Tài liệu Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––– PHẠM VIỆT HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------- PHẠM VIỆT HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: LL và PPDH bộ môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đào Thái Lai THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu trong đề tài này là trung thực và chưa công bố trong bất kì công trình nào trước đây. Những số liệu, nhận xét đánh giá được tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo. Nếu có phát hiện bất kì gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng, cũng như kết quả luận văn của mình. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016 Tác giả luận văn Phạm Việt Hà i LỜI CẢM ƠN Sau gần 2 năm học tập và nghiên cứu tại khoa toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên với mong muốn nâng cao chất lượng học tập cho học sinh THCS. Tôi đã hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học “bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình” với sự giúp đỡ tận tình của PGS. TS Đào Thái Lai. Để hoàn thành được đề tài này, trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo - PGS. TS Đào Thái Lai người đã đồng hành, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình tôi nghiên cứu và thực hiện luận văn. Sau nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã có những góp ý, nhận xét giúp tôi có sự điều chỉnh để đề tài đạt hiệu quả cao hơn. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng đề tài không tránh khỏi những sai sót, tôi mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016 Tác giả luận văn Phạm Việt Hà ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii MỤC LỤC ....................................................................................................... iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. iv DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................ v MỞ ĐẦU .......................................................................................................... v 1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu, nội dung nghiên cứu ................................................ 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 3 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 3 6. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 3 7. Những đóng góp của luận văn ..................................................................... 3 8. Cấu trúc của luận văn ................................................................................. 4 PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 5 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 5 1.1. Toán học với đời sống thực tiễn của con người ........................................ 5 1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người ............................... 5 1.1.2. Toán học và các môn khoa học khác ..................................................... 6 1.2. Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học cơ sở ...................................................................................................................... 7 1.2.1. Nguồn gốc của năng lực ......................................................................... 7 1.2.2. Quan niệm về năng lực .......................................................................... 8 1.2.3. Phương pháp mô hình hóa ..................................................................... 9 1.3. Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS .................................................... 18 1.3.1. Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn trên thế giới và trong khu vực ............................ 19 iii 1.3.2. Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn trong nước ........................................................... 21 1.4. Thực trạng dạy học mô hình hóa toán học ở trường THCS thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình ..................................... 24 1.4.1. Học sinh ............................................................................................... 24 1.4.2. Giáo viên .............................................................................................. 25 1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................... 26 Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN ...................................................................................... 27 2.1. Các định hướng cho việc xác định các biện pháp sư phạm .................... 27 2.2. Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn ................................................ 27 2.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong của hoạt động mô hình hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học phương trình - hệ phương trình 28 2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tiễn ................................................................... 36 2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chình mô hình toán học ............................ 47 2.2.4. Biện pháp 4: Làm rõ quá trình vận dụng phương trình và hệ phương trình vào thực tiễn trong dạy học toán; trên cơ sở đó, bồi dưỡng các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn ........................... 59 2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra các bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn. ............. 63 2.3. Thiết kế, lựa chọn hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn chủ đề phương trình - hệ phương trình .................................................................... 68 2.4. Tận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn gắn với cuộc sống thường ngày của học sinh........................................................................................... 81 2.5. Kết luận chương 2 ................................................................................... 83 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 85 iv 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................. 85 3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 85 3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ............................................................ 85 3.4. Tổ chức thực nghiệp sư phạm ................................................................ 86 3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................. 86 3.5.1. Phân tích định lượng ........................................................................... 87 3.5.2. Phân tích định tính .............................................................................. 93 3.6. Kết luận chương 3 ................................................................................... 93 KẾT LUẬN .................................................................................................... 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 957 PHỤ LỤC v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS Học sinh GV Giáo viên THCS Trung học cơ sở TN Thực nghiệm ĐC Đối chứng BTTT Bài toán thực tiễn iv DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống ..........25 Bảng 1.2. Bảng thống kê về tình hình sử dụng mô hình hóa toán học trong trường THCS ............................................................................................. 25 Bảng 2.1. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.7 ...................38 Bảng 2.2. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.16 ............49 Bảng 2.3. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.17 ............50 Bảng 2.4. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.17 .................51 Bảng 2.5. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 .................52 Bảng 2.6. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 .................53 Bảng 2.7. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.19 .................54 Bảng 2.8. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.20 .................55 Bảng 2.9. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.23 .................58 Bảng 2.10. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.32 ...............71 Bảng 2.11. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.33 ...............71 Bảng 2.12. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.34 ...............72 Bảng 2.13. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.35 ...............73 Bảng 2.14. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.38 ...............75 Bảng 2.15. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong 2.39 ........................76 Bảng 2.16. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.41 ...............77 Bảng 2.17. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.42 ...............78 Bảng 2.18. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.43 ...............79 Bảng 2.19. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.44. ..............80 Bảng 3.1. Nội dung các tiết dạy thực nghiệm sư phạm ...............................................85 Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra chất lượng học kì I năm học 2015 - 2016 của hai lớp 9A và 9B .....................................................................................................86 Bảng 3.3. Thời gian dạy thực nghiệm sư phạm ........................................................... 86 Bảng 3.4. Bảng phân bố tầ n số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 9A và lớp 9B trường THCS Yên Thọ .........................................................................91 Bảng 3.5. Bảng kết quả xử lý số liệu thống kê của HS hai lớp 9A và lớp 9B trường THCS Yên Thọ ........................................................................................... 91 v iv MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong những năm cuối thế kỉ 20 đầu thế kỉ 21, tình hình kinh tế thế giới có hai đặc điểm nổi bật đó là: kinh tế thế giới đang dần chuyển sang giai đoạn kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa của nền kinh tế. Nguyên nhân dẫn đến các đặc điểm trên chính là các thành tựu về khoa học - công nghệ đặc biệt là thành tựu của công nghệ thông tin. Trước tình hình đó ngành giáo dục với nhiệm vụ chuẩn bị lực lượng lao động cho xã hội đòi hỏi cũng phải đổi mới để đáp ứng tình hình xã hội. Giáo dục trong những năm gần đây đang tập trung đổi mới hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại bắt kịp với xu hướng chung của thế giới. Một trong những định hướng quan trọng hiện nay là tổ chức hoạt động giáo dục gắn liền với thực tiễn. Điều này được cụ thể và quy định trong luật giáo dục của nước ta (năm 2005) tại chương 1, điều 3, khoản 2: “Hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội”. Vì vậy với việc dạy học nói chung và dạy học môn toán nói riêng việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn là cấp thiết và mang tính thời sự. Trong các giai đoạn của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn thì bước lập mô hình toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởi các phương pháp toán học chỉ có thể thực hiện trên các mô hình toán học. Rõ ràng nếu không thiết lập được mô hình toán học của bài toán thực tiễn thì không thể giải được các bài toán thực tiễn. Tuy nhiên qua khảo sát việc dạy môn toán ở một số trường trung học cơ sở tại địa phương thì việc quan tâm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán có nội dung thực tiễn cho học sinh của giáo viên còn nhiều hạn chế. Giáo viên chủ yếu quan tâm tới việc cho học sinh đi tìm lời giải của các bài toán thuần túy mặc dù ý thức được việc xây dựng mô hình toán học cho các bài toán thực tiễn là hết sức quan trọng. Một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là giáo viên chưa chủ động xây dựng tuần tự các hoạt động cụ thể trong dạy học mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh. Nguyên nhân sâu xa hơn nữa có thể là họ thiếu các tài liệu định hướng việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn 1 cho học sinh. Chính vì thế, tôi nhận thấy rằng rất cần có những nghiên cứu để đề xuất các biện pháp cụ thể nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh. Đã có nhiều nghiên cứu về mô hình hóa toán học (của các tác giả trong nước và nước ngoài), tuy nhiên trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ tôi muốn vận dụng các kết quả nghiên cứu đi trước vào phần dạy học phương trình và hệ phương trình ở trung học cơ sở. Rất nhiều những vấn đề quan trọng của đời sống thực tiễn thuộc về những bài toán của phương trình - hệ phương trình. Phương trình và hệ phương trình có mối liên hệ mật thiết với đời sống thực tiễn. Nội dung nổi bật trong lý thuyết về phương trình - hệ phương trình là giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình), nó đóng một vị trí quan trọng trong nhiều lĩnh vực như: nông nghiệp, giao thông vận tải, kinh tế… Do vậy các kiến thức về phương trình và hệ phương trình đã được đưa vào ngay chương trình môn toán ở trường trung học cơ cở. Cho đến nay, các tri thức này được trình bày một cách có hệ thống. Cụ thể là phương trình được trình bày trong chương III (SGK lớp 8 - phần đại số) và chương IV (SGK lớp 9 - phần đại số), hệ phương trình được trình bày trong chương III (SGK lớp 9 - phần đại số). Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu sau:“Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh khi dạy học nội dung phương trình - hệ phương trình ở THCS. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu, nội dung nghiên cứu - Tìm hiểu cơ sở lí luận về vấn đề mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn. - Tìm hiểu chương trình giáo dục bộ môn toán ở bậc THCS, nội dung sách giáo khoa toán lớp 8 và lớp 9; yêu cầu về mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán THCS; xây dựng các tình huống có thể giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa tình huống thực tiễn khi học chủ đề phương trình và hệ phương trình. 2 - Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trong dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình. - Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực mô hình hóa các tình huống thực tiễn cho học sinh khi dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình ở trường THCS. - Phạm vi nghiên cứu: Phần dạy học phương trình và hệ phương trình ở các lớp 8, 9 trường THCS. 5. Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên quan tới đề tài, các vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS. - Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với một số giáo viên dạy môn toán ở trường THCS. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thử nghiệm sư phạm tại một số trường THCS để xem xét tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu. 6. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở lí luận và thực tiễn, xác định một số thành tố cơ bản của năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS. Trên cơ sở đó, nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học các bài toán thực tiễn khi dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình sẽ góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh và phát huy tối đa, tối ưu năng lực mô hình hóa toán học của học sinh. 7. Những đóng góp của luận văn 7.1. Về mặt lí luận - Đưa ra quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THCS, trên cơ sở phân tích hoạt động mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn. Luận văn cũng đã mô tả hoạt động này đối với học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán đồng 3 thời xác định các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học làm cơ sở cho việc hình thành và phát triển năng lực này ở người học. - Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh qua dạy học phương trình và hệ phương trình. 7.2. Về mặt thực tiễn - Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp giáo viên phổ thông nhận thức và hành động trong thực tiễn giảng dạy, theo hướng tăng cường xây dựng mô hình hóa toán học cho học sinh. - Hệ thống các bài tập, ví dụ trong luận văn là tư liệu tốt cho giáo viên THCS tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học. 8. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn . Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 4 PHẦN NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Toán học với đời sống thực tiễn của con người 1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người Trong cuộc sống thường ngày chúng ta luôn phải đối mặt với cuộc sống, chúng ta phải mua bán, tính toán lỗ lãi, trong đầu luôn thường trực một vấn đề: làm sao để có lợi cho mình nhất. Đặc biệt, trước khi làm một việc gì đó quan trọng, chúng ta đều phải đưa ra những phán đoán. Trong cuộc sống hiện đại ngày nay, một cuộc sống đa chiều nhiều biến động, chúng ta càng cần phải tính toán; có thể nói: chỉ có khi đi ngủ mới không để phép tính trong đầu. Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt gặp những “hình ảnh” của toán học: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những đóa hoa hướng dương hình tròn, có số cánh được bố trí theo các số hạng của dãy Fi-bôna-xi; những con ong xây tổ theo những hình lục giác đều,… Galilê nói: “Thiên nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình tam giác và các hình toán học khác” [26]. Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi kéo họ vào khám phá và cải tạo thế giới. Trong lao động tạo ra của cải cho xã hội, con người đã phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất. Bởi vậy, họ phải tính toán đến chất lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu,... Tất cả những vấn đề đó đều liên quan đến toán học. Khác với các động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách vở, trong đó có tri thức toán học. Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát triển vốn tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời sống thực tiễn của bản thân mình. Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng và phong phú: học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ tổ quốc. Không phải khi nào cũng cho phép chúng ta ngồi trong một phòng học đầy đủ các phương tiện để giải quyết các vấn đề được đặt ra. Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một toà nhà mà không có dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa vị trí của ta và mục tiêu của địch,… Gặp 5 những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo, sử dụng phương pháp toán học, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ. Tóm lại, quá trình sản xuất vào đời sống ngày càng được tự động hóa thì xã hội ngày càng trở nên nhân tạo và vai trò của toán học ngày càng lớn. Dĩ nhiên không phải hiện tượng xã hội nào cũng có thể được mô phỏng qua mô hình toán học, nhưng không gì có thể ngăn cản sự tò mò, sáng tạo và khát khao chinh phục những vùng đất mới của các nhà toán học. Hàng ngàn năm trước nhà triết học Socrates đã nói: “Hãy đo, hãy đo, dù không phải lúc nào cũng đo được”. Các nhà toán học một cách ý thức hay vô thức hình như đang đi theo lời kêu gọi đó. Họ trở thành một lực lượng đông đảo, có đóng góp lan tỏa rộng rãi khắp trong đời sống. Toán học ngày nay đã trở thành một nghề nghiệp, đảm bảo việc làm cho hàng chục vạn người làm toán trên toàn thế giới, góp phần phát triển và ổn định xã hội. 1.1.2. Toán học và các môn khoa học khác Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống… Điều đó nói lên vai trò của toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học… Cơ học và vật lí không thể phát triển được nếu không có toán học. Nhưng điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng khoa học kĩ thuật là bên cạnh những ứng dụng của toán học vào kĩ thuật và sản xuất thông qua vật lí và cơ học thì những ứng dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng. Một lĩnh vực không thể không nhắc đến trong cuộc sống đã chịu sự xâm nhập của phương pháp toán học và điều khiển học là y học - ngành khoa học có lịch sử rất lâu đời và cũng tích lũy được nhiều kinh nghiệm phong phú. Trải qua hàng ngàn năm, y học đã biết đến hàng triệu căn bệnh khác nhau và có những phương pháp chữa trị bệnh khác nhau. Ngày nay nhờ các trang thiết bị máy móc hiện đại và phương pháp tính toán, việc sử dụng các phương pháp thống kê toán học và máy tính điện tử có thể giúp con người khai thác triệt để các kinh nghiệm và đoán bệnh một cách chính xác, hiệu quả. 6 Một lĩnh vực khác mà vai trò của toán học có nhiều kết quả đáng kể là kinh tế học. Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất. Ai cũng biết không phải chỉ cần có kĩ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất tốt mà điều quan trọng ở đây là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất một cách khoa học để phát huy một cách hiệu quả các kĩ thuật và máy móc ấy. Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phương án tốt nhất. Bài toán về “sự lựa chọn” ấy đã được một số nhà khoa học chú ý nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết. Kết quả là đã ra đời một môn khoa học về các vấn đề đó gọi là vận trù học. Tóm lại, toán học có vai trò to lớn với sự phát triển của các ngành khoa học, kĩ thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Còn một đặc điểm rất quan trọng của tình hình khoa học hiện nay là: song song với việc phân hóa theo chuyên môn, đang hình thành một xu hướng tổng hợp, thống nhất các khoa học còn lại. Nổi bật một nét mới là các khoa học ngày càng ‘‘toán học hóa’’ có nghĩa là ngày càng được sư dụng rộng rãi hơn các phương pháp toán học. 1.2. Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học cơ sở 1.2.1. Nguồn gốc của năng lực Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của năng lực, tài năng. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn: + Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triên năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng lực). + Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người từ khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được. Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau trong môi trường văn hóa - xã hội. 7 + Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của các hoạt động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo. 1.2.2. Quan niệm về năng lực Khi phát triển chương trình giáo dục, đa số các nước không chỉ chú trọng đến kiến thức, kĩ năng mà còn quan tâm đến phát triển năng lực cho học sinh. Tiếp cận năng lực trong phát triển chương trình giáo dục các trình độ đã trở thành xu hướng của thời đại. Cần có một cách hiểu thống nhất về khái niệm năng lực. Theo đó năng lực là khả năng huy động tổng hợp các kiến thưc, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… để thực hiện thành công một loại việc nào trong một bối cảnh nhất định. Trong giáo dục, người ta xem xét các năng lực chung và các năng lực đặc thù môn học. * Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực tưởng tưởng. Năng lực chung bao gồm các các nhóm sau: - Nhóm các năng lực phát triển cá nhân: năng lực và tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. - Nhóm các năng lực xã hội: Năng lực giao tiếp và năng lực hợp tác. - Nhóm các năng lực công cụ: năng lực tính toán, năng lực sử dụng công nghệ thông tin. * Các năng lực đặc thù môn học Theo tác giả Trần Kiều thì có thể đề xuất một số các năng lực đặc thù môn toán như sau: - Năng lực tư duy với các thao tác chủ yếu như: Phân tích và tổng hợp, so sánh, đặc biệt hoa, khái quát hóa… - Năng lực giải quyết vấn đề: Đây là một trong những năng lực mà môn toán có nhiều thuận lợi để phát triển… 8 - Năng lực mô hình hóa toán học: năng lực này thể hiện ở việc học sinh có thể phân tích tình huống thực tế, đề xuất các yếu tố không bản chất, đi tới một mô hình toán học… - Năng lực biểu diễn toán học - Năng lực giao tiếp (qua nói hoặc viết) - Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán Từ quan niệm năng lực trên, có thể hình dung rằng dạy học nhằm phát triển năng lực sẽ làm đổi mới việc xác định mục đích dạy học, phương pháp và hình thức dạy học và cả phương pháp đánh giá. Theo Xavier Roegeiers [62], để phát triển năng lực người học, cần chú trọng hơn tới việc tổ chức hệ thống các tình huống học tập, trong đó học sinh buộc phải hoạt động trong tìm hiểu tình huống, phát hiện và giải quyết vấn đề, khi giải quyết vấn đề học sinh buộc phải huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và nhiều phẩm chất khác, phải tìm kiếm thông tin, tương tác với môi trường học tập, giáo tiếp với giáo viên, với bạn học và những người khác để giải quyết vấn đề, nhờ đó phát triển được năng lực mong muốn. 1.2.3. Phương pháp mô hình hóa Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng. 1.2.3.1. Quan niệm về mô hình Quan niệm về mô hình có thể được hiểu như sau: Hai hệ thống A và B được gọi là đẳng cấu với nhau khi tồn tại một song ánh từ A lên B sao cho bảo toàn các mối quan hệ. Do A và B là đẳng cấu, nên khi nghiên cứu B, phát hiện được các thuộc tính nào đó thì cũng rút ra được kết luận rằng A cũng có các thuộc tính như thế. Trong nhiều trường hợp, vì A là khá phức tạp, người ta tìm cách nghiên cứu B đơn giản hơn, nhưng đẳng cấu về toán học với A. Lúc này B được gọi là một mô hình của A. 1.2.3.2. Các đặc trưng của mô hình - Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô 9 hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Iu. M. Xviregiev cho rằng: “Mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả” và ông khẳng định rằng: “Mô hình có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới” [27, tr.28]. Tuy nhiên, không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu, cho nên nó có thể phức tạp hơn vật gốc. - Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực [59, tr. 177]. - Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên việc lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản. - Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến. Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn. Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả các hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các mô hình của các khoa học khác. Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cũng cho rằng: “Mô hình 10