Tài liệu Các đường thẳng bậc n của tam giác

.. .. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- TRẦN VĂN ĐÔNG CÁC ĐƯỜNG THẲNG BẬC n CỦA TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2020 3 Danh mục các hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 của đường thẳng đẳng giác Định lý Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2 , B2 , C2 thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các đường thẳng đẳng giác đồng quy . . . . . . . . . AH là đường thẳng đối trung xuất phát từ A . . . . Quỹ tích đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . Tứ giác điều hòa và đường đối trung . . . . . . . . . Hai đường đối song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường đối trung chia đôi cạnh đối song . . . . . . . . Đường đối trung ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ba đường đối phân giác AA2 , BB2 , CC2 . . . . . . . Quỹ tích các điểm K mà KN : KM = c−2 : b−2 . . . . Khoảng cách từ tâm đối phân giác đến các cạnh . . . DL = HE = F K = abc : (bc + ca + ab) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 .9 .10 .11 .14 .16 .17 .19 .20 .21 .23 .24 .25 .26 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Một số cát tuyến đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . sin α : sin β = cn−1 : bn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . Quỹ tích các điểm M mà M M2 : M M1 = cn−1 : bn−1 M F : P N : KD = an+1 : bn+1 : cn+1 . . . . . . . . . . Chuyển từ bậc n sang bậc n + 2 . . . . . . . . . . . Chuyển từ bậc n sang bậc n + 1 . . . . . . . . . . . Chia đoạn thẳng BC bởi D . . . . . . . . . . . . . . Chuyển từ bậc n sang bậc n + m . . . . . . . . . . . A1 B1 C1 là tam giác hình chiếu của M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 .28 .29 .32 .35 .36 .37 .40 .41 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 AD là đường đối trung của 4ABC . . . P thuộc đường thẳng cố định AM . . . AF đi qua trung điểm của HK . . . . . Ba đường thẳng AH, BN, CM đồng quy 4HIP và 4IKQ là các tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 .46 .47 .49 .50 .52 .53 .55 .56 .57 .58 .60 . . . . . Chứng minh đẳng thức (3.5) . . . . . . . Vẽ đường thẳng "một nửa" . . . . . . . . VN-TST 2001, bài 2 . . . . . . . . . . . . Thi chọn đội tuyển PTNK, 2010, TP. Hồ IMO shortlist 2003, bài 2 . . . . . . . . . USA-TST-2007, bài 5 . . . . . . . . . . . Thi toàn Liên bang Nga, 2010, bài 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.13 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 3.14 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round . . . . . . . . . . . . . . . .62 1 Mục lục Chương 1. Một số cát tuyến đặc biệt của tam giác 1.1. Các đường thẳng đẳng giác và đẳng cự . . . . . . . . . . 1.2. Các đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Các đường đối trung của tam giác . . . . . . . . . 1.2.2. Đường đối trung và đường đối song . . . . . . . . 1.2.3. Độ dài đường đối trung và đường đối trung ngoài 1.3. Các đường đối phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 .6 .13 .13 .18 .20 .22 Chương 2. Đường thẳng bậc n 27 2.1. Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.2. Chuyển đường thẳng n sang đường thẳng n + m . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.3. Tam giác hình chiếu và các đường thẳng bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Chương 3. Một số ứng dụng 44 3.1. Ứng dụng giải các bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 3.2. Ứng dụng giải các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic . . . . . . . . . . .54 Tài liệu tham khảo 65 2 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K11B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11B đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020 Tác giả Trần Văn Đông 3 Mở đầu 1. Mục đích của đề tài luận văn Các đường thẳng như trung tuyến, phân giác, đường đối trung. . . của tam giác đóng vai trò quan trọng trong hình học tam giác. Đó cũng chính là các trường hợp đặc biệt của đường thẳng bậc n của tam giác. Ngoài các đường thẳng bậc n đặc biệt đã biết còn có những đường thẳng nào khác? Các đường thẳng bậc n có những tính chất đặc trưng gì? Cách dựng chúng như thế nào? Có thể áp dụng chúng để giải các bài toán như thế nào?. . . Đó là lý do mà chúng tôi chọn đề tài "Các đường thẳng bậc n của tam giác". Mục đích của đề tài là: − Trình bày khái niệm về các đường thẳng đặc biệt đi qua các đỉnh của tam giác: Trung tuyến, đường đối trung, đường phân giác, đường đối phân giác. . . Các đường thẳng này đều có tính chất đặc trưng và liên quan đến các điểm đặc biệt trong tam giác. Tài liệu tham khảo chính ở đây là [2]. − Tổng quát hóa của các đường thẳng đặc biệt nói trên là các đường thẳng bậc n của tam giác. Từ các tính chất của đường thẳng bậc n có thể đưa ra cách dựng đường thẳng bậc n với n là số tùy ý. Các ứng dụng của đường thẳng bậc n rất phong phú, xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước và quốc tế. − Bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông có năng khiếu Toán, nâng cao và khai thác các chuyên đề hình học hay và khó, chưa được giới thiệu trong chương trình Hình học phổ thông, kể cả trong các giáo trình Hình học sơ cấp. 4 2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Dựa vào các tài liệu chính [1], [2] và [6], luận văn nhắc lại và bổ sung các định nghĩa, tính chất của các cát tuyến đặc biệt trong tam giác. Từ đó tổng quát hóa thành các đường thẳng bậc n của tam giác. Các bài toán dành cho học sinh giỏi được trình bày dưới dạng các ví dụ áp dụng của nội dung đề tài. Nội dung luận văn chia làm 3 chương: Chương 1. Một số cát tuyến đặc biệt của tam giác Trình bày một số đường thẳng đi qua đỉnh tam giác có những tính chất đặc biệt: đường thẳng đẳng giác, đường thẳng đẳng cự, đường thẳng đối trung cùng các tính chất đặc trưng của chúng. Mối liên hệ giữa các cát tuyến này và các đường thẳng quen thuộc được thể hiện qua các định nghĩa và các mệnh đề. Chương này bao gồm 3 mục sau (có tham khảo và chọn lọc trong [2], [6]): 1.1. Các đường thẳng đẳng giác và đẳng cự 1.2. Đường đối trung 1.3. Các đường đối phân giác Chương 2. Các đường thẳng bậc n Chương này là nội dung trọng tâm của luận văn. Các đường thẳng bậc n được tổng quát hóa từ các đường thẳng đã có: trung tuyến, đường đối trung, đường đối phân giác,. . . Ở đây cũng giới thiệu những đặc trưng chung của đường thẳng bậc n trong tam giác. Từ các tính chất đó lại đưa ra được cách dựng các đường thẳng bậc n và cách chuyển từ đường thẳng bậc n sang đường thẳng bậc n + 1, . . . Chương này có tham khảo, chọn lọc trong các tài liệu ([1], [3]) và bổ sung các ví dụ tường minh. Nội dung bao gồm 2.1. Định nghĩa và các tính chất 5 2.2. Chuyển đường thẳng bậc n thành đường thẳng bậc n + m 2.3. Tam giác hình chiếu và các đường thẳng bậc n Chương 3. Một số ứng dụng Có thể tách thành hai nội dung nhỏ: ứng dụng vào các bài toán hình học phổ thông và đề cập tới các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước và ngoài nước. Khi trình bày cách giải tác giả cố gắng làm rõ tính ưu việt của lời giải có ứng dụng các đường thẳng bậc n của tam giác. Nội dung bao gồm (tham khảo trong [3], [4]): 3.1. Ứng dụng vào giải các bài toán phổ thông 3.2. Các bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic các nước 6 Chương 1 Một số cát tuyến đặc biệt của tam giác Một đường thẳng cắt một hình gọi là cát tuyến của hình đó. Nếu hình là một đa giác thì cát tuyến có thể cắt không những các cạnh của hình mà còn cắt cả phần kéo dài của cạnh đó. Các trung tuyến, đường cao, đường phân giác trong,...là các ví dụ về cát tuyến trong tam giác. Chương này sẽ trình bày thêm một số cát tuyến đặc biệt khác đi qua đỉnh tam giác. 1.1. Các đường thẳng đẳng giác và đẳng cự d hai đường thẳng đi qua đỉnh O tạo với Định nghĩa 1.1. Cho một góc xOy, phân giác góc đó những góc bằng nhau, gọi là các đường thẳng đẳng giác đối với các cạnh của góc. Các đường thẳng đẳng giác có các tính chất sau: Tính chất 1.1.1. Với hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đẳng giác ta có tích khoảng cách từ hai điểm đó đến một cạnh góc bằng tích hai khoảng cách đến cạnh kia. Tính chất 1.1.2. Hai điểm bất kỳ trên 2 đường thẳng đẳng giác chiếu lên 2 cạnh góc tạo thành bốn điểm đồng viên. Chứng minh. Trên Hình 1.1 ta phải chứng minh M M1 .N N1 = M M2 .N2 . Từ sự đồng dạng của các tam giác vuông: 4OM1 M ∼ 4ON2 N ; 4ON2 N ∼ 4OM2 M 7 ta có: M M2 OM1 OM2 M M1 OM OM = = = ; = . N N1 ON N N1 ON2 ON ON1 Hình 1.1: Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 của đường thẳng đẳng giác Từ đó, M M1 .N N1 = M M2 .N N2 ; OM1 .ON1 = OM2 .ON2 (1.1) Đẳng thức đầu trong (1.1) chứng minh Ttính chất 1.1.1; đẳng thức thứ hai cho Tính chất 1.1.2 do tính chất của phương tích. Tâm đường tròn đi qua N1 , M1 , N2 , M2 là giao điểm của 2 đường trung trực đoạn thẳng M1 , N1 , M2 , N2 . Tính chất 1.1.3. Đường thẳng nối 2 hình chiếu trên các cạnh của góc của một trong hai điểm trên, vuông góc với đường nối đỉnh góc với điểm thứ hai. \ \ Chứng minh. Tứ giác OM1 M M2 nội tiếp được, ta có M 1 OM = M2 ON . Vì \ \ M 1 OM = M1 M2 M (các góc nội tiếp chắn cùng 1 cung trên đường tròn) nên \ M\ 1 M2 M = M2 ON và vì M2 M ⊥ OM2 ta suy ra: M1 M2 ⊥ ON . Tương tự, N1 N2 ⊥ OM . Tính chất 1.1.4. Mệnh đề đảo của Tính chất 1.1.1 cũng đúng. 8 Chứng minh. Giả sử ta có M M1 .N N1 = M M2 .N N2 (Hình 1.1) ta cần chứng minh các điểm M, N nằm trên các đường thẳng đẳng giác đối với các cạnh OX, Oy. M M1 M M2 \ = và M\ 1 M M 2 = N1 N N 2 . N N2 N N1 Vậy 4M1 M M2 ∼ 4N1 N N2 . Do đó, Theo giả thiết, M M2 M1 M2 M M1 = = N N2 N N1 N2 N1 (1.2) 0 0 \ \ \ Tiếp theo, OM 2 M1 = 90 − M M2 M1 = 90 − N N1 N2 . Ta lại có b chung và OM \ \ 4OM1 M2 ∼ 4ON1 N2 vì có góc O 2 M1 = ON1 N2 . Vậy, M1 M2 OM1 OM2 = = . N2 N1 ON2 ON1 (1.3) So sánh 2 đẳng thức (1.2) và (1.3) ta có OM1 OM2 M M1 M M2 = = = . ON2 ON1 N N2 N N1 Ta suy ra tứ giác OM1 M M2 và tứ giác ON2 N N1 đồng dạng. Do đó, các đường chéo OM và ON chia chúng thành các tam giác đồng dạng. Đặc biệt là \ \ 4OM1 M ∼ 4ON2 N và M 1 OM = N2 ON . Định nghĩa 1.2. Các đường thẳng đẳng giác đối với các góc của tam giác được gọi là các đường thẳng đẳng giác của tam giác. Ví dụ 1.1.1. Đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp với đỉnh tam giác thì đẳng giác với đường cao của tam giác xuất phát từ đỉnh đó. Chứng minh. Hiển nhiên với chú ý phân giác trong góc A đi qua điểm giữa cung BC. Tính chất 1.1.5. (Đinh lý Steiner (1796-1863)) Cho tam giác ABC, F, K là hai chân các đường đẳng giác từ đỉnh A. Khi đó ta có: BK BF c2 . = 2 CK CF b (1.4) 9 Hình 1.2: Định lý Steiner Chứng minh. Hình 1.2 Điều kiện cần. Giả sử AF và AK là các đường thẳng đẳng giác của tam giác ABC. Ta có SBAF AB.AF SBAF BF = và = . SKAC AK.AC SKAC KC Suy ra BF AB.AF = KC AK.AC Tương tự, xét diện tích các tam giác BAK và CAF : (1.5) SBAK AB.AK SBAK BK = ; = . SCAF AF.AC SKAC FC Suy ra BK AB.AK = . FC AF.AC Nhân vế với vế của đẳng thức (1.5) với đẳng thức (1.6) thì được AB 2 b2 BK.BF = = 2. F C.KC AC 2 c (1.6) (1.7) BK BF c2 Đẳng thức (1.7) có thể viết lại thành . = 2. CK CF b Điều kiện đủ. Giả sử hai đường AF, AK thỏa mãn (1.4). Gọi AF 0 là đường BK BF 0 c2 thẳng đẳng giác của AK. Theo kết quả phần thuận ta có . = 2 . Kết 0 CK CF b BF BF 0 hợp với hệ thức (1.7) ta được = , suy ra F 0 ≡ F (F, F 0 ở trong đoạn CF CF 0 BC). Từ đây ta nhận được cặp AF, AK là cặp đẳng giác của góc BAC. 10 F B.F C AF 2 Hệ quả 1.1.1. Ta có đẳng thức = hay viết dưới dạng tích các KB.KC AK 2 AF 2 . tỷ số đơn: (F KB).(F KC) = AK 2 Chứng minh. Ta coi AB và AC là các đường đẳng giác của tam giác 4F AK. Tính chất 1.1.6. Nếu 3 đường thẳng vẽ từ 3 đỉnh tam giác cắt các cạnh đối diện tại 3 điểm thẳng hàng thì các đường thẳng đẳng giác với chúng cắt các cạnh tam giác tại 3 điểm thẳng hàng. Chứng minh. Ký hiệu A1 , B1 , C1 là chân của các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 , nằm trên đường thẳng. Gọi AA2 , BB2 , CC2 là các đường thẳng đẳng giác tương ứng của AA1 , BB1 , CC1 . Theo Tính chất 1.1.5: CA1 .CA2 b2 AB1 .AB2 c2 BC1 .BC2 a2 = 2. = 2; = 2. BA1 .BA2 c CB1 .CB2 a AC1 .AC2 b Nhân vế với vế các đẳng thức đó ta có CA1 .CA2 .AB1 .AB2 .BC1 .BC2 = 1. BA1 .BA2 .CB1 .CB2 .AC1 .AC2 Theo định lý Menelaus đảo ta có A2 , B2 , C2 thẳng hàng. Hình 1.3: A2 , B2 , C2 thẳng hàng 11 Tính chất 1.1.7. Nếu các đường thẳng vẽ từ các đỉnh của tam giác đồng quy thì các đường thẳng đẳng giác với chúng cũng đồng quy. Chứng minh. Giả sử AM 0 , BM 0 đẳng giác với các đường thẳng AM, BM . Chiếu vuông góc các điểm M, M 0 lên các cạnh, lần lượt được các điểm: D, D0 , G, G0 , E, E 0 (Hình 1.4). Dựa trên tính chất các đường thẳng đẳng giác xuất phát từ A, ta có MD M 0 G0 = 0 0 MG MD Tương tự đối với các đường thẳng đẳng giác xuất phát từ B: MD M 0E 0 = 0 0 ME MD (1.8) (1.9) Chia vế với vế đẳng thức (1.8) và (1.10) ta có ME M 0 G0 = . M G M 0E 0 Hình 1.4: Các đường thẳng đẳng giác đồng quy Vậy các đường thẳng GM và G0 M 0 đẳng giác. Tính chất 1.1.8. Gọi A, B, C, D là 4 điểm trên một đường thẳng theo thứ tự [ \ đó. P là điểm sao cho AP B = CP D, P M là phân giác góc BP C, nói cách khác: P B, P C là hai đường thẳng đẳng giác của 4P AD. Khi đó 1 1 1 1 + = + MA MC MB MD (1.10) 12 Chứng minh. Ta có nhận xét sau: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm D thì ta luôn \[ sin BAD. sin ACB BD = . Thật vậy, có DC \ [ sin ADC. sin ABC \ \ sin ACB [ SABD AB.AD. sin BAD sin BAD. = = SADC \ \ sin ABC [ AD.AC. sin DAC sin ADC. Đặt AB = a, BM = b, CM = c, CD = d thì (1.10) tương đương với 1 1 1 1 + = + ⇐⇒ bd(a + b) = ac(c + d) (1.11) a+b c b c+d [ \ \ \ \ \ Bây giờ, đặt AP B = CP D = α; BP M =M P C = β; P AD = ϕ; P DA = γ; \ P M A = δ. Áp dụng nhận xét trên vào các tam giác 4P AM , 4P DM , 4P AD ta có: a sin α. sin β = , b sin β. sin ϕ c sin β. sin γ = , d sin δ. sin α c + d sin(α + β). sin ϕ sin ϕ = = . a+b sin(α + β). sin γ sin γ ac(c + d) sin α. sin δ. sin β. sin γ. sin ϕ = = 1. Đẳng thức đó tương đương bd(a + b) sin β. sin ϕ. sin β. sin α. sin γ với (1.10). Tính chất 1.1.8 được chứng minh. Từ đó, Định nghĩa 1.3. Hai điểm gọi là đẳng giác nếu các đường thẳng nối chúng với mỗi đỉnh của tam giác là những đường thẳng đẳng giác. Từ những kết quả trên ta có các tính chất sau của điểm đẳng giác: • Tích các khoảng cách từ các điểm đẳng giác đến mỗi cạnh của tam giác là hằng số. • Hình chiếu của các điểm đẳng giác của tam giác trên mỗi cạnh của nó nằm trên một đường tròn. Chứng minh. Ta chiếu các điểm đẳng giác M và M 0 lên các cạnh tam giác (Hình 1.4). Theo tính chất các đường đẳng giác AM, AM 0 thì D, D0 , G, G0 nằm trên một đường tròn, tâm đường tròn là trung điểm của M M 0 . 13 Theo tính chất các đường thẳng đẳng giác BM, BM 0 thì D, D0 , E, E 0 nằm trên một đường tròn, tâm đường tròn là trung điểm của M M 0 . Vậy 2 đường tròn trùng nhau và 6 hình chiếu của M, M 0 trên các cạnh của tam giác nằm trên một đường tròn. Định nghĩa 1.4. Hai điểm nằm trên cạnh của một tam giác, cách đều trung điểm cạnh đó gọi là các điểm đẳng cự. Hai đường thẳng nối đỉnh một tam giác với các điểm đẳng cự trên một cạnh đối diện, gọi là các đường thẳng đẳng cự. Các điểm và đường thẳng đẳng cự có tính chất sau: • Cho tam giác ABC và các cặp điểm đẳng cự: C1 và C2 ; B1 và B2 ; A1 và B2 . Nếu C1 , A1 , B1 thẳng hàng thì các điểm C2 , A2 , B2 cũng thẳng hàng. Chứng minh. Áp dụng định lý Menelaus. • Nếu 3 đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 xuất phát từ các đỉnh của tam giác đồng quy thì các đường thẳng đẳng cự của chúng là AA2 , BB2 , CC2 cũng đồng quy. Chứng minh. Áp dụng định lý Ce’va. 1.2. Các đường đối trung 1.2.1. Các đường đối trung của tam giác Định nghĩa 1.5. Các đường thằng đối xứng với đường trung tuyến đối với phân giác trong của góc tại đỉnh, gọi là đường đối trung. Nói cách khác, đường thẳng đẳng giác với trung tuyến là đường đối trung. Ví dụ 1.2.1. Đường cao của tam giác vuông hạ từ đỉnh góc vuông là một đường đối trung của tam giác. \ = ACB. [ Theo giả thiết AD là trung tuyến Lời giải. AH ⊥ BC suy ra BAH \ = DCA. \ Ta suy ra, BAH \ = CAD. \ Vậy nên DB = DC = AD, từ đó, DAC AH và AD đối xứng qua phân giác góc A. Theo định nghĩa, đường cao AH là 14 đường đối trung. Vì đường đối trung là đường thẳng đẳng giác với trung tuyến nên ta có các tính chất theo các tính chất của cặp đường thẳng đẳng giác, chẳng hạn các Tính chất 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 ngay sau đây. Tính chất 1.2.1. Đường đối trung chia trong cạnh đối diện ra thành các phần tỷ lệ với bình phương các cạnh kề. Tính chất 1.2.2. Đường đối trung chia góc ở đỉnh xuất phát thành hai phần có các sin tỷ lệ với các cạnh kề. Tính chất 1.2.3. Các đường đối trung của tam giác thì đồng quy Hình 1.5: AH là đường thẳng đối trung xuất phát từ A Định nghĩa 1.6. Điểm đồng quy của ba đường đối trung đó được gọi là điểm Lemoine (còn gọi là điểm Grebe hay tâm đối trung) của tam giác. Chú ý rằng: i. Tính chất 1.2.3 được nhà toán học người Pháp Lemoine (1840-1912) chứng minh năm 1873. Chính vì thế điểm đồng quy gọi là điểm Lemoine, ii. Trong mọi tam giác điểm Lemoine và trọng tâm là 2 điểm đẳng giác, iii. Điểm Lemoine có nhiều tính chất được khảo sát trong các tài liệu [1], [2]. Ngoài định nghĩa ta có các điều kiện cần và đủ của đường đối trung:Mệnh đề 1.1, mệnh đề 1.2, mệnh đề 1.3. 15 Mệnh đề 1.1. (Điều kiện cần và đủ thứ nhất) S là một điểm trên cạnh BC c2 SB = 2. của tam giác ABC, AS là đường đối trung khi và chỉ khi SC b Chứng minh. \ = CAS. [ Ta suy ra: SABD = DB . Phần thuận. AS là đường đối trung thì BAD SACS SC SABD DB Mặt khác, . Từ đó suy ra = SACS SC DB AB.AD = AC.AS SC (1.12) \ = CAS [ = BAS [ = CAD \ nên SABS = AB.AS và cũng có Ta lại có BAD SACD AC.AD SABS SB = , kéo theo SACD DC SB AB.AS = (1.13) AC.AD DC SB SB c2 AB 2 = , suy ra = 2. Nhân 2 vế của (1.12) với (1.14) ta được AC 2 SC SC b AB 2 Phần đảo. Theo giả thiết, (BCS) = − . Từ A ta dựng đường đối trung AC 2 AB 2 0 0 AS , theo kết quả Tính chất 1.2.2, (BCS ) = − . Từ đó, (BCS) = (BCS 0 ), AC 2 tức S 0 ≡ S. Mệnh đề 1.2. (Điều kiện cần và đủ thứ hai) Đường đối trung của tam giác là quỹ tích các điểm mà khoảng cách từ đó đến hai cạnh của tam giác tỷ lệ với độ dài các cạnh này. Chứng minh. Ký hiệu như trên Hình 1.6 Phần thuận. Gọi S là chân đường đối trung trên BC. Lấy S 0 ∈ AS, vẽ các đường SD, SD0 ⊥ AB và SE, SE 0 ⊥ AC. Ta có các đẳng thức: SASB AB.SD BS AB 2 = = = . SASC AC.SE CS AC 2 SD SD AB S 0D0 Vậy = . Mà 0 0 = nên S 0 thỏa mãn tính chất nêu trên. SE AC SE SE 16 Phần đảo. Gọi Q là điểm sao cho AB QQ1 với QQ1 ⊥ AB, QQ2 ⊥ AC. Ta = QQ2 AC 0 phải chứng minh Q ∈ AS. Nối AQ, cắt BC ở S1 . Từ S1 ta dựng S1 Q1 ⊥ AB, S1 Q2 ⊥ AC, ta có SAS1 B AB.S1 D1 AB S1 D1 AB QQ1 AB 2 = = . = . = . SAS1 C AC.S1 E1 AC S1 E1 AC QQ2 AC 2 Mặt khác, do tính chất của diện tích tam giác ta có SAS1 B S1 B = , suy ra SAS1 C S1 C Hình 1.6: Quỹ tích đường đối trung AB 2 . Chứng tỏ S1 là chân đường đối trung kẻ từ A hay S1 ≡ S (BCS1 ) = − AC 2 và Q ∈ AS. Kết luận: quỹ tích các điểm mà khoảng cách từ đó đến hai cạnh của tam giác tỷ lệ với độ dài các cạnh này là đường đối trung. Mệnh đề 1.3. (Điều kiện cần và đủ thứ ba) Cho ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O), AC ∩ BD = M . Khi đó DM là đường đối trung của 4ADC AB CB khi và chỉ khi = , tức ABCD là tứ giác điều hòa. AD CD Chứng minh. Xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O). Điều kiện cần. Giả sử BM là đường đối trung của 4ABC, gọi H là trung điểm CB AB = . Ta có của AC ta đi chứng minh ABCD là tứ giác điều hòa, tức AD CD \ = HCD, \ ADB \ = HDC \ nên 4BAD ∼ 4CHD. Từ đó BA = CH và ta ABD BD CD 17 1 1 có BA.CD = BD.CH = BD.AC. Hoàn toàn tương tự, DA.CB = BD.AC. 2 2 AB CB Ta nhận được BA.CD = DA.CB hay = . AD CD Hình 1.7: Tứ giác điều hòa và đường đối trung Điều kiện đủ. ABCD là tứ giác điều hòa thì AB CB 1 = ⇐⇒ AB.CD = AD.CB = AC.BD nên AB.CD = CH.BD. Suy AD CD 2 BA CH ra = , từ đó, 4BAD ∼ 4CHD (trường hợp c.g). Hai tam giác đồng BD CD \ = CDH, \ tức là DH và DM đối xứng nhau qua phân giác dạng kéo theo BDA góc ADC. DM ≡ BD là đường đối trung của 4ADC. Ta có nhận xét sau: • Tương tự Mệnh đề 1.3, ABCD là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi DB là đường đối trung của 4DAC hay AC, CA là đường đối trung của 4ABD, 4CBD, tương ứng. • Tứ giác điều hòa và đường đối trung thường gắn liền với nhau trong ứng dụng giải toán. Tiếp theo ta hãy xác định các khoảng cách x, y, z từ điểm Lemoine đến các cạnh. Vì L là giao ba đường đối trung nên x y z ax by cz = = ; 2 = 2 = 2. a b c a b c