈𝑗 giao với 𝐵𝑘 = 𝑈𝑠 nào đó. Chọn 𝑘 nhỏ nhất thì phải có 𝑠 < 𝑗, vì nếu không ta phải chọn 𝑈𝑗 thay cho 𝐵𝑘 trong quá trình trên. Do đó bán kính của hình cầu 𝐵 𝑘 lớn hơn hoặc bằng bán kính của hình cầu 𝑈𝑗 . Vì vậy 𝑈𝑗 ⊂ 3𝐵𝑘 . Do đó: 1 𝔪(𝐴) ≤ 𝔪(𝐾) ≤ 2 𝑛 3𝑑 𝔪 𝐵𝑗 , 𝑗 =1 Và sự xây dựng đó có nghĩa là các hình cầu này rời nhau.□ Bổ đề 1.2 ( Hardy và Littlewood ) Nếu 𝑓 ∈ ℒ 1 (𝑹𝑑 ) thì với mỗi 𝛼 > 0, ℳ𝑓 thỏa mãn bất đẳng thức yếu 𝔪 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 |ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 ≤ 𝑐𝑑 𝑓 1 . 𝛼 Chứng minh: Đặt 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 |ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 thì 𝐴 là tập mở, ta vẫn chưa biết nó có độ đo hữu hạn. Vì vậy ta xét 𝐴𝑛 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑛 , trong đó 𝐵𝑛 là hình cầu tâm 𝑂 bán kính 𝑛. Với mỗi 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 ta có ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼; do đó tồn tại 1 hình lập phương 𝑄 mở có tâm là 𝑥 sao cho 1 𝑄 Nguyễn Thị Nhâm 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 > 𝛼 . (1.2) 𝑄 10 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Bây giờ các hình lập phương là các hình cầu với chuẩn . ∞ trên 𝑹𝑑 . Vì vậy ta có thể áp dụng bổ đề phủ để thu được 1 tập hợp hữu hạn cách hình lập phương phân biệt (𝑄𝑗 )𝑚 𝑗 =1 sao cho mọi hình cầu đều thỏa mãn (1.2) và 𝑚 𝔪(𝐴𝑛 ) ≤ 𝑐𝑑 𝔪 𝑄𝑗 . 𝑗 =1 Do đó ta có 𝑚 𝔪 𝐴𝑛 ≤ 𝑐𝑑 𝑗 =1 1 𝛼 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑄 Từ đó các hình lập phương là rời nhau 𝔪 𝐴𝑛 ≤ 𝑐𝑑 𝑓 1 . 𝛼 Lấy giới hạn khi 𝑛 → ∞ ta được điều phải chứng minh.□ 1.4. Tính khả vi Điểm 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 thỏa mãn lim 𝑄↘𝑥 1 𝑄 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑡 = 0. 𝑄 được gọi là điểm Lebesgue của f. Định lý 1.3 (Định lý về tính khả vi) Giả sử 𝑓: 𝑹𝑑 → 𝑪 là hàm khả tích địa phương. Khi đó tồn tại 1 tập con 𝑍 ⊂ 𝑹𝑑 có độ đo không sao cho ∀𝑥 ∉ 𝑍 là 1 điểm Lebesgue của 𝑓. Nghĩa là: Nguyễn Thị Nhâm 11 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert lim 𝑄↘𝑥 1 𝑄 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑡 = 0. 𝑄 Chứng minh: Việc 𝑥 có là điểm Lebesgue của 𝑓 hay không chỉ phụ thuộc vào các giá trị của 𝑓 trong một lân cận của 𝑥. Vì vậy ta có thể quy về trường hợp 𝑓 khả tích. Các kết quả vẫn đúng đối với một tập trù mật trên ℒ 1 (𝑹𝑑 ). Thực tế nếu 𝑓 liên tục, cho 𝑥 và 𝜀 > 0 thì có một lân cận của 𝑥 sao cho 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑥) < 𝜀. Do đó nếu 𝑄 là ký hiệu của một hình lập phương có bán kính đủ nhỏ ta có 1 𝑄 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑡 ≤ 𝜀. 𝑄 Do đó với một hàm 𝑓 liên tục thì mọi điểm đều là điểm Lebesgue. Bây giờ, điều mà ta quan tâm nhất đó là hàm cực đại xảy ra sự hội tụ điểm như thế nào. Ta sẽ định nghĩa toán tử Ω. Nếu 𝑓 ∈ ℒ 1 (𝑹𝑑 ), Ω𝑓 𝑥 = lim⁡sup 𝑄↘𝑥 1 𝑄 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑡 𝑄 Chú ý rằng Ω𝑓 𝑥 ≤ ℳ𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑥) . Bây giờ ta cần chứng minh rằng Ω𝑓 𝑥 = 0 hầu khắp nơi. Nguyễn Thị Nhâm 12 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Cố định 𝜀 > 0, từ đó các hàm liên tục là trù mật trên ℒ 1 (𝑹𝑑 ), ta thu được 𝜑 ∈ ℒ 1 𝑹𝑑 liên tục sao cho 𝑓 − 𝜑 1 < 𝜀. Theo bất đẳng thức tam giác Ω𝑓 𝑥 ≤ Ω𝜑 𝑥 + Ω 𝑓 − 𝜑 𝑥 = Ω 𝑓 − 𝜑 (𝑥) ≤ℳ 𝑓−𝜑 𝑥 + 𝑓 𝑥 −𝜑 𝑥 . Do đó ∀𝛼 > 0 ta có Ω𝑓 𝑥 > 𝛼 ⊂ ℳ 𝑓 − 𝜑 𝑥 > 𝛼 2 ∪ 𝑓 𝑥 − 𝜑(𝑥) > 𝛼 2 . Bây giờ ta sử dụng bất đẳng thức yếu cho hàm cực đại HardyLittlewood và bất đẳng thức Chebyshev cho 𝑓 − 𝜑 𝔪 Ω𝑓 𝑥 > 𝛼 ≤ 2𝑐𝑑 𝑓−𝜑 𝛼 1 𝑓−𝜑 𝛼 +2 1 𝜀 ≤ 𝑐𝑑 . 𝛼 Từ việc bất đẳng thức này đúng với mọi 𝜀 > 0, ta suy ra 𝔪 Ω𝑓 𝑥 > 𝛼 = 0 Điều đó đúng với ∀𝛼 > 0 do đó Ω𝑓 𝑥 = 0 hầu khắp nơi.□ 1.5. Nội suy Tại cực trị 𝑝 = 1 thì hàm cực đại ℳ𝑓 thảo mãn bất đẳng thức yếu. Tại cực trị 𝑝 = +∞: nếu 𝑓 ∈ ℒ ∞ (𝑹𝑑 ) thì ℳ𝑓 +∞ ≤ 𝑓 ∞. Ý tưởng đó cho phép ta thực hiện nội suy giữa 2 cực trị 𝑝 = 1 và 𝑝 = ∞. Định lý 1.4 Với mỗi 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹𝑑 ), 1 < 𝑝 < +∞ ta có: ℳ𝑓 Nguyễn Thị Nhâm 𝑝 ≤ 𝑐𝑑 𝑝 𝑓 𝑝−1 13 𝑝. K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Chứng minh: Với ∀𝛼 > 0 ta phân tích 𝑓, 𝑓 = 𝑓𝜒𝐴 + 𝑓𝜒𝑹𝑑 \𝐴 , trong đó 𝐴 = 𝑓 > 𝛼 . Khi đó ℳ𝑓 ≤ 𝛼 + ℳ 𝑓𝜒𝐴 . Vì vậy 𝔪 ℳ𝑓 > 2𝛼 ≤ 𝔪 ℳ 𝑓𝜒𝐴 > 𝛼 ≤ 𝑐𝑑 𝛼 𝑓𝜒 𝑓 >𝛼 𝑑𝔪. 𝑹𝑑 Điều phải chứng minh phụ thuộc vào sự vận dụng khéo léo bất đẳng thức này. Đặc biệt chú ý rằng ta đã sử dụng một sự phân tích khác của 𝑓 cho mỗi 𝛼. Ta có bất đẳng thức sau +∞ ℳ𝑓 𝑝 𝑝 +∞ 𝑡 𝑝−1 𝔪 ℳ𝑓 > 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑝 =𝑝 0 𝑡 𝑝−1 0 2𝑐𝑑 𝑡 𝑓𝜒 𝑓 >𝑡 2 𝑑𝔪𝑑𝑡 𝑹𝑑 Áp dụng định lý Fubini +∞ 2𝑐𝑑 𝑝 𝑡 𝑝−2 𝜒 𝑓(𝑥) 𝑹𝑑 = 2𝑐𝑑 𝑝 𝑹𝑑 𝑓 𝑥 >𝑡 2 𝑑𝑡𝑑𝑥 = 0 (2 𝑓 𝑥 )𝑝−1 2𝑑 𝑐𝑑 𝑝 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑝−1 𝑝−1 1 𝑝 Rất đơn giản để nhận thấy rằng (𝑝 (𝑝 − 1)) 𝑝 𝑝 tương đương với 𝑝 (𝑝 − 1). Do đó chúng ta đạt được yêu cầu của chúng ta về chuẩn.□ Trong trường hợp p=1 ta có thể nói bất đẳng thức yếu là tốt nhất. Ví dụ nếu 𝑓 1 > 0 thì ℳ𝑓 không khả tích. Nguyễn Thị Nhâm 14 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Mệnh đề 1.5 Với mỗi hàm 𝑓 ∈ ℒ 1 (𝑹𝑑 ) và 𝐵 ⊂ 𝑹𝑑 là 1 tập đo được thì 𝑓(𝑥) log + 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. ℳ𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝔪 𝐵 + 2𝑐𝑑 𝑹𝑑 𝐵 Chứng minh: Giả sử 𝔪𝐵 là một độ đo và 𝔪𝐵 𝑀 = 𝔪 𝐵 ∩ 𝑀 . Ta có +∞ ℳ𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐵 𝔪𝐵 ℳ𝑓 𝑥 > 𝑡 𝑑𝑡. 0 Bây giờ ta có 2 bất đẳng thức: 𝔪𝐵 ℳ𝑓 𝑥 > 𝑡 ≤ 𝔪(𝐵) và bất đẳng thức yếu. Các điểm của phép chứng minh này là sự vận dụng phù hợp bất đẳng thức yếu. Với mỗi 𝛼 ta có 𝑓 = 𝑓𝜒𝐴 + 𝑓𝜒𝑹𝑑 \𝐴 trong đó 𝐴 = 𝑓 𝑥 > 𝛼 . Do đó ℳ𝑓 ≤ 𝛼 + ℳ(𝑓𝜒𝐴 ), và ℳ𝑓 𝑥 > 2𝛼 ⊂ ℳ 𝑓𝜒𝐴 > 𝛼 . Vì vậy 𝔪 ℳ𝑓 𝑥 > 2𝛼 ≤ 𝑐𝑑 𝛼 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑓(𝑥) >𝛼 Do đó +∞ ℳ𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝔪 𝐵 + 2 𝐵 1 𝑐𝑑 𝑡 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡. 𝑓(𝑥) >𝑡 Vì vậy theo định lý Fubini ta có Nguyễn Thị Nhâm 15 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 𝑓(𝑥) log + 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. □ ℳ𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝔪 𝐵 + 2𝑐𝑑 𝑹𝑑 𝐵 1.6. Bất đẳng thức tổng quát Hàm cực đại Hardy-Littewood có thể được sử dụng để chứng minh nhiều định lý về sự hội tụ điểm. Điều đó và nhiều ứng dụng khác của các hàm suy ra từ bất đẳng thức sau. Định lý 1.6 Giả sử 𝜑: 𝑹𝑑 → 𝑹 là hàm dương, xuyên tâm, giảm và khả tích. Khi đó với mỗi hàm 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹𝑑 ) và 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 ta có 𝜑 ∗ 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶𝑑 𝜑 1 ℳ𝑓 𝑥 , Trong đó 𝐶𝑑 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều và bằng 1 khi 𝑑 = 1. Chứng minh: Ta nói rằng 𝜑 là hàm xuyên tâm nếu có một hàm 𝑢: [0, +∞) → 𝑹 sao cho 𝜑 𝑥 = 𝑢( 𝑥 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 . Hàm xuyên tâm 𝜑 là giảm nếu 𝑢 giảm. Hàm 𝑢 là đo được nên tồn tại một dãy hàm đơn giản 𝑢𝑛 tăng sao cho 𝑢𝑛 (𝑡) hội tụ tới 𝑢(𝑡) với mọi 𝑡 ≥ 0. Trong trường hợp này khi 𝑢 giảm, có thể lựa chọn từng 𝑢𝑛 𝑁 𝑢𝑛 𝑡 = 𝑕𝑗 𝜒 0,𝑡 𝑗 𝑡 , 𝑗 =1 trong đó 0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑁 và 𝑕𝑗 > 0 và số tự nhiên 𝑁 phụ thuộc vào 𝑛 Khi này phép chứng minh trở lên đơn giản. cho 𝜑𝑛 𝑥 = 𝑢𝑛 ( 𝑥 ). Theo định lý về sự hội tụ đơn điệu Nguyễn Thị Nhâm 16 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 𝜑 ∗ 𝑓(𝑥) ≤ 𝜑 ∗ 𝑓 (𝑥) = lim 𝜑𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 . 𝑛 Do đó 𝑁 𝜑𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 = 𝑕𝑗 𝑗 =1 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦. 𝐵(𝑥,𝑡 𝑗 ) Ta có thể thay thế hình cầu 𝐵 𝑥, 𝑡𝑗 bằng hình lập phương tâm 𝑥 và cạnh 2𝑡𝑗 . Tỉ số giữa thể tích của hình cầu và hình lập phương bị chặn bằng một hằng số. Do đó 𝑁 𝜑𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑕𝑗 𝔪 𝑄 𝑥𝑗 , 𝑡𝑗 . ℳ𝑓 𝑥 ≤ 𝐶𝑑 𝜑 1 ℳ𝑓 𝑥 . □ 𝑗 =1 Nguyễn Thị Nhâm 17 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert CHƢƠNG 2 CHUỖI FOURIER 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị 2.1.1. Định lý giá trị trung bình thứ hai Nếu 𝑔 là hàm liên tục và 𝑓 là đơn điệu trên 𝑎, 𝑏 , ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑏 𝑏 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(−𝑏) 𝑎 𝑐 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑓 𝑎 + 𝑐 𝑔 𝑡 𝑑𝑡. 𝑎 2.1.2. Kí hiệu 𝑓(𝑎+), 𝑓(𝑏−) ta xem như 𝑓 xác định trên 𝑎, 𝑏 với giá trị tại biên là 𝑓 𝑎 + và 𝑓(𝑏−). 2.1.3. Nguyên lý phạm trù Baire Mọi không gian metric đầy là tập phạm trù thứ hai. 2.1.4. Định nghĩa tích chập Cho 2 hàm số 𝑓 và 𝑔 xác định trên 𝑹𝑛 thì hàm số 𝑓 ∗ 𝑔 xác định bởi: 𝑓∗𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑦 𝑔 𝑦 𝑑𝑦. 𝑹𝑛 Với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của 𝑓 và 𝑔 2.2. Chuỗi Fourier Cho 𝑓: 𝑹 ⟶ 𝑪 là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π, khả tích trên – 𝜋, 𝜋 . Chuỗi Fourier của 𝑓 là chuỗi : Nguyễn Thị Nhâm 18 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert +∞ 𝑎𝑗 𝑒 ị𝑡 (2.1) 𝑗 =−∞ trong đó hệ số Fourier 𝑎𝑗 được xác định bởi 1 𝑎𝑗 = 2𝜋 𝜋 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖𝑗𝑡 𝑑𝑡. (2.2) −𝜋 Những hệ số này được ký hiệu là 𝑓 𝑗 = 𝑎𝑗 . 2.3. Hạt nhân Dirichlet Sự hội tụ của chuỗi (2.1) được Dirichlet xem xét năm 1892. Ông đã chứng minh rằng chuỗi hội tụ tới 𝑓(𝑥 + 0) + 𝑓(𝑥 − 0) 2 với mọi hàm liên tục và đơn điệu trên mỗi đoạn. Điều này sau đó đã được thay thế bởi các kết quả của Dini và Jordan. Để chứng minh các kết quả này ta xem xét kết quả đầu tiên của Riemann Mệnh đề 2.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Nếu 𝑓: 𝑹 ⟶ 𝑪 là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 và khả tích trên – 𝜋, 𝜋 thì lim 𝑓 𝑗 = 0. 𝑗 →∞ Chứng minh. Nếu ta đổi biến 𝑢 = 𝑡 + 𝜋 𝑗 trong tích phân (2.2) thì dấu của hàm số mũ thay đổi. Do đó ta có: 1 𝑓 𝑗 = 4𝜋 Nguyễn Thị Nhâm 𝜋 −𝜋 1 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑖𝑗𝑡 𝑑𝑡 − 4𝜋 19 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑓(𝑡 − )𝑒 −𝑖𝑗𝑡 𝑑𝑡. 𝑗 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Với 1 hàm liên tục 𝑓 ta suy ra rằng lim 𝑓(𝑗) = 0. Với 1 hàm 𝑓 tổng quát ta lấy xấp xỉ chuẩn của nó trong ℒ 1 bởi một hàm liên tục.□ Để nghiên cứu sự hội tụ điểm ta xét dãy tổng riêng: 𝑛 𝑓 𝑗 𝑒 𝑖𝑗𝑥 . 𝑆𝑛 𝑓, 𝑥 = 𝑗 =−𝑛 Từ đó, mỗi hệ số có một biểu thức tích phân, ta được tổng riêng của chuỗi Fourier có dạng tích phân: 1 𝑆𝑛 𝑓, 𝑥 = 2𝜋 𝜋 𝐷𝑛 𝑥 − 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. −𝜋 Trong đó, hàm 𝐷𝑛 được gọi là hạt nhân Dirichlet 𝑛 𝑒 𝑖𝑗𝑡 = 𝐷𝑛 𝑡 = 𝑗 =−𝑛 sin 𝑛 + 1 2 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 2 . Vì vậy, 𝑓 ⟼ 𝑆𝑛 𝑓, 𝑥 là dạng tuyến tính liên tục xác định trên ℒ 1 −𝜋, 𝜋 . Hàm 𝐷𝑛 tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋, với tích phân bằng 1, nhưng ||𝐷𝑛 ||1 và ||𝐷𝑛 ||∞ không bị chặn đều. Với biểu thức tích phân của tổng riêng ta có thể thu được hai điều kiện cơ bản cho sự hội tụ điểm. Định lý 2.2 (Dấu hiệu Dini) Nếu 𝑓 ∈ ℒ 1 [−𝜋, 𝜋] và Nguyễn Thị Nhâm 20 K32G - Toán