Mô tả:
D¹ng I:
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
I/ BiÓu thøc sè häc
rót gän biÓu thøc
Cã chøa c¨n thøc bËc hai
Ph¬ng ph¸p:
Dïng c¸c ph¬ng ph¸p biÕn ®æi c¨n thøc(®a ra ; ®a vµo; ;khö; trôc; céng,trõ c¨n thøc ®ång d¹ng;
rót gän ph©n sè…) ®Ó rót gän biÓu thøc.
Bµi tËp: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
-------------
1) 2 5 125 80 605 ;
2) 10 2 10
5 2
8
1 5
;
3) 15 216 33 12 6 ;
4) 2 8 12
18 48
5)
5 27
;
30 162
2 3
2 3
;
2 3
2 3
3
27
75
7) 2 27 6 4 3 75 ;
3 5
3 5. 3 5
11) 3 5 3 5 ;
2 2 3
64 2
2 64 2
1
2 2 3
;
64 2
2 64 2
;
2
5 2 8 5
2 5 4
;
17) 14 8 3 24 12 3 ;
10 2
10) 2 3 5 2 ;
1
14)
16)
9) 8 3 2 25 12 4
13) 5 2 6 49 20 6 5 2 6 ;
15)
6) 2 16 3 1 6 4 ;
8)
12) 4 10 2 5 4 10 2 5 ;
18)
192 ;
19)
20)
4
1
6
;
3 1
32
3 3
3
2 1
3
1
2 1
3 1 1
3
3
3 1
.
2
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
II/ BiÓu thøc ®¹i sè:
Ph¬ng ph¸p:
-
Ph©n tÝch ®a thøc tö vµ mÉu thµnh nh©n tö;
T×m §KX§ (NÕu bµi to¸n cha cho §KX§)
Rót gän tõng ph©n thøc(nÕu ®îc)
Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt nh:
+ Quy ®ång(®èi víi phÐp céng trõ) ; nh©n ,chia.
+ Bá ngoÆc: b»ng c¸ch nh©n ®¬n ; ®a thøc hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc
+ Thu gän: céng, trõ c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng.
+ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö – rót gän
Chó ý: - Trong mçi bµi to¸n rót gän thêng cã c¸c c©u thuéc c¸c lo¹i to¸n: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc;
gi¶i ph¬ng tr×nh; bÊt ph¬ng tr×nh; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt ,lín nhÊt…Do vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i bµi.
1
vÝ dô:
1
a 1
Cho biÓu thøc: P
:
a 1 a 2 a 1
a a
a/ Rót gän P.
b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Gi¶i: a/ Rót gän P:
- Ph©n tÝch:
- §KX§:
1
P
a ( a 1)
a 0;
a 1 0 a 1
- Quy ®ång: P
- Rót gän:
a 1
:
a 1 ( a 1) 2
1
P
1 a
a ( a 1)
a1
a
.
( a 1) 2
a 1
.
b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn:
- Chia tö cho mÉu ta ®îc: P 1
1
.
a
1
- Lý luËn: P nguyªn
nguyªn
a
1(ktm)
a lµ íc cña 1 lµ 1 . a
1 a 1
VËy víi a = 1 th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi tËp:
Bµi 1: Cho biÓu thøc
a) Rót gän biÓu thøc A;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.
Bµi 2: Cho biÓu thøc
a) Rót gän biÓu thøc B;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
Bµi 3: Cho biÓu thøc
a) Rót gän biÓu thøc C;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.
�x
1
A=�
�2 2 x
�
�
�x x x x �
�
�
�
� x 1 x 1 �
�
�
�
�
� x
2
1 ��
10 x �
B=�
:
x
2
�
�
�
�x 4 2 x
x 2�
x 2�
�
��
C=
1
3
1
x 1 x x 1 x x 1
3
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
Bµi 4: Rót gän biÓu thøc :
D=
x 2 x2 4
x 2 x2 4
x 2 x2 4
x 2 x2 4
4
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
5
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2x 3 x 2 vµ
P=
Q=
x 2
Bµi5: Cho c¸c biÓu thøc:
a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q.
P=
Bµi 6: Cho biÓu thøc:
a) Rót gän biÓu thøc P
b) So s¸nh P víi 5.
x 3 x 2x 2
x 2
2x 2 x x 1 x x 1
x
x x
x x
c) Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc
8
chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn.
P
�3x 9x 3
1
1 � 1
P=�
�
�x x 2
�: x 1
x
1
x
2
�
�
Bµi 7: Cho biÓu thøc:
a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P;
1
b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó
lµ sè tù nhiªn;
P
c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3 .
Bµi 8: Cho biÓu thøc :
a) Rót gän biÓu thøc P;
T×m x ®Ó
� x 2
x 3
x 2 ��
x �
P=�
:
2
��
�
�x 5 x 6 2 x
��
�
x
3
x
1
�
��
�
1
5
�
P
2
Bµi 9: Cho biÓu thøc :
1 a a
1 a a
a .
1 a
1 a
P =
a) Rót gän P
b) T×m a ®Ó P< 7
a
4 3
Bµi 10: Cho biÓu thøc:
2 x
x 3
P =
a) Rót gän P
b) T×m x ®Ó P <
x
3x 3 2 x 2
:
1
x 3 x 9 x 3
1
2
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
Bµi 11: Cho biÓu thøc :
x 3 x
9 x
x 3
1 :
x
9
x
x
6
2
x
P =
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P<1
x 2
x 3
Bµi 12: Cho biÓu thøc :
1
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------P = 15 x 11 3 x 2 2 x 3
x2 x 3
1
a) Rót gän P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P=
c) Chøng minh P
x
x 3
1
2
2
3
Bµi 13: Cho biÓu thøc:
x
m2
x m 4 x 4m 2
P= 2 x
x m
víi m > 0
a) Rót gän P
b) TÝnh x theo m ®Ó P = 0.
c) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x >1
Bµi 14: Cho biÓu thøc :
2
P = a a 2a a 1
a
a 1
a
a) Rót gän P
b) T×m a ®Ó P = 2
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ?
Bµi 15: Cho biÓu thøc
a 1
ab 1
P =
a 1
ab a
1 :
ab 1
ab 1
ab a
1
ab 1
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a = 2
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu
3
vµ b = 3 1
1
3
a b 4
Bµi 16: Cho biÓu thøc :
P=
a a 1 a a 1
1 a 1
a
a a
a a
a a 1
a) Rót gän P
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6
a 1
a 1
Bµi 17: Cho biÓu thøc:
P=
a
1
2 2 a
2
a1
a 1
a) Rót gän P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P = -2
a 1
a 1
Bµi 18: Cho biÓu thøc:
P=
a
2
b 4 ab a b b a
.
a b
ab
a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa.
b) Rót gän P
c) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 2 3 vµ b =
Bµi 19: Cho biÓu thøc :
3
2
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x2
x
1
:
x x 1 x x 1 1 x
P =
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P > 0
x1
2
x 1
Bµi 20: Cho biÓu thøc :
2 x x
x x1
1
x 2
: 1
x 1
x x 1
P =
a) Rót gän P
b) TÝnh P khi x = 5 2
3
Bµi 21: Cho biÓu thøc:
3x
1
2
1
2
:
P =1 :
2 x 4 x 4 2 x 4 2 x
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 20
Bµi 22: Cho biÓu thøc :
P =
x y
x
y
x3 y 3
y x
a) Rót gän P
b) Chøng minh P 0
:
x
y
x
2
xy
y
Bµi 23: Cho biÓu thøc :
1
3 ab
1
3 ab
a b
.
:
a b a a b b a b a a b b a ab b
P =
a) Rót gän P
b) TÝnh P khi a =16 vµ b = 4
Bµi 24: Cho biÓu thøc:
2a a 1 2a a a a a a
.
2 a1
1 a
1 a a
P = 1
a) Rót gän P
b) Cho P =
6
1
6
t×m gi¸ trÞ cña a
c) Chøng minh r»ng P >
2
3
Bµi 25: Cho biÓu thøc:
x 5 x
25 x
1 :
x
25
x
2 x 15
P =
x 3
x 5
a) Rót gän P
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P < 1
Bµi 26: Cho biÓu thøc:
3 a
3a
a ab b a a b b
P =
a) Rót gän P
1
a
x 5
x 3
a 1. a b
:
b 2a 2 ab 2b
3
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn
Bµi 27: Cho biÓu thøc:
1
1 a 1
:
a a 2
a1
P =
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P >
a 2
a 1
1
6
Bµi 28: Cho biÓu thøc:
1
1
2
.
y x
x
P =
y
1 1
:
x y
x3 y x x y
y3
x 3 y xy 3
a) Rót gän P
b) Cho x.y=16. X¸c ®Þnh x,y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
Bµi 29: Cho biÓu thøc :
P=
x3
xy 2 y x
2x
1 x
.
x 2 xy 2 y 1 x
a) Rót gän P
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x ®Ó y=625 vµ P<0,2
Bµi 30: Cho biÓu thøc:
x2
x 1
x x 1 x x 1
P = 1 :
a) Rót gän P
b) So s¸nh P víi 3
D¹ng ii:
x 1
.
x 1
®å thÞ y ax b(a 0) & y a ' x 2 (a ' 0)
vµ t¬ng quan gi÷a chóng
I/.ĐiÓm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
yA = f(xA).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22
a=1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình:
y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao
điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên.
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng :
(d1) : y = a1x + b1. vµ
(d2) : y = a2x + b2.
a) (d1) cắt (d2)
a1 a2.
4
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) d1) // (d2)
c) d1)
(d2)
d) (d1)
(d2)
a1 a2 = -1
IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
a’x2 = ax + b (#) a’x2- ax – b = 0
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2 để tìm tung độ
giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:
Tõ ph¬ng tr×nh (#) ta cã: a ' x 2 ax b 0 ( a) 2 4a ' .b
a) (d) và (P) cắt nhau
phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 0
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau
c) (d) và (P) không giao nhau
phương trình (#) có nghiệm kép 0
phương trình (#) vô nghiệm 0
VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b :
1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’x2
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :
y0 = ax0 + b
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x2 nên:
Pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép
+) Gi¶i hÖ
y0 ax0 b
0
để tìm a,b.
5
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x 0;y0 vào phương
trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.
VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B
Gäi x1; x2 lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn lît lµ tung ®é cña A vµ B
Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC:
AB AC 2 BC 2 ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2
IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số:
1.Ứng dụng vào phương trình.
2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.
bµi tËp vÒ hµm sè.
Bµi 1 . cho parabol (p): y = 2x2.
1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2).
2. t×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2).
3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y = 2m +1.
Bµi 2: Cho (P)
1
y x 2 vµ ®êng th¼ng (d): y = ax + b .
2
1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P).
2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 3 : Cho (P)
y x2
vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m
1. VÏ (P)
2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d)
3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 4 : Cho (P)
y
x2
vµ (d): y = x + m
4
1. VÏ (P)
2. X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') song song víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t (P) t¹i ®iÎm cã tung
®é b»ng -4
4. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P)
Bµi 5 : Cho hµm sè (P):
vµ hµm sè(d): y = x + m
1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
2. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P)
3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 3 2
y x2
6
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bµi 6 : Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng ( d1 ) y = -2(x+1)
1. §iÓm A cã thuéc ( d1 ) kh«ng ? V× sao ?
2. T×m a ®Ó hµm sè (P): y a.x 2 ®i qua A
3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ( d 2 ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( d1 )
4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( d 2 ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( d1 ) víi trôc tung . T×m to¹ ®é
cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC?
Bµi 7 : Cho (P)
1
y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ
4
-2 vµ 4
1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn
2.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d)
3.T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é
diÖn tÝch lín nhÊt.
x 2;4
sao cho tam gi¸c MAB cã
(Gîi ý: cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é x 2;4 cã nghÜa lµ A(-2; y A ) vµ B(4; y B ) tÝnh y A; ; y B ;SMAB
cã diÖn tÝch lín nhÊt M lµ tiÕp ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1)víi (P)vµ(d1)//(d).
Bµi 8 : Cho (P):
x2
vµ ®iÓm M (1;-2)
4
y
1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ m
HD: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: y ax b mµ a = m. thay x = 1; y = -2 tÝnh b = - m-2. vËy PT:
y mx m 2.
2. Chøng minh: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi
3. Gäi x A ; xB lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó x A2 xB x A xB2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ
tÝnh gi¸ trÞ ®ã?
Bµi 9 : Cho hµm sè (P):
y x2
1. VÏ (P)
2. Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph. tr×nh ®êng th¼ng AB
3. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P)
Bµi 10 : Trong hÖ to¹ ®é xOy cho Parabol (P)
y
1 2
x
4
vµ ®êng th¼ng (d):
y mx 2m 1
1. VÏ (P)
2. T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm
3. Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
Bµi 11 : Cho (P):
y
1 2
x
4
vµ ®iÓm I(0;-2). Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m.
1. Chøng minh r»ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi m R
2.T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt
Bµi 12 : Cho (P):
y
3
x2
vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1 ) cã hÖ sè gãc lµ m
2
4
1. VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d)
2. T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P)
3. T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt
Bµi 13 : Cho (P):
y
x
x2
vµ ®êng th¼ng (d): y 2
2
4
1. VÏ (P) vµ (d)
2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d)
3. T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (d)
7
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bµi 14 : Cho (P):
y x2
Bµi 14: Cho (P):
y 2x 2
1.Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2 . ViÕt ph. tr×nh ®êng th¼ng AB
2.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P)
1.VÏ (P)
2.Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x = 1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x = 2 . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m
vµ n ®Ó ®êng th¼ng (d): y = mx + n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB
Bµi 15 : X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh
mét ®iÓm trªn (P)
D¹ng III:
( d1 ) : x y m
c¾t nhau t¹i
( d 2 ) : mx y 1
y 2x 2 .
Ph¬ng tr×nh vµ HÖ ph¬ng tr×nh
------------------------
A/ Ph¬ng tr×nh b©c nhÊt mét Èn – gi¶I vµ biÖn luËn:
+ Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn cã d¹ng ax b 0(a 0)
+ Gi¶i vµ biÖn luËn:
- NÕu a 0; b 0 th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm.
- NÕu a 0; b 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
b
a
2
vÝ dô: Gi¶i vµ bÞªn luËn ph¬ng tr×nh sau:
4m ( x 1) x 4m 1
Gi¶i: 4m 2 ( x 1) x 4m 1 4m 2 x 4m 2 x 4m 1 (4m 2 1) x 4m 2 4m 1
(2m 1)(2m 1).x ( 2m 1) 2
1
2m 1
BiÖn luËn: + NÕu m th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm: x
2
2m 1
1
+ NÕu m th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 0.x 0 nªn ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm.
2
1
1
+ NÕu m
th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 0.x 2.( ) 0 nªn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
2
2
-
NÕu a 0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x
Bµi tËp: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh sau:
m( x 1) m x
2
2
3
x a 2 x a x 2a
0 a 1 HD: Quy ®ång- thu gän- ®a vÒ d¹ng ax + b = 0
Bµi 2 .
a 1
a 1 1 a 2
a b x a c x b c x
4x
1
(a; b; c; 0; a b c 0) .
Bµi 3 .
c
b
a
a b c
a b x
ac x
bc x
4x
HD:
1
1
1 3 1
c
b
a
a b c
a b x
a c x
bc x
4x
1
1
1 4
c
b
a
a b c
Bµi 1 .
8
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a b c 4( a b c x )
1 1 1 4(a b c x)
(a b c x)
(a b c x).
0
a b c
abc
a b c
c b a
(a b c ) 2 4abc
4
a b c
(a b c x)
0 (a b c x )
0
a b c
abc
abc(a b c )
NÕu ... 0 (a b c x) 0 x a b c
NÕu ... 0
th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm.
b. hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã hai Èn sè:
+ D¹ng tæng qu¸t:
ax b 0
' '
a x b 0
+ C¸ch gi¶i:
- Ph¬ng ph¸p thÕ.
- Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
+ Sè nghiÖm sè:
- NÕu a a ' Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm .
- NÕu a a ' ; b b ' ; c c ' Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« nghiÖm .
- NÕu a a ' ; b b ' ; c c ' Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
+ TËp nghiÖm cña mçi ph¬ng tr×nh biÓu diÔn trªnmÆt ph¼ng to¹®é lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng:
y ax b
VÝ dô:
Gi¶i c¸c HPT sau:
2x y 3
�
Bµi1: �
3x y 7
�
Gi¶i:
2x y 3
�
+ Dïng PP thÕ:
�
3x y 7
�
�y 2 x 3
�y 2 x 3 �x 2
�x 2
��
��
��
��
3x 2 x 3 7
5 x 10
�
�
�y 2.2 3 �y 1
�x 2
Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: �
�y 1
2x y 3
5 x 10
�
�
�x 2
�x 2
+ Dïng PP céng: �
��
��
��
3x y 7
3x y 7
3.2 y 7
�
�
�
�y 1
�x 2
Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: �
�y 1
2 x 3 y 2
�
Bµi2: �
§Ó gi¶i lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi.
5x 2 y 6
�
2 x 3 y 2
10 x 15 y 10
11y 22
�
�
�
�y 2
�x 2
��
��
��
��
�
5x 2 y 6
10 x 4 y 12
5x 2 y 6
5 x 2.(2 6)
�
�
�
�
�y 2
�x 2
Vaäy HPT cã nghiÖm lµ �
�y 2
9
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
�2
�x 1 y 1
�
Bµi 3:
�
� 2 5 1
�
�x 1 y
*§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶i sau ®©y:
+ C¸ch 1: Sö dông PP céng.
§K: x �1, y �0 .
3
�2
�2
1
3
�y 1
�y 1
�
�
�x 1 y 1
�y 2
�
�
�
�
�x 1
�x
��
� �2
� �2
��
2��
2
5
�
1 �
4
� 2 5 1
� 2 5 1 �
�
�
�y 1
�y 1
�x 1 1
�x 1
�
�
�x 1 y
�x 1 y
3
�
�x
2
Vaäy HPT cã nghiÖm lµ �
�
�y 1
+ C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô.
§K: x �1, y �0 .
2a 5b 1 �
2a 5.1 1 �
a 2
1
�2a 3b 1 �
1
b . HPT ®· cho trë thµnh: �
§Æt
��
��
��
a ;
y
2b 2
b 1
b 1
x 1
�2a 5b 1
�
�
�
�1
2
3
�
�
�x 1
�x
��
��
2 (TM§K)
1
� 1
�y 1
�
�y
�
3
�
�x
2
Vaäy HPT cã nghiÖm lµ �
�
�y 1
Lu ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i.
Bµi tËp vÒ hÖ ph¬ng tr×nh:
Bµi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá)
1.1:
1.2.
7x 3y 5
�x y 3
�
a) �
b) �
3x 4 y 2
�
�4 x y 2
�
�x 2 2 y 5
a) �
�x 2 y 2
Bµi 2 : Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá)
3x y 3
�
2.1. a ) �
2x y 7
�
�
�x 2 3 y 1
2.2. a ) �
2 x y 2 2
�
4x 3y 6
�
b) �
2x y 4
�
3 x 2 y 10
�
�
c) � 2
1
x y 3
�
3
� 3
�
5x 3 y 2 2
�
b) �
�x 6 y 2 2
10
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bµi 3 :
�x 3 y 1
Giaûi heä phöông trình � 2
trong moãi tröôøng hôïp sau
(m 1) x 6 y 2m
�
a) m = -1
b) m = 0
c) m = 1
�2 x by 4
Bµi 4 a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trình �
coù nghieäm laø (1; -2)
bx ay 5
�
b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm
2 1; 2
�2 x y 2
�x 3 y 1
Bµi 5 : Giaûi heä phöông trình sau: �
n
�2m
2
�
�m 1 n 1
a) Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình �
� m 3n 1
�m 1 n 1
2 x ay b
Bµi 6 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh
ax by 1
a) Gi¶i hÖ khi a =3 ; b =-2
b) T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y) = ( 2 ; 3 )
Bµi 7 : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: (pp ®Æt Èn phô)
1
xy
7.1)
5
x y
2
2
x y
4
3
x y
�
3x 3 y 3 2 3
�
7.4) �
;
� 2x 3y 6 2
7.7)
7.2)
3 x 4 y 8
2 x y 2
( x 1) 2( y 2) 5
�
7.5) �
;
3( x 1) ( y 2) 1
�
( x 1)( y 2) ( x 1)( y 3) 4
�
;
�
( x 3)( y 1) ( x 3)( y 5) 1
�
�1 1 4
�x y 5
�
7.9) �
;
1
1
1
�
�
�x y 5
7.3)
7.8)
3 x 2 4 y 2 3
(®k x;y 2 )
2 x 2 y 2 1
7.6)
( x 5)( y 2) ( x 2)( y 1)
�
.
�
( x 4)( y 7) ( x 3)( y 4)
�
3( x y ) 5( x y ) 12
�
;
�
5( x y ) 2( x y ) 11
�
2
�1
�x y x y 2
�
7.10) �
; 7.11)
5
4
�
3
�
�x y x y
……………………
5
5
� 1
�2 x 3 y 3 x y 8
�
;
�
3
5
3
�
�
8
�2 x 3 y 3 x y
c.Ph¬ng tr×nh bËc hai - hÖ thøc vi - Ðt
1.C¸ch gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc hai:
ax2 + bx + c = 0 ( a �0) b 2 4ac
11
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* NÕu > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1 = -b - ; x2 = -b +
2a
2a
* NÕu = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =
-b
2a
* NÕu < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
Chó ý: Trong trêng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiÖm thu gän:
b’=
1
b
2
vµ ' = b ' 2 ac
* NÕu ' > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x1 = -b' - ' ; x2 = -b' + '
a
a
* NÕu ' = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =
* NÕu ' < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
-b'
a
2.§Þnh lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0
S = x 1 + x2 = p = x1x2 =
(a
0) thì
b
a
c
a
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p th× hai sè ®ã là nghiÖm (nếu cã ) cña ph¬ng
tr×nh bËc 2:
x2 – S x + p = 0
3. To¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt
I. TÝnh nhÈm nghiÖm.
XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a
0)
c
a
NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 =
NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = -
c
a
NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n
( hoÆc x1 = n , x2 = m)
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2
Ví dụ : Cho x1 3 ; x2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
�S x1 x2 5
vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
�P x1 x2 6
Theo hệ thức VI-ÉT ta có �
x 2 Sx P 0 � x 2 5 x 6 0
Bài tập áp dụng:
1.
x1 = 8
2.
x1 = 3a
3.
x1 = 36
4.
x1 = 1 2
vµ
vµ
vµ
vµ
x2 = -3
x2 = a
x2 = -104
x2 = 1 2
12
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một
phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x 2 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình
trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 x2
1
1
và y2 x1
x1
x2
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
�1 1 �
1
1
x x
3 9
x1 ( x1 x2 ) � � ( x1 x2 ) 1 2 3
x1
x2
x1 x2
2 2
�x1 x2 �
1
1
1
1 9
P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 1 1
2 1 1
x1
x2
x1 x2
2 2
S y1 y2 x2
Vậy phương trình cần lập có dạng:
hay
y 2 Sy P 0
9
9
y2 y 0 � 2 y2 9 y 9 0
2
2
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3 x 2 5 x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình, Hãy
lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1
5
6
1
1
và y2 x2
x2
x1
1
2
2
(Đáp số: y y 0 hay 6 y 2 5 y 3 0 )
2/ Cho phương trình : x 2 5 x 1 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả
mãn y1 x14 và y2 x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số : y 2 727 y 1 0 )
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 2 x m 2 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương
trình
bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 sao cho :
(Đáp số
a) y1 x1 3 và y2 x2 3
b) y1 2 x1 1 và y2 2 x2 1
a) y 2 4 y 3 m 2 0
b) y 2 2 y (4m2 3) 0
)
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
(§iều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 )
x 2 Sx P 0
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 3 x 4 0
giải phương trình trên ta được x 1 và x2 4
Vậy nếu a = 1 thì b = 4
nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3
và
P=2
1
13
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. S = 3 và
P=6
3. S = 9
và
P = 20
4. S = 2x và
P = x 2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần
tìm tích của a v à b.
T ừ a b 9 � a b 2 81 � a 2 2ab b 2 81 � ab
81 a 2 b 2
2
20
x 4
�
x2 5
�
1
2
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 9 x 20 0 � �
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
x 4
�
x2 9
�
1
2
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 5 x 36 0 � �
Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
2
2
2
2
Cách 2: Từ a b a b 4ab � a b a b 4ab 169
a b 13
�
2
� a b 132 � �
a b 13
�
x 4
�
x2 9
�
1
2
*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 13x 36 0 � �
Vậy a = 4 thì b = 9
x 4
�
x2 9
�
1
2
*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 13 x 36 0 � �
Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
a b 11
�
a b 11
�
T ừ: a2 + b2 = 61 � a b a 2 b 2 2ab 61 2.30 121 112 � �
2
x 5
�
x2 6
�
1
2
*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x 11x 30 0 � �
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5
x 5
�
x2 6
�
1
2
*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x 11x 30 0 � �
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tríc .T×m nghiÖm thø 2
C¸ch gi¶i:
14
C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tríc cã hai c¸ch lµm:
+) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm: 0 (hoÆc / 0 ) (*)
- Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè
- §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn
+) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn 0 (hoÆc / 0 ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph¬ng tr×nh
®· cho, t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè
- Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®îc cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh
Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh , mµ ph¬ng tr×nh bËc hai nµy cã
< 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tríc.
§Ó t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm:
+) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo ph¬ng tr×nh råi gi¶i ph¬ng tr×nh (nh c¸ch 2 tr×nh
bÇy ë trªn)
+) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®îc nghiÖm thø
2
+) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm,tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm
thø2
V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã
cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi
tính giá trị của biểu thức
1.Ph¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2 ) và x1 x2
D¹ng 1. x12 x22 ( x12 2 x1 x2 x22 ) 2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
D¹ng 2. x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 �
x1 x2 3x1 x2 �
�
�
2
2 2
D¹ng 3. x14 x24 ( x12 )2 ( x22 )2 x12 x22 2 x12 x22 �
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 �
�
� 2 x1 x2
2
D¹ng 4.
2
1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
D¹ng 5. x1 x2 ? Ta biết x1 x2 2 x1 x2 2 4 x1 x2 � x1 x2 � x1 x2 2 4 x1 x2
D¹ng 6. x12 x22 x1 x2 x1 x2 = ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 .( x1 x 2 )
D¹ng 7. x13 x23 = x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 �
=…….
x1 x2 x1 x2 �
�
�
2
D¹ng 8. x14 x24 = x12 x22 x12 x22 =……
D¹ng 9. x16 x26 = ( x12 )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 = ……..
D¹ng 10. x16 x26 ( x 2 ) 3 ( x 2 ) 3 ( x 2 x 2 ) ( x 2 ) 2 x 2 .x 2 ( x 2 ) 2 ...
1
2
1
2
1
1
2
2
5
5
3
3
2
2
2
2
D¹ng 11. x1 x2 = ( x1 x 2 )( x1 x 2 ) x1 .x 2 ( x1 x 2 )
D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
D¹ng13
x x 2 2a
1
1
S 2a
1
x1 a x 2 a ( x1 a )( x 2 a) p aS a 2
2. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2 8 x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính
15
- Xem thêm -
.DOC 
37 
549 
66 
