Tài liệu Các phép toán của giải tích ngẫu nhiên thông qua mô hình black scholes ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ------------------oOo-------------------- NGUYỄN VĂN BÉ CÁC PHÉP TOÁN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN THÔNG QUA MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ : 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS.Dương Tôn Đảm Cán bộ chấm nhận xét 1:……………………………………………………………... Cán bộ chấm nhận xét 2:……………………………………………………………... Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa-ĐHQG-Tp.HCM. Ngày 30 tháng 12 năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm : 1………………………………………………………………………………………. 2………………………………………………………………………………………. 3……………………………………………………………………………………..... 4………………………………………………………………………………………. 5………………………………………………………………………………………. Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sữa chữa. CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ------------oOo------------ ------------oOo----------- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : Nguyễn Văn Bé MSHV: 12240563 Ngày,tháng,năm sinh : 06/10/1987 Nơi sinh: Cà Mau Chuyên ngành : Toán Ứng Dụng Mã số : 60 46 36 I.Tên đề tài : CÁC PHÉP TOÁN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN THÔNG QUA MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG : Dùng mô hình Black-Scholes định giá các hợp đồng Quyền Chọn Mua,Bán theo kiểu Châu Âu II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 7/07/2014 III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 7/12/2014 IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS.Dương Tôn Đảm TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS.Dương Tôn Đảm CHỦ NHIỆM BỘ MÔN PGS.TS.Nguyễn Đình Huy TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn TS.Dương Tôn Đảm. Người đã tận tình giảng dạy,hướng dẫn và cho nhiều ý kiến đóng góp quý báo để luận văn được hoàn thành. Em xin cảm ơn quý Thầy (Cô) trong bộ môn Toán ứng dụng,Trường Đại học Bách Khoa,đặc biệt Thầy PGS.TS.Nguyễn Đình Huy đã tận tình giúp đở em trong suốt thời gian học tập tại trường. Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại học,khoa Khoa học ứng dụng,Thư viện trường cùng quý Thầy (Cô),cán bộ công nhân viên trường Đại học Bách khoa đã giúp đở,tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian học tập tại trường,cũng như trong thời gian thực hiện luận văn. Cuối cùng, em xin cảm ơn đồng nghiệp,gia đình,bạn bè đã giúp đở,động viên,góp ý kiến trong suốt quá trình học tập và trong quá trình làm luận văn. TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 Nguyễn Văn Bé LỜI MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên là công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán trong lý thuyết xác suất thống kê,ứng dụng giải các bài toán kinh tế, tài chính,bảo hiểm,dự báo,các bài toán xã hội,…Đồng thời giải tích ngẫu nhiên, gắn với các quá trình ngẫu nhiên,với các biến động thị trường chứng khoán sự tăng lên hay giảm xuống diễn ra theo quy luật ngẫu nhiên. Từ các vấn đề phát sinh trong tài chính cũng theo quy luật ngẫu nhiên, người ta mô hình lại bằng các mô hình toán học mô phỏng tính toán cho các quá trình dao động thị trường tài chính trong khoảng thời gian nhất định. Mô hình Black-Scholes được ứng dụng vào việc định giá tài sản không rủi ro trong thị trường tài chính với thời gian liên tục,cho Quyền Chọn Mua hoặc Quyền Chọn Bán thu lại lợi nhuận cho các nhà đầu tư tài chính trong giai đoạn hiện nay. Luận văn trình bày một số vấn đề của giải tích ngẫu nhiên ,áp dụng mô hình Black-Scholes để định giá các hợp đồng Quyền Chọn,luận văn gồm có 3 chương. Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, quá trình Martingale, Weiner,Poisson,Itô,… Chương 2: Trình bày các dạng của phương trình vi phân ngẫu nhiên,phương pháp giải,áp dụng mô hình Black-Scholes định giá các hợp đồng Quyền Chọn Mua,Bán cho các loại tài sản phi rủi ro trong tài chính. Chương 3: Trình bày quá trình ngẫu nhiên có nhảy, bài toán phương án đầu tư đáp ứng Nội dung chính của luận văn được trình bày tập chung ở chương 2,sử dụng các kiến thức giải tích ngẫu nhiên,mô hình Black-Sholes để giải quyết các bài toán trong tài chính. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn của tôi là công trình khoa học được viết bằng sự tìm tòi,nghiên cứu khoa học nghiêm túc của bản thân dưới sự hướng dẫn của TS.Dương Tôn Đảm.Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã tham khảo các tài liệu được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo.Các tài liệu, số liệu dùng trong luận văn có nguồn gốc rõ ràng. TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 Người cam đoan Nguyễn Văn Bé DANH MỤC KÍ HIỆU R Tập các số thực dương Rn Không gian n-chiều Cn Tập các hàm khả vi liên tục tới cấp n ( , F , P ) Không gian xác suất (, F , Ft , P ) Không gian xác suất được lọc P( A | F ) Xác suất có điều kiện của A đối với F L2 ( p ) Tập các đại lượng ngẫu nhiên bình phương khả tích theo p L2 ([a, b]) Tập các hàm thực bình phương khả tích trên đoạn [a,b] L2 () Tập các đại lượng bình phương khả tích theo độ đo Gauss l.i.m Giới hạn theo nghĩa trung bình h.c.c Hầu chắc chắn  (t ) Bước nhảy của  tại thời điểm t N (U , t ) Độ đo bước nhảy N (dt , dz ) Dạng vi phân của độ đo bước nhảy N (dt , dz ) Độ đo bước nhảy bù  Quá trình khả đoán (Predictable Stochastic Processes)  (U ) Độ đo Lévy t  f ( s,  )dWt Tích phân Wiener 0 SDE Phương trình vi phân ngẫu nhiên MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU LỜI CAM ĐOAN DANH MỤC KÍ HIỆU MỤC LỤC Chương 1:MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN…………..1 1.1 Quá trình ngẫu nhiên và đặc trưng của nó………………………………….1 1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô…………………………………………………..14 1.3 Công thức vi phân ngẫu nhiên Itô…………………………………………20 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN……………………...31 2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm……………………………………………..31 2.2 Một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên đặc biệt…………………….36 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính dạng tổng quát ………………………….41 2.4 Mô hình Black-Scholes định giá Quyền Chọn ……………………………46 Chương 3: QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CÓ NHẢY ………………………….72 3.1 Tích phân theo độ đo Poisson ………………………………………….....72 3.2 Vi tích phân Itô-Lévy ……………………………………………………..75 3.3 Bài toán phương án đầu tư đáp ứng ……………………………………....92 KẾT LUẬN ……………………………………………………………………….97 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………….98 PHỤ LỤC…………………………………………………………………………99 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 1 Chương 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên và đặc trưng của nó Cho (, F , P ) là không gian xác suất và X :   R là biến ngẫu nhiên, tức là  là tập hợp bất kỳ mà mỗi phần tử    đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên, F là   trường các tập con của  , P là độ đo xác suất trên không gian đo (, F ) . Quá trình ngẫu nhiên là tập hợp các đại lượng ngẫu nhiên X (t )  X (t ,  ) xác định trên cùng không gian xác suất (, F , P ) và phụ thuộc vào tham số t.Nếu cố định   , ta thu được hàm của biến t gọi là hàm chọn hay quỹ đạo của quá trình, t  X (t , ) . Quá trình ngẫu nhiên là tập hợp tất cả biến ngẫu nhiên biểu thị bởi thời gian,xét hai trường hợp thời gian rời rạc và liên tục. Quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc X  { X n , n  0,1,2,3,....} là tập đếm được của biến ngẫu nhiên, biểu thị bởi số nguyên không âm. Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục X  { X t ,0  t  } là tập không đếm được của biến ngẫu nhiên, biểu thị bởi số thực không âm. 1.1.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên a/. Cho (, F , P ) là một không gian xác suất, một quá trình X t , t  0 là một hàm hai biến X (t ,  ) xác định trên R    lấy giá trị trong R , và là một hàm đo được với   đại số tích BR  F ,trong đó BR là   đại số các tập Borel trên R  . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp {(t ,  )  R    : X (t ,  )  B} là một phần tử của   đại số tích BR   F ,   đại 2 số này là   đại số nhỏ nhất chứa các tập con có dạng [0, t ]  A với t  R  và A  F . b/. Khi cố định   ,thì ánh xạ riêng phần t  X (t , ) từ R   R gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X  { X t , t  0} ,ứng với yếu tố ngẫu nhiên  ấy. c/. Nếu X lấy giá trị trong không gian R n (n  0) thì ta có quá trình ngẫu nhiên n chiều. d/. Trong tài chính,các quá trình giá chứng khoán St ,giá trái khoán Pt ,giá sản phẩm phái sinh Ct ,…điều xem là các quá trình ngẫu nhiên. Hình 1.1 mô tả quỹ đạo hai quá trình ngẫu nhiên,trích dẫn từ tài liệu [9]. Hình 1.1 Quỹ đạo hai quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Hàm phân phối hữu hạn chiều Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên (QTNN) là hàm phân phối hữu hạn chiều  k  Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak )  P { (t j ,  )  Aj } , k  N j 1 3 Trong đó : t1 , t 2 ,..., t k  T ; A1 , A2 ,....., Ak là các tập Borel trong miền giá trị của quá trình ngẫu nhiên. Các phân phối hữu hạn chiều phải thoả mãn các điều kiện sau: 1/.Với các số cố định t1 , t 2 ,..., t k hàm Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) là phân phối đồng thời của k đại lượng ngẫu nhiên  (ti , ), i  1, k . 2/. Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) = Fti 1 ,ti2 ,....,tik ( Ai1 , Ai2 ,...., Aik ) với hoán vị i1 , i2 ,.., ik của các số 1,2,3,..., k 3/. Nếu X là miền giá trị của quá trình ta có: Ft1 ,t2 ,....,tk 1 ,tk ( A1 , A2 ,...., Ak 1 , X )  Ft1 ,t2 ,....,tk 1 ( A1 , A2 ,...., Ak 1 ) Các hàm phân phối hữu hạn chiều có thể cho bởi các hàm mật độ f t1 ,t2 ,....,tk ( x1 , x2 ,...., xk ) bằng hệ thức Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak )   .....  f t1 ,....,tk ( x1 ,...., xk ) dx1..dxk . A1 Ak Định lý [1] (Kolmogorov) Cho hàm Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) xác định với mọi t1 , t2 ,..., tk  T ; A1 , A2 ,....., Ak  B ( X ) ( B ( X ) là   trường đại số các tập Borel trong không gian Euclide hữu hạn chiều X ). Khi đó để tồn tại một QTNN  (t ,  ) nhận các hàm Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) là phân phối hữu hạn chiều thì điều kiện cần và đủ là chúng thoả mãn điều kiện 1,2,3. Ví dụ 1: Xét quá trình ngẫu nhiên X (t )  Vt 2 (t  0) với V là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối điều trên đoạn [0,3] . 4 0  Ta sẽ có hàm phân phối F1 ( x / t )  1x / 3t 1  x0 0  x  3t x  3t Suy ra hàm mật độ của X (t ) 0 f1 ( x / t )   2 1 / 3t x  (0,3t 2 ) x  (0,3t 2 ) Ví dụ 2: [4] Cố định x  R xác định hàm | x  y|  1 p(t , x, y)  e 2t , y  R , t  0 2 t Với 0  t1  t2  ....  tn xác định độ đo xác suất Pt1 .... t n Pt1 .....tn ( B1  .....  Bn )   (1.1) .....  p(t1 , x, x1 ) p (t2  t1 , x1 , x2 ).... p(t n  tn1 , xn1 , xn ) dx1....dxn B1......  Bn Do đó tồn tại một không gian xác suất (, F , P x ) và một quá trình ngẫu nhiên Wt trên  sao cho các phân bố hữu hạn chiều cho bởi (1.1), tức là: Pt1 .....tn (Wt1  B1 ,.....,Wtn  Bn )   B1...... .....  p(t1 , x, x1 ) p(t2  t1 , x1 , x2 ).... p(tn  t n1 , xn1 , xn ) dx1....dxn  Bn Wt là quá trình Wiener xuất phát từ x . 1.1.3 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc a/ Một họ các  -trường con ( Ft , t  0) của F , Ft  F gọi là bộ lọc thoả mãn các điều kiện thông thường nếu : 5 (i).Đó là họ tăng theo t, tức là Fs  Ft nếu s  t (ii).Họ đó là liên tục phải, tức là Ft  F t   0 (iii).Nếu A  F và P ( A)  0 thì A  F0 nên A  Ft . b/ Cho một quá trình ngẫu nhiên X  ( X t , t  0) .Ta xét  -trường Ft X sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X s với s  t : Ft X   ( X s , s  t ) ,  -trường này chứa mọi thông tin về X cho đến thời điểm t . Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X , hay còn gọi là trường thông tin về X . c/ Một không gian xác suất (, F , P ) trên đó người ta gắn thêm vào bộ lọc Ft được gọi là không gian xác suất được lọc và kí hiệu là (, F , Ft , P ) . 1.1.4 Martingale thời gian rời rạc Định nghĩa Cho một quá trình ngẫu nhiên X  X t (t  0) thích nghi với bộ lọc Ft với mọi t ,thì X t  Ft . Dãy X t thuộc Lp với mọi t, tức là E | X t | p   Dãy X t  L1 gọi là Martingale đối với bộ lọc Ft nếu nó tương thích với Ft với mọi 0  s  t , thì E ( X t | Fs )  X s Dãy X t  L1 gọi là supermatingale đối với Ft nếu nó tương thích với dãy Ft với mọi 0  s  t , thì E ( X t | Fs )  X s 6 Dãy X t  L1 gọi là submatingale đối với Ft nếu nó tương thích với dãy Ft với mọi 0  s  t , thì E ( X t | Fs )  X s Ví dụ 1: Cho dãy σ-trường tăng Ft và giả sử X là một ĐLNN X  L1 . Đặt X t  E ( X | Ft ) . Khi đó với 0  s  t do tính chất của kỳ vọng có điều kiện E  Xt | Fs   E  E  X | Ft  | Fs   E  X | Fs   X s . Ví dụ 2: Cho {Wt , t  0} là một quá trình có gia số độc lập và có số gia Wt  Ws có phân phối N (0, t  s) .Khi đó Wt 2  t là Martingan đối với FtW ( Kí hiệu đơn giản là Ft ) .Với mọi 0  s  t E (Wt 2  t | Fs )  E (Ws2  2Ws (Wt  Ws )  (Wt  Ws ) 2 | Fs )  Ws2  2Ws E (Wt  Ws ) | Fs )  E ((Wt  Ws ) 2 | Fs )  Ws2  0  t  s  t  Ws2  s Tính Chất 1/.Hàm số E ( X t ), t  0 sẽ bằng : -Hằng số nếu X t là Martingale -Không tăng nếu X t là Martingan trên -Không giảm nếu X t là Martingale dưới 2/.Điều kiện cần và đủ để X t là Martingale trên (dưới) thành Martingale là kỳ vọng của nó là hằng số trong miền xác định. 3/.Nếu X t1 , X t2 là hai Martingale với cùng một họ   trường ( Ft , t  0 ).Khi đó 7 aX t1  bX t2 , (a, b  R ) cũng là Martingale 4/.Nếu X t , t  0 là Martingale với một họ   trường ( Ft , t  0 ).Nếu f là hàm lồi dưới sau cho Ef ( X t ) tồn tại khi đó f ( X t ), t  0 là Martingale dưới. 5/.Phân tích Doob-Meyer Nếu X t , t  0 là Martingale dưới đối với một họ   trường ( Ft , t  0 ) và liên tục phải theo t thì X t có thể phân tích dưới dạng X t  M t  X t* trong đó M t là một Martingale đối với { Ft , t  0 } liên tục phải và X t* là một quá trình tăng thích nghi với Ft . 1.1.5 Quá trình Wiener 1.1.5.1 Định nghĩa Một quá trình ngẫu nhiên Wt (t  0) gọi là chuyển động Brown hay quá trình Wiener nếu nó thoả mãn tính chất sau: (i) . W0  0 (h.c.c). (ii) . Với mọi 0  t0  t1  ....  tn có số gia Wt1  Wt0 ,Wt2  Wt1 ,........,Wtn  Wtn1 là các biến ngẫu nhiên độc lập. (iii). Nếu 0  s  t , số gia Wt  Ws có phân phối chuẩn (Gauss) N (0, 2 (t  s)) . (iv). Quá trình Wt là quỹ đạo liên tục. 8 Hình 1.2 Quỹ đạo quá trình Wiener Chú ý: Quá trình Wiener kí hiệu là Wt Quá trình Wiener tiêu chuẩn (  2  1 ) hay chuyển động Brown tiêu chuẩn kí hiệu là Bt 1.1.5.2 Tính chất a/. Wt là một Mactingale đối với FtW ( FtW   trường nhỏ nhất sinh bởi mọi Ws , s  t , còn gọi là lịch sử của W tính đến thời điểm t ). b/. Nếu Wt (t  0) là quá trình Wiener thì (i). E (Wt )  0 . t  R (ii). K (t , s)  cov(Wt ,Ws )  min( s, t )  t , s  R 9 Chứng minh (i). t  R, ta có Wt  W0  (Wt  W0 ), E (Wt )  E (W0 )  E (Wt  W0 )  0, vì E (W0 )  0 (theo định nghĩa) và E (Wt  W0 )  0 (theo định nghĩa) (ii). Đặt s, t  R và Cov(Wt ,Ws )  E (WW t s )  E (Wt ) E (Ws ) , theo (i) có Cov (Wt ,Ws )  E (WtWs ) mà E (WtWs )  E[Ws (Ws  (Wt  Ws ))]  E (Ws2 )  E[Ws (Wt  Ws )] Khi Wt (t  0) ,có số gia độc lập nên E[Ws (Wt  Ws )]  E (Ws ) E (Wt  Ws )  0 Cov (Wt ,Ws )  E (WtWs ) = E (Ws2 )  Var (Ws ) , phân tích Ws  W0  Ws  W0 ,  Var (Ws )  Var (W0  Ws  W0 )  Var (W0 )  Var (Ws  W0 )  0  s  0 Vậy có: K (t , s)  cov(Wt ,Ws )  s  min( s, t ) t , s  R c/. Wt tuân theo luật loga lặp P{lim sup t  P{liminf t  W (t )  1}  1 2t ln ln t W (t )  1}  1 2t ln ln t d/. Đặc trưng Lévy của quá trình Wiener Wt là một quá trình Wiener khi và chỉ khi : + Wt là một Mactingale, W0  0 h.c.c 10 + Wt 2  t là Mactingale (đối với FtW ) 1.1.5.3 [1] Xây dựng quá trình Wiener Phương pháp các hàm Haar Các hàm Haar trên đoạn [0 1] được xác định như sau : H1(t) 1, 0  t 1  1 H 2 (t )    1  0t  1 2 1  t 1 2 ………………………….. 2 /2  H2n 1(t)  2 /2 0  H2n  j (t)  H2n 1(t  0  t  2(n1) 2(n1)  t  2n 2n  t  1 j 1 ), 2n j 1,2,3...2n Các hàm Haar {H n (t )} tạo nên hệ trực chuẩn trên L2 [0,1] 11 Hình 1.3 Đồ thị hàm Haar 12 1.1.6 Quá trình Poisson 1.1.6.1 Quá trình đếm Một quá trình ngẫu nhiên ( N t , t  0) gọi là quá trình đếm hay điểm nếu N t biểu thị tổng số lần một biến cố nào đó xảy ra cho tới thời điểm t.Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gian liên tục,lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiên T0 , T1 , T2 ,... sao cho T0  0, 0  T1  T2  .... và lim Tn   n Khi đó có thể viết n t  [Tn , Tn 1 ], n  0 Nt    t    Hay Nt   n [ Tn ,Tn  1 ] n0 1.1.6.2 Quá trình Poisson Một quá trình đếm ( N t , t  0) gọi là quá trình Poisson nếu - N0  0 - ( N t , t  0) có số gia độc lập - Số biến cố xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào có độ dài t là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là t (  0) . Điều đó có nghĩa là t P{Nt s  Ns  n}  e (t)n , n  0,1,2,.... n! E ( Nt )  t ,   0 gọi cường độ của quá trình Poisson