Tài liệu Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thanh Thúy CÁT TUYẾN TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thanh Thúy CÁT TUYẾN TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời mở đầu 1 Danh sách hình vẽ 4 1 Cát tuyến của tam giác 5 1.1 Khái niệm và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các tính chất của cát tuyến tam giác . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Cát tuyến đi qua trọng tâm tam giác . . . . . . . 11 1.2.2 Cát tuyến đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác 12 1.2.3 Các đường thẳng Gauss, Simson, Steiner . . . . . 13 1.2.4 Cát tuyến đi qua tâm Euler . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Đường thẳng Euler suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Các đường thẳng Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Các tính chất chung của đường thẳng Céva . . . . 23 1.4.2 Đường thẳng Céva và hàng điều hòa . . . . . . . 31 1.4.3 Đường thẳng Céva và diện tích tam giác . . . . . 33 Một số ứng dụng của các đường thẳng Céva . . . . . . . 35 1.5.1 Một số bài toán liên quan đến các cevian . . . . . 35 1.5.2 Một số bài toán liên quan đến độ dài các cevian . 36 1.5 2 Các đường thẳng Céva đặc biệt 41 2.1 Các đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Đường thẳng đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 48 Tính chất của đường thẳng đẳng giác . . . . . . . ii 2.2.2 Các bài toán liên quan đến các cevian đẳng giác . 51 2.3 Đường đối phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4 Các đường thẳng bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.1 Tính chất của đường thẳng bậc n . . . . . . . . . 58 2.4.2 Một số kết quả liên quan đến điểm Kn . . . . . . 60 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 1 Lời mở đầu Trong hình học phổ thông ta đã biết các đường thẳng của tam giác như đường cao, trung tuyến, đường phân giác,...thêm nữa là đường thẳng Euler, đường thẳng Simson. Luận văn này muốn nghiên cứu một cách hệ thống các cát tuyến đặc biệt trong tam giác, các tính chất có ích để hiểu biết hơn về tam giác. Ngoài ra luận văn cũng đề cập đến nhiều các ứng dụng, các bài toán nảy sinh khi nghiên cứu các cát tuyến trong tam giác. Mục đích của đề tài là 1. Trình bày các cát tuyến Céva, tức các bộ ba đường thẳng đi qua đỉnh và đồng qui và một số cát tuyến đặc biệt của tam giác. 2. Từ các khái niệm, tính chất của các cát tuyến xây dựng được các hệ thức liên quan trong tam giác, đây là những hệ thức ít được trình bày chi tiết trong các sách giáo khoa Hình học hoặc giáo trình Hình học sơ cấp. 3. Ứng dụng được các khái niệm, tính chất, hệ thức thu được để hiểu biết thêm về Hình học tam giác và giải các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Nhiều phần còn có ý tưởng sáng tạo các bài toán mới. Phạm vi của đề tài là phát triển kiến thức hình học phẳng trong Hình học sơ cấp, đặc biệt chú ý đến các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước và Quốc tế, các bài thi vào Trung học phổ thông chuyên và các đề thi Đại học. Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn được chia làm hai chương. 2 Chương 1 dành để trình bày những kết quả của Hình học sơ cấp nói chung, chủ yếu là các định lý: Menélaus, Céva, các hệ quả, các tính chất chung của cát tuyến trong tam giác. Nội dung ứng dụng của các đường thẳng Céva cũng được trình bày song song với nội dung lý thuyết. Chương 2 với tiêu đề "Các đường thẳng Céva đặc biệt" trình bày chi tiết về các đường đối trung, đường thẳng đẳng giác, đường đối phân giác và đường thẳng bậc n. Mỗi chương đều có phần giới thiệu chung về lý thuyết cần dùng đến trong chương. Nội dung nào đã có thì nêu tài liệu trích dẫn, nội dung nào mới thi được tác giả chứng minh chi tiết và chặt chẽ. Ý tưởng đó được tác giả lưu ý trong suốt luận văn. Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thanh Thúy 3 Danh sách hình vẽ 1.1 Cát tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Định lý 1.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Đường thẳng Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Định lý 1.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Tính chất iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Tính chất v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Tính chất 1.2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Tính chất 1.2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9 Đường thẳng Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.10 Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.11 Đường thẳng Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 Đường tròn Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.13 Định lý Van Aubel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.14 Định lý Van Aubel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.15 Mệnh đề 1.4.1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.16 Tính chất 1.4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.17 Tính chất 1.4.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.18 Mệnh đề 1.5.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1 Tính chất 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Tính chất 2.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Mệnh đề 2.1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Mệnh đề 2.1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 Tính chất 2.2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 2.6 Bài toán 2.2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7 Tính chất 2.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8 Tính chất 2.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.9 Tính chất 2.4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.10 Tính chất 2.4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.11 Mệnh đề 2.4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.12 Mệnh đề 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 Chương 1 Cát tuyến của tam giác 1.1 Khái niệm và các định lý cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Một đường thẳng cắt một hình gọi là cát tuyến của hình đó. Nếu hình là một đa giác thì cát tuyến có thể cắt không những cạnh mà còn cả trên phần kéo dài của các cạnh. Các định lý sau có thể coi là những tính chất đầu tiên của cát tuyến trong tam giác. Đã có rất nhiều phép chứng minh chúng, ở đây ta sẽ chọn phép chứng minh đơn giản nhất. Định lý 1.1.2. (Định lý Menélaus, Menélaus-Nhà toán học cổ Hy lạp, Thế kỷ I sau công nguyên) Nếu có một đường thẳng cắt các cạnh AB, BC, CA hay các cạnh kéo dài của một tam giác lần lượt ở các điểm C1 , B1 , A1 thì C1 A B1 C A1 B . . = 1. C1 B B1 A A1 C Chứng minh. Giả sử có cát tuyến C1 A1 B1 cắt các cạnh của ∆ABC. Vẽ đường thẳng P Q bất kỳ và từ các đỉnh của tam giác vẽ các đường thẳng song song với cát tuyến C1 A1 B1 , cắt P Q tương ứng tại các điểm 6 Hình 1.1: Cát tuyến A0 , B 0 , C 0 , gọi O là giao của (C1 B1 ) với (P Q). Theo định lý các đoạn thẳng bị chắn bởi các đường thẳng song song C1 A OA B1 C OC A1 B OB = ; = ; = . C1 B OB B1 A OA A1 C OC Sau khi nhân các đẳng thức trên vế với vế, ta có C1 A B1 C A1 B OA OC OB . . = . . = 1. C1 B B1 A A1 C OB OA OC Hệ thức Menélaus nói trên có thể viết dưới dạng tích các tỷ số đơn (C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = 1. Chú ý rằng, cát tuyến có thể cắt hoặc cả 3 cạnh kéo dài hoặc cắt hai cạnh và cạnh thứ ba kéo dài. Trong trường hợp thứ nhất, 3 tỷ số đều dương, trường hợp thứ hai, hai tỷ số âm và một tỷ số dương. Định lý 1.1.3. (Định lý Menélaus đảo) Nếu các điểm A1 , B1 , C1 tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho (C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = 1 thì ba điểm đó thẳng hàng. 7 Hình 1.2: Định lý 1.1.3 Chứng minh. Giả sử đường thẳng C1 A1 cắt CA tại D, khi đó theo định lý Menélaus ta có (C1 AB).(DCA).(A1 BC) = 1 Theo giả thiết, (C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = 1 chia 2 đẳng thức vế với vế, ta có (DCA) = 1. Vậy điểm D trùng với (B1 CA) điểm B1 . Định lý sau là một dạng tổng quát của định lý Menélaus. Mệnh đề 1.1.4. (Định lý Carnot) Một đường thẳng cắt các cạnh của đa giác (hay phần kéo dài) thì tích các tỷ số đơn tạo thành bằng 1. 8 Chẳng hạn với ngũ giác ABCDE, bị cắt bởi đường thẳng LM N P Q. Hình 1.3: Đường thẳng Carnot Vẽ đường thẳng XY bất kỳ và cắt đường thẳng đó bằng các đường thẳng song song với P Q xuất phát từ các đỉnh của đa giác. Khi đó ta có MB OB1 N C OC1 P D OD1 QE OE1 LA OA1 = ; = ; = ; = ; = . MC OC1 N D OD1 P E OE1 QA OA1 LB OB1 Sau khi nhân các đẳng thức trên vế với vế, ta có điều phải chứng minh, có thể viết dưới dạng tích các tỷ số đơn (M BC).(N CD).(P DE).(QEA).(LAB) = 1. Định lý 1.1.5. (Định lý Céva, Céva-Nhà toán học Ý, 1647-1734) Ba đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 của tam giác ABC đồng quy tại một điểm hoặc song song khi và chỉ khi C1 A B1 C A1 B . . = −1. C1 B B1 A A1 C 9 Hình 1.4: Định lý 1.1.5 Chứng minh. Ta chứng minh iv. và v. iv. Gọi A0 , B 0 , C 0 là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp, a, b, c là độ dài các cạnh và 2p là chu vi của tam giác thì A0 B B 0 C C 0 A p−b p−c p−a × × = −1. . . = − p−c p−a p−b A0 C B 0 A C 0 B Theo định lý Céva, 3 đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy, điểm đông quy đó gọi là điểm Gergaune, ký hiệu là J. Hình 1.5: Tính chất iv v. Gọi các tiếp điểm là K ∈ BC, F ∈ AC, L ∈ AB. Điểm F 0 là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh AB kéo dài. Ta có F A = AF 0 = BF 0 − BA = p − c. 10 Tương tự, F C = p − a, KC = p − b; KB = p − c; LB = p − a; LA = p − b nên F A KC LB F A KC LB (p − c)(p − b)(p − a) . . =− . . =− = −1. F C KB LA (p − a)(p − c)(p − b) F C KB LA Theo định lý Céva, các đường thẳng AK, BF, CL đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy đó gọi là điểm Nagel, ký hiệu là N . Hình 1.6: Tính chất v Từ định lý Céva suy ra các tính chất: ı. Ba trung tuyến tam giác đồng quy tại một điểm; ii. Ba phân giác trong của tam giác đồng quy tại một điểm; iii. Ba đường cao tam giác đồng quy tại một điểm; iv. Ba đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp và cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm (điểm Gergaune); v. Ba đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của 3 đường tròn bàng tiếp và cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm (điểm Nagel). 11 1.2 1.2.1 Các tính chất của cát tuyến tam giác Cát tuyến đi qua trọng tâm tam giác Tính chất 1.2.1.1. Nếu cát tuyến đi qua trọng tâm tam giác thì tổng các khoảng cách từ cát tuyến đến 2 đỉnh ở cùng một phía bằng khoảng cách tới đỉnh thứ ba hay tổng đại số các khoảng cách từ các đỉnh tam giác đến cát tuyến đó bằng không AA1 + BB1 + CC1 = 0. (1.1) Hình 1.7: Tính chất 1.2.1.1 Chứng minh. Giả sử cát tuyến d đi qua trọng tâm G của tam giác, A1 , B1 , C1 là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, B, C xuống cát tuyến. Từ trung điểm F của BC hạ F L⊥d. Do G là trọng tâm nên ta có AA1 AG = = 2. Từ hình thang BB1 C1 C ta suy ra 2LF = B1 B + C1 C. LF GF Vậy, AA1 = B1 B + C1 C. Như vậy, AA1 + BB1 + CC1 = 0. Tính chất 1.2.1.2. Trị số tuyệt đối của tổng các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến đường thẳng bất kỳ bằng 3 lần khoảng cách từ trọng tâm đến đường thẳng đó. Chứng minh. Vẽ qua trọng tâm một cát tuyến song song với đường thẳng sau đó áp dụng tính chất trên. 12 1.2.2 Cát tuyến đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác Tính chất 1.2.2.1. Giả sử cát tuyến d đi qua tâm đường tròn nội tiếp I và AA1 , BB1 , CC1 là các đường vuông góc hạ từ các đỉnh tam giác xuống d, với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. Khi đó, a.AA1 + b.BB1 + c.CC1 = 0. (1.2) Chứng minh. Xem các trang 49, 50 trong [8]. Tính chất 1.2.2.2. Cho d là cát tuyến bất kỳ của tam giác, A0 , B 0 , C 0 là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh tam giác xuống d. Khi đó |a.AA0 + b.BB 0 + c.CC 0 | = 2pρ, (1.3) trong đó ρ là khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp I đến d, 2p là chu vi tam giác. Hình 1.8: Tính chất 1.2.2.2 Chứng minh. Vẽ qua tâm I một đường thẳng d0 k d và hạ các đường vuông góc AA1 , BB1 , CC1 xuống đường thẳng d0 . Chú ý rằng A1 A0 = B1 B 0 = C1 C 0 = ρ ta có a.AA0 + b.BB 0 + c.CC 0 13 = a.(AA1 + A1 A0 ) + b.(BB1 + B1 B 0 ) + c.(CC1 + C1 C 0 ) = a.AA1 + b.BB1 + c.CC1 + a.A1 A0 + b.B1 B 0 + c.C1 C 0 = (a + b + c)A1 A0 . Từ đó có 1.3. Tính chất 1.2.2.3. Gọi m là tiếp tuyến tùy ý với đường tròn nội tiếp trong tam giác và dA , dB , dC là các đường vuông góc hạ từ các đỉnh tam giác xuống m. Khi đó, giá trị tuyệt đối của tổng đại số a.dA + b.dB + c.dC bằng 2 lần diện tích tam giác. Chứng minh. Xem các trang 48, 49, 50 trong [8]. Tính chất 1.2.2.4. Một cát tuyến bất kỳ đi qua tâm đường tròn nội tiếp và không đi qua đỉnh nào của tam giác định ra trên các cạnh (hay trên phần kéo dài) các đoạn thẳng mà tổng đại số các nghịch đảo bằng (a + b + c)2 . abc Chứng minh. Xem các trang 51, 52, 53 trong [8]. 1.2.3 Các đường thẳng Gauss, Simson, Steiner Áp dụng định lý cơ bản Menélaus và một số định lý sơ cấp ta lần lượt xét các đường thẳng đặc biệt của tam giác. a. Đường thẳng Gauss Mệnh đề 1.2.3.1. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi E = AB ∩ CD; F = AD ∩ BC. Khi đó các trung điểm M,N,P thứ tự của AC, EF, BD nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng Gauss. Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của BE, EC, BC. Khi đó do tính chất đường trung bình ta có các bộ ba điểm sau thẳng hàng (N, Y, X), 14 Hình 1.9: Đường thẳng Gauss (X, P, Z), (Z, M, Y ). Do N Y k F C nên theo định lý Thales FB NX = . NY FC Tương tự, MY AE = ; MZ AB PZ DC = . PX DE Từ đó suy ra NX MY P Z F B DC AE . . = . . = 1 do F, A, D thẳng hàng. NY MZ P X F C DE AB Theo định lý Menélaus, ba điểm M, N, P thẳng hàng. b. Đường thẳng Simson Một cát tuyến rất nổi tiếng với tên gọi đường thẳng Simson của tam giác. Ta xét bài toán sau. Chân các đường vuông góc hạ từ một điểm M bất kỳ nằm trên một đường tròn xuống các cạnh của tam giác nội tiếp, nằm trên một đường thẳng. 15 Hình 1.10: Đường thẳng Simson Gọi M là điểm trên đường tròn (O, R) ngoại tiếp tam giác ABC. Các điểm A1 , B1 , C1 là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh BC, CA, AB. Ta cần chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng. \ \ Các tam giác vuông M C1 B, M B1 C đồng dạng (vì M CB1 = M BC1 = 1\ M BA), do đó 2 BC1 MB = . (a) B1 C MC \ \ Từ ∆AB1 M ∼ ∆A1 BM (vì M BA1 = M AB1 ) nên AB1 MA = . A1 B MB \ \ Từ ∆M A1 C ∼ ∆M C1 A (vì M CB = M AB) nên CA1 MC = . C1 A MA (b) (c) Nhân các đẳng thức (a), (b), (c) vế với vế, ta có 1= MB MA MC BC1 AB1 CA1 C1 B B1 A A1 C . . = . . = . . . MC MB MA B1 C A1 B C1 A C1 A B1 C A1 B Theo định lý Menélaus ta có điều phải chứng minh. Cách khác: Lần lượt chứng minh các tứ giác BC1 M A1 , CB1 A1 M nội \ tiếp. Ta có ∆BM C1 ∼ ∆CM B1 nên BA1 C1 = B\ 1 A1 C. Suy ra A1 , B1 , C1 thẳng hàng. 16 Đường thẳng (A1 B1 C1 ) đó được gọi là đường thẳng Simson của tam giác ABC ứng với điểm M . Nhà toán học Lemoine bổ sung thêm vào định lý Simson, nêu hệ thức sau M A.M A1 = M B.M B1 = M C.M C1 , tức là tích khoảng cách từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp đến đỉnh tam giác và đến cạnh đối diện với đỉnh đó là một hằng số. Thật vậy, vì ∆M BC1 ∼ ∆M CB1 nên M B.M B1 = M C.M C1 . Tương tự, ∆AB1 M ∼ ∆M A1 B nên M B.M B1 = M A.M A1 . Vậy M A.M A1 = M B.M B1 = M C.M C1 = k 2 . Để xác định k 2 ta đặt d = M D = khoảng cách từ M đến đường thẳng Simson. Vì tứ giác AC1 M B1 nội tiếp được trong đường tròn đường kính M A, từ tam giác C1 M B1 ta có M C1 .M B1 = M A.M D và tứ giác ABM C nội tiếp đường tròn đường kính 2R, từ tam giác BM C ta có M B.M C = 2R.M A. Nhân 2 đẳng thức vế với vế M B.M B1 .M C.M C1 = M A.M A1 .2R.M D k4 = 2R.k 2 .d k2 = 2R.d . Vậy M A.M A1 = M B.M B1 = M C.M C1 = 2Rd. Phần đảo của định lý trên vẫn đúng, tức là: Nếu 3 điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng thì điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta còn ký hiêu M (ABC) là đường thẳng Simson ứng với điểm M và tam giác ABC. Các bài toán sau được giải trực tiếp nhờ áp dụng đường thẳng Simson. Bài toán 1.2.3.2. Cho tứ giác ABCD, AB ∩ CD = E; AD ∩ BC = F , đường tròn (BCE) cắt đường tròn (CDF ) tại M . Chứng minh rằng hình chiếu của ABCD lên AB, BC, CD, DA thẳng hàng.