Tài liệu Các phương pháp tính tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Phạm Thị Hồng Quyền CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2013 Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức cơ bản của tích phân 1.1 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm . 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Các tính chất của nguyên hàm . . . . . 1.2 Định nghĩa và các tính chất liên quan của tích 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Các tính chất của tích phân . . . . . . 1.2.3 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . 1.3 Các lớp hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các phương pháp tính tích phân 2.1 Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần . . . . 2.2 Một số phương pháp tính tích phân dưới dạng hiển . 2.2.1 Tích phân của hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . 2.2.2 Tích phân của hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . 2.2.3 Tích phân của hàm lượng giác . . . . . . . . . 2.3 Một số phương pháp tính tích phân đặc biệt . . . . . 2.3.1 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . . . . . 2.3.2 Tích phân đối với các hàm đặc trưng đặc biệt 2.3.3 Tích phân đối với hàm tuần hoàn . . . . . . . 2.3.4 Sử dụng các hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Một số ứng dụng của tích phân 3.1 Một số ứng dụng của tích phân trong đại số và giải tích . . . . . . . . 3.1.1 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh đẳng thức . . . . . . 3.1.2 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh bất đẳng thức . . . 3.1.3 Ứng dụng của tích phân trong các bài toán cực trị . . . . . . . 3.1.4 Ứng dụng của tích phân vào phương trình, bất phương trình . 3.1.5 Ứng dụng tích phân trong tính giới hạn của dãy số . . . . . . 3.1.6 Ứng dụng tích phân trong xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số 3.2 Một số ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . 6 6 6 7 7 7 8 9 10 11 . . . . . . . . . . 13 13 15 15 22 27 35 35 40 44 48 . . . . . . . . . . 53 53 53 56 60 63 70 71 74 74 77 3.3 3.2.3 Tính thể tích của một vật thể . . Một số ứng dụng của tích phân trong đời 3.3.1 Tính công và nhiệt lương . . . . . 3.3.2 Tính mô men quay và khối tâm . Kết luận . . . sống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 90 90 93 99 Tài liệu tham khảo 100 2 MỞ ĐẦU Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học. Các học sinh năm cuối của bậc trung học phổ thông và các sinh viên năm thứ nhất của bậc đại học thường gặp một số khó khăn trong việc học và ứng dụng của chuyên đề này. Những người mới làm quen với tích phân thường chưa hiểu cặn kẽ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết đặc biệt là khâu vận dụng các kiến thức vào giải các bài toán trong thực tế. Ngoài ra trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên toàn quốc thì các bài toán liên quan đến tích phân cũng hay đề cập đến và được xem như một dạng khó. Chính vì thế mà tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học. Để các em học sinh, sinh viên và bạn đọc mỗi khi giải các bài toán về tích phân không phải lúng túng khi đưa ra phương pháp giải thì tôi đã chọn cho mình luận văn với đề tài "các phương pháp tính tích phân và ứng dụng" nhằm phần nào giúp đỡ được người học định hình được cách giải một số bài toán một cách nhanh nhất. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương đề cập đến các vấn đề sau: Chương I. Kiến thức cơ bản của tích phân. Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn nhắc lại định nghĩa nguyên hàm, tích phân, một số định lý và đặc biệt khai thác một số tính chất của lớp hàm cần tính tích phân, công thức Newton-Leibniz, các lớp hàm khả tích, định lý về giá trị trung bình. Chương II. Các phương pháp tính tích phân. Ở chương này luận văn đề cập đến các phương pháp tính tích phân, từ các phương pháp đó vận dụng vào giải một số ví dụ minh họa. Ngoài ra ở chương này đã khai thác triệt để các lớp hàm đặc biệt để đưa các tích phân tính toán phức tạp, cồng kềnh về các tích phân tính toán đơn giản. Chương III. Ứng dụng của tích phân. Chương này được chia ra thành ba phần: ứng dụng của tích phân trong 3 đại số và giải tích, ứng dụng của tích phân trong hình học, ứng dụng của tích phân trong đời sống. 4 Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương pháp toán sơ cấp; Ban chủ nhiệm khoa Toán-tin; Phòng sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thái Học, thành phố Vĩnh Yên, tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả luận văn Phạm Thị Hồng Quyền 5 Chương 1 Kiến thức cơ bản của tích phân 1.1 1.1.1 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (xem [5]). Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kì U (một đoạn, môt khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong tập số thực). Hàm khả vi F trên U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất kỳ đó nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ U . Định lý 1.1 (xem [5]). Nếu trong khoảng bất kỳ U hàm f có nguyên hàm thì nó có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm của f trong U xác định sai khác nhau một hằng số cộng. Chứng minh Giả sử F là nguyên hàm của f trên U và C là một hằng số tùy ý. Khi đó (F (x) + C)0 = f (x) và F + C cũng là nguyên hàm của f . Nếu F và G là hai nguyên hàm của hàm f trên U và đặt H = F − G, thì H 0 (x) = F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0 với mọi x ∈ U , ta suy ra H là một hằng số C hay F = G + C. Định nghĩa 1.2 (xem [5]). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ UZ được gọi là tích phân không xác định của hàm f trên U và ký hiệu là f (x)dx. Z Giả sử F là nguyên hàm của hàm f trên U theo định lý (1.1), ta có f (x)dx = F (x) + C, C là hằng số tùy ý. 6 1.1.2 Các tính chất của nguyên hàm Từ định nghĩa của nguyên hàm ta có thể trực tiếp suy ra các tính chất sau đây.  Z f (x)dx = f (x)dx. Tính chất 1.1. d Z Tính chất 1.2. df (x) = f (x) + C, C là hằng số tùy ý. Tính chất 1.3. Với α, β là hai số thực bất kỳ, Z h Z Z i αf (x) + βg(x) dx = α f (x)dx + β g(x)dx. Z Tính chất 1.4. Nếu f (t)dt = F (t) + C thì Z 1 f (ax + b)dx = F (ax + b) + C với a 6= 0. a 1.2 1.2.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan của tích phân Định nghĩa Định nghĩa 1.3 (xem [5]). Giả sử hàm y = f (x) xác định trên đoạn [a, b]. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần bởi các điểm chia xo = a < x1 < x2 < · · · < xn = b. Ta gọi đó là phép phân hoạch P . Trên mỗi đoạn [xi , xi+1 ]; i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ta lấy một điểm ξi tùy ý. Ta nói phép chọn điểm ξi nói trên là phép chọn C . Kí hiệu ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . n − 1 và lập tổng Sn = n X ∆xi f (ξi ). (1.1) n=1 Khi ấy, nếu tồn tại lim n P max ∆xi →0 n=1 ∆xi f (ξi ) không phụ thuộc vào phép phân hoạch P và phép chọn C thì giá trị của giới hạn đó được gọi là tích Zb phân xác định của hàm số f (x) trên [a, b] và được kí hiệu là f (x)dx. a Hàm số f (x) được gọi là khả tích trên [a, b] theo Riemann. Xuất phát trực tiếp từ định nghĩa tích phân xác định, dễ dàng suy ra được một số tính chất cơ bản của nó. 7 1.2.2 Các tính chất của tích phân Ta xét các các đẳng thức sinh bởi tích phân. Tính chất 1.5. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] và mọi hằng số Zb Zb c ta có cf (x)dx = c f (x)dx. a a Tính chất 1.6. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] ta có Zb f (x)dx = − a Za f (x)dx. b Tính chất 1.7. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] ta có Za f (x)dx = 0. a Tính chất 1.8. Giả sử f (x) và g(x) khả tích trên đoạn [a, b], với ∀α, β ∈ R ta có Zb Zb Zb [α.f (x) + β.g(x)]dx = α f (x)dx + β f (x)dx. a a a Tính chất 1.9. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] và ∀c ∈ [a, b] ta có Zb Zc Zb f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Nhận xét 1.1. Với giả thiết f (x) khả tích trên [a, b] ta có Zb Zb f (x)dx = a f (t)dt. a Tiếp theo, ta xét một số dạng bất đẳng thức tích phân cơ bản. Tính chất 1.10. Giả sử hàmf (x) khả tích trên đoạn [a, b] khi đó Zb Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx ≥ 0. a 8 Zb Hơn nữa nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b] và a < b thì f (x)dx > 0. a Tính chất 1.11. Nếu f (x) và g(x) là các hàm khả tích trên [a, b] và Zb Zb f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] (a ≤ b) thì f (x)dx ≤ g(x)dx. a a Hơn nữa nếu f (x) < g(x) ∀x ∈ [a, b] (a < b) thì Zb Zb f (x)dx < a g(x)dx. a Tính chất 1.12. Nếu f (x) là hàm khả tích trên đoạn [a, b] (a ≤ b) thì  Zb  Zb   |f (x)| cũng khả tích trên đoạn đó và  f (x)dx ≤ |f (x)|dx. a a Việc nghiên cứu tích phân của một hàm số trên một đoạn nào đấy trước tiên ta cần kiểm tra điều kiện khả tích của nó. 1.2.3 Công thức Newton-Leibniz Việc tính tích phân xác định theo định nghĩa gặp những khó khăn nhiều khi không vượt nổi vì các tích phân của các hàm số rất cồng kềnh không dễ biến đổi để đưa về dạng thuận tiện cho việc tìm giới hạn. Cống hiến vĩ đại của Newton - Leibniz trong vấn đề này là đã đề ra được phương pháp tính tích phân của một hàm số dựa vào nguyên hàm của nó. Định lý 1.2 (Định lý Newton-Leibniz- xem [5]). Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của nó thế thì Zb f (x)dx = F (b) − F (a). (1.2) a Chứng minh. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ bởi các điểm a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Trên mỗi đoạn [xi−1 , xi ] với i = 1, 2, . . . n theo định lý Lagrange tồn tại một ξi sao cho F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ξi )(xi − xi−1 ) = ∆xi F 0 (ξi ) = ∆xi f (ξi ). 9 Cho i nhận lần lượt các giá trị tự nhiên từ 1 đến n và lấy tổng của n đẳng thức đó ta được n X F (b) − F (a) = ∆xi f (ξi ). (1.3) i=1 Vế trái là hằng số với mọi n vế phải là một tổng tích phân của hàm số f (x) trên [a, b]. Zb Cho n → ∞ và max ∆xi → 0 thì vế phải có giới hạn là f (x)dx. Vậy a F (b) − F (a) = lim max ∆xi →0 n X i=1 Zb f (x)dx. ∆xi f (ξi ) = (1.4) a Công thức (1.4) được gọi là công thức Newton-Leibniz. Nó không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm của hàm số f (x) vì nếu G(x) là nguyên hàm của f (x) thì ta có G(x) = F (x) + C, với C là một hằng số nào đó. Khi ấy G(b) − G(a) = (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a). Trong thực hành ta viết Zb b  f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a). a a 1.3 Các lớp hàm khả tích Định lý 1.3 (xem [5]). Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn đó. Định lý 1.4 (xem [5]). Nếu hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong [a, b] thì khả tích trong đoạn đó. Định lý 1.5 (xem [5]). Hàm f đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b] thì khả tích trên đoạn đó. 10 1.4 Các định lý về giá trị trung bình Định lý 1.6 (xem [5]). Nếu f : [a, b] → R là một hàm khả tích và M = sup f (x) trên đoạn [a, b], m = inf f (x) trên đoạn [a, b] thì tồn tại Zb một số µ: m ≤ µ ≤ M sao cho f (x)dx = µ(b − a). a Chứng minh. Ta có m ≤ µ ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Khi đó, theo tính chất Zb Zb Zb của tích phân mdx ≤ f (x)dx ≤ M dx a hay m(b − a) ≤ a Zb a f (x)dx ≤ M (b − a). a 1 Chọn µ = b−a Zb f (x)dx thì m ≤ µ ≤ M và a Zb f (x)dx = µ(b − a). a Hệ quả 1.1. Nếu f : [a, b] → R là một hàm liên tục thì tồn tại một số Zb c ∈ [a, b] sao cho f (x)dx = f (c)(b − a). a Chứng minh. Vì f liên tục trên đoạn [a, b] nên nó khả tích trên đoạn đó Zb theo định lý (1.6) tồn tại một số µ : m ≤ µ ≤ M và f (x)dx = µ(b − a). a Trong đó M = sup f (x) trên đoạn [a, b], m = inf f (x) trên đoạn [a, b]. Theo định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục trên một đoạn thì với m ≤ µ ≤ M sẽ tồn tại một số c ∈ [a, b] sao cho f (c) = µ. Zb Vậy f (x)dx = f (c)(b − a), với c ∈ [a, b]. a Định lý 1.7 (Định lý trung bình mở rộng - xem [5]). Giả sử f và g là các hàm khả tích trong đoạn [a, b] sao cho a) m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] và m, M ∈ R. b) g(x) không đổi dấu trên [a, b]. Zb Zb Khi đó tồn tại một số µ ∈ [m, M ] để cho f (x)g(x)dx = µ g(x)dx. a 11 a Chứng minh. Không giảm tính tổng quát ta xem a ≤ b và g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b]. Khi đó từ bất đẳng thức m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] suy ra mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x), ∀x ∈ [a, b]. Do đó Zb m g(x)dx ≤ a Zb f (x)g(x)dx ≤ M a Zb g(x)dx. a Zb g(x)dx = 0, thì ta có thể lấy µ là một giá trị tùy ý trong đoạn Nếu a [m, M ]. Zb Nếu g(x)dx 6= 0, khi đó theo tính chất của dấu bất đẳng thức của tính a Zb Zb chất (1.10) thì f (x)g(x)dx g(x)dx > 0, ta chọn µ= a a , thì m ≤ µ ≤ M Zb g(x)dx a Zb Zb f (x)g(x)dx = µ và có đẳng thức cần chứng minh a g(x)dx. a Các trường hợp khác chứng minh tương tự. Hệ quả 1.2. Giả sử f là hàm liên tục, g là hàm khả tích trong [a, b]. Hơn nữa nếu g không đổi dấu trong đoạn [a, b], thì sẽ tồn tại một điểm Zb Zb c ∈ [a, b] sao cho f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx. a a Thật vậy đặt m = inf f (x), M = sup f (x) khi đó theo định lý trung [a,b] [a,b] bình mở rộng tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho Zb Zb f (x)g(x)dx = µ a g(x)dx. a Vì f liên tục trên [a, b] nên tồn tại c ∈ [a, b] sao cho µ = f (c). Đó chính là điều phải chứng minh. 12 Chương 2 Các phương pháp tính tích phân 2.1 Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần A.Phương pháp đổi biến Zb Giả sử I = f (x)dx trong đó f là một hàm liên tục trong [a, b]. Giả a sử tồn tại một hàm số ϕ : [α, β] → [a, b] sao cho: a) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b và khi t biến thiên trong đoạn [α, β] thì x = ϕ(t) biến thiên liên tục từ a đến b. b) Tồn tại đạo hàm ϕ0 (t) liên tục trên đoạn [α, β]. Khi đó ta có công thức Zb Zβ I = f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt. (2.1) a α Đó là công thức đổi biến trong tích phân. Chứng minh. Giả sử F là một nguyên hàm của f trong đoạn [a, b], tức là F 0 (x) = f (x). Đặt Φ(t) = F [ϕ(t)] thì Φ(t) là nguyên hàm của hàm f [ϕ(t)]ϕ0 (t), vì Φ0 (t) = dF dx . = F 0 [ϕ(t)]ϕ0 (t) = f [ϕ(t)]ϕ0 (t). dx dt Theo công thức Newton-Leibniz ta có Zβ f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt = Φ(β) − Φ(α) = F [ϕ(β)] − F [ϕ(α)] α = F (b) − F (a) = Zb f (x)dx. a 13 Đó là điều phải chứng minh. Từ đó ta trình bày phương pháp đổi biến để tính tích phân Zb I= f (x)dx. a Ta thực hiện theo các bước sau đây. Bước hợp. Bước Bước Bước 1 : Chọn x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích 2 : Lấy vi phân dx = ϕ0 (t)dt. 3 : Tích cận α, β tương ứng theo a, b. 4 : Biểu thị f (x)dx theo t và dt (giả sử f (x)dx = g(t)dt). Zβ Bước 5 : Khi đó I = g(t)dt. α B. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u và v là các hàm khả vi liên tục trong đoạn [a, b]. Khi đó ta có [u(x).v(x)]0 = u0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x). Do đó u(x).v 0 (x) = [u(x).v(x)]0 − u0 (x).v(x) nên Zb u(x).v 0 (x)dx = a Zb [u(x).v(x)]0 dx − a Zb u0 (x).v(x)dx a b Z b  = u(x).v(x) − u0 (x).v(x)dx. a a Vậy ta có công thức tích phân từng phần của tích phân xác định Zb b Z b  uv 0 dx = uv  − u0 vdx. (2.2) a a a Zb Từ đó ta trình bày phương pháp tính tích phân từng phần I = f (x)dx. a Ta thực hiện theo các bước sau đây. 14 Bước 1 : Biến đổi tích phân ban đầu về dạng Zb I= Zb f (x)dx = a f1 (x)f2 (x)dx. a Bước 2 : Đặt u = f1 (x) suy ra du và dv = f2 (x)dx suy ra v Bước 3 : Khi đó b Z b  I = uv  − u0 vdx. a a Chú ý 2.1. Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau. 1. Lựa chọn cách đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. Zb 2. Tích phân u0 vdx được xác định một cách dễ dàng hơn so với I. a 2.2 2.2.1 Một số phương pháp tính tích phân dưới dạng hiển Tích phân của hàm hữu tỉ Để xác định các tích phân cuả hàm số hữu tỷ ta cần lựa chọn linh hoạt một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp tam thức bậc hai. 2. Phương pháp phân tích. 3. Phương pháp đổi biến. 4. Phương pháp tích phân từng phần. Sau đây chúng ta cùng đi xem xét từng phương pháp. Bài toán 2.1. Phương pháp tam thức bậc hai đối với hàm hữu tỉ. Phương pháp chung. Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc và Zdùng các công thức sau: 1 xdx = ln |x2 ± a| + C. (1) 1. 2 2 Z x ±a dx 1  x − a  2. = ln  + C. Với a 6= 0 (2) x 2 − a2 2a x + a Z1 Ví dụ 2.1. Tính tích phân I = xdx . x4 + 4x2 + 3 0 15 Lời giải. Ta có Z1 I= 0 xdx = x4 + 4x2 + 3 Z1 xdx 1 = (x2 + 2)2 − 1 2 0 Z1 d(x2 + 2) (x2 + 2)2 − 1 0 1  x2 + 2 − 1 1 1 3 = ln 2  = ln . 4 x +2+1 0 4 2 Bài toán 2.2. Phương pháp phân tích đối với hàm hữu tỉ. Phương pháp chung. Chúng ta đã biết phương pháp phân tích thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây để P (x) ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc. Trong mục phân tích Q(x) này chúng ta cũng đi xét đường lối chung một vài dạng tổng quát. Z để giải 2 x dx với a 6= 0. Dạng 1 : Tính tích phân bất định I = (ax + b)α Phương pháp chung. Sử dụng đồng nhất thức: i 1 2 2 1 1h 2 2 2 2 x = 2 .a x = 2 [(ax + b) − b] = 2 (ax + b) − 2b(ax + b) + b . a a a Ta được x2 1 (ax + b)2 − 2b(ax + b) + b2 = 2. (ax + b)α a (ax + b)α i 1 2b b2 1h − + . = 2 a (ax + b)α−2 (ax + b)α−1 (ax + b)α Khi đó Z Z Z 1h dx 2bdx b2 dx i I= 2 − + a (ax + b)α−2 (ax + b)α−1 (ax + b)α Z Z 2 Z 1h d(ax + b) 2bd(ax + b) b d(ax + b) i = 3 − + . a (ax + b)α−2 (ax + b)α−1 (ax + b)α Z3 Ví dụ 2.2. Tính tích phân I = x2 dx. (1 − x)39 2 Lời giải. Ta viết Z3 Z3 Z3 Z3 x2 1 2 1 I = dx = dx − dx + dx (1 − x)39 (1 − x)37 (1 − x)38 (1 − x)39 2 2 2 h 2 1 i3 2 1  = − +  36 37 38 2 36(1 − x) 37(1 − x) 38(1 − x) 16 i h1 1 2 1 2 1i − + − + + 36(−2)36 37(−2)37 38(−2)38 36 37 38 1 1 i 2737 1 3107 2737 1 h1 + + − = 36 . − . = 36 2 36 37 152 25308 2 50616 25308 Z dx Dạng 2 : Tính tích phân bất định In = với a 6= 0 và (ax2 + bx + c)n n nguyên dương. Phương pháp chung. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1 : Nếu n = 1. Ta xét ba khả năng của ∆ = b2 − 4ac. Khả năng 1 : Nếu ∆ > 0 khi đó  1 1 1 1 1  = = − . (ax2 + bx + c) a(x − x1 )(x − x2 ) a(x1 − x2 ) x − x1 x − x2 Do đó Z x − x   1 1  1 1  1 I= − dx = . ln  + C. a(x1 − x2 ) x − x1 x − x2 a(x1 − x2 ) x − x2 1 1 = . Khả năng 2 : Nếu ∆ = 0 khi đó (ax2 + bx + c) a(x − x0 )2 1 Do đó I = − + C. a(x − x0 ) Khả năng 3 : Nếu ∆ < 0 khi đó thực hiện phép biến đổi x = tan t với π π t ∈ (− , ). 2 2 b Trường hợp 2 : Nếu n > 1. Bằng phép biến đổi t = x + , ta được 2a Z 1 dt In = n . Tính tích phân này bằng phương pháp tích phân a (t2 + k)n từng phần. Z1 dx Ví dụ 2.3. Tính tích phân I = . x2 − x − 2 h = 0 Lời giải. Biến đổi 1 1 1  1 = − . x2 − x − 2 3 x − 2 x + 1 Khi đó Z1  1 1 1 1  1 1  1  I= − dx = ln |x − 2| − ln |x + 1|  = ln . 0 3 x−2 x+1 3 3 4 0 Z Dạng 3 :Tính tích phân bất định In = nguyên dương. 17 (λx + µ)dx với a 6= 0 và n (ax2 + bx + c)n λ λb Phương pháp chung. Phân tích λx + µ = (2ax + b) + µ − . 2a Z 2a Z λb dx λ (2ax + b)dx + (µ − ) . Khi đó In = (ax2 + bx + c)n 2a (ax2 + bx + c)n Z2a λ (2ax + b)dx a) Với Jn = . 2a (ax2 + bx + c)n Z λ λ (2ax + b)dx = ln |ax2 + bx + • Nếu n = 1, ta được J1 = 2 2a (ax + bx + c) 2a c| + C. • Nếu n > 1, ta được Z λ λ 1 (2ax + b)dx Jn = = − . + C. 2a (ax2 + bx + c)n 2a(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1 Z dx . Ta đã biết cách xác định trong dạng 2. b) Với Kn = 2 (ax + bx + c)n Z3 Ví dụ 2.4. Tính tích phân I = x3 dx. x2 + 2x + 1 0 Lời giải. Biến đổi x3 3x + 2 3 1 = x − 2 + = x − 2 + − . x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 1 x + 1 (x + 1)2 Khi đó Z3 h I= x−2+ i 3 9 1 − dx = 3 ln 4 − . x + 1 (x + 1)2 4 0 Chú ý 2.2. Tuy nhiên trong trường hợp tam thức ax2 + bx + c có ∆ > 0 (ta được hai nghiệm x1 , x2 ) chúng ta thực hiện phép phân tích: 1 A B  (λx + µ) = − . (ax2 + bx + c) a x − x1 x − x2 Z (a1 x2 + b1 x + c1 )dx Dạng 4 : Tính tích phân bất định I = với (x − α)(ax2 + bx + c) a 6= 0. Phương pháp chung. Ta xét ba khả năng của ∆ = b2 − 4ac. Khả năng 1 : Nếu ∆ > 0 khi đó ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). Khi đó a1 x2 + b1 x + c1 A B C = + + . Do đó ta phân tích 2 (x − α)(ax + bx + c) x − α x − x1 x − x2 18 Z  B C  A + + dx = A. ln |x − α| + B. ln |x − x1 | + I = x − α x − x1 x − x2 C. ln |x − x2 | + D. Khả năng 2 : Nếu ∆ = 0 khi đó ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 . a1 x2 + b1 x + c1 A B C Ta phân tích = + + . 2 + bx + c) 2 (x − α)(ax x − α x − x (x − x ) 0 0 Z h i B C A + + dx Do đó I = x − α x − x0 (x − x0 )2 = A. ln |x − α| + B. ln |x − x0 | − C + D. x − x0 Khả năng 3 : Nếu ∆ < 0 khi đó ta phân tích a1 x2 + b1 x + c1 A B(2ax + b) C = + + . 2 + bx + c) 2 + bx + c 2 + bx + c (x − α)(ax x − α ax ax Z h i A B(2ax + b) C + + dx Do đó I = x − α ax2 + bx + c ax2 +Zbx + c dx = A. ln |x − α| + B. ln |ax2 + bx + c| + C. . 2 ax + bx + c Z dx Trong đó được xác định bằng cách đổi biến x = tan t 2 + bx + c ax  π π với t ∈ − , . 2 2 Z P (x)dx với a 6= 0 và bậc của P (x) > 2. Tổng quát: I = (x − α)(ax2 + bx + c) Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1 : Thực hiện phép chia đa thức P (x) cho (x − α)(ax2 + bx + c) ta được P (x) a1 x2 + b1 x + c1 = Q(x) + . (x − α)(ax2 + bx + c) (x − α)(ax2 + bx + c) Z Z a1 x2 + b1 x + c1 Bước 2 : Khi đó I = Q(x)dx + dx. (x − α)(ax2 + bx + c) Z1 Ví dụ 2.5. Tính tích phân I = 3 2 x3 + 2x2 + 10x + 1 dx. x2 + 2x + 9 0 x + 2x + 10x + 1 1 2x + 2 = x + . Khi đó x2 + 2x + 9 2 x2 + 2x + 9 Z  Z1 3 1 2x + 2  x + 2x2 + 10x + 1 I= dx = x+ dx x2 + 2x + 9 2 x2 + 2x + 9 Lời giải. Biến đổi 0 19