Tài liệu Bảng tóm tắt kiến thức toán 12 học kỳ 1

www.thuvienhoclieu.com TÓM TẮT KIẾN THỨC ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12 Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Định lí Viet thuận 2. Định lí Viet đảo    S  Nếu  ,  là hai số có:  . P thì chúng là 2 nghiệm phương trình: 2 Phương trình bậc hai ( ax  bx  c 0 )  Tổng 2 nghiệm:  Tích 2 nghiệm: S  x1  x2  P  x1.x2  b a c a x 2  Sx  P 0 3. Điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai  Có 2 nghiệm trái dấu  a.c  0  4. Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa điều kiện cho trước  x1 < a < x 2   0  Có 2 nghiệm cùng dấu  P  0  Có 2 nghiệm cùng dương  Có 2 nghiệm cùng âm  x1  a  0   x  a  0  2   0   S  0 P  0   x1 < x 2 < a  x1  a  0   x  a  0  2   0   S  0 P  0     0  ( x1  a )( x2  a )  0   0  ( x1  a )  ( x2  a )  0 ( x  a )( x  a )  0  1 2 a < x1 < x 2   0  x1  a  0    ( x1  a )  ( x2  a )  0  x2  a  0  ( x1  a )( x2  a )  0 Kiến thức 2: ĐẠO HÀM 1. Hàm sơ cấp 1. Hàm thường gặp  C   0 n  u    u 1  u    2uu  x   1  x   n.x 2. Hàm hợp 1. Hàm thường gặp n 1  x  2 1 x  1   u '    2 u u .u  3. Quy tắc tính * Quy tắc:  u v  ' u 'v '  u.v  ' u '.v  v '.u  u  u '.v  v '.u   v v2 * CT Tính nhanh: 1.  ax  b  ad  bc     cx  d   cx  d  2 www.thuvienhoclieu.com Trang 1 www.thuvienhoclieu.com  1   1    2  x x 2. Hàm lượng giác  sin u   u.cos u  sin x   cos x  cos u    u.sin u  cos x    sin x  tan u     tan x    1 cos 2 x 1  cot x    2 sin x u cos2 u u  cot u    2 sin u 3. Hàm mũ-logarit 3. Hàm mũ-logarit  a  ' u.a .ln a  a  ' a .ln a  e  ' u '.e  e  ' e u'  log a u   u.ln a u'  ln u  '  u x x x x 1  log a x   x.ln a 1  ln x  '  x '  ax 2  bx  c  adx 2  2aex  be  dc 2.    dx  e   dx  e  2   2. Hàm lượng giác u u u u '  ax 2  bx  c  (ab1  a1b)x 2  2(ac1  a 1c)x  (bc1  b1c) 3.  2   (a1x 2  b1x  c1 ) 2  a1x  b1x  c1  4. Ứng dụng 1. Phương trình tiếp tuyến y  f '  x0  .  x  x0   y0  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm f' x +  0  là hệ số góc + 2. Ứng dụng trong vật lí Một chuyển động với quãng đường + Vận tốc: v(t ) s '  t  + Gia tốc: a(t ) v '(t ) s ''  t  st có: Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ 1. Khảo sát sự biến thiên  Các bước khảo sát Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’ không xác định Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến  Áp dụng giải phương trình 2. Tìm cực trị  Cách 1: Dùng BBT (Tương tự các bước như mục 1)  Cách 2: Dùng y’’ Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ + Nếu f tăng (giảm) và f ( x0 ) a thì phương Bước 6: Kết luận y ''( xi )  0  xi là điểm cực đại y ''( xi )  0  xi là điểm cực tiểu trình f ( x ) a có nghiệm duy nhất là x x0 Nếu f tăng và g giảm và f ( x0 ) g ( x0 ) thì + phương trình f ( x ) g ( x ) có nghiệm duy nhất Bước 3: Tìm các nghiệm xi của y’ Bước 4: Tính y '' Bước 5: Tính y ''( xi ) là x x0 + Nếu f tăng (giảm) trên tập xác định D thì: f (u )  f (v )  u v (víi u,v  D) 3. Tìm max, min  Max, min trên đoạn [a;b] Bước 1: Tìm tập xác định 4. Tìm tiệm cận  Tiệm cận ngang www.thuvienhoclieu.com Trang 2 www.thuvienhoclieu.com Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y’ hoặc là điểm mà y’ không xác định trên khoảng (a,b) Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b) Bước 5: So sánh và kết luận Max, min.  Max, min trên khoảng hoặc nửa khoảng Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’ không xác định trên khoảng (a,b) Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Max, min lim y  y1 Bước 1: Tính x    y  y1 là tiệm cận ngang lim y  y2 Bước 2: Tính x     y  y2 là tiệm cận ngang Chú ý: Nếếu hai giới hạn bằằng nhau thì đths có m ột TCN  Tiệm cận đứng Bước 1: Tìm những điểm x0 là những điểm không xác định của hàm số( với hàm phân thức thường là nghiệm của mẫu) lim x  Bước 2: Kiểm tra điều kiện: x  x hoặc lim x   0 x  x0  x x0 là tiệm cận đứng. Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ Số nghiệm y ' y O 2 nghiệm (2 cực trị) 1. Hàm số bậc ba y ax 3  bx 2  cx  d  a 0  y x O a0 a 0 y y 1 nghiệm (0 cực trị) O x x O a 0 www.thuvienhoclieu.com x a0 Trang 3 y www.thuvienhoclieu.com y O O x x Vô nghiệm (0 cực trị) a 0 Số nghiệm y ' a0 2. Hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4  bx 2  c  a 0  3 nghiệm (3 cực trị) a 0 a0 a 0 a0 1 nghiệm (1 cực trị) 3. Hàm phân thức bậc nhất www.thuvienhoclieu.com y ax  b ,  ab  bc 0  cx  d Trang 4 www.thuvienhoclieu.com + Đồ thị không có cực trị + Có tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận ad  bc  0 ad  bc  0 4. Các dạng toán liên quan đến đồ thị  Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm) y  f ( x); y  g ( x) Bước 1: Tìm nghiệm x0 của phương trình hoành độ giao điểm f ( x) g ( x) Bước 2: Thay vào công thức f ( x) hoặc g ( x) . Được tung độ y0  f ( x0 ) g ( x0 ) Công thức: ( x0 ; y0 ) f '( x0 ) y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) là tọa độ tiếp điểm Là hệ số góc * Các trường hợp đặc biệt: + Tiếp tuyến song song với đường thẳng:  Giao điểm M ( x0 ; y0 ) d : y ax  b * Các trường hợp đặc biệt: + Giao với trục hoành (trục Ox):  Phương trình tiếp tuyến y 0  f '( x0 ) a + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: + Giao với trục tung (trục Oy): x 0 d : y ax  b  f '( x0 ).a  1 Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 1. Tịnh tiến đồ thị hàm số   Hàm số y  f x có đồ thị là đường cong  C     Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến  C  lên trên a đơn vị.    Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến  C  xuống dưới a đơn vị.    Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến  C  sang trái a đơn vị.    Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến  C  sang phải a đơn vị. 2. Suy biến đồ thị   Hàm số y  f x có đồ thị là đường cong  C     Đồ thị hs y = -f x : Lấy đối xứng (C) qua Ox    Đồ thị hs y = f -x : Lấy đối xứng (C) qua Oy  Đồ thị hs y = f  x  : + Giữ nguyên phần đồ thị  C  bên phải Oy, bỏ phần bên trái + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  được giữ lại qua Oy. www.thuvienhoclieu.com Trang 5 www.thuvienhoclieu.com    Đồ thị hs y = f x : + Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm trên Ox , bỏ phần đồ thị  C  phía dưới Ox . + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  bị bỏ qua Ox  f  x  0 y  f  x    y f  x   Đồ thị hs + Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm trên Ox , bỏ phần đồ thị nằm phía dưới Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  được giữ lại qua Ox . Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT 1. Lũy thừa  Tính chất a a  a   (a )  Định nghĩa n Lũy thừa mũ nguyên dương: a Lũy thừa mũ nguyên âm: 0 Lũy thừa mũ 0: a 1 m n a n  n Lũy thừa mũ hữu tỉ: a  a  Lũy thừa mũ vô tỉ: a 1 an a a    a ( a 0 ) ( a 0 ) m ( a )  a .  ( a 0) (a 0) ( ab) a b  a a    b b  Định nghĩa n Số a là căn bậc n của b nếu a  Chú ý: 2. Căn bậc n  Tính chất Với a, b là các số dương: b n a. n b  n ab n a na  b b n + Số dương b có 2 căn bậc chẵn:  b n + Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ: b n + 0 0 (n  *, n 2) n www.thuvienhoclieu.com (b  0) Trang 6 www.thuvienhoclieu.com  n a m n n  n a m (a  0) a mn a a a n  a nÕu n lÎ nÕu n ch½n 3. Logarit  Quy tắc tính  Định nghĩa  Với 2 số dương a, b và a 0 :  log a b  a b Logarit thập phân: log10 b log b lg b Logarit tự nhiên:  Tính chất log a a 1 log a 1 0 m Lôgarit của tích: log a (b1.b2 ) log a b1  log a b2 log e b ln b a loga b b log a a  Lôgarit của thương: Lôgarit của lũy thừa log a b1 log a b1  log a b2 b2  : log a b  log a b Đổi cơ số: log a b  Đặc biệt log c b log c a  log c a.log a b log c b : log a b  1 1 log a b  log a b log b a ;  4. So sánh hai lũy thừa và logarit  So sánh hai lũy thừa cùng cơ số  So sánh hai logarit cùng cơ số   a a    log a b1  log a b2  b1  b2 + Nếu a  1 : + Nếu a  1 :   + Nếu 0  a  1 : a  a     + Nếu 0  a  1 : log a b1  log a b2  b1  b2  So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số dương) m m + Nếu m  0 : a  b  a  b m m + Nếu m  0 : a  b  a  b Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. Hàm số lũy thừa  Dạng tổng quát y  x với    2. Hàm số mũ  Dạng tổng quát y a x , ( a  0, a 1). www.thuvienhoclieu.com 3. Hàm số logarit  Dạng tổng quát y log a x, ( a  0, a 1) Trang 7 www.thuvienhoclieu.com TXĐ: +  nguyên dương: D  +  nguyên âm hoặc bằng 0: D  \  0 +  không nguyên:  Đạo hàm ( x )  .x  1. D  0;   TXĐ: D  TXĐ:  Đạo hàm (a x ) a x .ln a x x Đặc biệt: (e ) e Đối với hàm hợp: (a u ) u .a u .ln a u u Đặc biệt: (e ) e .u  Đối với hàm hợp: (u )  .u   1.u ' D  0;   Đạo hàm  log a x    Đặc biệt: 1 x.ln a (ln x)  1 x Đối với hàm hợp:  log a u    Đặc biệt: u u.ln a (ln u )  u u Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình mũ  Phương trình mũ cơ bản x Dạng TQ: a b với 0  a 1 . Nghiệm: + Nếu b 0 thì phương trình vô nghiệm. x + Nếu b  0 thì a b  x log a b .  Một số phương pháp giải - Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1) - Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ) - Logarit hóa. 2. Phương trình logarit  Phương trình logarit cơ bản Dạng TQ: log a x b với 0  a 1 . Điều kiện: x  0 b Nghiệm: log a x b  x a  Một số phương pháp giải (Chú ý đặt điều kiện phương trình) - Đưa về cùng cơ số. - Đặt ẩn phụ. - Mũ hóa. Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Bất phương trình mũ  Bất phương trình mũ cơ bản x Dạng TQ: a  b x x x (hoặc a  b ; a b ; a b ) Nghiệm: + Nếu b<0: (với 0  a 1 ) 2. Bất phương trình logarit  Bất phương trình logarit cơ bản log a x  b (với 0  a 1 ) Dạng TQ: log a x  b; log a x b; log a x b ) (hoặc Điều kiện: x  0 www.thuvienhoclieu.com Trang 8 www.thuvienhoclieu.com x BPT a < b vô nghiệm Nghiệm: x BPT a > b vô số nghiệm + Nếu b>0: x a>1 a >b x  log a b x a 1 loga x > b loga x < b x  ab x  ab 0 < a < 1 x  ab x  ab  Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo chiều  Một số phương pháp giải (Chú ý đặt điều kiện bất phương trình) - Đưa về cùng cơ số. - Đặt ẩn phụ. - Mũ hóa. Kiến thức 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1. Tam giác vuông a 2 b 2  c 2 b 2 ab ' c 2 ac ' h 2 b ' c ' 1 1 1   h2 b2 c 2 ah bc (Pitagpo) b a c cos B sin C  a b tan B cotC  c c cot B tan C  b sin B cos C  2. Tam giác thường Định lí cosin: cosA  b2  c 2  a 2 2bc a 2 b 2  c 2  2bc.cosA  a b c   2 R Định lí sin: sinA sinB sinC 2 2 2 2(b + c )−a m 2= a 4 Độ dài trung tuyến: Diện tích tam giác: 1 1 1 S= ah a = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 S= bcSinA = acSinB= abSinC 2 2 2 S= pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp) abc S= 4 R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) www.thuvienhoclieu.com Trang 9 www.thuvienhoclieu.com S= √ p( p−a)( p−b)( p−c) p abc 2 ) (với Chú ý: Với tam giác đều cạnh a Diện tích: S ABC  a2 3 4 AM  Trung tuyến: 3. Diện tích các hình Hình Abình hành A D cạnh a Hình vuông Diện tích: S ABCD a 2 a 3 2 D S ABCD BC. AH Đường chéo: B C AC  BD a 2 B H  AB. AD .sin A C A D Hình chữ nhật cạnh a, b S ABCD a.b B C Hình thoi A HìnhAthang 1 S ABCD  AC.BD B D 2  AB. AD.sin A C  AB. AD.sin B S B ABCD H  D ( AD  BC ). AH C 2 Kiến thức 11: KHỐI ĐA DIỆN 1. Khối chóp 1 V = B.h 3 Thể tích: 2. Khối lăng trụ S Thể tích: V = B.h D O C Khối chóp tam giác đều S.ABC + Đáy là tam giác đều + Hình chiếu của đỉnh là trọng tâm của đáy + Các cạnh bên bằng nhau. Lăng trụ đều: + Là lăng trụ đứng + Đáy là đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Khối chóp tứ giác đều S.ABCD + Đáy là hình vuông. + Hình chiếu của đỉnh là giao điểm AC và BD. + Các cạnh bên bằng nhau. Tỉ số thể tích VS.A ¢B ¢C ¢ SA ¢ SB ¢ SC ¢ = . . VS.ABC SA SB SC .. Khối hộp chữ nhật: V = abc 3 Khối lập phương: V = a Kiến thức 12: MẶT TRÒN XOAY 1. Mặt nón 2. Mặt trụ A r D h B r Đường sinh: l OM Đường cao: h OI Bán kính đáy: r IM Diện tích xung quanh: Đường sinh: l DC Đường cao: h  AB l Bán kính đáy: r  AD BC S xq  rl 2 Diện tích đáy: S đ  r Diện tích toàn phần: Stp S đ  S xq  r 2   rl 1 V   r 2h 3 Thể tích: C Diện tích xung quanh: S xq 2 rl Diện tích toàn phần: Stp S2 đ  S xq 2 r 2  2 rl 2 r (r  l ) 2 Thể tích: V  r h 3. Mặt cầu 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com 4 V   R3 3 Thể tích khối cầu: Giao của mặt cầu và mặt phẳng Chú ý: 1. OH d (O, (P)) 2. Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn bán kính r , ta có: OH 2 R 2  r 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 12