..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THU HẰNG
CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN
ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT
TRONG TAM GIÁC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THU HẰNG
CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN
ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT
TRONG TAM GIÁC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI
Thái Nguyên - 2016
i
Mục lục
Danh sách hình vẽ
iii
Danh sách ký hiệu
iv
Mở đầu
1 Các điểm và đường đặc biệt trong
1.1 Các điểm đặc biệt loại một . . . .
1.1.1 Điểm Gergaune . . . . . .
1.1.2 Điểm Nagel . . . . . . . .
1.1.3 Điểm Lemoine . . . . . . .
1.1.4 Tâm Euler . . . . . . . . .
1.2 Các điểm đặc biệt loại hai . . . .
1.2.1 Điểm Schiffler . . . . . . .
1.2.2 Điểm Engiabech . . . . . .
1.2.3 Điểm Feuerbach . . . . .
1.2.4 Điểm Brocard . . . . . . .
1.2.5 Điểm Fermat-Torricelli . .
1
tam
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
giác
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt
2.1 Các hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại
2.1.1 Phương pháp Van Aubel . . . . . . . .
2.1.2 Phương pháp Stewart . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương pháp Leibnitz . . . . . . . . .
2.1.4 Phương pháp véc tơ . . . . . . . . . .
2.1.5 Phương pháp tổ hợp các hệ thức . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
một
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
6
8
9
10
16
16
19
24
26
30
.
.
.
.
.
.
35
35
36
38
41
45
55
ii
2.2
2.3
Một số hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại hai
2.2.1 Hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach . . . .
2.2.2 Hệ thức liên quan đến điểm Brorcad . . . . .
2.2.3 Hệ thức liên quan đến điểm Fermat-Torricelli
Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Hình thành các bất đẳng thức trong tam giác
2.3.2 Một số đánh giá liên quan đến R, r và p . . .
2.3.3 Ứng dụng vào giải các bài toán đại số . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
60
60
62
63
63
66
67
Kết luận
72
Tài liệu tham khảo
73
iii
DANH SÁCH HÌNH VẼ
Stt Hình
Nội dung ..............................
Trang
1.
Hình 1.1
Điểm Gergaune
6
2.
Hình 1.2
Điểm Nagel
8
3.
Hình 1.3
Tâm Euler
11
4.
Hình 1.4
Tính chất i. (Euler)
12
5.
Hình 1.5
Tính chất ii. (Euler)
13
6.
Hình 1.6
Tính chất iii. (Euler)
13
7.
Hình 1.7
Điểm Feuerbach
14
8.
Hình 1.8
Điểm Schiffler
17
9.
Hình 1.9
Tính chất 1.2.1.4
19
10. Hình 1.10 Tính chất 1.2.2.2
20
11. Hình 1.11 Tính chất 1.2.2.3
21
12. Hình 1.12 Tính chất 1.2.2.6
22
13. Hình 1.13 Chú ý
23
14. Hình 1.14 Tính chất 1.2.3.2
25
15. Hình 1.15 Điểm Brocard
26
16. Hình 1.16 Tính góc Brocard
30
17. Hình 1.17 Điểm Fermat – Torricelli
32
18. Hình 2.1
Định lý Van Aubel
37
19. Hình 2.2
Định lý Steiwart
38
20. Hình 2.3
Khoảng cách OG
39
21. Hình 2.4
Khoảng cách IG
40
22. Hình 2.5
Công thức Leibnitz
41
23. Hình 2.6
Ứng dụng điểm Brocard
69
24. Hình 2.7
Ứng dụng điểm Fermat – Torricelli 70
iv
DANH SÁCH KÝ HIỆU
Stt Ký hiệu
Nội dung...............................
Trang
1.
G
Trọng tâm tam giác
39
2.
H
Trực tâm
45
3.
O
Tâm ngoại tiếp
39
4.
I
Tâm nội tiếp
40
5.
OA , OB , OC Tâm bàng tiếp
4
11. O9
Tâm Euler
10
6.
J
Điểm Gergaune
6
7.
N
Điểm Nagel
8
8.
L
Điểm Lemoine
9
9.
S
Điểm Schiffler
16
10. E
Điểm Engiabech
19
11. F
Điểm Feuerbach
24
12. Z
Điểm Brocard
26
13. X
Điểm Fermat
30
1
Lời nói đầu
Các điểm đặc biệt, các đường thẳng đặc biệt của tam giác là đề tài
gây hứng thú từ lâu đối với các nhà toán học bởi vì chính chúng có
nhiều tính chất hình học đẹp đẽ, được phát triển thành bộ phận quan
trọng trong "Hình học tam giác". Tính đến 3/09/2015, số điểm đặc biệt
trong tam giác được phát hiện đã lên tới hơn 8000 điểm, mang ký hiệu
X(i), i = 1, ..., 8000 (theo "Bách khoa toàn thư các tâm tam giác").
Luận văn chỉ hạn chế nghiên cứu một một số điểm đặc biệt và ứng
dụng của chúng để có được các hệ thức Hình học mới. Để tiện cho cách
trình bày chúng tôi tạm chia thành 2 loại điểm đặc biệt: Điểm đặc biệt
loại 1 gồm các điểm quen thuộc như trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp,
tâm ngoại tiếp, các tâm bàng tiếp, tâm Euler, điểm Gergaune, điểm
Nagel, điểm Lemoine. Điểm đặc biệt loại 2 gồm các điểm Schiffler, điểm
Engiabech, điểm Feurbach, điểm Fermat (hay gọi là điểm Torricenlli).
Theo chúng tôi với những điểm đặc biệt như vậy cũng đã đủ trình bày
các tính chất phong phú và các hệ thức Hình học mới trong tam giác.
Nhiều điểm ở đây đã được nói đến trong các cuốn sách, chẳng hạn [1],
[2], [9], [7]. Tuy nhiên các tài liệu này trình bày vẫn chưa đầy đủ, vả lại
các phép chứng minh của chúng tôi đi theo hướng khác, cách khai thác
tìm ra các hệ thức hình học được làm theo những phương pháp mới,
hiệu quả. Các ứng dụng của các hệ thức, các tính chất vào các bài toán
bất đẳng thức, giải phương trình góp phần làm phong phú nội dung của
Luận văn. Đó cũng là những điểm mới của luận văn.
2
Mục đích của đề tài là:
1. Nhắc lại và bổ sung các điểm đặc biệt trong tam giác theo cấu trúc
mỗi điểm được trình bày cơ sở định nghĩa, định nghĩa, các tính chất và
ứng dụng. Nội dung này được chia làm hai phần: Các điểm loại 1 và các
điểm loại 2.
2. Khai thác, phát hiện ra các hệ thức Hình học mới bằng các phương
pháp: phương pháp Van Aubel, phương pháp Stewart, phương pháp
Leibnitz, phương pháp tổ hợp các hệ thức.
3. Bước đầu nêu một số ứng dụng của các điểm đặc biệt và các hệ
thức tìm được để giải các bài toán về bất đẳng thức, các đánh giá liên
quan đến R, r, p và đặc biệt ứng dụng để giải các bài toán đại số.
Phạm vi của đề tài là xét một số các điểm đặc biệt trong tam giác,
nghiên cứu các tính chất hình học của chúng, đặc biệt chú ý đến các bài
toán thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước và Quốc tế, các bài thi
vào Trung học phổ thông chuyên và các đề thi Đại học. Ngoài phần mở
đầu và danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn được chia làm
hai chương.
Chương 1 dành để trình bày các điểm đặc biệt trong tam giác, chia
làm hai loại điểm đặc biệt. Trình bày chi tiết các tính chất của mỗi điểm.
Chương 2 với tiêu đề "Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt" giới
thiệu các hệ thức Hình học mới được phát hiện bằng các phương pháp
hiệu quả như đã nói ở trên. Các bài toán bổ sung với số lượng đáng kể
cũng góp phần làm cho nội dung luận văn thêm phong phú.
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận
được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải,
Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với
những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học,
quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại Học
Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến
3
thức quý báu,tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành chương trình đào tạo
Thạc sĩ, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016
Học viên
Nguyễn Thu Hằng
4
Chương 1
Các điểm và đường đặc biệt trong
tam giác
1.1
Các điểm đặc biệt loại một
Ngoài các điểm đặc biệt quen biết trong tam giác như trọng tâm G là
giao 3 đường trung tuyến, trực tâm H là giao 3 đường cao, tâm đường
tròn ngoại tiếp (tâm ngoại tiếp), tâm đường tròn nội tiếp (tâm nội tiếp)
ta xét thêm các điểm đặc biệt khác: các tâm bàng tiếp OA , OB , OC , điểm
Gergaune J, điểm Nagel N , điểm Lemoine L và tâm Euler O9 , mà ta sẽ
gọi chung là các điểm đặc biệt loại 1. Các đường đặc biệt sẽ được giới
thiệu cùng với các điểm có liên quan.
Nhắc lại về tâm các đường tròn bàng tiếp: Các phân giác của hai góc
ngoài một tam giác cắt nhau trên phân giác trong của góc thứ ba. Giao
điểm của hai phân giác các góc ngoài và phân giác trong của góc thứ
ba là tâm đường tròn tiếp xúc một cạnh của tam giác và các đường kéo
dài của 2 cạnh kia. Đường tròn đó gọi là đường tròn bàng tiếp. Mỗi tam
giác có 3 đường tròn bàng tiếp. Ta ký hiệu là các đường tròn (Oa , ρa ),
(Ob , ρb ), (Oc , ρc ) lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c
của tam giác. Ta có
SABC = SABOa + SACOa − SBCOa =
=
ρa (h + c − a)
= ρa (p − a)
2
c.ρa b.ρa a.ρa
+
−
2
2
2
5
với p là nửa chu vi tam giác ABC. Vậy ρa =
ρb =
S
,
p−b
ρc =
S
. Tương tự như vậy,
p−a
S
.
p−c
Tính chất 1.1.1. (Liên hệ giữa các bán kính)
i. Tích các bán kính đường tròn nội tiếp và bàng tiếp bằng bình phương
2
= rρa ρb ρc .
diện tích tam giác: SABC
ii. Tổng các nghịch đảo các bán kính đường tròn bàng tiếp bằng nghịch
1
1
1
1
đảo bán kính đường tròn nội tiếp: =
+ + .
r
ρ a ρb ρc
Chứng minh.
i. Ta đã biết SABC = pr. Theo lưu ý ở trên
SABC = ρa (p − a), SABC = ρb (p − b), SABC = ρc (p − c).
Ta suy ra
S 4 = pr.ρa (p − a).ρb (p − b).ρc (p − c) = S 2 .r.ρa .ρb .ρc .
2
Từ đó suy ra SABC
= rρa ρb ρc .
ii. Cũng từ SABC = pr, SABC = ρa (p − a), SABC = ρb (p − b), SABC =
ρc (p − c) ta suy ra
1
p 1
p−a 1
p−b 1
p−c
= ,
=
, =
, =
.
r
S ρa
S ρb
S ρc
S
Sau khi cộng các đẳng thức vế với vế
1
1
1
1
=
+ + .
r
ρa ρb ρ c
Tính chất 1.1.2. Đoạn thẳng từ đỉnh tam giác đến các tiếp điểm của
đường tròn bàng tiếp bằng nửa chu vi tam giác.
Chứng minh. Ta có AN = AB + BN = c + BK, AP = AC + CP =
b + KC. Vì AN = AP nên 2AN = b + c + BK + KC = b + c + a = 2p.
Suy ra AN = p.
6
Bài toán 1.1.3. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, cạnh huyền c
ta có các hệ thức
i. ρc = r + ρa + ρb ,
ρa .ρb
.
ii. r =
ρc
Bài toán 1.1.4. Chứng minh rằng trong tam giác vuông các bán kính
ab
ρa , ρb là nghiệm của tam thức f (x) = x2 − cx + .
2
a.ρb ρc
Bài toán 1.1.5. Chứng minh đẳng thức SABC =
.
ρ b + ρc
Sau đây ta sẽ nói về các điểm đặc biệt khác trong tam giác cùng các
tính chất của chúng.
1.1.1
Điểm Gergaune
Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.1.1. Các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp
điểm của đường tròn nội tiếp đồng quy tại một điểm.
Hình 1.1: Điểm Gergaune
Chứng minh. Gọi A0 , B 0 , C 0 là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp. Ta
có đẳng thức sau
A0 B B 0 C C 0 A
p−b p−c p−a
·
·
=
−
·
·
= −1.
p−c p−a p−b
A0 C B 0 A C 0 B
7
Theo định lý Céva, 3 đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy.
Định nghĩa 1.1.1.2. Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnh
tam giác với các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp được gọi là điểm
Gergaune, ký hiệu đó là điểm J.
Mệnh đề 1.1.1.3. Điểm Gergaune thỏa mãn hệ thức sau
−→
−→
−→
(p − b)(p − c)JA + (p − c)(p − a)JB + (p − a)(p − b)JC = ~0.
(1.1)
Chứng minh. Trước hết ta có bổ đề: Tam giác ABC, với mọi điểm M
SM AC
SM AB
SM BC
,y =
,z =
. Khi đó x + y + z = 1 và
ta đặt x =
SABC
SABC
SABC
−−→
−−→
−−→
xM A + y M B + z M C = ~0 (hệ thức Jacobi).
Thật vây, gọi A0 là giao điểm của M A và BC. Từ tính chất của tỷ
−−→ A0 C −−→ A0 B −−→
lệ thức M A0 =
MB +
M C. Nhưng do tính chất của tỷ số diện
BC
BC
tích và tỷ lệ thức
A0 C
SM A0 C
SM AC
A0 B
SM BC
=
=
⇒
=
A0 B
SM A0 B
SM AB
BC
SM AC + SM AB
−−→
⇒ M A0 =
−−→
−−→
SM AC
SM AB
.M B +
.M C.
SM AC + SM AB
SM AC + SM AB
(1.2)
Mặt khác
M A0
SM A0 B
SM A0 C
SM A0 B + SM A0 C
SM BC
=
=
=
=
MA
SM AB
SM AC
SM AB + SM AC
SM AC + SM AB
−−→
⇒ M A0 = −
−−→
SM BC
M A.
SM AC + SM AB
Từ (1.2) và (1.3) ta suy ra hệ thức Jacobi.
Chứng minh hệ thức (1.1). Ta có
SJAB
p − b SJAB
p−a
=
,
=
.
SJAC
p − c SJBC
p−c
Vậy,
SJAB (p − c) = SJAC (p − b) = SJBC (p − a) = T.
(1.3)
8
Suy ra
SJBC
x=
=
SABC
T
p−a
+
T
p−a
T
p−b
+
T
p−c
=
1
p−a
+
1
p−a
1
p−b
+
1
p−c
1
p−b
+
+
1 .
p−c
Tương tự,
y=
1
p−a
+
1
p−b
1
p−b
+
1 ,
p−c
z=
1
p−a
1 .
p−c
Áp dụng bổ đề trên ta suy ra điều phải chứng minh.
1.1.2
Điểm Nagel
Mệnh đề 1.1.2.1. Các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp
điểm của đường tròn bàng tiếp đồng quy tại một điểm.
Hình 1.2: Điểm Nagel
Chứng minh. Ký hiệu các tiếp điểm là K ∈ BC, F ∈ AC, L ∈ AB. Điểm
F 0 là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh AB kéo dài.
Ta có F A = AF 0 = BF 0 − BA = p − c. Tương tự, F C = p − a, KC =
p − b, KB = p − c, LB = p − a, LA = p − b nên
F A KC LB
F A KC LB
(p − c)(p − b)(p − a)
.
.
=−
.
.
=−
= −1.
F C KB LA
(p − a)(p − c)(p − b)
F C KB LA
Theo định lý Céva, các đường thẳng AK, BF, CL đồng quy tại một điểm.
Ta ký hiệu điểm đó là điểm N .
9
Định nghĩa 1.1.2.2. Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnh
tam giác với các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp được gọi là điểm
Nagel.
Chú ý 1.1.2.3. Mỗi đường thẳng AK, BL, CF chia chu vi tam giác làm
đôi. Thật vậy, AC + CK = b + (p − b) = p, CB + BL = a + (p − a) =
p, BA + AF = c + (p − c) = p.
Mệnh đề 1.1.2.4. Điểm Nagel N thỏa mãn hệ thức
−−→
−−→
−−→
(p − a)N A + (p − b)N B + (p − c)N C = ~0.
(1.4)
Chứng minh. Áp dụng Jacobi tương tự như điểm Gergaune.
1.1.3
Điểm Lemoine
Mệnh đề 1.1.3.1. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm
C1 , A1 , B1 tương ứng sao cho
b2 BA1
c2 CB1
a2
AC1
= 2,
= 2,
= 2.
C1 B
a A1 C
b B1 A
c
Khi đó, AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại một điểm L.
Chứng minh. Ta có
A1 B B1 C C1 A b2 c2 a2
.
.
= − 2 . − 2 . − 2 = −1.
a
b
c
A1 C B1 A C1 B
Theo định lý Céva ba đường thẳng đồng quy.
Định nghĩa 1.1.3.2. Điểm L nói trong mệnh đề trên được gọi là điểm
Lemoine của tam giác.
Điểm Lemoine chính là giao điểm của các đường đối trung nên còn
có tên gọi là điểm đối trung trong tam giác.
Mệnh đề 1.1.3.3. Điểm Lemoine L thỏa mãn hệ thức
−→
−→
−→
a2 LA + b2 LB + c2 LC = ~0.
(1.5)
10
Chứng minh. Áp dụng định lý Menélaus cho ∆ABA1 và cát tuyến (CLC1 )
ta có
C1 A CB LA1
.
=1
.
C1 B CA1 LA
C1 A
b2 CB
b2 + c2
Vì
= − 2,
ta có
=
a CA1
b2
C1 B
−−→
a2
LA1
a2 −→
=− 2
⇒ LA1 = − 2
LA.
b + c2
b + c2
LA
c2
BA1
= 2 ta có
Mặt khác, từ
A1 C
b
−−→
−−→
−−→ −→
−−→ −→
b2 BA1 = c2 A1 C ⇒ b2 (AA1 − AB) = c2 (A1 A + AC)
(1.6)
Suy ra
−−→
AA1 =
b2 −→
c2 −→
AB + 2
AC.
b2 + c2
b + c2
Ta rút ra hệ thức véc tơ
−→ −→
−→ −→
c2
b2
(
LB
−
LA)
+
(
LC − LA)
b 2 + c2
b2 + c2
−−→
−→
−→
⇔ (b2 + c2 )LA1 = b2 LB + c2 LC.
−−→ −→
LA1 − LA =
−→
−→
−→
Hay do có (1.6) a2 LA + b2 LB + c2 LC = ~0.
Chú ý 1.1.3.4. Từ hệ thức véc tơ (1.5) ta suy ra với mọi điểm M
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
a2 (M A − M L) + b2 (M B − M L) + c2 (M C − M L) = ~0.
Hay
1.1.4
−−→
−−→
−−→
−−→
(a2 + b2 + c2 )M L = a2 M A + b2 M B + c2 M C.
(V )
Tâm Euler
Định nghĩa 1.1.4.1. Trung điểm các đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trực
tâm của tam giác gọi là các điểm Euler.
Định lý 1.1.4.2. Chân các trung tuyến, chân các đường cao và các điểm
Euler nằm trên một đường tròn. Ta gọi đó là đường tròn Euler hay đường
tròn chín điểm, tâm đường tròn này gọi là tâm Euler, ký hiệu là O9 .
11
Hình 1.3: Tâm Euler
Chứng minh. Giả sử D, E, F là trung điểm của các cạnh của tam giác,
AK và BM là hai đường cao của tam giác, H là trực tâm. Ngoại tiếp
tam giác DEF bằng một đường tròn. Ta chứng minh rằng điểm K-chân
của đường cao hạ từ A, điểm Euler L-trung điểm của đoạn BH, nằm
trên đường tròn vừa vẽ.
Thật vậy, DK là trung tuyến của tam giác vuông BKA, xuất phát
từ đỉnh của góc vuông nên bằng nửa đường huyền
DK =
AB
AB
, EF =
, DK = EF .
2
2
Do đó hình thang DEKF cân và đường tròn đi qua ba đỉnh D, E, F của
hình thang đó, phải qua đỉnh thứ tư K.
Nối trung điểm L của BH, với trung điểm D của AB. Đường thẳng
[ = π , vì LE k CH, nên
DL k AK, đường thẳng DF k BC, vậy LDF
2
π
[
LEF = . Vậy có thể vẽ được đường tròn ngoại tiếp tứ giác EF DL và
2
đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua K và L. Cũng chứng minh
tương tự rằng đường tròn đi qua 4 điểm khác mà chúng ta khảo sát.
Định lý này được nhà toán học thiên tài người Thụy sĩ Léonard Euler
(1707-1783) công bố năm 1765 ở Petersbourg trong tập Kỷ yếu của Viện
hàn lâm Khoa học Nga.
12
Ta gọi trung điểm các đoạn thẳng thuộc các đường cao kẻ từ đỉnh
đến trực tâm của tam giác là các điểm Euler.
Tính chất của đường tròn Euler.
i. Tâm của đường tròn Euler nằm ở trung điểm đoạn thẳng nối trực
tâm với tâm đường tròn ngoại tiếp.
ii. Bán kính của đường tròn Euler bằng nửa bán kính đường tròn ngoại
tiếp.
iii. (Định lý Haminton) Các tam giác ABC, ABH, BCH, ACH trong
đó H là trực tâm ∆ABC có chung đường tròn Euler.
Chứng minh.
i. Thật vậy, tâm O9 của đường tròn chín điểm, nằm tại giao điểm các
đường thẳng góc dựng từ trung điểm của các đoạn thẳng KE và M F .
Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Tâm O9 của
đường tròn cần tìm phải nằm tại trung điểm cạnh bên OH của hình
thang M HOF và hình thang KHOE vì các đường thẳng góc vừa dựng
là các đường trung bình của các hình thang.
Hình 1.4: Tính chất i. (Euler)
ii. Nối điểm E với tâm đường tròn chín điểm O9 . Đường thẳng EO9
cắt đường cao AK tại điểm L.LE là đường kính đường tròn chín điểm.
Do hai tam giác O9 EO và O9 LH bằng nhau, nên OE = LH, và vì
LH = AL, nên OE = AL, vậy tứ giác ALEO là hình bình hành và
AO = LE, trong đó LE là đường kính đường tròn chín điểm và AO là
bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
13
Hình 1.5: Tính chất ii. (Euler)
iii. Định lý Haminton có thể phát biểu là đường tròn chín điểm của một
tam giác cũng là đường tròn chín điểm của tam giác mà hai đỉnh trùng
với các đỉnh của tam giác đã cho còn đỉnh thứ ba trùng với trực tâm
của tam giác đó. Trong tam giác AHB các điểm K và M là trung điểm
của các cạnh AH và BH (các điểm Euler của tam giác ABC). Điểm
E là chân đường cao BE (nó cũng là chân đường cao của tam giác cho
trước). Đường tròn chín điểm của tam giác ABC và ABH có ba điểm
chung K, M và E vậy trùng nhau.
Hình 1.6: Tính chất iii. (Euler)
14
Định lý 1.1.4.3. (Định lý Feuerbach) Đường tròn Euler tiếp xúc với
đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp.
Hình 1.7: Điểm Feubach
Chứng minh. Giả sử F OE là đường kính vuông góc với cạnh BC của
tam giác ABC, AE là phân giác đi qua điểm I. Hạ đường thẳng góc AK
xuống F E và O9 L xuống BC, ta có
OK = AA1 − OA0 = AH + HA1 − OA0
= 2OA0 + HA1 − OA0 = OA0 + HA1 = 2O9 L.
Tam giác AKF và tam giác IDX đồng dạng vì các cạnh tương ứng của
chúng thẳng góc với nhau. Vậy
DX
FK
DX
FK
=
hay 0
=
.
AK
IX
A A1
IX
Từ đó
IX.F K = A0 A1 .DX.
(1.7)
- Xem thêm -