Tài liệu Các chuyên đề bồi dưỡng hsg môn toán lớp 7

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ... f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ... h) 3, 6, 10, 15, 21, ... i) 2, 8, 20, 40, 70, ... Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n(n  1) 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) n(n  3) 2 (n  1)(n  2) h) 2 g) i) n ( n  1)( n  2 ) 3 Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 Hướng dẫn: 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+...+19404+19800 Hướng dẫn: 1 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 2 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+...+4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+...+19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+...+4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97) 2 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+3 2+...+992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+3 2+...+(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+6 2+...+982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+3 2+...+492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+5 2+...+972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+4 2+62+...+98 2+1002) A = (12+22+32+...+992+1002)-2 2(1 2+22+32+...+492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+...+992-100 2 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.2 2+2.32+3.42+...+98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99) 3 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+3 3+...+993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+2 2(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.10098.99+(12+22+32+...+99 2+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+2 2+3 2+...+992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+6 3+...+983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+5 3+...+973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+...+993-100 3 Hướng dẫn: 4 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a c (hoặc a : b = c : d).  b d Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu a c  thì ad  bc b d Tính chất 2: Nếu ad  bc và a, b, c, d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a c  , b d a b  , c d d c  b a , d b  c a Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ a c a c ac ac  suy ra:    b d b d bd bd -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e abc a b  c suy ra:      ...   b d f b d f bd  f bd  f (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). * Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 2 3 5 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 5 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết x y và x  y  20  2 3 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y  k 2 3 , suy ra: x  2k , y  3k Theo giả thiết: x  y  20  2k  3k  20  5k  20  k  4 Do đó: x  2.4  8 y  3.4  12 KL: x  8 , y  12 Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x  y 20    4 2 3 23 5 Do đó: x 4 x8 2 y  4  y  12 3 KL: x  8 , y  12 Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết x y 2y  x 2 3 3 mà x  y  20  Do đó: x  2y  y  20  5 y  60  y  12 3 2.12 8 3 6 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề KL: x  8 , y  12 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: x y y z và 2 x  3 y  z  6  ,  3 4 3 5 Giải: Từ giả thiết: x y x y    3 4 9 12 (1) y z y z    3 5 12 20 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x y z   9 12 20 (*) Ta có: x y z 2x 3 y z 2x  3 y  z 6        3 9 12 20 18 36 20 18  36  20 2 Do đó: x  3  x  27 9 y  3  y  36 12 z  3  z  60 20 KL: x  27 , y  36 , z  60 Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt x y z   k 9 12 20 VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z  y 3 5 5 x y 3y  x  3 4 4 mà 2 x  3 y  z  6  2. Suy ra: y  3.60  36 , 5 3z 5  9z 4 20 3. 9z 3z z  3.  z  6   60  z  60 20 5 10 x 9.60  27 20 KL: x  27 , y  36 , z  60 7 ( sau đó giải như cách 1 của Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:  và x. y  40 2 5 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y  k 2 5 , suy ra x  2k , y  5k Theo giả thiết: x. y  40  2k .5k  40  10k 2  40  k 2  4  k  2 + Với k  2 ta có: x  2.2  4 y  5.2  10 + Với k  2 ta có: x  2.(2)  4 y  5.( 2)  10 KL: x  4 , y  10 hoặc x  4 , y  10 Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x  0 Nhân cả hai vế của x y x 2 xy 40  với x ta được:   8 2 5 5 2 5  x 2  16  x  4 + Với x  4 ta có + Với x  4 ta có 4 y 4.5  y  10 2 5 2 4 y  4 .5  y  10 2 5 2 KL: x  4 , y  10 hoặc x  4 , y  10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) x y z và 5x  y  2 z  28   10 6 21 c) 2x 3 y 4z và x  y  z  49   3 4 5 b) d) 8 x y y z ,  và 2 x  3 y  z  124  3 4 5 7 x y  và xy  54 2 3 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x y z f)    x yz y  z 1 z  x 1 x  y  2 x y e)  và x 2  y 2  4 5 3 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) x y z và 5x  y  2 z  28   10 6 21 c) 2x 3 y 4z và x  y  z  49   3 4 5 d) x y  và xy  54 2 3 e) x y  và x 2  y 2  4 5 3 f) x y z    x yz y  z 1 z  x 1 x  y  2 b) x y y z ,  và 2 x  3 y  z  124  3 4 5 7 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 3x  2 y , 7 y  5 z và x  y  z  32 b) x 1 y  2 z  3   2 3 4 c) 2 x  3 y  5 z và x  y  z  95 d) x y z và xyz  810   2 3 5 e) y  z 1 z  x  2 x  y  3 1    x y z x yz và 2 x  3 y  z  50 f) 10 x  6 y và 2 x 2  y 2  28 Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 3x  2 y , 7 y  5 z và x  y  z  32 b) x 1 y  2 z  3   2 3 4 c) 2 x  3 y  5 z và x  y  z  95 d) x y z và xyz  810   2 3 5 e) 1 y  z 1 z  x  2 x  y  3    z x yz x y f) 10 x  6 y và 2 x 2  y 2  28 Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 1 2y 1 4y 1 6y   18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 1 2y 1 4y 1 6y   18 24 6x Bài 7: Cho a  b  c  d  0 và Tìm giá trị của: A  và 2 x  3 y  z  50 a b c d    bcd acd abd abc ab bc cd d a    cd ad ab bc 9 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Giải: a  b bcd c d abcd 1     ( a  c  d a  b  d a  b  c 3(a  b  c  d ) 3 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Vì a  b  c  d  0 ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: x y x 7 b)  và 2x – y = 34;  và 5x – 2y = 87; y 3 19 21 3 3 3 x y z 2x  1 3y  2 2x  3y  1 b) và x2 + y2 + z2 = 14. c)     5 7 6x 8 64 216 a) Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. Giai b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c , , bc ca a b . Biết a+b+c  0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: abab  2cd   c d .abab  2  2(ab  1)  0 2 2 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. Giải:  ab  ab  2cd   c 2 d 2  .  ab  ab  2   2(ab  1)   0 => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm 10 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức: A C ta thường dùng một số phương pháp sau:  B D Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A C và có cùng giá trị. B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: +) a na  b nb (n  0) n a c a c +)        b d b d  n Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a c  b d .Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd (1) (a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd (2) a c   ad  bc b d (3) Từ giả thiết: Từ (1), (2), (3) suy ra: (a  b)(c  d )  (a  b)(c  d )  ab cd  ab cd (đpcm) Cách 2: (PP2) Đặt a c   k , suy ra a  bk , c  dk b d Ta có: a  b kb  b b(k  1) k  1    a  b kb  b b(k  1) k  1 (1) 11 ab cd  ab cd Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c  d kd  d d (k  1) k  1    c  d kd  d d (k  1) k  1 Từ (1) và (2) suy ra: ab cd  ab cd (2) (đpcm) Cách 3: (PP3) Từ giả thiết: a c a b    b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b ab ab    c d cd cd  ab cd  ab cd (đpcm) Hỏi: Đảo lại có đúng không ? Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c  b d . Chứng minh rằng: ab a 2  b 2  cd c 2  d 2 Giải: Cách 1: Từ giả thiết: Ta có:  a c   ad  bc b d (1)  ab c 2  d 2  abc 2  abd 2  acbc  adbd  (2)  cd a 2  b 2  a 2 cd  b 2 cd  acad  bc.bd Từ (1), (2), (3) suy ra:   Cách 2: Đặt   ab c 2  d 2  cd a 2  b 2 (3)  ab a 2  b 2  cd c 2  d 2 a c   k , suy ra a  bk , c  dk b d 12 (đpcm) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 Ta có: 2 ab bk .b kb b   2  2 cd dk.d kd d (1)     a 2  b 2 (bk ) 2  b 2 b 2k 2  b2 b2 k 2 1 b2     c 2  d 2 (dk ) 2  d 2 d 2 k 2  d 2 d 2 k 2  1 d 2 Từ (1) và (2) suy ra: ab a 2  b 2  cd c 2  d 2 Cách 3: Từ giả thiết: (2) (đpcm) a c a b ab a 2 b 2 a 2  b 2        b d c d cb c 2 d 2 c 2  d 2  ab a 2  b 2  cd c 2  d 2 (đpcm) BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết  b d các tỉ số đều có nghĩa). 2 1) 3a  5b 3c  5d  3a  5b 3c  5d ab a2  b2 2)    2 2 3) ab cd  ab cd 4) ab a  b   cd c  d 2 5) 2a  5b 2c  5d  3a  4b 3c  4d 6) 2005a  2006b 2005c  2006d  2006c  2007d 2006a  2007b 7) a c  ab cd 8) 7a 2  5ac 7b 2  5bd  7a 2  5ac 7b 2  5bd Bài 2: Cho tỉ lệ thức: cd  c d 2 a c  . b d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 13 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề a) 3a  5b 3c  5d  3a  5b 3c  5d d) ab a  b   cd c  d 2 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 g) 2 c) ab cd  ab cd i) 7 a 2  3ab 7c 2  3cd  11a 2  8b 2 11c 2  8d 2 ab a b b)    2 2 cd  2 f) 2 e) c d 2a  5b 2c  5d  3a  4b 3c  4d 2008a  2009b 2008c  2009d  2009c  2010d 2009a  2010b a c  ab cd Bài 3: Cho h) 7 a 2  5ac 7b 2  5bd  7 a 2  5ac 7b 2  5bd a b c   . Chứng minh rằng: b c d 3 a  abc    d bcd  3 a b c abc a Bài 4: Cho   . Chứng minh rằng:    b c d d bcd  Bài 5: Cho a b c   2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a  b)(b  c)  (c  a ) 2 Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a 1  a 2  a 3  ...  a 20 0 8 a2 CMR: Ta có đẳng thức: Bài 7: Cho a1 a 20 09 a3 a4  a  a 2  a 3  ...  a 2 0 0 8   1   a 2  a 3  a 4  ...  a 2 0 0 9  a1 a 2 a a   ...............  8  9 a 2 a3 a 9 a1 2 008 và a1  a2  ...  a9  0 Chứng minh rằng: a1  a 2  ...  a9 Bài 8: Cho a 20 09 a b c   2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a  b)(b  c)  (c  a ) 2 14 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 Bài 9: Chứng minh rằng nếu : Bài 10: Cho 2 a b a a b thì 2   2 b d d b d a1 a 2 a a   ...............  8  9 a 2 a3 a 9 a1 và a1  a2  ...  a9  0 Chứng minh rằng: a1  a 2  ...  a9 Bài 11: CMR: Nếu a 2  bc thì ab ca  ab ca a b a2  b2 a thì 2   b d b d2 d Bài 12: Chứng minh rằng nếu : Bài 13: Cho ab cd  ab cd Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . Đảo lại có đúng không? . CMR: a2  b2 ab  2 2 c d cd a c  b d . Chứng minh rằng: a  c . b d 2 2 2 2 2 Giải. Ta có : a  b  ab = 2 ab  a  2 ab  b  a  b   ab  a  b a  b   a.b ; c2  d 2 cd c  d c  d  c.d 2 cd c 2  2cd  d 2 c  d 2 cd  c a  b  bc  d  ca  cb bc  bd ca  bd a c      1  ca  cb  ac  ad  cb  ad   ac  d  d a  b  ac  ad da  db ca  bd b d Bài 15: Chứng minh rằng nếu: Bài 16: CMR: Nếu a 2  bc thì u2 v3  u 2 v3 ab ca  ab ca thì u v  2 3 . Đảo lại có đúng không? Bài 17: CMR nếu a( y  z )  b( z  x)  c( x  y ) yz zx x y   a(b  c) b(c  a) c(a  b) trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : Bài 18: Cho ab cd  ab cd . CMR: a c  b d 15 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a c Bài 19: Cho  . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  0 và zc  td  0 b d Chứng minh rằng: xa  yb xc  yd  za  tb zc  td Bài 20: Chứng minh rằng nếu: u2 v3  u 2 v3 thì u v  2 3 Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2  ac ; c 2  bd và b 3  c 3  d 3  0 Chứng minh rằng: a3  b3  c3 a  b3  c3  d 3 d Bài 22: CMR nếu a( y  z )  b( z  x)  c( x  y ) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : yz zx x y   a (b  c ) b (c  a ) c ( a  b ) Bài 23: Cho P  a b c ax 2  bx  c . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P   2 a1 b1 c1 a1 x  b1 x  c1 không phụ thuộc vào x. Bài 24: Cho biết : Bài 25: Cho a b' b c'   1;  1 a' b b' c . CMR: abc + a’b’c’ = 0. a c  . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  0 và zc  td  0 b d Chứng minh rằng: xa  yb xc  yd  za  tb zc  td Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2  ac Chứng minh rằng: a3  b3  c3 a  b3  c3  d 3 d 16 ; c 2  bd và b 3  c 3  d 3  0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 Bài 27: Cho P  a b c ax  bx  c . Chứng minh rằng nếu   thì giá trị của P 2 a1 b1 c1 a1 x  b1 x  c1 không phụ thuộc vào x. Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a  13b 2 c  1 3d  3a  7 b 3c  7 d Bài 29: Cho dãy tỉ số : bz  cy cx  az ay  bx   a b c ; Chứng minh rằng: a c  b d . ; CMR: x  y  z . a b c Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010 Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A> MỤC TIÊU Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. B> THỜI LƯỢNG Tổng số :(6 tiết) 1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết) 2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết) 1. Lý thuyết *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực) * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu a  0  a  a Nếu a  0  a  a Nếu x-a  0=> |x-a| = x-a 17 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Nếu x-a  0=> |x-a| = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm TQ: a  0 với mọi a  R Cụ thể: | a| =0 <=> a=0 | a| ≠ 0 <=> a ≠ 0 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a  b TQ: a  b   a  b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. TQ:  a  a  a và  a  a  a  0; a  a  a  0 * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn TQ: Nếu a  b  0  a  b * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn TQ: Nếu 0  a  b  a  b * Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. TQ: a.b  a . b * Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. TQ: a a  b b * Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. 2 TQ: a  a 2 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. TQ: a  b  a  b và a  b  a  b  a.b  0 2. Các dạng toán : I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A(x)  k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) * Cách giải: - Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) - Nếu k = 0 thì ta có A( x)  0  A( x)  0  A( x)  k  A( x)  k - Nếu k > 0 thì ta có: A( x)  k   18 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bài 1.1: Tìm x, biết: a) 2 x  5  4 b) Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 5 1   2x  3 4 4 c) 1 1 1  x  2 5 3 d) 3 7  2x 1  4 8 Giải a1) |x| = 4 x=  4 a2) 2 x  5  4 2x-5 =  4 * 2x-5 = 4 2x = 9 x = 4,5 * 2x-5 = - 4 2x =5-4 2x =1 x =0,5 Tóm lại: x = 4,5; x =0,5 1 3 5 1  2x  4 4 5  1 1  -2x  = 4  3 4 b)  Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2 2 x  3  1 2 b) 7,5  3 5  2 x  4,5 c) x  4   3,75    2,15 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: a) 2 3x  1  1  5 b) x 1  3 2 c)  x  2 1   3,5 5 2 d) x  1 1 2 3 5 Bài 1.4: Tìm x, biết: a) x  1 3   5% 4 4 b) 2  3 1 5 x  2 4 4 c) 3 4 3 7  x  2 5 4 4 d) 4,5  3 1 5 5 x  4 2 3 6 Bài 1.5: Tìm x, biết: 9 15 1 11 3 3 1 1 7 2  : 4x   b) c)  2,5 : x   3 4 4 3 4 2 4 2 5 2 21 x 2  3:   6 5 4 3 2. Dạng 2: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) a) 6,5  : x  * Cách giải: a  b  A( x)  B( x) Vận dụng tính chất: a  b   ta có: A( x)  B( x)   a  b  A( x)   B( x) Bài 2.1: Tìm x, biết: 19 d) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề a) 5 x  4  x  2 b) 2 x  3  3x  2  0 a) 5 x  4  x  2 * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2 1 x= 3 1 Vậy x= 1,5; x= 3 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c) 2  3x  4 x  3 d) 7 x  1  5 x  6  0 Bài 2.2: Tìm x, biết: a) 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 x   4 x  1 b) x   x   0 c) x   x  d) x   x  5  0 2 2 4 2 8 5 5 3 3 4 8 6 2 3. Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau: A( x)  B( x) (1) Điều kiện: B(x)  0 (*)  A( x)  B( x) ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều (1) Trở thành A( x)  B( x)    A( x)   B( x) kiện ( * ) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a  0  a  a Nếu a  0  a  a Ta giải như sau: A( x)  B( x) (1)  Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )  Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) VD1: Giải :  2 a0) Tìm x  Q biết x+5 =2x   2 2 * Xét x+  0 ta có x+ =2x 5 5 20