Tài liệu Bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận đại số gia tử

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG NGUYỄN THỊ HUỆ BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ DÙNG TRONG ĐÁNH GIÁ THEO HƢỚNG TIẾP CẬN ĐẠI SỐ GIA TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG NGUYỄN THỊ HUỆ BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ DÙNG TRONG ĐÁNH GIÁ THEO HƢỚNG TIẾP CẬN ĐẠI SỐ GIA TỬ Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS.Trần Thái Sơn Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là : Nguyễn Thị Huệ Sinh ngày 12 tháng 12 năm 1983 Học viên cao học lớp: K9B- trường Đại học CNTT&TT Thái Nguyên Xin cam đoan : Đề tài luận văn“Bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận đại số gia tử” do TS.Trần Thái Sơn hướng dẫn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Tất cả tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng. Tôi xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng khoa học và trước pháp luật. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2012 Ngƣời cam đoan Nguyễn Thị Huệ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Trong quá trình làm luận văn vừa qua, dưới sự giúp đỡ và chỉ bảo nhiệt tình của TS. Trần Thái Sơn – Viện Công nghệ thông tin – Viện khoa học Việt Nam, luận văn của tôi đã được hoàn thành. Mặc dù đã cố gắng không ngừng cùng với sự tận tâm của thầy hướng dẫn nhưng do thời gian và khả năng vẫn còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Sơn – Người thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban lãnh đạo và các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin & Truyền Thông Đại Học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập và thực hiện luận văn này. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Huệ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i MỤC LỤC Trang Mục lục ............................................................................................................ ...i Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ........................................................... .iii Danh mục hình ảnh…………………………………………………………...iv PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………….1 CHƢƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1.1. Kiến thức cơ sở về tập mờ………………………………………………..3 1.2. Lôgic mờ …………………………………………………………………8 1.3. Biến ngôn ngữ…………………………………………………………...13 1.4. Bài toán sắp xếp mờ …………………………………………………….14 1.4.1. Bài toán kết nhập……………………………………………………14 1.4.2. Các phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ…………………………15 1.4.2.1. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên nguyên lý mở rộng của tập mờ...……………………………………………………………..15 1.4.2.2. Phương pháp tính toán trên các ký hiệu ngôn ngữ ………...........16 1.3.2.3. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 2... …………………………………………………………………………..17 1.4.2.4. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 3.. ....................................................................................................................18 CHƢƠNG 2. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ GIA TỬ 2.1. Đại số gia tử ……………………………………………………………19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2. Định nghĩa đại số gia tử ………………………………………………...21 2.3. Các định lý ……………………………………………………………...23 2.4. Các đại lương đo trên đại số gia tử ……………………………………..25 2.5. Một số tính chất của quan hệ thứ tự trong đại số gia tử ………………...27 CHƢƠNG 3. PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ THEO CÁCH TIẾP CẬN CỦA ĐẠI SỐ GIA TỬ 3.1. Thuật toán giải bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận của đại số gia tử………………………………………………………….33 3.1.1.Bài toán……………………………………………………………...33 3.1.2. Xác định bài toán… ………………………………………………..34 3.1.3. Thuật giải………………. ………………………………………….37 3.2. Thuật toán sắp xếp mờ sử dụng quan hệ thứ tự của các phần tử của đại số gia tử ………………………………………………………………………...37 3.3. Chương trình thử nghiệm ……………………………………………….38 3.3.1. Cài đặt chương trình ………………………………………………..38 3.3.2. Giao diện chương trình……………………………………………...39 KẾT LUẬN………………………………………………………………….40 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………41 PHẦN PHỤ LỤC …………………………………………………………..43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Các kí hiệu, Ý nghĩa các chữ viết tắt ĐSGT Đại số gia tử α Tổng độ đo tính mờ của các gia tử âm β Tổng độ đó tính mờ của các gia tử dương AX, AT Đại số gia tử AX Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ W Phần tử trung hòa trong đại số gia tử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH Hình Mô tả Hình 1 Hình 2 Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old) Biểu diễn bộ 2 Hình 3 Độ đo tính mờ của biến TRUTH Hình 4 Giao diện của chương trình Hình 5 Kết quả thực hiện chương trình thử nghiệm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 PHẦN MỞ ĐẦU Trong đời sống hàng ngày hay trong công việc giảng dạy, chúng ta thường xuyên gặp phải yêu cầu phải lựa chọn, đánh giá. Chẳng hạn, đánh giá học sinh trong trường học hay lựa chọn phương án tối ưu trong các phương án được đưa ra. Nếu việc lựa chọn có thể dựa trên các đánh giá bằng điểm số thì thông thường người ta lấy trung bình (có thể có trọng số) của các đánh giá rồi dựa trên kết quả tổng hợp này mà sắp xếp các đối tượng và trên cơ sở đó đưa ra quyết định. còn nếu ta chỉ có các đánh giá bằng những từ ngữ của ngôn ngữ tự nhiên (như “giỏi”, “rất khá”..) thì việc tìm ra kết quả tổng hợp cho đánh giá là khó khăn hơn nhiều vì nhiều khi không hiểu, (“khá” +”giỏi”)/2 sẽ là cái gì. Nội dung chính của bài toán sắp xếp là phần tổng hợp các ý kiến đánh giá (bằng số hoặc từ ngữ) thành một đánh giá kết quả và thông thường được gọi là bài toán kết nhập. Đã có nhiều nghiên cứu được tiến hành để giải quyết bài toán sắp xếp, tựu trung có thể phân làm 2 hướng chính: hướng nghiên cứu dựa vào lý thuyết tập mờ và hướng nghiên cứu dựa trên chỉ số thứ tự của các từ đánh giá trong quan hệ thứ tự tự nhiên. Hướng nghiên cứu dựa trên lý thuyết tập mờ chủ yếu tập trung vào việc chuyển các từ đánh giá vào trường số thực, trên cơ sở đó tiến hành các phép kết nhập trên các số thực. Hướng nghiên cứu dựa trên chỉ số thứ tự của các từ đánh giá dựa trên quan sát là các từ dùng được đánh giá thông thường có thể sắp xếp theo thứ tự (thí dụ như “giỏi” > “tương đối giỏi”>”khá”> “trung bình”> “kém”...) và trong tập thứ tự đó, mỗi từ được ứng với một chỉ số. Các phép kết nhập cần thiết sẽ được tiến hành trên tập các chỉ số thay vì trên tập các từ đánh giá. Mỗi hướng nghiên cứu nêu trên đều có những ưu khuyết điểm riêng liên quan đến sai số có thể gặp phải, đến độ phức tạp tính toán... Trong luận văn này, tôi đi theo hướng nghiên cứu sau, tức là dựa cơ bản trên chỉ số thứ tự của các từ đánh giá để thực hiên các Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 phép kết nhập, tuy nhiên luận văn sẽ sử dụng cách tiếp cận Đại số gia tử (ĐSGT) để giải quyết bài toán sắp xếp. Các kết quả nghiên cứu cho thấy cách tiếp cận ĐSGT cho những đánh giá phù hợp trên cơ sở thuật toán khá đơn giản về mặt thực thi. Nên tôi quyết định lựa chọn đề tài luận văn “Bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hƣớng tiếp cận đại số gia tử” Luận văn có bố cục như sau: Chƣơng 1: Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập mờ Trong chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập mờ, bài toán sắp xếp mờ và một số phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ. Chƣơng 2: Những kiến thức cơ bản về đại số gia tử Trong chương này trình bày khái niệm về đại số gia tử, các định lý, các đại lương đo trên đại số gia tử, một số tính chất của quan hệ thứ tự trong đại số gia tử. Chƣơng 3 : Phƣơng pháp giải bài toán sắp xếp mờ theo cách tiếp cận của đại số gia tử. Trong chương này trình bày bài toán, thuật toán và cách giải bài toán sắp xếp mờ theo hướng tiếp cận của đại số gia tử bằng cách sử dụng quan hệ thứ tự của các từ trong đại số gia tử. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chƣơng 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1.1. Kiến thức cơ sở về tập mờ Là người khởi xướng cho lý thuyết tập mờ, L. A. Zadeh đã có rất nhiều nghiên cứu mở đường cho sự phát triển và ứng dụng [14]. Ý tưởng nổi bật của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ-già, nhanh-chậm, cao-thấp,… Ông đã tìm cách biểu diễn chúng bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ và được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1. [14] Cho một tập vũ trụ U với các phần tử ký hiệu bởi x, U={x}. Một tập mờ A trên U là tập được đặc trưng bởi một hàm A(x) mà nó liên kết mỗi phần tử xU với một số thực trong đoạn [0,1]. Giá trị hàm A(x) biểu diễn mức độ thuộc của x trong A. A(x) là một ánh xạ từ U vào [0,1] và được gọi là hàm thuộc của tập mờ A. Như vậy, giá trị hàm A(x) càng gần tới 1 thì mức độ thuộc của x trong A càng cao. Khi A là một tập hợp kinh điển, hàm thuộc của nó, A(x), chỉ nhận 2 giá trị 1 hoặc 0, tương ứng với x có nằm trong A hay không. Rõ ràng, tập mờ là sự mở rộng của khái niệm tập hợp kinh điển. Các khái niệm, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ. Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U là không gian các hàm từ U vào đoạn [0,1], tức là F (U ,[0,1]) = {A : U[0,1]}, một không gian tương đối giàu về cấu trúc tính toán mà nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng cho việc mô phỏng các phương pháp suy luận của con người. Chúng ta có thể biểu diễn tập mờ bằng các cách sau, tùy theo tập U là hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục: - Trường hợp U hữu hạn, U={ui : 1 i  n}, ta có thể viết A = A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + … + A(un)/un = 1 i n A(ui)/ui Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 - Trường hợp U vô hạn đếm được, U={ui : i=1,2,… }, ta viết A = 1 i < A(ui)/ui - Trường hợp U vô hạn liên tục, U=[a,b], ta viết b A=  A (u ) / u a Sau đây ta định nghĩa một số khái niệm đặc trưng liên quan đến tập mờ. Định nghĩa 2. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U và [0,1]. Tập lát cắt  của A là một tập kinh điển, ký hiệu A, được xác định như sau : A = {u  U : A(u)}. Tập A còn gọi là tập mức  của A. Định nghĩa 3. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U, i) Giá của tập mờ A, ký hiệu support(A), là tập con của U trên đó A(u)0, tức là support(A) = {u  U : A(u)0}. ii) Độ cao của tập mờ A, ký hiệu high(A), là cận trên đúng của hàm thuộc A(u) trên U, tức là high(A) = sup{A(u) : uU}. iii) A được gọi là tập mờ chuẩn nếu high(A)=1. Ngược lại gọi là tập mờ dưới chuẩn. iv) Lõi của tập mờ A, ký hiệu core(A), là một tập con của U được xác định như sau: core(A) = {uU : A(u) = high(A)}. Định nghĩa 4. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U, i) Lực lượng vô hướng hay bản số của tập mờ A, ký hiệu count(A), được xác định là: count(A) = uU A(u), nếu U là hữu hạn hay đếm được, = U A(u)du, nếu U là vô hạn liên tục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 ii) Lực lượng mờ hay bản số mờ của tập mờ A, ký hiệu card(A), là một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N, được xác định như sau: card(A) = N card(A)(n)dn , trong đó, card(A)(n) được xác định theo công thức sau, với |A| là lực lượng tập mức A, card(A)(n) = sup{t[0,1] : |A| = n}. Ví dụ 1. Cho tập vũ trụ chỉ tuổi tính chẵn năm U={u : 0 u 120}, A là một tập mờ chỉ tuổi già (old) được xác định bởi hàm thuộc sau (hình 1): u  [0, 60] 0  2  1 u  60 (1  ( 6 ) ) u  [61,120] old (u )   Khi đó tập mức =0.5 của A là A0.5 = {u : 66 u 120} ; support(A) = {u : 61 u 120} ; high(A) = 1.01-1; core(A) = {120}. Hình 1. Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old) Tiếp theo chúng ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên tập mờ, các phép này làm cơ sở cho việc phát triển lôgíc mờ sau này. Định nghĩa 5. [1,14] Cho hai tập mờ A và B trên tập nền U có hàm thuộc tương ứng là A và B, ba phép toán cơ bản là hợp, giao của hai tập mờ và lấy phần bù của tập mờ A là một tập mờ C, được viết là C = A  B, hoặc C = A  B, hoặc C = A~ với hàm thuộc được xác định như sau: AB(u) = max(A(u), B(u)), u  U, AB(u) = min(A(u), B(u)), u  U, A~(u) = 1- A(u), u  U. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Hay viết ở dạng thu gọn là AB(u) = A(u)  B(u)), AB(u) = A(u)  B(u)). Ví dụ 2. [1] Xét tập nền U = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11} là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh. Hai tập mờ G và K tương ứng là hai khái niệm mờ về năng lực học giỏi và học kém, với hàm thuộc được cho dưới dạng bảng như sau: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 uU 1 G(u) 0.0 0.0 0.0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 K(u) 1.0 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 Ta có kết quả của các phép toán trên hai tập mờ này với hàm thuộc thể hiện trong bảng sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 uU GK(u) 0.0 0.0 0.0 0.6 0.5 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 GK(u) 0.0 0.0 0.0 0.1 0.3 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 G~(u) 1.0 1.0 1.0 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0.0 0.0 Một lớp đặc biệt các tập mờ là lớp các quan hệ mờ, chúng là các tập mờ trên không gian tích Đề-các các miền cơ sở. Như tên gọi, quan hệ mờ mô tả mối quan hệ mờ giữa các đối tượng trong miền cơ sở. Về mặt hình thức chúng ta định nghĩa quan hệ mờ như sau. Định nghĩa 6. [1] Cho U là tích Đề-Các của n miền cơ sở Ui, i=1, ,…, n. Khi đó mỗi một tập mờ trên U được gọi là một quan hệ mờ n-ngôi và được kí hiệu là R, gọi là tên của quan hệ đó, và nó được biểu thị bằng công thức sau: R U1 ...U n  (u1 ,..., u1 ) / (u1 ,..., u1 ) Trong đó (u1,…,un) là hàm thuộc của tập mờ R. Dấu  biểu diễn hình thức của hàm thuộc, có thể một trong ba trường hợp là hữu hạn hoặc đếm được hoặc liên tục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Quan hệ mờ cũng có các phép tính cơ bản như trên tập mờ vì bản thân nó cũng là tập mờ. Ngoài ra, quan hệ mờ có những phép tính đặc thù riêng mà trên tập mờ không có, đó là phép hợp thành dưới đây. Định nghĩa 7. [1] Cho R là một quan hệ mờ trên UV và S là quan hệ mờ trên VW. Khi đó, phép hợp thành của hai quan hệ này là một quan hệ trên UW, được ký hiệu là RS và được định nghĩa như sau: RS = vV [R(u,v)S(v,w)]/(u,w) Trong đó  là một phép tính 2 ngôi trong [0,1] có tính giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép max . Nếu  là phép min , thì ta có phép hợp thành max-min, nếu  là phép nhân số học thì ta có phép hợp thành maxproduct. Ví dụ 3. Cho U = {u1, u2, u3}, V = {v1, v2} và W = {w1, w2}, với quan hệ mờ R trên UV và S trên VW được cho hàm thuộc dưới dạng ma trận v1 v2 w1 w2 u1  0.4 1  v 0.2 0.8   1 R  u2  1 0.3 và S   v2 0.7 0.1 u3 0.7 0.8 w1 w2 u1  0.7 1  khi đó phép hợp thành max-min là R  S  u2  0.3 0.8  , u3  0.7 0.7  w1 w2 u1  0.8 0.32  và max-product là R  S  u2  0.21 0.8  . u3 0.56 0.56  Phép hợp thành các quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong quá trình lập luận xấp xỉ sau này. Trong hầu hết các ứng dụng, tri thức được biểu diễn dưới dạng luật “ifthen” và mỗi luật được xem như một quan hệ mờ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, hơn nữa, mô hình hóa cách lập luận của con người. Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó 1.2. Lôgic mờ Cùng với khái niệm biến ngôn ngữ, L. A. Zadeh đã phát triển lôgic mờ mà các giá trị chân lý nhận trong T(Truth) = {true, very true, more false, possible false, very very false,…}, tập các giá trị của biến ngôn ngữ Truth. Khi đó, một mệnh đề dạng “X is A”, với A là một khái niệm mờ, sẽ có giá trị chân lý thuộc T(Truth) và được biểu thị bởi một tập mờ có hàm thuộc A trên không gian tham chiếu U. Lý thuyết tập mờ là cơ sở toán học cho việc phát triển các phương pháp mô phỏng lập luận của con người. Về nguyên tắc, vấn đề tư duy, lập luận của con người rất phức tạp và do đó không thể sử dụng một cấu trúc toán học duy nhất để mô phỏng. Vì vậy, mục tiêu của chúng ta là càng xây dựng được nhiều cấu trúc đại số các tập mờ càng tốt để linh hoạt trong tiếp cận các vần đề ứng dụng. Ở đây, chúng ta sẽ định nghĩa một họ các cặp đối ngẫu t-norm và tconorm cùng với phép phủ định làm cơ sở cho lôgic mờ và lập luận xấp xỉ. Định nghĩa 8 [1] Một hàm 2-biến T : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là phép t-norm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]: i) Tính chất điều kiện biên: T(a,1) = a ii) Tính giao hoán: T(a,b) = T(b,a) iii) Tính đơn điệu: a  a’  T(a,b)  T(a’,b) iv) Tính kết hợp: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) Ngoài ra, một số tính chất khác cần đòi hỏi phải có trong nhiều ứng dụng đối với phép t-norm bao gồm: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 v) Tính liên tục: T là hàm hai biến liên tục vi) Tính lũy đẳng dưới: T(a,b) < a vii) Tính đơn điệu chặt: a  a’ và b  b’  T(a,a’) < T(b,b’) Định nghĩa 9 [1] Một hàm 2-biến S : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là phép t-conorm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]: i) Tính giới nội: S(a,0) = a ii) Tính giao hoán: S(a,b) = S(b,a) iii) Tính đơn điệu: a  a’  S(a,b)  S(a’,b) iv) Tính kết hợp: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c) Như vậy, chỉ có hai tính chất điều kiện biên và giới nội làm nên sự khác biệt giữa hai họ phép tính t-norm và t-conorm. Chúng ta cũng có thể mở rộng định nghĩa cho phép t-norm và t-conorm này đối với trường hợp nhiều biến vào, tức là Tex : [0,1]n  [0,1] và Sex : [0,1]n  [0,1], bằng cách áp dụng liến tiếp các phép t-norm và t-conorm ở trên. Định nghĩa 10 [1] Hàm N : [0,1]  [0,1] được gọi là phép phủ định (negation) nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’ [0,1]: i) Tính đơn điệu giảm: iv) Tính lũy đẳng: a  a’  N(a)  N(a’) N(N(a)) = a Ví dụ 4: Các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định hay được sử dụng như: TM(a,b) = min{a,b} TP(a,b) = a.b TL(a,b) = max{0,a+b-1} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 a  T (a, b)  b 0  * khi b  1 khi a  1 khi a  1& b  1 SM(a,b) = max{a,b} SP(a,b) = a+b-a.b SL(a,b) = min{1,a+b} a  S * (a, b)  b 0  khi b  0 khi a  0 khi a  0 & b  0 N(a) = 1-a. Định nghĩa 11 [1] Ba phép tính t-norm T, t-conorm S và phép phủ định N được gọi là một hệ đối ngẫu (T,S,N) nếu chúng thỏa điều kiện sau: N(S(a,b)) = T(N(a),N(b)), a,b[0,1]. Việc áp dụng các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định cho việc tính toán các toán tử hội, tuyển và phủ định trong lôgic mờ làm tăng tính mềm dẻo trong ứng dụng. Thực vậy, khi hai mệnh đề “X is A” và “X is B” có giá trị chân lý được biểu thị bởi hai hàm thuộc tương ứng A và B trên không gian tham chiếu U và V thì mệnh đề mờ “X is A and B” có hàm thuộc biểu thị giá trị chân lý là AB = T(A,B), với T là một t-norm nào đó. Tương tự, mệnh đề “X is A or B” có hàm thuộc là AB = S(A,B) và mệnh đề “X is not A” có hàm thuộc là ~A = N(A), ở đây S là một t-conorm và N là một phép phủ định được chọn nào đó. Các mệnh đề mờ cùng với giá trị chân lý của chúng là những đối tượng nghiên cứu chính của lôgíc mờ. Trong đó, một dạng mệnh đề mờ thường biểu diễn cho tri thức dạng luật trong lập luận xấp xỉ và ứng dụng, đó là mệnh đề mờ có điều kiện dạng “If X is A then Y is B” và được biểu diễn bằng toán tử kéo theo mờ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Ở đây, một cách tổng quát, chúng ta đưa ra một số tính chất cho một phép kéo theo mờ. Định nghĩa 12 [1] Phép kéo theo là một hàm số I : [0,1]2  [0,1] có các tính chất sau: i) Tính đơn điệu giảm đối với biến thứ nhất x  z  I(x,y)  I(z,y), y[0,1] ii) Tính đơn điệu tăng đối với biến thứ hai y  u  I(x,y)  I(x,u), x[0,1] iii) Tính chi phối của giá trị chân lý sai I(0,x) = 1 iv) Tính trung tính của giá trị chân lý đúng I(1,x) = x v) Tính đồng nhất I(x,x) = x vi) Tính chất hoán đổi I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z)) vii) Tính chất về điều kiện giới nội I(x,y) = 1 nếu và chỉ nếu x  y viii) Tính chất khái quát hóa của phép kéo theo kinh điển I(x,y) = I(N(y),N(x)), trong đó N là phép phủ định ix) I là hàm liên tục theo cả hai biến. Rõ ràng mệnh đề điều kiện ở dạng “If X is A then Y is B” thể hiện mối quan hệ giữa hai khái niệm mờ A và B. Vì vậy, chúng cảm sinh một quan hệ mờ R thể hiện bởi một tập mờ trên không gian tích Đề-Các UV được xác định bởi hàm thuộc thông qua một phép kéo theo được chọn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Ví dụ 5. Một số dạng phép kéo theo thường dùng Mamdani I(x,y) = min{x,y} Dạng khái quát từ phép kéo theo kinh điển I(x,y) = S(N(x),y), hoặc I(x,y) = S(N(x),T(x,y)), hoặc I(x,y) = S(T(N(x),N(y)),y), với T, S và N là các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định. Reichenbach I(x,y) = 1-x+x.y Lukasiewicz I(x,y) = min{1, 1-x+y}. Định lý sau đây cho chúng ta xem xét liệu phép kéo theo như thế nào sẽ thỏa mãn tất cả các tính chất trong định nghĩa 12. Định lý 1. [1] Một hàm 2-biến I : [0,1]2  [0,1] thỏa các tính chất từ i) đến ix) trong định nghĩa 12 nếu và chỉ nếu có tồn tại một hàm liên tục đơn điệu tăng thực sự f : [0,1]  [0,+) sao cho f(0) = 0 và I(x,y) = f-1(f(1)-f(x)+f(y)), với x,y  [0,1], và N(x) = f-1(f(1)-f(x)), với x [0,1]. Tuy nhiên, bản chất ngữ nghĩa của phép kéo theo mờ trong lập luận của con người rất phức tạp, khó có một hệ tiên đề chung cho mọi tình huống. Vì vậy, các tính chất ở định nghĩa 12 không bắt buộc mọi phép kéo theo mờ đều phải thỏa mãn. Hơn nữa, cũng không có quyền đặt ra các yêu cầu về một tính chất nào đó khác mà một phép kéo theo cần phải có. Chỉ có ứng dụng thực Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn