Tài liệu Bài toán cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (lv00994)

LỜI CẢM ƠN Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu làm quen với Phương trình đạo hàm riêng, đến quá trình viết và bảo vệ luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu trong một môi trường khoa học. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, mùa hè năm 2013. Tác giả i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, mùa hè năm 2013. Tác giả ii Bảng ký hiệu C(Ω) tập các hàm liên tục trên miền Ω C m(Ω) tập các hàm khả vi cấp m trên miền Ω C m(Ω) tập các hàm liên tục đều khả vi cấp m trên miền đóng Ω C ∞(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω C0∞(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trên Ω D = (D1, D2 , ..., Dn) Dµ = D1µ1 D2µ2 ...Dnµn Dk = −i ∂x∂ k , i là đơn vị ảo L2(Ω) không gian các hàm bình phương khả tích trong Ω S(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω sao cho P (D) (1 + |x|)k |Dα u(x)| bị chặn với mọi k và α P = aµ Dµ , aµ ∈ C toán tử vi phân cấp m |µ|≤m P (D) = P aµ Dµ , aµ ∈ C toán tử liên hợp với P (D) |µ|≤m P (ξ) = P (k) (ξ) = P (µ) (ξ) = P aµ ξ µ , đa thức đặc trưng của toán tử P (D) |µ|≤m ∂P (ξ) ∂ξk , đạo hàm riêng của P (ξ) theo ξk ∂ |µ| P (ξ) đạo hàm cấp |µ| của P (ξ) µ1 µ ∂ξ1 ∂ξ2 2 ...∂ξnµn Rn không gian tọa độ thực n chiều Rn+1 + = {(x, t) ∈ Rn × R, t > 0} iii Ω = Ω0 ∩ Rn+1 + Ω0 là một miền trong Rn+1 chứa gốc tọa độ ∂0Ω = ∂Ω0 = {(x, t) ∈ Rn × R, t = 0} µ = (µ1, µ2 , ..., µn), µk ∈ N, k = 1, n (kí hiệu đa chỉ số) |µ| = µ1 + µ2 + ... + µn µ! = µ1 !µ2!...µn! ξ = (ξ1, ξ2...ξn) ξµ = ξ1µ1 ξ2µ2 ...ξnµn iv Mục lục Mở đầu vi 1 Khái niệm bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng 1 1.1 Đặt bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Nghiệm yếu của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . 9 2 Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 15 2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường . . 25 2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Bài toán Cauchy là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng. Nhiều vấn đề trong thực tiễn và công nghệ đưa tới việc giải bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Các kết quả cổ điển trước đây đối với bài toán Cauchy được phát biểu trong Định lý Kovalevskaya nổi tiếng và chỉ được giới hạn trong lớp hàm giải tích. Song nhiều bài toán đòi hỏi phải xét lớp nghiệm yếu, tức là các nghiệm không có tính khả vi thông thường. Nhưng việc mở rộng lớp nghiệm lại phải kéo theo việc hạn chế lớp phương trình được xét, đó là lớp phương trình hyperbolic. Vì vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” 2. Mục đích nghiên cứu Mô tả lý thuyết nghiệm yếu đối với bài toán Cauchy cho lớp phương trình hyperbolic tuyến tính. vi 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Khái niệm nghiệm yếu của bài toán Cauchy • Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy • Lớp phương trình hyperbolic • Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu bài toán Cauchy 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nội dung chính của luận văn chủ yếu được trình bày dựa trên chương 4 của tài liệu [5] trong mục tài liệu tham khảo. • Chương 1. Phát biểu bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. Trình bày khái niệm nghiệm yếu của bài toán Cauchy. Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy. • Chương 2. Trình bày một lớp con bao gồm các phương trình hyperbolic theo biến t mà bài toán Cauchy tương ứng trong nửa không gian t > 0 luôn có nghiệm yếu duy nhất. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu đối với bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. vii 6. Giả thuyết khoa học Tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic tuyến tính. viii Chương 1 Khái niệm bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng Trong chương này luận văn trình bày hai khái niệm cơ bản, đó là bài toán Cauchy và nghiệm yếu của bài toán Cauchy. Các khái niệm này được trình bày trong mục 1.1 và 1.2. Riêng trong mục cuối cùng sẽ trình bày về điều kiện cần và đủ để bài toán Cauchy có nghiệm yếu. 1.1 Đặt bài toán Cauchy Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng P (Dx , Dt)u = f (x, t) trong đó x = (x1, ..., xn) ∈ Rn , t ∈ R 1 (1.1) và P (Dx , Dt) = X aµ,k Dxµ Dtk (1.2) |µ|+k≤m trong đó Dx = (D1 , ..., Dn), Dj = −i ∂ ∂ , j = 1, n, Dt = −i ∂xj ∂t µ = (µ1 , µ2, ..., µn), µk ∈ N, k = 1, n, |µ| = µ1 + µ2 + ... + µn và Dxµ = D1µ1 D2µ2 ...Dnµn . Giả sử Ω0 là một miền trong Rn+1 chứa gốc tọa độ và Ω là giao của Ω0 với nửa không gian t > 0. Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.1) trong Ω là tìm một hàm u(x, t) ∈ C m (Ω), sao cho P (Dx , Dt )u = f (x, t) trong Ω (1.3) và Dtk u(x, 0) = gk (x), 0 ≤ k < m, (x, 0) ∈ ∂0 Ω (1.4) trong đó ∂0Ω = ∂Ω0 = {(x, t) ∈ Rn × R, t = 0} với f là một hàm cho trước trên Ω còn gk là các hàm cho trước trên ∂0 Ω. Ta sẽ nói rằng bài toán Cauchy (1.3) và (1.4) là đặt chỉnh nếu nó có nghiệm duy nhất với mỗi cách chọn f, g0, g1, ..., gn−1 đủ trơn và nghiệm này phụ thuộc liên tục vào các hàm nói trên. Ta cần có một nhận xét trước khi nghiên cứu bài toán này. Để các phương trình (1.3) và (1.4) không mâu thuẫn nhau thì điều quan trọng là hệ số của Dtm trong (1.2) không triệt tiêu. Còn nếu hệ số này triệt tiêu thì khi đó từ các phương trình (1.3),(1.4) ta suy ra m−1 X X aµ,k Dxµ gk (x) = f (x, 0). k=0 |µ|≤m−k 2 (1.5) Do đó chúng ta phải thu hẹp lớp các hàm số gk . Vì ta muốn có nghiệm cho mọi sự lựa chọn của gk (thỏa mãn điều kiện khả vi) nên cần tránh được tình huống này. Do đó ta giả sử rằng a(0,...,0),m 6= 0. (1.6) Chúng ta mô tả điều này bằng cách nói rằng siêu phẳng t = 0 không là mặt đặc trưng của toán tử (1.2). 1.2 Nghiệm yếu của bài toán Cauchy Trước hết chúng ta có khái niệm nghiệm yếu được xuất phát từ công thức tích phân từng phần Định nghĩa 1.1. Một hàm u ∈ L2(Ω) được gọi là một nghiệm yếu của phương trình 1.1 nếu nó thỏa mãn (u, P (D)ϕ) = (f, ϕ) (1.7) với ∀ϕ ∈ C0∞(Ω). Để nghiên cứu về nghiệm yếu của bài toán Cauchy, ta hãy bắt đầu với một trường hợp đơn giản. Trước hết, giả sử rằng cho các gk trong (1.4) triệt tiêu và giả sử rằng f ∈ C0∞(Ω). Do đó, bài toán của chúng ta bây giờ có dạng như sau P (Dx , Dt )u = f (1.8) Dtk u(x, 0) = 0, 0 ≤ k < m (1.9) trong Ω và trên ∂0 Ω. Ta có một nhận xét đơn giản. Vì f ∈ C0∞(Ω) nên ta có thể mở rộng 3 là f triệt tiêu trong Ω0\Ω (phần của Ω0 nằm trong nửa không gian t ≤ 0.). Hàm mở rộng f1 này rõ ràng thuộc C0∞(Ω0). Bây giờ giả sử u ∈ C ∞(Ω) là một nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Để ý rằng nếu ta mở rộng hàm u triệt tiêu trên Ω0 \Ω khi đó hàm mở rộng u1 thuộc C m (Ω0). Ta khẳng định như vậy vì mọi đạo hàm Dtk u với 0 ≤ k < m liên tục trên ∂0Ω. Hơn nữa, vì P (D) = P (Dx , Dt ) = X aµ,k Dxµ Dtk (1.10) |µ|+k≤m P (D) = X aµ,k Dxµ Dtk , aµ,k ∈ C |µ|+k≤m và (1.11) a(0,...,0),m 6= 0 ta thấy rằng Dtm u(x, 0) = 0 trên ∂0Ω (nhắc lại rằng f cũng triệt tiêu ở đây). Vì cả f1 và u1 đều triệt tiêu trong Ω0 \Ω, ta suy ra rằng u1 là nghiệm của (1.12) P (D)u1 = f1 trong Ω0 . Đặc biệt, nó là một nghiệm yếu, và do đó Z Z ϕ ∈ C0∞(Ω0). u1P (D)ϕdxdt = f1ϕdxdt, Ω0 (1.13) Ω0 Vì cả u1 và f1 đều triệt tiêu trên Ω0\Ω nên (u, P (D)ϕ) = (f, ϕ), ϕ ∈ C0∞(Ω0) (1.14) trong đó (v, w) = Z Ω 4 vwdxdt. (1.15) Tóm lại, chúng ta thấy rằng, mọi nghiệm của bài toán (1.8) và (1.9) thỏa mãn phương trình (1.14). Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại. Nếu u ∈ C m(Ω) thỏa mãn phương trình (1.14) thì nó là một nghiệm của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Để làm được điều đó chúng ta cần nhắc lại công thức tính tích phân từng phần, vì hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω0) không nhất thiết triệt tiêu trên ∂0 Ω. Với kí hiệu đang sử dụng thì công thức tích phân từng phần của chúng ta có dạng Z Z Dk hdxdt = −i hγk dσ Ω 1≤k ≤n+1 (1.16) ∂Ω trong đó γk là cosin của góc giữa trục xk với hướng ngoài chuẩn của ∂Ω. Kí hiệu ∂1Ω là phần của ∂Ω không nằm trong siêu phẳng t = 0. Nếu h triệt tiêu gần ∂1Ω thì phương trình (1.16) trở thành Z Dk hdxdt = 0 1≤k≤n (1.17) Ω và Z Dt hdxdt = −i Ω Z hdx (1.18) ∂0 Ω Đặc biệt, nếu w ∈ C 1(Ω) và ϕ ∈ C0∞ (Ω0), thì (Dk w, ϕ) = (w, Dk ϕ) 1≤k≤n (1.19) Z (1.20) và (Dt w, ϕ) = (w, Dt ϕ) − i wϕdx ∂0 Ω Một lần nữa ứng dụng phương trình (1.20) ta được (Dtk w, ϕ) = (w, Dtk ϕ) − i k Z X j=1 ∂ Ω 0 5 Dtk−j wDtj−1ϕdx (1.21) với w ∈ C k (Ω) và ϕ ∈ C0∞ (Ω0). Bây giờ chúng ta áp dụng các công thức này vào biểu thức (P (D)u, ϕ) với u ∈ C m(Ω) và ϕ ∈ C0∞(Ω0). Ta được aµ,k (Dxµ Dtk u, ϕ) |µ|+k≤m # " k R P P = aµ,k (u, Dtk Dxµ ϕ) − i Dtk−j uDtj−1Dxµ ϕdx (P (D)u, ϕ)= P j=1 ∂0 Ω |µ|+k≤m = (u, P (D)ϕ) − i m Z X Nj uDtj−1ϕdx (1.22) j=1 ∂ Ω 0 trong đó Nj u = m X X aµ,k Dxµ Dtk−j u 1≤j≤m (1.23) k=j |µ|≤m−k Bây giờ giả sử u ∈ C m(Ω) thỏa mãn phương trình (1.14) với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω0). Đặc biệt, điều này đúng với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω) và do đó, u là một nghiệm của phương trình (1.8). Vì thế, phương trình (1.22) cho ta m Z X Nj uDtj−1ϕdx = 0 ϕ ∈ C0∞ (Ω0) (1.24) j=1 ∂ Ω 0 Ta khẳng định rằng phương trình (1.24) suy ra rằng Nj u = 0 1≤j≤m (1.25) trên ∂0Ω. Chúng ta để lại chứng minh của khẳng định này đến cuối mục này. Bây giờ chúng ta chú ý rằng phương trình (1.25) suy ra phương trình (1.9). Thực tế, theo phương trình (1.23) Nm u = au 6 Nm−1u = aDt u + X aµ,m−1Dxµ u |µ|≤1 và, một cách tổng quát, Nm−k u = aDtk u+ một biểu thức tuyến tính chỉ chứa u, Dtu, ..., Dtk−1u và các đạo hàm của chúng theo x1, ..., xn. Vì a 6= 0 (theo (1.11)), Nmu = 0 trên ∂0 Ω suy ra u = 0 trên ∂0 Ω và ngược lại, Nm−1u = 0 suy ra Dt u = 0, ... Do đó, ta đã chứng minh được định lí sau đây Định lý 1.1. Một hàm u ∈ C m(Ω) là một nghiệm của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn phương trình (1.14). Ta có thể thấy rằng Định lí 1.1 đúng với mọi f ∈ C(Ω). Thật vậy, nếu u là một nghiệm của phương trình (1.8) thì theo phương trình (1.22) m Z X (1.26) Nj uDtj−1ϕdx (u, P (D)ϕ) − (f, ϕ) = i j=1 ∂ Ω 0 Mà trong phương trình (1.23) ta thấy rằng Dtm u không xuất hiện trong các Nj u. Do đó, nếu u thỏa mãn phương trình (1.9) thì Nj u = 0 trên ∂0 Ω với mỗi j, chứng tỏ rằng phương trình (1.14) đúng. Ngược lại, nếu phương trình (1.14) đúng thì phương trình (1.24) cũng đúng và do đó phương trình (1.9) đúng. Ta có định nghĩa nghiệm yếu Định nghĩa 1.2. Giả sử f (x) ∈ L2(Ω). Ta gọi hàm số u(x) ∈ L2(Ω) là một nghiệm yếu của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) nếu đẳng thức (1.14) được thỏa mãn với mọi ϕ(x) ∈ C0∞(Ω0). Trong mục tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu về các nghiệm yếu của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Phần còn lại của mục này, như đã nói ở trên, chúng ta sẽ chứng minh (1.25) là hệ quả của phương trình (1.24). Chứng minh này trở nên đơn giản khi chúng ta có bổ đề sau 7 Bổ đề 1.1. Nếu w1(x), ..., wm(x) là các hàm liên tục trên ∂0Ω và m Z X wj Dtj−1ϕdx = 0 ∀ϕ ∈ C0∞(Ω0) (1.27) j=1 ∂ Ω 0 thì wj đồng nhất 0. Chứng minh. Giả sử với j nào đó và với x0 ∈ ∂0 Ω nào đó wj (x0) 6= 0. Ta có thể giả sử rằng Re wj (x0) > 0. Do tính liên tục nên tồn tại lân cận N của x0 sao cho Re wj (x) > 0 với x ∈ N . Khi đó, tồn tại các hằng số dương r, b sao cho khối trụ |x − x0| < 2r |t| < 2b chứa trong Ω0 và |x − x0| < 2r chứa trong N. Giả sử ψ(x) là một hàm thuộc C0∞ (∂0Ω) sao cho ψ(x) = 1 |x − x0| ≤ r ψ(x) = 0 |x − x0| ≥ 2r 0 ≤ ψ(x) ≤ 1 x ∈ ∂0 Ω và lấy ρ(t) là một hàm trong C0∞ (R1) thỏa mãn ρ(t) = 1 |t| ≤ b ρ(t) = 0 |t| ≥ 2b Đặt ϕ(x, t) = (it)j−1ψ(x)ρ(t). Rõ ràng ϕ ∈ C0∞ (Ω0). Hơn nữa, Dtk ϕ(x, 0) = 0 với k 6= j − 1 và Dtj−1ϕ(x, 0) = (j − 1)!ψ(x) 8 chứng tỏ rằng hàm này là dương trong |x − x0| < r, không âm trong N và triệt tiêu bên ngoài N. Do đó, ta phải có Z Re wj (x)Dtj−1ϕ(x, 0)dx > 0 (1.28) ∂0 Ω Nhưng điều này là không thể vì vế trái của (1.28) bằng phần thực của vế trái của (1.27) với cách chọn ϕ như vậy. Bổ để được chứng minh. 1.3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu Trong mục này chúng ta sẽ làm sáng tỏ hơn về các nghiệm yếu của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Cụ thể, chúng ta sẽ nói về điều kiện cần và đủ để bài toán Cauchy có nghiệm yếu. Và chính vì điều kiện này nên lớp phương trình mà chúng ta đang xét bị thu hẹp, chỉ bao gồm các phương trình hyperbolic. Trước hết, chúng ta có các định lí Định lý 1.2. Với mỗi hàm f ∈ L2(Ω), điều kiện cần và đủ để các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) có nghiệm yếu là tồn tại C > 0 sao cho |(f, ϕ)| ≤ C P (D)ϕ ∀ϕ ∈ C0∞(Ω0) (1.29) Thêm nữa, ta có Định lý 1.3. Điều kiện cần và đủ để các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) có nghiệm yếu với mọi f ∈ L2(Ω) là tồn tại C > 0 sao cho kϕk ≤ C P (D)ϕ 9 ∀ϕ ∈ C0∞(Ω0) (1.30) Chứng minh. Điều kiện đủ là rõ ràng, vì từ (1.30), với mỗi f ∈ L2(Ω), |(f, ϕ)| ≤ kf k kϕk ≤ kf k C P (D)ϕ theo bất đẳng thức Schwarz. Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử bất đẳng thức (1.29) đúng với mỗi f ∈ L2(Ω). Nếu (1.30) không đúng, khi đó sẽ tồn tại một dãy hàm {ϕk } trong C0∞(Ω0) sao cho kϕk k → ∞ P (D)ϕk = 1 k→∞ Fk (f ) = (f, ϕk ) f ∈ L2(Ω) k = 1, 2, ... Đặt (1.31) Khi đó, với mỗi k, Fk là một hàm tuyến tính bị chặn trên L2 (Ω) và với mỗi f ∈ L2(Ω), theo (1.29) ta có |Fk (f )| ≤ |(f, ϕk )| ≤ C P (D)ϕk = C vậy nên sup |Fk (f )| < ∞ k Theo định lí Banach-Steinhaus, sẽ tồn tại một hằng số C sao cho |Fk (f )| ≤ C kf k f ∈ L2 (Ω) k = 1, 2, ... |(f, ϕk )| ≤ C kf k f ∈ L2(Ω) k = 1, 2, ... Do đó, Lấy f = ϕk ta nhận được kϕk k ≤ C điều này mâu thuẫn với (1.31). Do đó, (1.30) đúng và ta có điều cần chứng minh. 10 Đặc biệt, ta biết rằng với mỗi miền Ω0 ⊂ Rn+1 các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9) có một nghiệm yếu với mỗi f ∈ L2 (Ω) nếu và chỉ nếu bất đẳng thức (1.30) đúng. Một câu hỏi tự nhiên là phải có điều kiện gì để toán tử P (D) thỏa mãn (1.30)? Định lí sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời Định lý 1.4. Nếu Ω chứa một dải có dạng 0 < t < 2b, b > 0 và P (D) thỏa mãn (1.30), thì tồn tại một hằng số K, sao cho (1.32) | Im τ | ≤ K với ξ thực, suy ra P (ξ, τ ) = 0. Chứng minh. Lấy (ξ, τ ) sao cho ξ thực và P (ξ, τ ) = 0. Giả sử ψ(x) 6= 0 là một hàm thuộc C0∞(Rn ) và ρ(t) là một hàm thuộc C0∞(R1 ) thỏa mãn ρ(t) = 1 |t| ≤ b ρ(t) = 0 |t| ≥ 2b và 0 ≤ ρ(t) ≤ 1 |t| ≤ 2b Đặt (1.33) ϕε (x, t) = ψ(εx)ρ(t)ei(x,ξ)+itτ Ta có thể lấy Ω0 chứa dải |t| ≤ 2b. Trong trường hợp này ϕε ∈ C0∞ (Ω0) và do đó bất đẳng thức (1.30) được giả thiết là đúng với nó. Như vậy, kϕε(x, t)k2 = Z |ψ(εx)|2dx Z2b e2t Im τ |ρ(t)|2 dt ≥ ε−n kψ(x)k2 0 Zb 0 Mặt khác, 11 e2t Im τ dt 1 (µ,k) i(x,ξ)+itx µ P e Dx ψ(εx)Dtk ρ(t) µ+k>0 µ!k! P 1 (µ,k) P (ξ, τ )Dxµ ψ(εx)Dtk ρ(t), = ei(x,ξ)+itτ µ!k! |µ|+k>0 P (D)ϕε= P trong đó, P (µ,k) ∂ |µ|−k P (ξ, τ ) (ξ, τ ) = ∂ξ µ ∂τ k Do đó,   1  (µ,k)  (ξ, τ ) Dxµ ψ(εx)Dtk ρ(t) P µ!k! X t Im τ |P (D)ϕε| ≤ e |µ|+k>0 và ngược lại P P (D)ϕε 2 ≤ C R2b 1 |P (µ,k) (ξ, τ )|2 kDxµ ψ(εx)k2 e2t Im τ |Dtk ρ(t)|2dt µ+k>0 µ!k! 0 2b R P (0,k) |P (ξ, τ )|2 kψ(x)k2 e2t Im τ dt ≤ ε−nC1 k>0 −n +ε C2 b P P (µ,k) |P 2|µ| (ξ, τ )| |µ|>0 k≥0 Thay vào (1.30) ta có Zb e2t Im τ dt ≤ C3 X |P (0,k) (ξ, τ )|2 k>0 0 + C4 X |µ|>0 ε2|µ| X 2b 2 R 2t Im τ µ dt. kDx ψ(x)k e 0 Z2b e2t Im τ dt 0 |P (µ,k)(ξ,τ ) |2 k≥0 Z2b e2t Im τ dt. b Giả sử ε → 0. Nếu Im τ ≤ 0 thì 1 − e2b Im τ ≤ C5 (1 + |ξ| + |τ |)2m (e2b Im τ − e4b Im τ ) chứng tỏ 1 ≤ C6 (1 + |ξ| + |τ |)2m e2b Im τ 12 (1.34)