Tài liệu Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma và ứng dụng (lv01113)

  • Số trang: 64 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 637 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma và ứng dụng" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân tôi. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc Mục lục Mở đầu 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1. Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức . . . . . . . . 8 1.1.1. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số phức . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2. Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. TÍCH VÔ HẠN 25 2.1. Một số khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . 25 2.2. Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Tích vô hạn hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Định lý Tannery và hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1. Định lý Tannery đối với chuỗi . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2. Định lý Tannery đối với tích vô hạn . . . . . . . . . 35 2.5. Công thức tích Euler và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.1. Công thức tích Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2. Ứng dụng công thức tích của Euler . . . . . . . . . 39 2.6. Tích chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 3. BIỂU DIỄN TÍCH VÔ HẠN CỦA HÀM GAMMA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 43 3.1. Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma . . . . . . . . . . . 43 3.1.1. Công thức tích vô hạn thứ nhất . . . . . . . . . . . 43 3.1.2. Công thức tích vô hạn thứ hai . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3. Một số tính chất của hàm gamma . . . . . . . . . . 46 3.2. Mối quan hệ giữa hàm gamma với các hàm khác . . . . . . 53 3.2.1. Hàm zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2. Hàm beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Biểu diễn một số tích phân qua hàm gamma. . . . . . . . . 56 3.3.1. Tích phân Wallis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.2. Tích phân Rabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4. Ứng dụng công thức tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong toán học có thể nói rằng hàm gamma luôn thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học nổi tiếng nhất ở mọi thời đại. Về mặt lịch sử đã có nhiều tài liệu phản ánh sâu sắc về ý nghĩa cũng như tầm quan trọng của hàm gamma. Tuy nhiên, đáng kể hơn cả người ta phải kể đến bài báo của nhà toán học Philip J. Davis mà ông đã giành giải thưởng Chauvenet năm 1963. Trong đó, ông đã phản ánh nhiều các diễn biến nổi bật của nền toán học từ thế kỷ 18. Theo lời của Davis: “Mỗi thế hệ đều đã tìm thấy một cái gì đó quan tâm để nói về hàm gamma. Có lẽ các thế hệ tiếp theo cũng sẽ còn như vậy”. Vấn đề mở rộng khái niệm giai thừa với đối số không phải là số nguyên được xem xét đầu tiên bởi Daniel Bernoulli và Christian Goldbach trong những năm 1720. Nó đã được giải quyết vào cuối thập kỷ này bởi Leonhard Euler. Trong một bức thư ngày 13 tháng 10 năm 1729 gửi cho nhà toán học Goldbach, ông đưa ra định nghĩa đầu tiên của hàm này dưới dạng  k 1 1+ ∞ Y k n! = n . 1 + k=1 k Ông viết cho Goldbach một lần nữa vào ngày 08 tháng 01 năm 1730, công bố khám phá của ông về biểu diễn dưới dạng tích phân của giai thừa Z1 n! = (− ln s)n ds; n > 0. 0 Bằng cách đổi biến t = − ln s, công thức trên trở thành tích phân Euler quen thuộc ngày nay. Ông công bố kết quả của mình trong bài báo “De 4 progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt” tại học viện St Petersburg ngày 28 tháng 11 năm 1729. Ngoài ra, Euler cũng phát hiện được thêm một số tính chất quan trọng khác của hàm gamma. Tới thế kỷ 19, Carl Friedrich Gauss đã viết lại tích của Euler dưới dạng mz m! Γ(z) = lim m→∞ z(z + 1)(z + 2)...(z + m) và sử dụng công thức này để thu được nhiều tính chất mới của hàm gamma. Mặc dù Euler là người tiên phong trong lý thuyết của hàm biến phức, nhưng ông không đi đến được việc xem xét giai thừa của một số phức. Gauss là người đầu tiên đã làm điều đó, ông chứng minh định lý về tích của hàm gamma. Bên cạnh đó, ông cũng phát hiện ra mối liên hệ giữa hàm gamma và tích phân elliptic. Nhà toán học Weierstrass thiết lập thêm nữa vai trò của hàm gamma trong giải tích phức, bắt đầu từ việc đưa ra biểu diễn tích khác của hàm này dưới dạng ∞ z −1 z e−γz Y  Γ(z) = 1+ ek z k k=1 ở đó γ là hằng số Euler-Mascheroni. Đầu tiên, Weierstrass viết dạng tích 1 của hàm được lấy trên các không điểm chứ không phải là cực điểm Γ (z) của nó. Từ kết quả này, ông đã chứng minh được định lý mà như ngày nay được biết với tên gọi “Định lý thác triển Weierstrass ” - bất kỳ hàm nguyên nào cũng có thể viết dưới dạng một tích trên các không điểm của nó trong mặt phẳng phức. Đây là một dạng tổng quát định lý cơ bản của đại số. Tên và ký hiệu của hàm gamma đã được giới thiệu bởi Legendre vào khoảng năm 1811, Legendre cũng viết lại định nghĩa dạng tích phân của Euler như đang dùng hiện tại. Hầu hết ứng dụng của các hàm đặc biệt trong toán học ra đời từ việc 5 giải các phương trình vi phân xuất hiện trong lĩnh vực Vật lý và nhiều ngành khoa học khác. Tuy nhiên, hàm gamma không xuất hiện từ việc tìm lời giải cho bất kỳ phương trình vi phân đơn giản nhất. Năm 1887, H öder đã chứng minh rằng hàm gamma không thỏa mãn bất kỳ phương trình vi phân đại số nào. Với ý nghĩa và tầm quan trọng về hàm gamma, được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma và ứng dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Luận văn nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức; khái niệm và các tính chất cơ bản của tích vô hạn, hàm gamma. - Nghiên cứu diểu diễn của hàm gamma qua tích vô hạn. Biểu diễn một số tích phân quan trọng thông qua giá trị của hàm gamma, dùng tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann. 3. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và hàm gamma. - Biểu diễn một số tích phân thông qua giá trị của hàm gamma. - Dùng tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann. 4. Phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo. - Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài. 6 5. Dự kiến đóng góp của đề tài Luận văn trình bày chi tiết nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn; khái niệm và các tính chất cơ bản về hàm gamma. Ngoài ra, luận văn đưa ra ứng dụng của hàm gamma về biểu diễn một số tích phân qua hàm này và sử dụng công thức biểu diễn tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann. 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức 1.1.1. Các tính chất cơ bản Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ta kí hiệu tương ứng bởi x = Rez, y = Imz. Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng C→R z = x + iy 7→ (x, y). Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) và z1 .z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + y1 x2 ) . Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phức z là p |z| = x2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Rez = z + z̄ z − z̄ ; Imz = 2 2i 8 và z̄ 1 = 2 với z 6= 0. z |z| Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R |z|2 = z.z̄; được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ. Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) . 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức Dãy số phức {zn } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và được viết là w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = 0. n→∞ n→∞ Dễ dàng kiểm tra rằng ( w = lim zn ⇔ n→∞ lim Rezn = Rew n→∞ lim Imzn = Imw n→∞ Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu |zn − zm | → 0 khi m, n → ∞. Điều đó tương đương với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên dương N sao cho |zn − zm | < ε với mọi n, m ≥ N. 1.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số phức Giả sử ta có dãy số phức hoàn toàn xác định và khác ∞: z1 , z2 , . . . , zn , . . . Biểu thức X zn = z1 + z2 + · · · + zn + · · · . (1.1) n>1 được gọi là một chuỗi số trên C, còn biểu thức X Sn = zk , (1.2) 16k6n được gọi là tổng riêng (thứ n) của chuỗi (1.1). Ta có định nghĩa sau đây 9 Định nghĩa 1.1. Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim Sn = S. n→∞ Nghĩa là: ∀ε > 0, ∃N = N (ε) , N ∈ N : ∀n > N ⇒ |Sn − S| < ε. Số S được gọi là tổng của chuỗi (1.1). Nếu lim Sn không tồn tại hoặc bằng n→∞ ∞ thì ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ. Điều kiện cần đối với sự hội tụ của chuỗi (1.1) thu được từ việc chuyển qua giới hạn đẳng thức Sn − Sn−1 = zn và nó có dạng lim zn = 0. (1.3) n→∞ Điều kiện đó chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều đủ, nghĩa là: nếu điều kiện (1.3) không được thỏa mãn thì chuỗi không thể hội tụ. Nhưng P 1 có những chuỗi (ví dụ như ) thỏa mãn điều kiện (1.3) nhưng lại phân n>1 n kỳ. Định lý 1.1. Chuỗi số phức P zn , zn = xn + iyn hội tụ khi và chỉ khi các n>1 chuỗi X xn ; n>1 X yn n>1 đồng thời hội tụ. Chứng minh. Thật vậy ta đặt Sn = σn + iτn = X 16k6n xk + i X yk . 16k6n Từ đó suy ra kết luận của định lý. Định lý 1.1 cho phép ta đưa việc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số trong miền 10 phức về khảo sát các chuỗi số thực đã quen biết. Chẳng hạn, bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy Sn ta thu được tiêu chuẩn Cauchy đối với các chuỗi: Chuỗi số phức (1.1) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∃n > N (ε) : ∀n > N (ε) và ∀p ∈ N ⇒ |Sn+p − Sn | < ε. Cùng với việc xét chuỗi (1.1) người ta còn xét chuỗi lập nên từ các modul của các số hạng của chuỗi ấy X |zk |. (1.4) k>1 Vì X X |zN +k | zN +k 6 16k6m 16k6m nên theo tiêu chuẩn hội tụ của Cauchy ta kết luận rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ thì chuỗi (1.1) cũng hội tụ. Định nghĩa 1.2. Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi (1.4) hội tụ. Từ tiêu chuẩn hội tụ Cauchy ta suy ra Định lý 1.2. Giả sử zn = xn + iyn . Chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi các chuỗi X n>1 xn ; X yn n>1 đồng thời hội tụ tuyệt đối. Chứng minh. Thật vậy, điều kết luận của định lý được suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức kép sau đây |xn | 6 |zn | 6 |xn | + |yn | và |yn | 6 |zn | 6 |xn | + |yn | 11 1.2. Hàm chỉnh hình Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là khả vi phức hay C_ khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức f (z0 + h) − f (z0 ) ; khi h → 0, h (1.5) ở đó 0 6= h ∈ C với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f 0 (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 . Như vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) . h→0 h f 0 (z0 ) = lim Hàm f gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận của điểm z0 để f là C_ khả vi tại mọi điểm trong lân cận đó. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu chỉnh hình tại mọi điểm thuộc Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M . Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên. Ví dụ 1.1. Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f 0 (z) = 1. Thật vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) (z + h) − z = lim = 1. h→0 h→0 h h f 0 (z0 ) = lim Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n chỉnh hình trên mặt phẳng C và P 0 (z) = a1 + 2a2 z + ... + nan z n−1 . 1 là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C không z 1 chứa điểm gốc và f 0 (z) = − 2 . Thật vậy, ta có z 1 1 − f (z0 + h) − f (z0 ) f 0 (z0 ) = lim = lim z + h z h→∞ h→∞ h  h  1 1 = lim − = − 2. h→∞ z (z + h) z Ví dụ 1.2. Hàm f (z) = 12 Ví dụ 1.3. Hàm f (z) = z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta thấy z̄ + h̄ − z̄ h̄ f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z̄ = = = . h h h h không có giới hạn khi h → 0. Từ đẳng thức (1.5) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ (h) , (1.6) với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ (h) = 0. Dĩ nhiên, ta h→0 0 có a = f (z). Từ công thức (1.6) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục. Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta cũng dễ dàng chứng minh được các phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình. Mệnh đề 1.1. Nếu g và f là các hàm chỉnh hình trên D thì (i) f ± g chỉnh hình trên D và (f ± g)0 = f 0 ± g 0 . (ii) f · g chỉnh hình trên D và (f · g)0 = f 0 · g + · g0. f  0 f f f 0 · g − f · g0 (iii) Nếu g (z0 ) 6= 0 thì chỉnh hình tại z0 và = . g g g2 Hơn nữa, nếu f : D → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì g ◦ f cũng là hàm chỉnh hình trên D và ta có (g ◦ f )0 (z) = g 0 (f (z)) · f 0 (z). Từ ví dụ (1.3), chúng ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệm khả vi thông thường của hai hàm biến thực. Thật vậy, hàm f (z) = z tương ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) 7→ (x, −y). Hàm này khả vi theo nghĩa thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực không bảo đảm tính khả vi phức. Để hàm f khả vi phức, ngoài điều kiện khả vi của hai hàm biến thực chúng ta cần đến điều kiện Cauchy − Riemann. 13 Định lý 1.3. (Điều kiện Cauchy − Riemann). Điều kiện cần và đủ để hàm f (z) = u (x, y) + iv (x, y) khả vi phức tại điểm z = x + iy là các hàm u (x, y) và v (x, y) khả vi thực tại (x, y), đồng thời thỏa mãn điều kiện Cauchy − Riemann ∂u ∂v ∂u ∂v = ; = . ∂x ∂y ∂y ∂x 1.3. Tích phân phức Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình là tích phân của hàm dọc theo đường cong. Trước tiên chúng ta trình bày một số khái niệm về đường cong và miền. Đường cong tham số là một hàm z (t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặt phẳng phức. Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z 0 (t) trên [a, b] và z 0 (t) 6= 0 với mọi t ∈ [a, b]. Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z (t) liên tục trên [a, b] và tồn tại các điểm a = a0 < a1 < . . . < an = b sao cho z (t) là trơn trên mỗi đoạn [ak , ak+1 ] , (0 6 k 6 n − 1) . Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z : [c, d] → C được gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s 7→ t (s) từ [c, d] vào [a, b] sao cho t0 (s) > 0 và z (s) = z (t (s)). Điều kiện t0 (s) > 0 đảm bảo rằng hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ c đến d thì t chạy từ a đến b. Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với z (t) xác định một đường cong γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn [a, b] qua z với hướng cho bởi z khi t chạy từ a đến b. Chúng ta có thể xác định đường cong γ − thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngược hướng. Như một dạng tham số hóa đặc biệt đối với γ − , chúng ta có thể lấy z : [a, b] 7→ R2 14 xác định bởi z (t) = z (b + a − t) . Các điểm z (a) và z (b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong. Bởi vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với t chạy từ a đến b, nên một cách tự nhiên gọi z (a) là điểm đầu và z (b) là điểm cuối của đường cong. Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z (a) = z (b) với tham số hóa bất kỳ của nó. Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là z (s) 6= z (t) trừ khi s = t. Đường cong trơn, đóng được gọi là chu tuyến. Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây (i) D là tập mở. (ii) Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong liên tục L ⊂ D nối a với b. Miền giới hạn bởi chu tuyến gamma được ký hiệu là Dγ . Miền D được gọi là đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có Dγ ⊂ D. Miền thu được từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n miền Dγ1 , Dγ2 , . . . , Dγn không giao nhau trong D được gọi là miền (n + 1)-liên (khi không cần phân biệt rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên). Quy ước. Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theo biên thì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại là chiều âm. Đối với miền D được xét, người ta thường ký hiệu là ∂D cũng là biên của nó lấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm. Định nghĩa 1.3. Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ. Tích phân của hàm f dọc theo γ được cho bởi công thức Zb Z f (z) dz = γ f (z (t)) z 0 (t) dt. a Nếu γ là đường cong có phương trình tham số z = z (t) trơn trên mỗi đoạn [ak , ak+1 ] , (0 6 k 6 n − 1) thì chúng ta có 15 Z a n−1 Zk+1 X f (z) dz = f (z (t)) z 0 (t) dt. k=0 a k γ Nếu viết f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) thì Z b b Z 0 [u (x (t) , y (t)) + iv (x (t) , y (t))] (x0 (t) + iy 0 (y)) dt f (z (t)) z (t) dt = a Za b = Za [u (x (t) , y (t)) x0 (t) dt − v (x (t) , y (t)) y 0 (t) dt] b +i [u (x (t) , y (t)) y 0 (t) dt + v (x (t) , y (t)) x0 (t) dt] . a Từ đó chúng ta nhận được Z Z u (x, y) dx − v (x, y) dy + i f (z) dz = γ Z γ v (x, y) dx + u (x, y) dy. γ Từ công thức trên đây chúng ta thấy tích phân của hàm biến phức trên đường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường. Từ tính chất của tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của tích phân hàm biến phức. Mệnh đề 1.2. Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có các tính chất sau R R R (i) (αf (z) + βg (z)) dz = α f (z) dz + β g (z) dz; với mọi α, β ∈ C. γ γ γ − (ii) Nếu γ là đường cong γ với hướng ngược lại thì Z Z f (z) dz = − f (z) dz. γ− γ (iii) Chúng ta có bất đẳng thức Z f (z) dz 6 sup |f (z)| . độ dài γ. z∈γ γ 16 Ví dụ 1.4. Tính tích phân Z (z − z0 )n dz; n = 0, ±1, ±2, . . . γ trong đó γ là đường tròn tâm tại z0 , bán kính r có phương trình tham số z = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]. Chúng ta có Z Z2π n (z − z0 ) dz = γ re  it n ire  it Z2π dt = i 0 rn+1 ei(n+1)t dt. 0 Nếu n = −1 thì tích phân trên trở thành Z2π Z dz = i dt = 2πi z − z0 γ 0 Nếu n 6= −1 thì tích phân trên trở thành  2π  Z Z (z − z0 )n dz = irn+1  [cos (n + 1) t + i sin (n + 1) t] dt = 0. γ 0 Ví dụ 1.5. Giả sử γ là đường cong trơn tùy ý có phương trình tham số z = z (t) ; t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z (a) và z (b). Khi đó, chúng ta có Zb Z dz = γ a z 0 (t) dt = Zb Zb dx (t) + i a dy (t) a = (x (b) − x (a)) + i (y (b) − y (a)) = z (b) − z (a) , và Zb Z zdz = γ a 1 z (t) z 0 (t) dt = 2 Zb   1 2  d z 2 (t) = z (b) − z 2 (a) . 2 a Từ ví dụ (1.5), chúng ta thấy rằng các tích phân trên không phụ thuộc vào hình dạng của đường lấy tích phân và tích phân bằng 0 theo đường cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo một đường cong đối với hàm chỉnh hình được cho bởi Định lý sau 17 Định lý 1.4. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên trong C với biên ∂D gồm các chu tuyến trơn hoặc trơn từng khúc và f là hàm chỉnh hình trên D, liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có Z f (z) dz = 0. ∂D Chứng minh. Nếu viết f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) thì Z Z f (z) dz = (udx − vdy) + i (vdx + udy). ∂D ∂D Theo định lý Green, chúng ta có Z Z F = dF . D ∂D Nếu F = udx − vdy, theo điều kiện Cauchy-Riemann, chúng ta có  Z Z  ∂v ∂u udx − vdy = − − dxdy = 0. ∂x ∂y D ∂D Tương tự, tích phân phần ảo của f (z) trên ∂D cũng bằng 0. Định lý 1.5. (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f là hàm chỉnh hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến bất kỳ γ ∈ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì 1 f (z) = 2πi Z f (ζ) dζ; với mọi z0 ∈ Dγ . ζ − z0 γ Hơn nữa, nếu hàm f liên tục trên D và ∂D là một chu tuyến thì với mọi z ∈ D ta có 1 f (z) = 2πi Z f (ζ) dζ ζ −z ∂D Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0 sao cho Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S (z0 , ρ) tâm z0 bán kính ρ chứa 18 trong Dγ . Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S (z0 , ρ). Bởi vì f (ζ) là hàm chỉnh ζ − z0 hình với mọi z ∈ Dγ \S (z0 , ρ) nên chúng ta có Z f (ζ) dζ = 0 ζ − z0 γ+Cρ− Từ đó, chúng ta suy ra Z f (ζ) dζ = ζ − z0 γ Z f (ζ) dζ ζ − z0 Cρ Thực hiện phép đổi biến ζ − z0 = ρeit ; 0 6 t 6 2π, chúng ta nhận được Z f (ζ) dζ = ζ − z0 Z2π  Z2π  f z0 + ρeit it it iρe dt = i f z + ρe dt 0 ρeit 0 Cρ 0 Z2π =i    f z0 + ρeit − f (z0 ) dt + 2πif (z0 ) 0 Vì liên tục trên D nên khi ρ → 0 thì Z2π lim ρ→0    f z0 + ρeit − f (z0 ) dt = 0 0 Do đó Z lim ρ→0 f (ζ) dζ = 2πif (z0 ) ζ − z0 Cρ Từ đó, chúng ta suy ra 1 f (z0 ) = 2πi Z f (ζ) dζ ζ − z0 γ Trường hợp f liên tục trên D và f chỉnh hình trên D thì ta có thể thay ∂D cho γ trong chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn. Định lý 1.6. (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu f là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f khả vi vô hạn lần trong D. 19
- Xem thêm -