Tài liệu Bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả luận văn Vũ Thị Thanh Huyền Xác nhận của Khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Thị Thủy i Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Thủy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016 Tác giả luận văn Vũ Thị Thanh Huyền ii MỤC LỤC Lời cam đoan…………………………………………………………………i Lời cảm ơn……………………………………………………………….......ii MỤC LỤC……………………………………………….…………………..iii MỞ ĐẦU……………………………………………………………………..1 Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………...3 1.1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng………………………........3 1.2. Phép biến đổi Fourier trong ………………………………8 1.3. Phép biến đổi Fourier trong ……………………………..13 1.4. Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier…………………...19 1.5. Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản………………….22 Chƣơng 2. BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT…………………………………………29 2.1. Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong …………………………………………29 2.1.1. Bài toán Cauchy…………………………………………...29 2.1.2. Tìm nghiệm của bài toán (2.1.1), (2.1.2)…………………..29 2.2. Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong …………………………………………31 2.2.1. Bài toán Cauchy…………………………………………...31 2.2.2. Tìm nghiệm của bài toán (2.2.1), (2.2.2)…………………..31 2.3. Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong ………………...33 2.3.1. Bài toán Cauchy…………………………………………...33 2.2.2. Tìm nghiệm của bài toán (2.3.1), (2.3.2)…………………..34 KẾT LUẬN…………………………………………………………………39 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………40 iii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình parabolic là lớp phương trình mô tả các quá trình truyền nhiệt, khuyếch tán. Các bài toán có chứa phương trình parabolic được nghiên cứu từ rất lâu và lý thuyết của các phương trình đó đến nay tương đối hoàn chỉnh. Khi nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà toán học Pháp Poisson đã thiết lập công thức tính nghiệm, hiện nay mang tên ông và có nhiều ứng dụng. Ngày nay có rất nhiều phương pháp để nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nhưng phương pháp biến đổi Fourier trong nhiều trường hợp tỏ ra rất quan trọng và hiệu quả. Phương pháp biến đổi Fourier giúp cho việc nghiên cứu các lớp phương trình khác nhau và thiết lập được công thức biểu diễn nghiệm của các bài toán. Không những thế phương pháp biến đổi Fourier còn nghiên cứu được tính chất của các công thức biểu diễn nghiệm đó. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn “ Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất ” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier và áp dụng trong việc giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây - Trình bày tổng quan về phương trình đạo hàm riêng, phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn ), trong L2 (Rn ), và các tính chất của chúng. - Tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong R1 , hệ số hằng trong Rn và hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong Rn . 1 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, phương pháp giải tích, và sử dụng hệ thống các phép biến đổi Fourier, công thức Poisson để nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất. 4. Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 41 trang trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung của chương sau: Phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống về phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn ), trong L2 (Rn ), các công thức đơn giản của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản. Chương 2. Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong R1 , hệ số hằng trong Rn và hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong Rn . Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng làm nền tảng để nghiên cứu chương sau, đó là các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier. Các nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11]. 1.1 1.1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến Định nghĩa 1.1.1.1. Cho k là một số nguyên dương và U là một tập mở trong Rn . Một biểu thức có dạng
F x, u (x) , Du (x) , . . . , Dk u (x) = 0, x∈U (1.1.1) được gọi là một phương trình đạo hàm riêng bậc k với k F : U × R × Rn × · · · × Rn → R, là hàm cho trước, và u : U → R là hàm cần tìm. Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) được gọi là giải được nếu tìm được tất cả các hàm số u thoả mãn (1.1.1). Định nghĩa 1.1.1.2. Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) được gọi là tuyến tính nếu phương trình đó có dạng X aα (x)Dα u = f (x) , |α|≤k trong đó aα (x), f (x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính này được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0. 3 Định nghĩa 1.1.1.3. Giả sử u = u (x, y) là hàm xác định trong R2 , a (x, y) , b (x, y) , c (x, y) ∈ R2 . Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến là phương trình có dạng a (x, y) uxx + 2b (x, y) uxy + c (x, y) uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0. a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến Xét phương đạo hàm riêng trình tuyến tính cấp hai với các hệ số thực auxx + 2buxy + cuyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.1.2) có biệt thức ∆ = b2 − ac. Xét một điểm (x0 , y0 ) cố định. Phương trình (1.1.2) tại điểm (x0 , y0 ) được gọi là - Thuộc loại elliptic nếu như tại điểm đó b2 − ac < 0. - Thuộc loại hypecbolic nếu như tại điểm đó b2 − ac > 0. - Thuộc loại parabolic nếu như tại điểm đó b2 − ac = 0. Nếu tại mọi điểm trong một miền G mà phương trình (1.1.2) thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình (1.1.2) thuộc loại đó trong miền G. b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến Ta đưa phương trình (1.1.2) về các dạng chính tắc sau - Với b2 − ac > 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại hypecbolic là uxx − uyy = Φ hay uxy = Φ. - Với b2 − ac < 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại elliptic là uxx + uyy = Φ. - Với b2 − ac = 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại parabolic là uxx = Φ. 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến Định nghĩa 1.1.2.1. Giả sử u = u (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm xác định trong Rn . Phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp n− biến là phương trình có dạng 4 n X aij uxi xj + F (x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ) = 0, (1.1.3) i,j=1 với aij = aji và là hàm của các biến x1 , ..., xn . a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến Ta ký hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn ) là điểm trong không gian Ơ – clit n chiều với các tọa độ là x1 , ..., xn . Xét ma trận A(x) = kaij (x)k . (1.1.4) Coi (1.1.4) là một ma trận đối xứng.
Ta cố định một điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0 . Khi đó ma trận A(x) trở thành ma trận hằng A(x0 ). Phương trình det(A(x0 ) − λE) = 0, (1.1.5) trong đó E là ma trận đơn vị, λ là một vô hướng, được gọi là phương trình đặc trưng tại điểm x0 của phương trình (1.1.3). Từ đó ta có - Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại elliptic tại điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0 nếu như tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng (1.1.5) đều khác không và cùng một dấu. - Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại hypecbolic tại điểm
x0 = x1 0 , ..., xn 0 nếu như tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng (1.1.5) đều khác không và trong đó có n − 1 nghiệm cùng một dấu, còn nghiệm cuối cùng còn lại có dấu khác. - Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại parabolic tại điểm
x0 = x1 0 , ..., xn 0 nếu như tại điểm đó, trong n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng (1.1.5) có một nghiệm bằng không, còn n−1 nghiệm còn lại đều khác không và cùng một dấu. Nếu tại mọi điểm trong một miền Ω của không gian E mà phương trình (1.1.3) thuộc cùng một loại, thì ta nói rằng phương trình (1.1.3) thuộc loại đó trong Ω. 5
b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến Xét phương trình tuyến tính cấp hai (1.1.3). Dùng phương pháp đổi biến ξ1 = ξ1 (x1 , ...., xn ) .......................... (1.1.6) ξn = ξn (x1 , ...., xn ) . Giả thiết trong một lân cận nào đó của điểm (x1 , x2 , ...., xn ), các hàm ξr = ξr (x1 , . . . , xn ) , r = 1, . . . , n, liên tục và có các đạo hàm riêng tới cấp hai liên tục với D (ξ1 , . . . , ξn ) 6= 0. D (x1 , . . . , xn ) (1.1.7) Phép biến đổi (1.1.6) thỏa mãn điều kiện (1.1.7) được gọi là phép biến đổi không suy diễn. Ta có n X ∂ξr . uxj = uξr ∂x j r=1 uxi xj n X n ∂ξr ∂ξs X ∂ 2 ξr = uξr ξs + uξr . ∂x ∂x ∂x ∂x j i i j r,s=1 r=1 (1.1.8) Thay (1.1.8) vào (1.1.3), ta được n X ãrs uξr ξs + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0. (1.1.9) r,s=1 trong đó ãrs = n X i,j=1 aij ∂ξr ∂ξs = ãsr . ∂xj ∂xi Khi đó, phương trình dạng n X λi uξi ξi + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0 (1.1.10) i=1
được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.1.9) tại điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0 . 6
- Giả thiết tại điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại elliptic. Khi đó, mọi λi trong (1.1.10) cùng một dấu, giả sử λi > 0 (ngược lại nếu λi < 0 thì đổi dấu toàn bộ phương trình (1.1.9)). Đặt λi = υi2 . Vậy (1.1.10) có dạng n X υi2 uξi ξi + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0. (1.1.11) i=1 Bằng cách co giãn tọa độ ξi = υi ξi0 . Từ (1.1.11) ta có n X
uξ 0 1 ξ 0 i + Φ∗ ξ 0 1 , . . . , ξ 0 n , u, uξ 0 1 , . . . , uξ 0 n = 0. (1.1.12) i=1 (1.1.12) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại elliptic.
- Giả thiết tại x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại hypecbolic, thì trong n nghiệm λ của phương trình đặc trưng có n − 1 nghiệm cùng dấu và một nghiệm khác dấu. Do đó, từ (1.1.10) ta có uξ 0 n ξ 0 n − n−1 X
uξ 0 i ξ 0 i + Φ∗ ξ 0 1 , . . . , ξ 0 n , u, uξ 0 1 , . . . , uξ 0 n = 0. (1.1.13) i=1 (1.1.13) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại hypecbolic.
- Giả thiết tại x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại parabolic thì trong n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng có một nghiệm bằng không, còn n − 1 nghiệm còn lại đều khác không và cùng một dấu, nên từ (1.1.10) ta có n−1 X
uξ 0 i ξ 0 i + Φ∗ ξ 0 1 , . . . , ξ 0 n , u, uξ 0 1 , . . . , uξ 0 n = 0. (1.1.14) i=1 (1.1.14) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại parabolic. Như vậy, rõ ràng ta thấy - Phương trình Laplace uxx +uyy +uzz = ∆u = 0 là phương trình loại eliiptic. - Phương trình truyền nhiệt ut −a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuộc loại parabolic. - Phương trình truyền sóng utt − a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuộc loại hypecbolic. 7 1.2 Phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn ) Biến đổi Fourier trong L1 (Rn ) 1.2.1 Giả sử f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ L1 (Rn ) là hàm khả tích trong toàn bộ không gian Rn . Định nghĩa 1.2.1.1. Biến đổi Fourier của hàm số f (x), ký hiệu là (F f ) (ξ) ∧ hoặc f (ξ), là hàm số của biến ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và được tính theo công thức Z ∧ n (F f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)− 2 e−ihx,ξi f (x) dx. (1.2.1) Rn Định nghĩa 1.2.1.2. Biến đổi Fourier ngược của hàm số f (x) ký hiệu là ∨
F −1 f (ξ) hoặc f (ξ), là hàm số của biến ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và được tính theo công thức Z ∨
n (1.2.2) F −1 f (ξ) = f (ξ) = (2π)− 2 eihx,ξi f (x) dx. Rn 1.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier trong L1 (Rn ) Mệnh đề 1.2.2.1. Nếu f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có
(F f ) (ξ) = F −1 f (−ξ) . Chứng minh. Với f (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có − n2 Z (F f ) (ξ) = (2π) e−ihx,ξi f (x) dx Rn − n2 = (2π) R eihx,−ξi f (x) dx Rn
−1 = F f (−ξ) .
Vâỵ (F f ) (ξ) = F −1 f (−ξ) . Mệnh đề 1.2.2.2. Nếu f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có
(F f ) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) . 8  Chứng minh. Với f (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có Z Z − n2 − n2 −ihx,ξi e f (x) dx = (2π) eih−x,ξi f (x) dx. (1.2.3) (F f ) (ξ) = (2π) Rn Rn Đặt −x = y ⇒ dx = −dy = d (−y) thay vào (1.2.3) ta được Z

− n2 eihy,ξi f (−y) d (−y) = F −1 f (y) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) . (F f ) (ξ) = (2π) Rn
Vậy (F f ) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) .  Mệnh đề 1.2.2.3. Giả sử hàm f (x) ∈ L1 (Rn ) . Khi đó hàm Z ∧ − n2 f (x) e−ihx,ξi dx, f (ξ) = (2π) Rn ∧ là hàm số liên tục, bị chặn và lim f (ξ) = 0. |ξ|→∞ Chứng minh. Vì f (x) khả tích tuyệt đối nên suy ra tích phân Fourier Z ∧ − n2 f (u) e−ihξ,ui du f (ξ) = (2π) Rn hội tụ tuyệt đối. ∧ Vì eihξ,ui liên tục theo ξ nên theo dấu hiệu hàm trội suy ra f (ξ) liên tục theo biến ξ . Với ε > 0 tồn tại số A > 0 để Z ε |f (x)|dx < . 2 |x|>A Vì lim R |ξ|→∞ |u| 0 sao cho với ∀ξ : |ξ| > σ ta có    Z    ε   −ihξ,ui f (u) e du < .    2  |u| σ   Z  Z    f (u) e−ihu,ξi du ≤    n     Z    ε ε   −ihξ,ui |f (u)| du +  f (u) e du < + = ε   2 2  |u|A R ∧ n ⇒ f (ξ) = (2π)− 2 R f (u) e−ihξ,ui du là giới nội khi |ξ| → +∞. Rn Khi đó ∧ lim f (ξ) = 0. |ξ|→∞  Mệnh đề 1.2.2.4. (Tính tuyến tính) Giả sử f (x), g(x) ∈ L1 (Rn ) và x ∈ Rn ; α, β ∈ R. Khi đó F (αf + βg) (ξ) = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) Chứng minh. Với f (x), g(x) ∈ L1 (Rn ) và ξ, x ∈ Rn ; α, β ∈ R ta có n R F (αf + βg) (ξ) = (2π)− 2 e−ihx,ξi (αf (x) + βg (x)) dx Rn − n2 = (2π) n e−ihx,ξi αf (x) dx + (2π)− 2 R Rn n = α(2π)− 2 R e−ihx,ξi βg (x)dx R Rn n e−ihx,ξi f (x) dx + β(2π)− 2 Rn R e−ihx,ξi g (x)dx Rn = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) . Vậy F (αf + βg) (ξ) = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) .  Mệnh đề 1.2.2.5. (Biến đổi Fourier của đạo hàm) Giả sử f (x) và Dxj f thuộc không gian L1 (Rn ) trong đó Dxj f = Nếu ∃c > 0, ε > 0 sao cho |f (x)| ≤ thì c ∀x, (1 + |x|)n−1+ε ∧
F Dxj f (ξ) = (iξj ) f (ξ) = (iξj ) (F f ) (ξ) 10 ∂f ∂xj . Chứng minh. Theo định nghĩa biến đổi Fourier trong L1 (Rn ) ta có Z
− n2 Dxj f e−ihx,ξi dx. F Dxj f (ξ) = (2π) Rn Áp dụng công thức tính tích phân từng phần trong Rn Z Z Z f Dxj gdx = f gγj dσ − Dxj f gdx, Ω Ω ∂Ω trong đó γ = (γ1 , γ2 , . . . , γn ) là véctơ pháp tuyến đơn vị ngoài tại điểm x ∈ ∂Ω. Ta có − n2
Z e F Dxj f (ξ) = (2π) −ihx,ξi Dxj f dx = (2π) = (2π) lim A→+∞ |x| 0). Rn 2 Do đó, nếu ε > 0 và v0 (x) = e−ε|x| , ta có 2 − |y| 4ε e ∧ v0 (y) = Vậy với mỗi ε > 0 từ (1.3.1) suy ra Z 2 ∧ ω (y) e−ε|y| dy = Rn n (2ε) 2 1 . Z ω (x) e n (2ε) 2 −|x|2 4ε dx. (1.3.2) Rn Lấy f (x) ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Đặt g(x) = f (−x) (trong đó f là số phức liên hợp của f ). Xét ω = f ∗ g ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) ⇒ f (x), g(x) liên tục, giới nội và khả tích tuyệt đối trên L1 (Rn ). Áp dụng Mệnh đề 1.2.2.8 ta được ∧ n ∧∧ ∞ ω = (2π) 2 f g ∈ L(Rn ). 14 Mặt khác 1 ∧ g (y) = Z (2π) e−ihx,yi g (x) dx n 2 Rn n = (2π)− 2 R ∧ e−ihx,yi f (−x) dx = f (y), n R  2 ∧   n ∧ suy ra ω = (2π) 2 f  . Vì ω là liên tục nên ta có Z n −|x|2 1 4ε dx = (2π) 2 ω (0) . ω (x) e lim n ε→0 (2ε) 2 n R  2  ∧ ∧ Do ω = (2π) f  ≥ 0. Cho ε → 0+ từ (1.3.2) suy ra ω là khả tổng với Z Z 2 −|x|2 1 ∧ −ε|y| ω (x) e 4ε dx dy = lim+ lim+ ω (y) e n ε→0 (2ε) 2 ε→0 n n ∧ n 2 R R ⇔ R ∧ n ω (y) dy = (2π) 2 ω (0) . Rn Vì vậy Z  2 Z ∧ − −n ∧ u dy = (2π) 2 ω (y) dy = (2π) Rn n 2 n (2π) 2 ω (0) Rn R = ω (0) = f (x) g (−x) dx Rn R R = f (x) f (x) dx = |f (x)|2 dx, Rn Rn   R  ∧ 2 R Vậy ta chứng minh được f  dy = |f |2 dx, tức là Rn Rn ∧ f 2 n = kf kL2 (Rn ) . (1.3.3) L (R ) Tương tự ta chứng minh được ∨ f L2 (Rn ) ∧ Từ (1.3.3) và (1.3.4) ⇒ f L2 (Rn ) = kf kL2 (Rn ) . ∨ = f L2 (Rn ) 15 = kf kL2 (Rn ) . (1.3.4)