1
0130
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
NGUYN THÀ HU
CC BI TON TÜA C
N BNG
TÊNG QUT V ÙNG DÖNG
LUN VN THC Sß TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
NGUYN THÀ HU
CC BI TON TÜA C
N BNG
TÊNG QUT V ÙNG DÖNG
Chuy¶n ng nh: GII TCH
M¢ sè: 60.46.01
LUN VN THC Sß TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc
GS.TSKH NGUYN XU
N TN
Th¡i Nguy¶n - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Möc löc
MÐ U
1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
1.1
Mët sè khæng gian cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4
4
1.1.1
Khæng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Khæng gian ành chu©n . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.3
Khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.4
Khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng Haussdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
nh x¤ a trà v mët sè kh¡i ni»m li¶n quan . . . . . . .
7
1.3
Mët sè ành l½ iºm b§t ëng cì b£n . . . . . . . . . . .
10
2 B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I
2.1
°t b i to¡n v c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . .
11
11
2.1.1
°t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.2
C¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2
ành l½ tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3
p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . .
19
3 B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i II
3.1
3.2
°t b i to¡n v c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . .
32
32
3.1.1
°t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.2
C¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . .
33
ành l½ tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
ii
3.3
p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . .
KT LUN
T i li»u tham kh£o
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38
49
51
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MÐ U
Lþ thuy¸t tèi ÷u ¢ v ang thu hót ÷ñc sü quan t¥m r§t lîn cõa c¡c
nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi. L½ thuy¸t n y ¢ th¥m nhªp v o r§t nhi·u
l¾nh vüc trong thüc t¸ v c¡c ng nh khoa håc k¾ thuªt kh¡c nhau.
Trong thüc ti¹n cuëc sèng ai công muèn cæng vi»c h ng ng y cõa
m¼nh ÷ñc ho n th nh mët c¡ch tèt nh§t, v t¼m ph÷ìng ¡n tèi ÷u º
thüc hi»n nâ. Nh÷ vªy, måi ng÷íi công ph£i gi£i c¡c b i to¡n tèi ÷u cõa
m¼nh theo mët ngh¾a n o â. V§n · quan trång nh§t °t ra èi vîi c¡c
b i to¡n nâi chung v b i to¡n tèi ÷u nâi ri¶ng: Vîi i·u ki»n n o b i
to¡n câ nghi»m, v n¸u câ nghi»m i·u g¼ s³ x£y ra? L½ thuy¸t tèi ÷u v²c
tì ÷ñc h¼nh th nh tø nhúng þ t÷ðng v· c¥n b¬ng kinh t¸, l½ thuy¸t gi¡
trà cõa Edgeworth tø n«m 1881 v Pareto tø n«m 1906. Cì sð to¡n håc
cõa l½ thuy¸t n y l nhúng khæng gian câ thù tü ÷a ra bði Cantor n«m
1897, Hausdorff n«m 1906, v nhúng ¡nh x¤ ìn trà công nh÷ a trà tø
mët khæng gian n y v o mët khæng gian câ thù tü kh¡c vîi nhúng t½nh
ch§t n o â. L½ thuy¸t trá chìi cõa Borel n«m 1921 v Von Neumann
n«m 1926, l½ thuy¸t v· l÷u thæng h ng hâa cõa Koopmans n«m 1947 l
nhúng cæng tr¼nh ¦u ti¶n trong l¾nh vüc n y. Nh÷ng ph£i nâi r¬ng cho
tîi nhúng n«m 1950 trð l¤i ¥y, sau nhúng cæng tr¼nh v· i·u ki»n c¦n
v õ cho tèi ÷u cõa Kuhn- Jucker n«m 1951, v· gi¡ trà c¥n b¬ng v
tèi ÷u Pareto cõa Deubreu n«m 1954, l½ thuy¸t tèi ÷u v²c tì mîi thüc
sü ÷ñc cæng nhªn l mët ng nh to¡n håc quan trång v câ nhi·u ùng
döng trong thüc t¸. Cho tîi nhúng n«m cuèi cõa th¸ k¿ 20, h ng tr«m
cuèn s¡ch v h ng ngh¼n b i b¡o vi¸t v· l¾nh vüc n y cung c§p cho ta
nhúng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu v ùng döng trong nhúng l¾nh vüc kh¡c
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
nhau cõa c¡c ng nh khoa håc v k¾ thuªt công nh÷ thüc t¸.
¦u ti¶n ng÷íi ta nghi¶n cùu nhúng b i to¡n li¶n quan tîi ¡nh x¤ ìn
trà tø khæng gian Euclide câ sè chi·u húu h¤n n y sang khæng gian câ
sè chi·u húu h¤n kh¡c m thù tü trong nâ ÷ñc sinh ra bði nân orthan
d÷ìng. Trång t¥m l b i to¡n:
T¼m x̄ ∈ D º f (x̄) = min f (x)
x∈D
trong â f : D → R l h m sè, D l tªp con kh¡c réng cõa khæng gian
ành chu©n X . Tø b i to¡n n y vîi c§u tróc kh¡c nhau cõa tªp D v
t½nh ch§t cõa h m F , ng÷íi ta ph¥n lo¤i th nh nhi·u b i to¡n tèi ÷u
kh¡c nhau nh÷: qui ho¤ch tuy¸n t½nh, qui ho¤ch ph¥n tuy¸n, qui ho¤ch
to n ph÷ìng,...V sau â ph¡t triºn ra c¡c b i to¡n kh¡c nh÷:
- B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Stampachia:
T¼m x̄ ∈ D sao cho hT (x̄), x − x̄i ≥ 0, ∀x ∈ D
trong â D ⊂ Rn , T : D → Rn .
- B i to¡n c¥n b¬ng Blum- Oettli:
T¼m x̄ ∈ D sao cho f (x, x̄) ≥ 0, ∀x ∈ D
trong â D l tªp lçi âng trong khæng gian v²c tì tæ pæ X , v f :
D × D → R l h m sè thäa m¢n f (x, x) = 0. B i to¡n n y bao gçm
nh÷ nhúng tr÷íng hñp °c bi»t c¡c b i to¡n: tèi ÷u, c¥n b¬ng Nash, b i
to¡n bò, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n,...Rçi ti¸p töc mð rëng cho
c¡c b i to¡n trong khæng gian câ sè chi·u væ h¤n vîi nân b§t k¼. Vi»c
÷a ra kh¡i ni»m v chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i cõa c¡c lo¤i iºm húu
hi»u cõa mët tªp hñp trong khæng gian câ thù tü sinh bði nân ¢ d¨n
tîi vi»c nghi¶n cùu c¡c b i to¡n tèi ÷u kh¡c nhau.
Sau â l½ thuy¸t n y ÷ñc ph¡t triºn cho nhúng b i to¡n li¶n quan
¸n ¡nh x¤ a trà trong khæng gian væ h¤n chi·u. Nhúng ành ngh¾a, t½nh
ch§t, sü ph¥n lîp,... c¡c ¡nh x¤ ìn trà d¦n d¦n ÷ñc mð rëng cho ¡nh
x¤ a trà. Berge ¢ ÷a ra c¡c kh¡i ni»m kh¡c nhau cõa ¡nh x¤ a trà.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
â l t½nh nûa li¶n töc tr¶n, nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ a rà. T÷ìng
tü kh¡i ni»m lçi tr¶n, lçi d÷îi, Lipshitz tr¶n, Lipshitz d÷îi, t½nh kh£ vi,
kh£ d÷îi vi ph¥n,... công ÷ñc ÷a ra. Tø nhúng kh¡i ni»m n y ng÷íi
ta t¼m ÷ñc nhúng i·u ki»n c¦n v õ kh¡c nhau cho c¡c b i to¡n tèi
÷u, v công x¥y düng ÷ñc l½ thuy¸t tèi ÷u cho nhi·u lîp b i to¡n nh÷
lçi, Lipshitz,...Rçi mð rëng k¸t qu£ cho c¡c b i to¡n tüa nh÷: b i to¡n
tüa tèi ÷u, b i to¡n tüa c¥n b¬ng,...
Möc ½ch cõa luªn v«n l tr¼nh b y i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m
cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I v b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng
qu¡t lo¤i II. çng thíi nghi¶n cùu mèi quan h» giúa hai b i to¡n n y
vîi mët sè b i to¡n kh¡c nh÷ b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n, b i
to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n,...Tø â cho ta c¡ch nh¼n bao qu¡t v· mèi
quan h» giúa c¡c b i to¡n kh¡c nhau trong l½ thuy¸t tèi ÷u v²c tì.
Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng v t i li»u tham kh£o. Cö
thº l
Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
Ch÷ìng 2: B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I
Ch÷ìng 3: B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i II
Cuèi còng, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y gi¡o GS. TSKH
Nguy¹n Xu¥n T§n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, t¤o måi i·u ki»n gióp
ï tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ
nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n Tr÷íng H S÷
ph¤m H Th¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng
d¤y kho¡ håc, xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v
c¡c b¤n còng lîp cao håc To¡n K17 ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n v gióp
ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp v l m luªn v«n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Ch֓ng 1
Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· c¡c khæng gian th÷íng
dòng, ¡nh x¤ a trà v mët sè t½nh ch§t cõa nâ düa tr¶n t i li»u [6].
1.1 Mët sè khæng gian cì b£n
Trong to¡n håc hay b§t k¼ mët ng nh khoa håc n o kh¡c, mët b i
to¡n ÷ñc °t ra bao gií công gn vîi mët khæng gian n o â. V¼ vªy
vi»c nghi¶n cùu to¡n håc nâi chung, v nhúng b i to¡n cö thº trong to¡n
håc nâi ri¶ng, tr÷îc h¸t ta ph£i quan t¥m tîi c¡c khæng gian cõa b i
to¡n. Méi b i to¡n ph£i gn vîi mët hay nhi·u khæng gian nh§t ành.
Trong ch÷ìng n y ta nhc l¤i nhúng khæng gian cì b£n m trong c¡c
ch÷ìng sau cõa luªn v«n th÷íng · cªp ¸n.
1.1.1 Khæng gian metric
ành ngh¾a 1.1.
a) Vîi méi c°p ph¦n tû x, y cõa tªp hñp X ·u câ x¡c ành theo mët qui
tc n o â, mët sè thüc ρ(x, y),, gåi l kho£ng c¡ch giúa x v y;
b) Qui tc nâi tr¶n thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y:
(i) ρ(x, y) > 0, n¸u x 6= y; ρ(x, y) = 0, n¸u x = y;
(ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
(iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z.
H m sè ρ(x, y) ÷ñc gåi l metric cõa khæng gian X , v (X, ρ) ÷ñc
gåi l khæng gian metric.
1.1.2 Khæng gian ành chu©n
ành ngh¾a 1.2. Khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n l c°p (X, k.k),
trong â X l khæng gian tuy¸n t½nh cán k.k l mët ¡nh x¤ X → R thäa
m¢n
(i) ∀x ∈ X , k x k≥ 0 v k x k = 0 khi v ch¿ khi x = 0;
(ii) ∀x, y ∈ X , k x + y k≤k x k + k y k;
(iii) ∀x ∈ X , ∀λ ∈ K , k λx k =k λ kk x k.
1.1.3 Khæng gian Hilbert
ành ngh¾a 1.3. Cho X l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng K
{R, C}.
H m sè h., .i : X × X
→K
÷ñc gåi l t½ch væ h÷îng tr¶n
=
X
n¸u
(i) hy, xi = hx, yi, ∀x, y ∈ X . ( k½ hi»u hx, yi ch¿ sè phùc li¶n hñp cõa sè
phùc hy, xi);
(ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y ∈ X;
(iii) hλx, zi = λhx, zi, ∀λ ∈ K;
(iv) hx, xi ≥ 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
Khæng gian X ÷ñc trang bà t½ch væ h÷îng gåi l khæng gian ti·n
Hilbert.
Trong khæng gian ti·n Hilbert ta luæn câ b§t ¯ng thùc CauchySchwarz sau
| hx, yi |2 ≤ hx, xi.hy, yi, ∀x, y ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
10 
3 
128 
