Tài liệu Chinh phục điểm 9 môn toán năm 2016-đặng việt hùng

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 TẶNG HỌC SINH Mr HÙNG ĐZ MỤC TIÊU 9 ĐIỂM TOÁN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Câu 1. Giải phương trình ( x − 1) = 2 3 (x 2 − 2 x − 2) + 1 − x2 + x + 2 2 ( x ∈ ℝ) . Lời giải. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1 . Phương trình tương đương x 2 − 2 x − 2 − 3 ( x 2 − 2 x − 2 ) + 1 = 1 − x 2 + x . 2 Ta có Đặt ( 1 − x2 + x ) 2 = 1 + 2 x 1 − x2 ≥ 1 ⇒ 1 − x2 + x ≥ 1 . t = 0 x 2 − 2 x − 2 = t thu được t 3 − t 2 + 1 ≥ 1 ⇔ t 2 ( t − 1) ≥ 0 ⇔  t ≥ 1
t = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ x ∈ 1 + 3;1 − 3 . 3 { } x ≥ 3
t ≥ 1 ⇒ t 3 ≥ 1 ⇔ x 2 − 2 x − 3 ≥ 0 ⇔ ( x − 3)( x + 1) ≥ 0 ⇔  ⇒ x = −1 .  x ≤ −1 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm duy nhất x = −1 .  x + y + 1 + x − y = 2 y + 1 Câu 2. Giải hệ phương trình  2 2 12 3 xy + 7 x = x + 8 y + 15 Lời giải.  x + y + 1 ≥ 0; x − y ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ Điều kiện  2 x ≥ y 2 y + 1 ≥ 0; xy + 7 x ≥ 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x− y x + y +1 − 2 y +1 + x − y = 0 ⇔ + x− y =0 x + y +1 + 2 y +1   x− y + x− y =0⇔ x− y + 1 = 0  x + y +1 + 2 y +1  x + y +1 + 2 y +1   x− y +1 > 0 ⇒ x − y = 0 ⇔ x = y . x + y +1 + 2 y +1 ⇔ x − y. Ta có x− y Phương trình thứ hai của hệ tương đương 12 3 x3 + 7 x = x 2 + 8 x + 15 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực không âm ta có 8 + 8 x + x 2 + 7 x 2 + 8 x + 15 4 3 x ( x 2 + 7 ) = 3 8.8 x ( x 2 + 7 ) ≤ = ⇒ 12 3 x3 + 7 x ≤ x 2 + 8 x + 15 . 3 3 2 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi 8 x = x + 7 = 8 ⇔ x = 1 . Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1 . 5 x − y + x + y − 3 = 2 + ( x + y )( 2 x − y ) + 3 x − 4 Câu 3. Giải hệ phương trình  2  y + 2 − x = 2 Lời giải. 2  y ≥ 0; 2 − x ≥ 0 Điều kiện   x + y − 3 ≥ 0;3x ≥ 4 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x + y )( 2 x − y ) − 5 x + y + 2 + ⇔ ( x + y − 2 )( 2 x − y − 1) + Facebook: Lyhung95 3x − 4 − x + y − 3 = 0 2x − y −1 =0 3x − 4 + x + y − 3   1 ⇔ ( 2 x − y − 1)  x + y − 2 + =0  3 x − 4 + x + y − 3   Vì x + y − 2 + 1 > 0 ⇒ y = 2 x − 1 . Phương trình thứ hai của hệ trở thành 3x − 4 + x + y − 3 Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 x − 1 + 2 − x 2 = 2 (1) . Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 1 + 2 x −1 1 + 2 − x2 3 + 2 x − x2 2 x − 1 + 2 − x 2 = 1( 2 x − 1) + 1( 2 − x 2 ) ≤ + = 2 2 2 3 + 2 x − x 2 4 − ( x − 1) 4 = ≤ = 2 ⇒ 2 x − 1 + 2 − x2 ≤ 2 2 2 2 2 x − 1 = 1 Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là  ⇔ x =1. 2 2 − x = 1 Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm. 2  x2 + 2 y 2 + 4 + x + 2 = 3 y 2 + 4 + y + 2  Câu 4. Giải hệ phương trình  3x3 + 2 y − 1 3 + 2x − y −1  2x −1 + 3 y − 2 =  2 Lời giải. 1 2 Điều kiện x ≥ ; y ≥ 3 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2 3 x + 2 − y + 2 + x2 + 2 y 2 + 4 − 3 y 2 + 4 = 0 ⇔ ( x − y )( x + y ) x− y + x+2 + y+2 x2 + 2 y2 + 4 + 3 y2 + 4   ( x + y) 1 ⇔ ( x − y)  +  =0⇒ x= y  x + 1 + y + 1 x 2 + y 2 + 1 + 2 y 2 + 1  3x3 + 2 x − 1 Phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 x − 1 + 3 x3 − 2 = + x −1 . 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 x − 1 + 1 3x 3 − 2 + 1 3x 3 + 2 x − 1 3x3 + 2 x − 1 2 x − 1 + 3x3 − 2 ≤ + = ≤ + x −1 . 2 2 2 2 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 2 x − 1 = 3 x 3 − 2 = 1 ⇔ x = 1 . x + 3y 2x  + =3  2 2 2 2 5 x − 6 xy + 5 y 6 x − 8 xy + 6 y Câu 5. Giải hệ phương trình  2 2  x − 2 y − x + x + y =4  Lời giải. x ≥ 0 x ≥ 0  Điều kiện  ⇒ 2 y ≥ x 2 y ≥ x  y ≥ 0  ( ) ( ) Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 2 2 2 2 2 2  5 x − 6 xy + 5 y = ( x + y ) + 4 ( x − y ) ≥ ( x + y )  5 x − 6 xy + 5 y ≥ x + y = x + y Nhận xét  ⇒ 2 2 2 2 2 6 x − 8 xy + 6 y = ( x + y ) + 5 ( x − y ) ≥ ( x + y )  6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 ≥ x + y = x + y x + 3y x + 3 y 3( x + y ) 2x 2x Dẫn đến + ≤ + = = 3. x+ y 5 x 2 − 6 xy + 5 y 2 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 x + y x + y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y . Phương trình thứ hai trở thành ( )(  x + x = 2  x − 1 =4⇔ ⇔  x ≥ 0  x ≥ 0 Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 1 . ( x+x ) 2 ) x +2 =0 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1. Câu 6. Giải bất phương trình 4 x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ ( x − 1) ( x 2 − 2 ) . Lời giải: ĐK: x ≥ −1 (*) Khi đó (1) ⇔ 4 x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ x3 − x 2 − 2 x + 2 ⇔4 ⇔ ⇔ ( ) ( x +1 − 2 + 2 4 ( x + 1 − 4) x +1 + 2 4 ( x − 3) 2 + x +1 + + ) 2 x + 3 − 3 ≤ x3 − x 2 − 2 x − 12 2 ( 2 x + 3 − 9) 2x + 3 + 3 4 ( x − 3) 3 + 2x + 3 ≤ ( x − 3) ( x 2 + 2 x + 4 ) − ( x − 3) ( x 2 + 2 x + 4 ) ≤ 0 4 4   2 ⇔ ( x − 3)  + − ( x + 1) − 3  ≤ 0  2 + x +1 3 + 2x + 3  (2) Nhận thấy x = −1 thỏa mãn bất phương trình đã cho. Xét với x ≥ −1 ⇒ 4 4 4 4 2 + − ( x + 1) − 3 < + − 0 − 3 = 0. 2 + 0 3 + −2 + 3 2 + x + 1 3 + 2x + 3 Khi đó (2) ⇔ x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Kết hợp với (*) ta được x ≥ 3 thỏa mãn. Đ/s: x = −1 hoặc x ≥ 3. 4 4  x + y + y − 5 x + 2 = 0 Câu 7. Giải hệ phương trình  3 3 2 5 x − 4 x y − x y = 4 xy − 5 x + y ( x, y ∈ R ) . Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( 5 x 3 + 5 x ) − ( 4 x 3 y + 4 xy ) − ( x 2 y + y ) = 0 ⇔ 5 x ( x 2 + 1) − 4 xy ( x 2 + 1) − y ( x 2 + 1) = 0 ⇔ ( x 2 + 1) ( 5 x − 4 xy − y ) = 0 ⇔ 5 x − 4 xy − y = 0 ⇔ y − 5 x = −4 xy. Thế vào (1) ta được x 4 + y 4 − 4 xy + 2 = 0 ⇔ x 4 + y 4 + 2 = 4 xy. Áp dụng BĐT Côsi ta có x 4 + y 4 + 2 = x 4 + y 4 + 1 + 1 ≥ 4 4 x 4 . y 4 .1.1 = 4 xy ≥ 4 xy. Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x4 = y 4 = 1  x = y = 1 Dấu " = " xảy ra ⇔  ⇔  x = y = −1  xy ≥ 0 Thử lại ta được x = y = 1 thỏa mãn. Đ/s: ( x; y ) = (1;1) . 3x 2 − 1 + x 2 − x − x x 2 + 1 = Câu 8. Giải phương trình 1 2 (7x 2 2 − x + 4). Lời giải: x ≥1 3 x 2 ≥ 1  ĐK:  2 ⇔ 1 x ≤ −  x ≥ x 3  • (*) Xét với x ≥ 1 ⇒ ( x 2 − x ) − x 2 ( x 2 + 1) = − x − x 4 < 0 ⇒ x 2 ( x 2 + 1) > x 2 − x ≥ 0 ⇒ x x 2 + 1 > x 2 − x ⇒ x 2 − x − x x 2 + 1 < 0 ⇒ VT (1) < 3x 2 − 1 (2) Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 2. 3 x 2 − 1 ≤ 2 + ( 3 x 2 − 1) = 3 x 2 + 1. Mặt khác 7 x 2 − x + 4 − ( 3 x 2 + 1) = 4 x 2 − x + 3 = 3 x 2 + x ( x − 1) + 3 > 0, ∀x ≥ 1 ⇒ 3 x 2 + 1 < 7 x 2 − x + 4 ⇒ 2 2. 3 x 2 − 1 < 7 x 2 − x + 4 ⇒ 3 x 2 − 1 < 1 2 (7 x 2 2 − x + 4 ) = VP (1) . Kết hợp với (2) ⇒ VT (1) < VP (1) ⇒ ∀x ≥ 1 đều không thỏa mãn (1). • Xét với x ≤ − 1 1 1 ta đặt x = −t ⇒ −t ≤ − ⇒t≥ . 3 3 3 Phương trình (1) trở thành 3t 2 − 1 + t 2 + t + t t 2 + 1 = 1 2 ( 7t 2 + t + 4) 2 ⇔ 2 6t 2 − 2 + 2 2t 2 + 2t + 2t 2t 2 + 2 = 7t 2 + t + 4 ⇔ 2t ( ) ( ) ( 2t 2 + 2 − t − 1 + 2 2t 2 + 2t − 3t − 1 + 2 ) 6t 2 − 2 − 3t + 1 = 5t 2 − 10t + 5 2 2 2t  2t 2 + 2 − ( t + 1)  4 ( 2t 2 + 2t ) − ( 3t + 1) 2 2 6t 2 − 2 − ( 3t − 1)      = 5 t −1 2 ⇔ + + ( ) 2 2 2 2t + 2 + t + 1 2 2t + 2t + 3t + 1 6t − 2 + 3t − 1 ⇔ 2t ( t 2 − 2t + 1) t + 1 + 2t 2 + 2 + −t 2 + 2t − 1 3t + 1 + 2 2t 2 + 2t + 2 ( −3t 2 + 6t − 3) 3t − 1 + 6t 2 − 2 = 5 ( t − 1) 2  2t 1 6 2 ⇔ ( t − 1)  − − − 5 = 0 2 2 2  t + 1 + 2t + 2 3t + 1 + 2 2t + 2t 3t − 1 + 6t − 2  Đặt T = 2t t + 1 + 2t + 2 2 − 1 3t + 1 + 2 2t + 2t 2 − 6 3t − 1 + 6t 2 − 2 (2) − 5. Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Với t ≥ Facebook: Lyhung95 1 1 2t −5 − 3t − 5 2t 2 + 2 > ⇒T < +0+0−5 = < 0. 3 3 t + 1 + 2t 2 + 2 t + 1 + 2t 2 + 2 Khi đó (2) ⇔ ( t − 1) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ − x = 1 ⇒ x = −1 thỏa mãn (*). 2 Đ/s: x = −1. ( )  xy + x − y ( ) xy − 2 + x = y + y  Câu 9. Giải hệ phương trình  ( x + 1) y + xy + x (1 − x ) = 4  ( ) ( x, y ∈ R ) . Lời giải: ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0, xy + ( x − y ) Khi đó (1) ⇔ xy + ( x − y ) • ( ( ) xy − 2 ≥ 0 (*) ) xy − 2 − y + x − y = 0 Với y = 0 khi đó (3) trở thành (3) −2 x + x = 0 ⇔ −2 x = x = 0 ⇔ x = 0. Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại. • Với y > 0 ⇒ T = xy + ( x − y ) Khi đó (3) ⇔ ⇔ xy + ( x − y ) ( ( ) xy − 2 − y 2 T y ( x − y) + ( x − y) T ( ) xy − 2 + y > 0 và B = x + y > 0. xy − 2 + x− y =0 B ) + x − y = 0 ⇔ ( x − y )  y +   B xy − 2 1  + =0 T B  (4) 4 + ( x + 1) ( x 2 − x − 2 ) 4 4 2 Từ (2) ⇒ y + xy + x − x = ⇒ y + xy − 2 = + x −x−2= x +1 x +1 x +1 2 x 3 − 3 x + 2 ( x − 1) ( x + 2 ) ⇒ y + xy − 2 = = ≥ 0, ∀x ≥ 0 x +1 x +1 2 Kết hợp với T , B > 0 ⇒ y + xy − 2 1 + > 0 nên (4) ⇔ x = y. T B Thế vào (2) ta được ( x + 1) ( x + x + x − x 2 ) = 4 ⇔ ( x + 1) ( x 2 − 3 x ) + 4 = 0 x = 1 ⇔ x − 2 x − 3 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − x − 4 ) = 0 ⇔   x = 1 ± 17  2 3 2 2 x = 1⇒ y = 1 Kết hợp với (*) ta được   x = 1 + 17 ⇒ y = 1 + 17  2 2  Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,   1 + 17 1 + 17   ;   . 2    2 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 8 x 3 + 2 y = y + 5 x + 2  Câu 10. Giải hệ phương trình  2 y + 1+ y2 = 1  3 x + 1 + 9 x )( ( Lời giải Điều kiện: y + 5 x + 2 ≥ 0 ( Phương trình (2) ⇔ 3 x + 1 + 9 x 2 )( y + ⇔ 3x + 1 + 9 x 2 = ( − y ) + 1 + ( − y ) ) 1 + y 2 = 1 ⇔ 3x + 1 + 9 x 2 = 1 y + 1+ y2 2 Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 1 + t ⇒ f ' ( t ) = ⇒ f ( 3x ) = f ( − y ) ⇔ 3x = − y ) t t2 +1 + 1 > 0 ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến trên Tập xác định Thay vào phương trình (2) ta có 8 x 3 − 6 x = 2 x + 2 (Điều kiện : x ≥ −1 ) ⇔ 8 x3 − 8 x = 2 x + 2 − 2 x ⇔ 8 x ( x − 1) (1 − x )( 4 x + 2 ) ⇔ = 2x + 2 + 2x     4x + 2 ( x − 1)  8 x +  = 0 ⇔ x =1 2 x + 2 + 2x     >0   Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là (1; −3)  x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 Câu 11. Giải hệ phương trình  2 2  x + y − 6 x + y − 10 = y + 5 − 4 x + y Lời giải 4 x + y ≥ 0 Điều kiện:   y ≥ −5 3 Phương trình (1) ⇔ x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 ⇔ y 3 + 3 y = (1 − x ) + 3 (1 − x ) Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 3t ( t ≥ −5 ) ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 − 1 > 0 ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến trên Tập xác định ⇒ f (1 − x ) = f ( y ) ⇔ 1 − x = y Thay vào phương trình (2) ta có 2 x 2 − 7 x − 10 = 6 − x − 3 x + 1 ( Điều kiện x ≥ ⇔ 2 x 2 − 9 x − 5 = 6 − x − 1 + 4 − 3 x + 1 ⇔ ( x − 5 )( 2 x + 1) + 1 ) 5 3 ( x − 5) x−5 + =0 6 − x + 1 4 + 3x + 1     1 3 ⇔ ( x − 5)  2 x + 1 + + =0⇔ x=5 6 − x + 1 4 + 3 x +1    >0   Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là ( 5; −4 )  x3 − y 3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0 Câu 12. Giải hệ phương trình  2 2 2 4 x − x − 3 3 + 2 y − y − 3x + 2 = 0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Giải: 4 x − x ≥ 0 Điều kiện:  ( *) 2 3 + 2 y − y ≥ 0 +) Xét phương trình (1): (1) ⇔ x 3 + 3x 2 + 6 x + 4 = y 3 + 3 y 2 ⇔ ( x + 1) + 3 ( x + 1) = y 3 + 3 y ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) 3 Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t∀t ∈ R Có f '(t ) = 3t 2 + 3 > 0∀t ∈ R nên f (t ) là hàm đồng biến trên R ⇒ x + 1 = y thế vào (2) ta có: ( 2 ) ⇔ 2 4 x − x 2 − 3 4 − x 2 − 3x + 2 = 0 Do 0 ≤ x ≤ 2 ⇔ x − 2 + 4 − x 2 = 0 ⇔ x = 2; x = 0 (T/M) ) ( ( ) +) Với x − 2 + 4 − x 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2; x ≠ 0 có: ( 2 ) ⇔ 2 2 − 4 x − x 2 + 3 x − 2 − 4 − x 2 = 0 ⇔ 2 ( x − 2) 2 2 + 4 x − x2 2 ( x − 2) + 6x ( x − 2) x − 2 + 4 − x2 6x =0⇔ 2 ( x − 2) 2 + 4 x − x2 + 6x x − 2 + 4 − x2 = 0 ⇒ VN + > 0, ∀0 < x < 2 . 2 + 4 x − x2 x − 2 + 4 − x2 +) Với x = 2 ⇒ y = 3 ( t / m ) Do +) Với x = 0 ⇒ y = 1( L) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3)  y + x + y + 1 = x + ( x + 1) 2 − y 2  Câu 13. Giải hệ phương trình  ( x − 1) y + 2 − ( y − 2 ) x + 3 = 2 Lời giải ĐK: x ≥ −3, y ≥ −2, x + y + 1 ≥ 0, ( x + 1) 2 ≥ y2 (*) Khi đó (1) ⇔ x − y + x + y + 1. x − y + 1 − x + y + 1 = 0. a = x + y + 1 ≥ 0 Đặt  ⇒ x − y = b 2 − 1 ⇒ b 2 − 1 + ab − a = 0 ⇔ ( b − 1)( b + 1) + a ( b − 1) = 0 b = x − y + 1 ≥ 0 ⇔ ( b − 1)( a + b + 1) = 0 ⇔ b = 1 ⇒ x − y + 1 = 1 ⇔ x − y + 1 = 1 ⇔ x = y. Thế vào (2) có ( x − 1) x + 2 − ( x − 2 ) x + 3 = 2 ⇔ ( x − 1) ( ) x + 2 − 2 − ( x − 2) ( ) x+3−2 ⇔ ( x − 1)( x + 2 − 4 ) − ( x − 2 )( x + 3 − 4 ) = 0 x+2 +2 x+3+2 x = 1  1 1   ⇔ ( x − 1)( x − 2 )  −  = 0 ⇔ x = 2  2+ x+2 2+ x+3   2 + x + 2 = 2 + x + 3 x =1 x = 1⇒ y =1 ⇔  x = 2 ⇔ ⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )} thỏa mãn (*). x = 2⇒ y =2   x + 2 = x + 3 Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )}. Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2x − 4 y + 2   1− x + x − 2 y +1 = 1− x Câu 14. Giải hệ phương trình   2 2 3  x − 4x + 7 + 5x − 7 y + 3 = y + 2 Lời giải ĐK: x < 1, x + 1 ≥ 2 y (*). Đặt a = 1 − x > 0, b = x − 2 y + 1 ≥ 0 ⇒ (1) thành a + b = 2b 2 ⇔ a 2 + ab − 2b 2 = 0 ⇔ ( a − b )( a + 2b ) = 0 a (3) Với a > 0, b ≥ 0 ⇒ a + 2b > 0 nên ( 3) ⇔ a = b ⇒ 1 − x = x − 2 y + 1 ⇒ 1− x = x − 2 y +1 ⇔ x = y x2 − 4 x + 7 + 3 5x2 − 7 x + 3 = x + 2 ⇔ x2 − 4 x + 7 − 2 = x − 3 5x2 − 7 x + 3 Thế vào (2) có (4) 2 2 7  11  2 3 2 2 3 Ta có x − 7 x + 3 =  x 5 −  + 20 > 0, xét T = x + x 5 x − 7 x + 3 + ( 5 x − 7 x + 3) 2 5  2 2 3  2 5x2 − 7 x + 3  3 3 ⇒T =x+ 5 x 2 − 7 x + 3 ) > 0.  + (   2   4 Do đó ( 4 ) ⇔ ⇔ x2 − 4 x + 7 − 4 x2 − 4x + 7 + 2 x2 − 4x + 2 + x2 − 4 x + 7 + Với x ≤ 1 và T > 0 ⇒ = x 3 − ( 5 x 2 − 7 x + 3) T (1 − x ) ( x 2 − 4 x + 3) T 1 2 + x − 4x + 7 2 + = ( x − 1) ( x 2 − 4 x + 3) T  1 1− x  = 0 ⇔ ( x 2 − 4 x + 3)  +  2 T   2 + x − 4x + 7 (5) 1− x > 0. T x =1⇒ y =1 Khi đó ( 5 ) ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  ⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)} thỏa mãn (*). x = 3 ⇒ y = 3 Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)}. 1 3x + 4  2 x + 3y +1 = y − y + x +1 , Câu 15. Giải hệ phương trình   9 y − 2 + 3 7 x + 2 y + 2 = 2 y + 3.  ( x; y ∈ ℝ ) . Lời giải. 2 Điều kiện y ≥ ; x > −1 . Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với 9 3 ( x + 1) + 1 3x + 4 1 1 x +1− = y2 − 3y − ⇔ x +1− = y2 − 3y − y y x +1 x +1 1 1 ⇔ x +1− 3 x +1 − = y2 − 3 y − ( ∗) y x +1 2 Vì y ≥ ; x > −1 nên ta xét hàm số 9 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1 1 2t 3 − 3t 2 + 1 ( 2t + 1)( t − 1) f ( t ) = t − 3t − ; t > 0 ⇒ f ′ ( t ) = 2t − 3 + 2 = = ≥ 0, ∀t > 0 . t t t2 t2 Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu được ( ∗) ⇔ f x + 1 = f ( y ) ⇔ x + 1 = y ⇔ x = y 2 − 1 . 2 2 ( ) Phương trình thứ hai của hệ trở thành 9 y − 2 + 3 7 y 2 + 2 y − 5 = 2 y + 3 ⇔  9 y − 2 − ( y + 2 )  +  3 7 y 2 + 2 y − 5 − ( y + 1)  = 0   Đặt 3 (1) ⇔ (1) . 7 y 2 + 2 y − 5 = a; y + 1 = b ⇒ a 2 + ab + b 2 > 0 vì a = b = 0 ⇔ y ∈∅ . Cho nên 9 y − 2 − ( y2 + 4 y + 4) 9y − 2 + y + 2 + 7 y 2 + 2 y − 5 − ( y 3 + 3 y 2 + 3 y + 1) a 2 + ab + b 2 =0 ( y + 1) ( y 2 − 5 y + 6 ) y2 − 5 y + 6 ⇔ + =0 a 2 + ab + b 2 9y − 2 + y + 2  1 y +1  ⇔ ( y 2 − 5 y + 6)  + 2 =0 2  9 y − 2 + y + 2 a + ab + b  Vì ( 2) 1 y +1 2 + 2 > 0, ∀y ≥ nên 2 9 9 y − 2 + y + 2 a + ab + b ( 2 ) ⇔ ( y − 2 )( y − 3) = 0 ⇔ y ∈ {2;3} ⇒ ( x; y ) = ( 8;3) , ( 3; 2 ) . Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể trên.  x3 − 6 x 2 − 8 6 y + 20 + = y + 2,  x + y 2 Câu 16. Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ ) .  13 x − 1 + 9 1 + y + 2 = 16 y + 2. Lời giải. Điều kiện x ≥ 1, y > −2 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 6 ( y + 2) + 8 x3 − 6 x 2 − 8 8 8 = y +2− ⇔ x2 − 6x − = y + 2 − 6 y + 2 − ( ∗) . x x y+2 y+2 8 1 4 t 3 − 3t 2 + 4 ( t − 2 ) ( t + 1) Xét hàm số f ( t ) = t − 6t − ; t > 0 ⇒ f ′ ( t ) = t − 3 + 2 = = ≥ 0, ∀t > 0 . t 2 t t2 t2 Rõ ràng hàm số trên liên tục và đồng biến trên toàn tia Ox thực nên thu được 2 2 ( ∗) ⇔ f ( x ) = f ( ) y+2 ⇔ x = y+2. Phương trình thứ hai của hệ trở thành 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x ⇔ 16 x − 13 x − 1 − 9 x + 1 = 0 1  9  ⇔ 13  x − 1 − x − 1 +  + 3  x + 1 − 3 x + 1 +  = 0 4  4  1  x −1 = 2 2  1 3 5    2 ⇔ 13  x − 1 −  + 3  x + 1 −  = 0 ⇔  ⇔x= 2 2 4    x +1 = 3  2 7 5 Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ; −  .  4 16  Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN PHẦN 2. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Điều kiện các căn thức xác định. x = y Phương trình thứ nhất tương đương ( x − y ) ( x 2 + y 2 + 1) = 0 ⇔  2 ⇒x= y. 2  x + y = −1 2x + 7 7 x − 3 Phương trình thứ hai trở thành 6 + = 12 . x−2 x−2 2x + 7 Điều kiện ≥ 0; x ≠ 2 . Phương trình đã cho tương đương với x−2 2 x − 4 + 11 7 x − 3 11 11 11 11 6 + −7 = 5 ⇔ 6 2+ + = 5 ⇔ 6 2+ +2+ = 7. x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 11 Đặt 2 + = t , t ≥ 0 ta thu được x−2 t ≥ 0 t ≥ 0 t ≥ 0 11 ⇔ ⇔ ⇔ t =1⇔ 2 + =1  2 t − 1 t + 7 = 0 t ∈ − 7;1 x − 2 6 + = 7 ( )( ) { } t t      11 11 ⇔ 2+ =1⇔ = −1 ⇔ x − 2 = −11 ⇔ x = −9 x−2 x−2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất x = −9 nên hệ có nghiệm duy nhất x = y = −9 . Câu 2. Điều kiện x > 0; y > 0 . Phương trình thứ nhất tương đương với x = y 2 x 2 + xy + x − 2 xy − y 2 − y = 0 ⇔ ( x − y )( 2 x + y + 1) = 0 ⇔  ⇒x= y.  2 x + y = −1 Phương trình thứ hai trở thành 6 x2 + 5x + 6 6 6 Phương trình đã cho tương đương với x + + 2 + = 15 ⇔ x + + 2 + x + + 2 = 12 . x x x x Đặt x+ 6 + 2 = t , t ≥ 0 ta thu được x t ≥ 0 t ≥ 0 t ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔t =3 2 t + t − 12 = 0 ( t − 3)( t + 4 ) = 0 t ∈ {−4;3} 6 6 + 2 = 3 ⇔ x + = 7 ⇔ x 2 − 7 x + 6 = 0 ⇔ x ∈ {1;6} x x Kết luận hệ có 2 nghiệm x = y = 1; x = y = 6 . ⇔ x+ Câu 3. Điều kiện các căn thức xác định. Phương trình thứ hai của hệ tương đương Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x − y + 2( x − y) y = 0 ⇔ Facebook: Lyhung95 x− y + 2( x − y) y = 0 x+ y   1 ⇔ ( x − y) +2 y=0⇒ x= y  x+ y    ( x + 1) + 4 = 3 . Điều kiện 8 x−2+ + x+3 x+3 2 Phương trình thứ nhất tương đương với 8 ≥0. x+3 Phương trình đã cho tương đương với x ≠ −3; x − 2 + x−2+ Đặt 8 x2 + 2x + 5 + =3⇔ x+3 x+3 ( x + 3)( x − 2 ) + 8 + x 2 + 2 x + 5 − 1 = 2 ⇔ x+3 x+3 x2 + x + 2 x2 + x + 2 + = 2. x+3 x+3 x2 + x + 2 = t , t ≥ 0 ta thu được x+3 t ≥ 0 t ≥ 0 t ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ t =1 2 t + t = 2 ( t − 1)( t + 2 ) = 0 t ∈ {−2;1} x2 + x + 2 = 1 ⇔ x 2 + x + 2 = x + 3 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x ∈ {−1;1} x+3 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = y = 1 . ⇔ Câu 4. Điều kiện căn thức xác định. Phương trình thứ nhất tương đương 2 x 2 − xy − y 2 − x − 2 y − 1 = 0 ⇔ 2 x 2 + xy + x − 2 xy − y 2 − y − 2 x − y − 1 = 0  x = y +1 ⇔ ( x − y − 1)( 2 x + y + 1) = 0 ⇔  ⇒ x = y +1 2 x + y + 1 = 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với phương trình thứ 2 2x + y − 1 + 1 2x2 + y + 2 2 2x + y −1 + 2 ( 2x + y ) ≤ + = x2 + x + y + 1. 2 2 2 2 x + y − 1 = 1 2 x − 2 x = 0   Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 x 2 + y = 2 ⇒ 2 x + y − 1 = 0 ⇔ x = 0; y = −1 . x = y +1 x = y +1   Kết luận hệ có nghiệm duy nhất. ( Câu 5. Phương trình thứ nhất tương đương ( x + y ) = 2 x 3 ) 3 ⇔ x+ y = 2 x ⇔ y = 2 x − x. Phương trình thứ hai trở thành 2 x3 − x + 2 x − x = x3 + x + 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thu được 2 x3 − x + 1 2 x − x + 1 2 x3 − x + 2 x − x ≤ + = x3 + x + 1 . 2 2 2 x 3 − x = 2 x − x = 1  x = 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi  ⇔ y =1  y = 2 x − x Kết luận hệ có nghiệm duy nhất. Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x > 0  Câu 6. ĐK:  y > 0 4 x − 3 y > 0  Facebook: Lyhung95 (*) Khi đó (1) ⇔ 4 x − 3 y + 2 xy = 2 x . 4 x − 3 y + y . 4 x − 3 y ⇔ 4x − 3 y ⇔ ( ( ) 4x − 3y − 2 x − y 4x − 3 y − 2 x )( ( ) 4x − 3y − 2 x = 0 ) 4x − 3y − y = 0  4x − 3 y = 2 x 4 x − 3 y = 4 x  y = 0 ⇔ ⇒ ⇒  4 x − 3 y = y 4 x − 3 y = y x = y Kết hợp với (*) ta được x = y, thế vào (2) ta được ⇔ ( ) ( x −1 + x + x + 3 = 3 + 2 ( x − 1) 2 ) x 2 + 3 − 2 = 2 ( x − 1) x2 + 3 x ⇔ x −1 x2 + 3 − 4 x2 + 3 + = 2 ( x − 1) x x +1 x2 + 3 + 2 ⇔ x − 1 ( x − 1)( x + 1) x2 + 3 + = 2 ( x − 1) x 1 + x 2 + x2 + 3 x = 1  ⇔ 1 x +1 x2 + 3 + = 2  2 x 1 + x 2 + x + 3 Với x > 0 ⇒ x2 + 3 x (3) x +1 x +1 1 1 + < + < 1 + 1 = 2. 2 1+ x 2 + x + 3 1+ 0 2 + x x2 + 3 1  11  Lại có x + 3 − x =  x −  + > 0 ⇒ x 2 + 3 > x > 0 ⇒ 2 >2 2 4 x  2 2 ⇒ 1 x +1 x2 + 3 + <2 . x 1 + x 2 + x2 + 3 Do đó (3) ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 thỏa mãn (*) Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Câu 7. ĐK: xy ≥ 0, 2 x 2 ≥ xy, 2 xy ≥ y 2 , x + 2 y + 1 ≥ 0, 5 x − 4 y + 3 ≥ 0 (*) Từ (2) ⇒ x3 + x − 1 ≥ 0 ⇒ x ( x 2 + 1) ≥ 1 > 0 ⇒ x > 0 ⇒ y ≥ 0. Khi đó (1) ⇔ 2 x − y + xy = x . 2 x − y + y . 2 x − y ⇔ 2x − y ( ) 2x − y − x − y ( ) 2x − y − x = 0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ ( 2x − y − x )( Facebook: Lyhung95 ) 2x − y − y = 0  2x − y = x 2 x − y = x ⇔ ⇒ ⇒ x = y.  2 x − y = y 2 x − y = y Thế vào (2) ta được ( x3 + x − 1) 3 x + 1 = x + 3 Với x > 0 thì (3) ⇔ x 3 + x − 1 = Xét hàm số f ( x ) = x3 + x − 1 − f ' ( x ) = 3x 2 + 1 − (3) x+3 x+3 ⇔ x3 + x − 1 − = 0. 3x + 1 3x + 1 x+3 với x ∈ ( 0; +∞ ) có 3x + 1 1 −8 4 3x + 1 . = 3x 2 + 1 + > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) . 2 2 x + 3 ( 3 x + 1) 3 x + 1) x + 3 ( 2 3x + 1 Kết hợp với f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) . Do đó trên ( 0; +∞ ) phương trình f ( x ) = 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất. 1 ∈ ( 0; +∞ ) Mặt khác  ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của f ( x ) = 0 ⇒ y = 1 thỏa mãn (*)  f (1) = 0 Đ/s: ( x; y ) = (1;1) 2  3 3  y −  + ≥ 0  y2 − 3 y + 3 ≥ 0 2  2 4 Câu 8. ĐK:  ⇔  ⇔ y≥− 7 2 7 y + 2 ≥ 0  y ≥ −  7 (*) Khi đó (1) ⇔ 4 ( x 2 + 3 y 2 ) + ( x + 3 y ) − 4 ( x + 3 y ) x 2 + 3 y 2 = 0 2 ( ⇔ 2 x2 + 3 y 2 − x − 3 y ) 2 = 0 ⇔ x + 3 y = 2 x2 + 3 y 2 x + 3y ≥ 0  x + 3 y ≥ 0 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 3 x − 6 xy + 3 y = 0 ( x + 3 y ) = 4 ( x + 3 y )  x + 3 y ≥ 0 x + 3y ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ x = y ≥ 0. 2 x = y 3 ( x − y ) = 0 ( x ≥ 0) Kết hợp với (2) ta được x 2 + 2 x + 4 x 2 − 3x + 3 = 4 + x 7 x + 2 ) ( ( ⇔ x x + 2 − 7x + 2 + 4 ) x2 − 3x + 3 − 1 = 0 2 x + 2 ) − ( 7 x + 2 ) 4 ( x − 3 x + 3 − 1) ( ⇔ x. + =0 2 x + 2 + 7x + 2 x 2 − 3x + 3 + 1 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ x ( x 2 − 3x + 2 ) x + 2 + 7x + 2 + 4 ( x 2 − 3x + 2 ) 1 + x 2 − 3x + 3 Facebook: Lyhung95 =0   x 4 ⇔ ( x 2 − 3x + 2 )  + =0 2  x + 2 + 7 x + 2 1 + x − 3x + 3  Với x ≥ 0 ⇒ x x + 2 + 7x + 2 + 4 1 + x − 3x + 3 2 (3) > 0. x = 1⇒ y = 1 Do đó (3) ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔  thỏa mãn hệ đã cho. x = 2 ⇒ y = 2 Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )} Câu 9. ĐK: y 2 − y + 1 ≥ 0 (*) Đặt a = x 2 + 3 y 2 ≥ 0 ⇒ (1) thành a 2 − y 2 = xy + xa ⇔ ( a + y )( a − y ) − x ( a + y ) = 0  x2 + 3 y 2 = − y a = − y ⇔ ( a + y )( a − y − x ) = 0 ⇔  ⇒  a = x + y  x 2 + 3 y 2 = x + y • TH1. − y ≥ 0 y ≤ 0 x2 + 3 y2 = − y ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ x = y = 0. 2 2 2 x + 3y = y x + 2 y = 0 Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại. • TH2. x + y ≥ 0 x + y ≥ 0   x ≥ 0, y = 0  x2 + 3 y2 = x + y ⇔  2 ⇔  y = 0 ⇔  2 2 2 x = y ≥ 0  x + 3 y = x + 2 xy + y  x = y  +) Với x ≥ 0, y = 0 kết hợp với (2) ta được 7 − 3 x = 6 ⇔ x = 1 thỏa mãn hệ đã cho. 3 +) Với x = y ≥ 0 kết hợp với (2) ta được 2 x 3 − 3 x + 7 = 6 x 2 − x + 1 (3) Áp dụng BĐT Côsi ta có ( x 2 − x + 1) + 1 ≥ 2 x 2 − x + 1 ⇒ 6 x 2 − x + 1 ≤ 3 x 2 − 3 x + 6 Lại có 2 x 3 + 1 − 3x 2 = ( x − 1) ( 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1) ( 2 x + 1) ≥ 0, ∀x ≥ 0 ⇒ 2 x 3 + 1 ≥ 3x 2 2 ⇒ 6 x 2 − x + 1 ≤ 2 x3 + 1 − 3x + 6 = 2 x3 − 3x + 7 ⇒ VT ( 3) ≥ VP ( 3) . Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ⇒ y = 2 thỏa mãn hệ đã cho.   1  Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,  ;0   .  3   Câu 10. Điều kiện: x ≥ 0; 5 − 2 y ≥ 0 . Từ phương trình đầu của hệ, chúng ta có: ( ) ( ) x (3 − y ) + y − 2x = 1 ⇔ y 1 − x − 2x − 3 x + 1 = 0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x =1 x = 1 x −1 y + 2 x −1 = 0 ⇔  ⇔  y + 2 x − 1 = 0  y = 1− 2 x Với x = 1 ⇒ y = 2 suy ra ( x; y ) = (1; 2 ) là một nghiệm của hệ phương trình. ( ) ( ⇔ y 1− x − )( ) x −1 2 x −1 = 0 ⇔ ( )( ) Với y = 1 − 2 x thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: x2 − ( ( x − 2 1− 2 x )) x = ( ) (i ) 5 − 2 1 − 2 x + 3 ⇔ x2 − 5x x + 2x − 3 = 4 x + 3 ( ) Đặt t = x ≥ 0 , khi đó ( i ) ⇔ t 4 − 5t 3 + 2t 2 − 3 = 4t + 3 ⇔ t 4 − 5t 3 + 2t 2 − t − 3 + t − 4t + 3 = 0 ⇔ ( t 2 − 4t − 3)( t 2 − t − 1) + t − 4t − 3 1   = 0 ⇔ ( t 2 − 4t − 3)  t 2 − t − 1 +  =0⇔ t = 2+ 7 t + 4t + 3 t + 4t + 3   2 (t ≥ 0)  x = 2 + 7  x = 11 + 4 7 Từ đó suy ra  ⇔ ⇒ ( x; y ) = 11 + 4 7; −3 − 2 7 là nghiệm của hệ phương y = 1 − 2 x y = − 3 − 2 7   trình. ( ) Câu 11. Điều kiện: y ≥ x; 2 x + y ≥ 0; x + 4 y ≥ 0 . Phương trình một của hệ tương đương với: 2 x 2 − 3 xy + y 2 + 5 x − 3 y + 2 − ( 2 x − y + 1) y − x = 0 ( ) ⇔ ( 2 x − y + 1)( x − y + 2 ) − ( 2 x − y + 1) y − x = 0 ⇔ ( 2 x − y + 1) x − y + 2 − y − x = 0 ( ) ( )( 2 ⇔ ( 2 x − y + 1)  2 − y − x − y − x  = 0 ⇔ ( 2 x − y + 1) y − x − 1   • Với y = x + 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:  y = 2x + 1 y−x +2 =0⇔  y = x +1 ) 4 x 2 + x + 4 − 2 x + x + 1 − x + 4 ( x + 1) = ( x + 1) ⇔ 3x 2 − x + 3 − 3 x + 1 − 5 x + 4 = 0 2 ( ) ( ) ⇔ 3x − 3x + x + 1 − 3x + 1 + x + 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ 3 ( x − x ) ( x + 1) + 2 − 3x − 1 ( x + 2) + 2 − 5x − 4 =0 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5x + 4 x2 − x x2 − x 1 1   ⇔ 3 ( x2 − x ) + + = 0 ⇔ ( x2 − x )  3 + + =0 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4   x = 0 ⇒ y = 1 1 1 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔  vì 3 + + > 0; x ≥ − . 3 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4 x = 1 ⇒ y = 2 • Với y = 2 x + 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 2 2 4 x 2 + x + 4 − 2 x + 2 x + 1 − x + 4 ( 2 x + 1) = ( 2 x + 1) ⇔ 3x − 3 + 4 x + 1 + 9 x + 4 = 0 2 ( ) ( ) 4x 9x + =0 4x + 1 + 1 9x + 4 + 2 4 9 4 9 1   ⇔ x3 + + + > 0; ∀x ≥ − .  = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 vì 3 + 4 4x + 1 + 1 9x + 4 + 2  4x + 1 + 1 9x + 4 + 2  Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 0;1) , (1; 2 )} . ⇔ 3x + 4x + 1 − 1 + 9 x + 4 − 2 = 0 ⇔ 3x + Câu 12. Điều kiện: 8 x + 5 ≥ 0; 6 x + 4 xy − x 2 ≥ 0 . Phương trình một của hệ tương đương với: ( x − y + 3) 2 x 2 + y 2 + 1 − ( x − y + 3)( x + y ) + x 2 − 2 xy + 1 = 0 ( ⇔ ( x − y + 3) ( ⇔ ( x − y + 3) ) +1 − x − y) + ( 2 x 2 + y 2 + 1 − x − y + ( 2 x 2 + y 2 + 1) − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = 0 2 x2 + y 2 2 x2 + y2 + 1 ) − ( x + y) 2 2 =0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ ( x − y + 3) ( ) ( 2x2 + y2 + 1 − x − y + ( ⇔ 2 x + 3 + 2 x2 + y2 + 1 )( 2 x2 + y2 + 1 + x + y )( Facebook: Lyhung95 ) 2 x2 + y 2 + 1 − x − y = 0 ) x + y ≥ 0 2 x2 + y 2 + 1 − x − y = 0 ⇔ 2 x2 + y2 + 1 = x + y ⇔  2 2 xy = x + 1 Vì điều kiện 8 x + 5 ≥ 0 → 2 x + 3 > 0 ⇒ 2 x + 3 + 2 x 2 + y 2 + 1 > 0 . Với 2 xy = x 2 + 1 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 = x 2 + 4 x + 3 ⇔ ( x + 1) ( x + 2 − ( x + 1) ( x 2 − 4 x − 1) x2 − 4 x − 1 2 ⇔ x + 2 + 8x + 5 + ) ( ) 8x + 5 + x + 1 − 6 x + 2 = 0 x +1 1   = 0 ⇔ ( x − 4 x − 1)  + =0 x + 1 + 6x + 2  x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6 x + 2  x = 2 + 5 ⇒ y = 5 x +1 1 1 ⇔ x2 − 4 x − 1 = 0 ⇔  vì + > 0; ∀x ≥ − . 3 x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6 x + 2  x = 2 − 5 ⇒ y = − 5 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 2 + )( 5; 5 , 2 − 5; − 5 )} . Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN  y 2 + 4 x + 2 y + ( y + 1) 1 − 2 x = 1 Câu 1: Giải hệ phương trình sau  2 2 2 y + y − 4 x + 2 (1 − y − 2 x ) y + 1 = 2 Lời giải 1  x ≤ Điều kiện:  2  y ≥ −1 Phương trình (1) của hệ phương trình đã cho tương đương y 2 + 2 y + 1 + 4 x − 2 + ( y + 1) 1 − 2 x = 0 ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) 1 − 2 x − 2 (1 − 2 x ) = 0 2  y + 1 = 1 − 2 x ⇔ ( y + 1)2 = 1 − 2 x ⇔ 2 x = − y 2 − 2 y ⇔ y + 1 + 2 1 − 2x y + 1 − 1 − 2x = 0 ⇔   y + 1 + 1 − 2 x = 0 ( l ) Thay 2 x = − y 2 − 2 y vào phương trình ( 2 ) của hệ phương trình ta có ( )( ) 2 y 2 + y + 2 y 2 + 4 y + 2 (1 − y 2 + y 2 + 2 y ) y + 1 = 2 ⇔ 4 y 2 + 5 y + 2 ( 2 y + 1) y + 1 = 2 ( ⇔ ( 2 y + 1) + 2 ( 2 y + 1) y + 1 + ( y + 1) = 4 ⇔ 2 y + 1 + y + 1 2 • Với 2 y + 1 + y + 1 = 2 ⇔ ) 2 2 y + 1 + y + 1 = 2 =4⇔  2 y + 1 + y + 1 = −2 1  1  y ≤ 2 y ≤ y +1 = 1− 2y ⇔  ⇔ ⇒ y =0⇒ x=0 2 2 2  4 y − 5 y = 0   y + 1 = (1 − 2 y ) • Với 2 y + 1 + y + 1 = −2 ⇔ 2 y + 3 + y + 1 = 0 ⇔ 2 ( y + 1) + y + 1 + 1 = 0 ( l ) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0; 0 ) Câu 2: [Trích đề thi thử trường chuyên Lê Hồng Phong – Tp HCM - Lần 1 – 2015] x − y 2 − x + 2 y2 = 2  Giải hệ phương trình  2 x + 2 − 4 y + 8 y xy + 2 y = 34 − 15 x Lời giải: − 2 ≤ x ≤ 2  Điều kiện:  y ≥ 0 ( ) Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương  2 − x = y ⇔ 2 − x = y2 ⇔ x = 2 − y2 (2 − x) + y 2 − x − 2 y = 0 ⇔ 2 − x + 2 y 2 − x − y = 0 ⇔   2 − y + 2 y = 0 ( l ) Thay x = 2 − y 2 vào phương trình ( 2 ) của hệ phương trình ta có 2 ( )( ) Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2 Facebook: Lyhung95 ) ( 4 − y 2 − 4 y + 8 y y ( 4 − y 2 ) = 34 − 15 ( 2 − y 2 ) ⇔ 2 4 − y 2 − 8 y + 8 y 4 − y 2 = 15 y 2 + 4 ⇔ 2 ( 4 y + 1) 4 − y 2 = 15 y 2 + 8 y + 4 ⇔ ( 4 y + 1) − 2 ( 4 y + 1) 4 − y 2 + ( 4 − y 2 ) − 1 = 0 2 ( ⇔ 4y +1− 4 − y • Với 2 ) 2 4 y + 1 − 4 − y 2 = 1  4 − y2 = 4 y =1⇔  ⇔  4 y + 1 − 4 − y 2 = −1 4 y + 2 = 4 − y2   4 − y 2 = 4 y ⇔ 4 − y 2 = 16 y 2 ⇔ y 2 = 4 2 30 ⇔ y= ⇒x= 17 17 17 • Với 4 y + 2 = 4 − y 2 ⇔ ( 4 y + 2 ) = 4 − y 2 ⇔ 17 y 2 + 16 y = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 2 2  2 30  ;  , ( 2; 0 ) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) =   17 17  Câu 3: [Trích đề thi thử trường chuyên ĐHSP - Lần 1 – 2015] Giải phương trình 2 x 2 + 3x − 2 − 3 x + 6 = 4 − 2 x 2 + 11x − 6 + 3 x + 2 Lời giải: 1 2 Phương trình đã cho tương đương Điều kiện: x ≥ ( 2 x − 1)( x + 2 ) − 3 ⇔ 2x − 1 ( x + 6 = ( x + 6) − ( x + 2) − ) ( x+ 2 + x +6 −3 ) ( x+6+ x+2 = ⇔ 2x − 1 − 3 = x + 6 − x + 2 ⇔ x−7 ( 2 x − 1)( x + 6 ) + 3 ( x+2 x+6+ x+2 ) ( 2x − 1 − x + 6 + ) x−7 + x+6− x+2 ) x+2 −3 = 0  1 = 0 ⇔ ( x − 7)  + 2x −1 + x + 6 x+2 +3  2x −1 + x + 6 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {7} ⇔ )(  =0⇔ x=7 x + 2 +3 1 Câu 4: Giải phương trình 12 x 2 + 55 x + 50 − 4 3x + 10 = 4 3x + 1 + 9 − 12 x 2 + 19 x + 5 Lời giải 1 Điều kiện: x ≥ − 3 Phương trình đã cho tương đương ( 4 x + 5 )( 3x + 10 ) − 4 ⇔ 4x + 5 ( 3 x + 10 = 4 3 x + 1 + ( 3 x + 10 ) − ( 3 x + 1) − ) ( 3 x + 10 + 3 x + 1 − 4 ⇔ 4 x + 5 − 4 = 3 x + 10 − 3 x + 1 ⇔ x−5 3 ( x − 5) ) ( 3 x + 10 + 3 x + 1 = ( ( 4 x + 5 )( 3 x + 1) 3 x + 10 + 3 x + 1 ) ( 4 x + 5 − 3 x + 10 + ) )( 3 x + 10 − 3 x + 1 ) 3x + 1 − 5 = 0   1 3 = 0 ⇔ ( x − 5)  + =0⇔ x=5 4 x + 5 + 3 x + 10 3x + 1 + 4 3x + 1 + 5   4 x + 5 + 3 x + 10 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5} ⇔ + Câu 5: [Trích đề thi thử trường chuyên KHTN - Lần 1 – 2015]  x2 + y2 = 2  Giải hệ phương trình  2 x 5 2  x + y + ( xy + 1) = 5  Lời giải: ĐK: x + y ≠ 0 (*) Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 x5 = 4 − 2 xy − x 2 y 2 ⇔ 2 x5 = ( x + y ) ( 4 − 2 xy − x 2 y 2 ) . x+ y 2 2 Ta có 4 = ( x 2 + y 2 ) nên 2x 5 = ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) − ( x 2 + y 2 ) xy − x 2 y 2    Khi đó (2) ⇔ (3) +) Với y = 0 ⇒ (3) thành 2 x 5 = x ( x 4 − 0 − 0 ) ⇔ x 5 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ x 2 + y 2 = 0 ≠ 1 ⇒ Loại 2   x2  x x2  2 x 5  x   x 2 +) Với y ≠ 0 thì (3) ⇔ 5 =  + 1  2 + 1 −  2 + 1 . − 2  . y  y   y  y  y y  2 x Đặt t = ⇒ 2t 5 = ( t + 1) ( t 2 + 1) − ( t 2 + 1) t − t 2    y ⇔ 2t 5 = ( t + 1) ( t 4 − t 3 + t 2 − t + 1) ⇔ 2t 5 = t 5 + 1 ⇔ t 5 = 1 ⇔ t = 1 ⇒ x = 1 ⇒ x = y. y x = 1⇒ y = 1 Thế vào (1) ta được 2 x 2 = 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔   x = −1 ⇒ y = −1 Thử lại ta thấy đều thỏa mãn hệ đã cho. Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( −1; −1)}  x 2 + y ( x + 2 ) = ( y + 1)2  Câu 6: Giải hệ phương trình  x5 + y 5 − 1 = xy ( x + y )( y − 1)   y +1 ĐK: y ≠ −1 Lời giải (*) Khi đó (2) ⇔ x5 + y 5 − y − 1 = xy ( y + 1)( x + y )( y − 1) ⇔ x5 + y 5 − y − 1 = y ( y + 1)( y − 1) ( x 2 + xy ) . Ta có (1) ⇔ x 2 + xy + 2 y = y 2 + 2 y + 1 ⇔ x 2 + xy = y 2 + 1 ⇒ x5 + y 5 − y − 1 = y ( y + 1)( y − 1) ( y 2 + 1) ⇔ x5 + y 5 − y − 1 = y ( y 2 − 1)( y 2 + 1) ⇔ x 5 + y 5 − y − 1 = y ( y 4 − 1) = y 5 − y ⇔ x5 = 1 ⇔ x = 1 y = 0 ⇒ 1 + y = y2 +1 ⇔ y2 − y = 0 ⇔  y =1 Thử lại ta thấy ( x; y ) = {(1;1) , (1;0 )} thỏa mãn hệ đã cho. Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , (1;0 )} ( x + y )3 = 2 + 3xy ( x + y )  Câu 7: Giải hệ phương trình  1 5 4 4  x + xy = ( x + y ) ( x + y )  2 Lời giải ĐK: x, y ∈ ℝ (*) Khi đó (1) ⇔ x + y + 3xy ( x + y ) = 2 + 3 xy ( x + y ) ⇔ x3 + y 3 = 2 3 3 (3) Ta có (2) ⇔ 2 x5 + 2 xy = ( x + y ) ( x 4 + y 4 ) = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇒ 2x5 + ( x3 + y 3 ) xy = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y ⇔ 2 x5 + x 4 y + xy 4 = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y ⇔ x 5 = y 5 ⇔ x = y. Thế vào (3) ta được 2 x 3 = 2 ⇔ x 3 = 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ đã cho. Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Câu 8: [Trích đề thi thử trường chuyên Quốc Học Huế - Lần 1 – 2015]  x 2 + 4 y ( x − 5 ) − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y Giải hệ phương trình  4 y ( x − 4 ) + x = 2 x − 1 Lời giải: x ≥ 1 ĐK:  (*) y ≥ 0 Khi đó (1) ⇔ x 2 + 4 xy − 20 y − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y . Ta có (2) ⇔ 4 xy − 16 y + x = 2 x − 1 ⇔ 4 xy = 16 y − x + 2 x − 1 ( ) ⇒ x 2 + 16 y − x + 2 x − 1 − 20 y − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y ⇔ x 2 + 2 x − 1 = 4 y 2 + 4 y + 1 + 2 2 y ⇔ x 2 + 2 x − 1 = ( 2 y + 1) + 2 2 ( 2 y + 1) − 1 ⇔ f ( x ) = f ( 2 y + 1) (3) 1 > 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) . t −1 Kết hợp với f ( t ) liên tục trên [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến trên [1; +∞ ) . Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 2 t − 1 với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t + Do đó (3) ⇔ x = 2 y + 1 ⇔ 2 y = x − 1. Thế vào (2) ta được 2 ( x − 1)( x − 4 ) + x = 2 x − 1 ⇔ 2 x 2 − 9 x + 8 = 2 x − 1 ⇔ 2 ( x − 2) = x − 2 x −1 = x −1 − 2 x −1 + 1 = 2 ( ) x −1 + 1 2 ( x − 2 ) 2 = x − 1 + 1  x − 1 = x 2 − 2 2 − 1 ⇔ ⇔ ( 2 − x ) 2 = x − 1 + 1  x − 1 = − x 2 + 2 2 − 1 • TH1. x 2 − 2 2 −1 ≥ 0  x −1 = x 2 − 2 2 −1 ⇔   x − 1 = x 2 − 2 2 − 1 ( ) 2  5+2 2 3+ 2 2 x 2 ≥ 1+ 2 2 ⇔ 2 ⇔x= ⇒y= . 2 4 2 x − 9 + 2 2 x + 10 + 4 2 = 0 ( • TH2. ) − x 2 + 2 2 − 1 ≥ 0  x −1 = −x 2 + 2 2 −1 ⇔   x − 1 = − x 2 + 2 2 − 1 ( ) 2  5−2 2 3− 2 2 x 2 ≤ 2 2 −1 ⇔ 2 ⇔x= ⇒ y= . 2 4 2 x − 9 − 2 2 x + 10 − 4 2 = 0 ( )  5 + 2 2 3 + 2 2   5 − 2 2 3 − 2 2   Đ/s: ( x; y ) =  ; ; ,   2 4   2 4    Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!