Tài liệu Các metric vi phân kobayashi caratheodory và sibony

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ DUY BÌNH CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ DUY BÌNH CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY Ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Người viết Luận văn Lê Duy Bình Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học PGS.TS Phạm Việt Đức i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS. TS Phạm Việt Đức, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Người viết luận văn Lê Duy Bình ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . . . . . . 1.2 Giả khoảng cách Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory và Sibony 2 15 2.1 Metric vi phân Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Metric vi phân Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Metric vi phân Sibony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Mối quan hệ giữa các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory và Sibony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 iii Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 iv Mở đầu Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được S. Kobayashi đưa ra từ đầu những năm 70, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Trong giải tích phức các metric bất biến đóng một vai trò hết sức quan trọng, một số kết quả đã được chứng minh bởi S. Kobayashi, S.G. Krantz, S. Fu, J.E. Fornaess, I. Graham,.... Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy một hướng nghiên cứu mới về giải tích phức. Tuy nhiên, nhiều tính chất cơ bản của metric vi phân Kobayashi, Caratheodory và Sibony vẫn ít được biết đến. Mục đích chính của đề tài này là trình bày những kiến thức cơ bản của metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory và metric vi phân Sibony. Từ đó trình bày kết quả của Fornaess và Lee [2]. Nội dung của đề tài được chia làm 2 chương: Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản nhất về giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Caratheodory và không gian phức Hyperbolic. Các tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, Caratheodory. Chương 2 trình bày các khái niệm, tính chất, một số mối liên hệ của metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory và metric vi phân Sibony. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức Metric Bergman-Poincaré Metric Bergman-Poincaré trên đĩa đơn vị D và Dr được định nghĩa như sau: 4dzdz̄ ds2 = , 2 2 ∀z ∈ D (1 − |z| ) ds2r = 4r2 dzdz̄ (r2 , 2 2 − |z| ) ∀z ∈ Dr Khi đó, chuẩn của một vectơ tiếp xúc sinh bởi metric Bergman-Poincaré trên D và Dr được xác định bởi: Với z ∈ D (hoặc z ∈ Dr ) và v ∈ Tz D (hoặc v ∈ Tz Dr ) là vectơ tiếp xúc tại z , ta có 2|z|euc 1 − |z|2 2|z/r|euc = 1 − |z/r|2 |v|hyp,z = |v|hyp,r,z trong đó |v|hyp,z là chuẩn Euclide trên C Các chuẩn |v|hyp,z và |v|hyp,r,z được gọi là chuẩn hyperbolic trên D, Dr tương ứng. 2 1.1.2 Bổ đề (Schwarz-Pick) Giả sử f : D → D là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào chính nó. Khi đó: 1 |f 0 (z)| ≤ . 1 − |f (z)|2 1 − |z|2 Chứng minh. Lấy a cố định thuộc D. Đặt g(z) = z+a z − f (a) và h(z) = . 1 + āz 1 − f (a)z Khi đó g và h là các tự đẳng cấu của đĩa, biến 0 thành a và f (a) thành 0 tương ứng. Đặt F = h ◦ f ◦ g. Ta có f : D → D là chỉnh hình, F (0) = 0 và 1 − |a|2 0 f (a). F (0) = h (f (a))f (a)g (0) = 1 − |f (a)|2 0 0 0 0 Theo bổ đề Schwarz, ta có |F 0 (0)| ≤ 1 và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi F là tự đẳng cấu, tức là khi và chỉ khi f là tự đẳng cấu. Từ đó ta có |f 0 (z)| 1 ≤ . 1 − |f (z)|2 1 − |z|2 Bổ đề được chứng minh. 1.1.3 Khoảng cách Bergman-Poincaré Khoảng cách sinh bởi metric Bergman-Poincaré trên đĩa đơn vị D, ký hiệu là ρD được gọi là khoảng cách Bergman-Poincaré. Sử dụng định nghĩa 3 khoảng cách sinh bởi làm độ dài là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị mở D, ta có thể xác định công thức của khoảng cách Bergman-Poincaré như sau: Lấy a ∈ D, 0 < a < 1.Gọi z(t) = x(t) + iy(t), 0 ≤ t ≤ 1, là đường cong trong D nối điểm gốc 0 ∈ D với a ∈ D. Khi đó độ dài cung nối ứng với chuẩn hyperbolic sẽ thỏa mãn `= R1 0 = R1 ≥ Ra 0 o 0 |z (t)|hyp dt = 0 2 0 2 1/2 2(x (t) +y (t) ) 2 2 1−x(t) −y(t) 2dx 1−x2 R1 0 2|z 0 (t)| 2 dt 1−|z(t)| dt ≥ R1 0 2|x0 (t)| 2 dt 1−|x(t)| = ln 1+a 1−a . Điều này chứng tỏ rằng đoạn thẳng nối từ 0 đến a là đường nối ngắn nhất và ρD (0, a) = ln 1+a , 1−a khi đó khoảng cách Bergman-Poincaré là bất biến qua các phép quay, ta có ρD (0, a) = ln 1 + |a| , ∀a ∈ D, 1 − |a| Lấy hai điểm a, b ∈ D, phép biến đổi w = mà biến b thành 0 và biến a thành z−b 1−b̄z là một tự đẳng cấu của D a−b . 1−ab̄ Khi đó ta nhận được    a−b  1 +  1−b̄a    ρD (a, b) = ln  a−b  , ∀a, b ∈ D. 1 −  1−b̄a  1.1.4 Giả khoảng cách nội tại Gải sử X là một tập, giả khoảng cách d trên X là một hàm X × X với p, q, r ∈ R+ thỏa mãn các điều kiện: i) d(p, q) = 0, nếu p = q ; 4 ii) d(p, q) = d(q, p); iii) d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r). Giả sử X là một không gian tô pô với giả khoảng cách d. Trong X, lấy đường cong γ(t), a ≤ t ≤ b, độ dài L(γ) của đường cong γ bằng L(γ) = sup k X d(γ(ti−1 ), γ(ti )), i=1 trong đó supremum lấy theo tất cả các đoạn chia a = t0 < t1 < ... < tk = b của đoạn [a, b]. Ta định nghĩa di (p, q) = inf L(γ) là giả khoảng cánh nội tại di cảm sinh bởi giả khoảng cách d. 1.1.5 Định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X . Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D và X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy các điểm a1 , a2 , ..., ak của D và các dãy ánh xạ f1 , ..., fk trong Hol(D, X) thỏa mãn: fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k. Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ..., ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Ta định nghĩa dX (x, y) = inf α ( k X ) ρD (0, ai ), α ∈ Ωx,y i=1 5 , trong đó Ωx,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . k P Tổng ρD (0, ai ) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình i=1 α. 1.1.6 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi a, Định lý Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là: dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)), ∀x, y ∈ X. Hơn nữa, dX là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : D → X là giảm khoảng cách. Chứng minh. Tính giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi là hiển nhiên, vì nếu α là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm x và y trong X thì f ◦ α cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f (x), f (y) trong Y . Bây giờ ta chứng minh tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi. Lấy hai điểm x, y tùy ý trong X . Gọi α = {fi ∈ Hol(D, X), αi ∈ D, i = 1, ..., k} là dây chuyền chỉnh hình nối x với y trong X . Giả sử d0 là giả khoảng cách trên X có tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình từ D tới X . Ta chứng minh dX ≥ d0 . Gọi pi ∈ X, i = 0, ..., k là các điểm thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi 6 . Khi đó ta có: 0 d (x, y) ≤ k X 0 d (pi−1 , pi ) = i=1 k X 0 d (fi (0), fi (ai )) ≤ i=1 k X ρ(0, ai ). i=1 Theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có: d0 (x, y) ≤ dX (x, y). Vậy định lí được chứng minh. b, Định lí Đối với bất kì các không gian phức X, Y . Ta có: dX×Y ((x, y), (x0 , y 0 )) ≥ max{dX (x, x0 ), dY (y, y 0 )}, với mọi x, x0 ∈ X và mọi y, y 0 ∈ Y. Chứng minh. Vì phép chiếu π : X × Y → X là ánh xạ chỉnh hình nên π là giảm khoảng cách đối với các giả khoảng cách Kobayashi trên X × Y và trên X . Tức là ta có: dX×Y ((x, y), (x0 , y 0 )) ≥ dX (x, x0 ). Lý luận tương tự với phép chiếu π 0 : X × Y → Y ta có: dX×Y ((x, y), (x0 , y 0 )) ≥ dY (y, y 0 ). Vì vậy dX×Y ((x, y), (x0 , y 0 )) ≥ max{dX (x, x0 ), dY (y, y 0 )}. Chú ý: Gần đây S. Kobayashi đã chứng minh được bất đẳng thức ngược lại. Tức là ta có dX×Y ((x, y), (x0 , y 0 )) = max{dX (x, x0 ), dY (y, y 0 )}, 7 với mọi x, x0 ∈ X và mọi y, y 0 ∈ Y. c, Hệ quả Đối với đa đĩa Dn = D × ... × D, ta có: dDn ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) = max{dD (xi , yi )}. Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp n = 2. Theo định lí trên, với mọi x1 , x2 , y1 , y2 ∈ D, ta có dD×D ((x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ≥ max{dD (x1 , x2 ), dD (y1 , y2 )}. Ngược lại, vì D là thuần nhất đối với nhóm Aut(D), ta có thể giả thiết x1 = x2 = 0, và y1 = x, y2 = y với |x| ≥ |y|, tức là dD (0, x) ≥ dD (0, y). Xét ánh xạ f : D → D × D xác định bởi f (z) = (z, (y/x)z). Vì f là giảm khoảng cách ta có dD×D ((0, 0), (x, y)) = dD×D (f (0), f (x)) ≤ dD (0, x). Từ đó dD×D ((0, 0), (x, y)) ≤ max{dD (0, x), dD (0, y)}. Vậy ta có điều cần chứng minh. d, Định lí Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi dX : X × X → R là hàm liên tục. Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có |dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y) 8 với mọi xn , yn , x, y ∈ X . Do đó để chứng minh tính liên tục của dX ta chỉ cần chứng minh dX (yn , y) → 0 khi yn → y. +) Trường hợp 1: X là đa tạp phức. Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với Dn , n = dimX . Ta có: dDn ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) = max{dD (xi , yi ), i = 1, ..., n}. Vì U song chỉnh hình với Dm nên theo tính chất giảm khoảng cách Kobayashi ta có dU = dDm liên tục. Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → 0 khi yn → y . Vậy dX liên tục. +) Trường hợp 2: y là điểm kì dị. Theo định lí Hironaka về giải kì dị, tồn tại lân cận mở U của y trong X và ánh xạ chỉnh hình riêng, toàn ánh π : M → U , với M là đa tạp phức. Vì yn → y nên tồn tại lân cận compact tương đối V của y sao cho V ⊂ V ⊂ U và yn ∈ V . Do π là ánh xạ riêng nên π −1 (V ) là compact tương đối trong M . Vì vậy, tồn tại dãy {zn } ⊂ M sao cho π(zn ) = yn và zn → z ∈ M . Rõ ràng π(z) = y . Theo trường hợp 1,vì M là đa tạp phức, ta có dM (zn , z) → 0 khi n → ∞ Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) ≤ dM (zn , z) → 0, khi n → ∞ Vậy định lí được chứng minh. 9 1.2 1.2.1 Giả khoảng cách Caratheodory Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X . Hol(X, D) là tập các ánh xạ chỉnh hình f : X → D. Ta định nghĩa cX (p, q) = sup ρD (f (p), f (q)), f trong đó supremum được lấy theo tất cả các ánh xạ f ∈ Hol(X, D). Khi đó cX là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Caratheodory trên không gian phức X . 1.2.2 Định lý i) Nếu X và Y là hai không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X . Ta có cY (f (p), f (q)) ≤ cX (p, q), ∀f ∈ Hol(X, Y ). Ta có f : X → Y làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Caratheodory. ii) Nếu X = D thì giả khoảng cách Caratheodory cD trùng với khoảng cách Bergman-Poincaré ρD . Chứng minh. i) Được suy ra trực tiếp từ định nghĩa giả khoảng cách Caratheodory. ii)Theo bổ đề Schwarz-Pick, ta có cD ≤ ρD . Ngược lại, trong định nghĩa của giả khoảng cách Caratheodory ta xét dây chuyền chỉnh hình chỉ gồm ánh xạ đồng nhất IcD : D → D. Khi đó, với mọi p, q ∈ D ta có 10 cD (p, q) ≥ ρD (p, q). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1.3 1.3.1 Không gian phức hyperbolic Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X, tức là dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X. Nhận xét. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là bất biến song chỉnh hình. 1.3.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic a) Nếu X, Y là các không gian phức, thì X ×Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic. b) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic. c) Ví dụ + Đĩa Dr và đa đĩa Dm r là hyperbolic. + Một miền bị chặn trong Cm là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. + Cm không là hyperbolic, vì dCm ≡ 0. 11 1.3.3 Định lí Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì dX sinh ra tô pô tự nhiên của X. Chứng minh. Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pô đếm được, do đó nó metric hóa bởi định lý metric hóa Urưxơn. Vì vậy có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X. Ta phải chứng minh dX và ρ là so sánh được, tức là với {xn } ⊂ X ta có ρ(xn , x) → 0 ⇔ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞. Do dX liên tục nên từ ρ(xn , x) → 0 suy ra dX (xn , x) → 0 khi n → ∞. Ngược lại, giả sử dX (xn , x) → 0 mà ρ(xn , x) 9 0 khi n → ∞. Khi đó tồn tại s > 0 sao cho có dãy con mà các xn nằm ngoài ρ− cầu tâm x, bán kính s. Nối xn với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Gọi γ là ảnh của các trắc địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X. Xét hàm t → ρ(γ(t0 ), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho ρ(γ(t0 ), x) = s. Vậy điểm yn = γ(t0 ) nằm trên mặt cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ). Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , x) ≥ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞. Do tính compact địa phương, dãy {yn } có dãy con {ynk } hội tụ tới y thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s ( đối với metric ρ). Khi đó, dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0, mà y 6= x. Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là không gian hyperbolic 12 1.4 Hàm đa điều hòa dưới +) Giả sử D là miền trong C. Một C 2 − hàm h xác định trên D được gọi là điều hòa nếu ∂ 2h ∆ := 4 = 0 trên D. ∂z∂z +) Hàm u : D → [−∞, ∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau: i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {z ∈ D; u(z) < s} là tập mở với mỗi số thực s; ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h : G → R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u ≥ h trên ∂G thì u ≥ h trên G. Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau: Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D, cần và đủ là với mỗi điểm x ∈ D, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho Z2π 1 u(z) ≤ u(z + reit )dt với mọi r < r0 (z). 2π 0 +) Giả sử G là một tập con mở trong Cn . Một hàm ϕ : G → [−∞, ∞) được gọi là đa điều hòa dưới nếu i) ϕ là nửa liên tục trên và ϕ không đồng nhất với −∞ chỉ trên thành phần liên thông của G; ii) Với mỗi z0 ∈ G và a ∈ Cn mà a 6= 0, và với mỗi ánh xạ τ : C → Cn , τ (z) = z0 + az, hàm ϕ ◦ τ trên mỗi thành phần liên thông của τ − 1(G) ( là các miền trong C ) hoặc bằng −∞ hoặc là điều hòa dưới. 13 Trong không gian phức bất kì ta có định nghĩa: Giả sử X là một không gian phức. Một hàm đa điều hòa dưới trên X là một hàm ϕ : X → [−∞, ∞) thỏa mãn tính chất sau: Với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận mở U của x sao cho với mỗi ánh xạ song chỉnh hình h : U → V lên một không gian phức con đóng V của miền G ⊂ Cm nào đó và một hàm đa điều hòa dưới ϕ̄ : G → [−∞; ∞) sao cho ϕ| U = ϕ̄ ◦ h. 14