Tài liệu Bài toán biên thứ 2 đối với phương trình hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô trường Đại học sư phạm Hà Nội II, phòng sau đại học, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình dạy LÊ HOÀNG ANH bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Giáo sư – Tiến sĩ khoa học Nguyễn Mạnh Hùng, người đã dành rất nhiều thời gian, tâm huyết, tạo mọi điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt khóa luận này. Sự hiểu biết sâu sắc về TOÁN BIÊNcủa THỨ ĐỐIlà VỚI khoa học, BÀI cũng như kinh nghiệm thầy 2chính tiền đềPHƢƠNG giúp tôi đạt được TRÌNH HYPERBOLIC CẤP những thành tựu và kinh nghiệm quý báu. 2 TRONG TRỤ VÔ HẠN Bên cạnh đó, tôi cũng không thể quên gửi lời cảm ơn tới cô Nguyễn ngành Toáncông giải sức tích để trao đổi, thảo luận Thị Bích Liên đã khôngChuyên quản ngại thời :gian, Mã số : 60 46 01 và đưa ra những chỉ dẫn, đề nghị cho luận văn của tôi. . LUẬN VĂN THẠC TOÁN Cuối cùng, tôi cũng xin cảm ơnSĨbạn bè, gia GIẢI đình và TÍCH đồng nghiệp đã luôn bên tôi, cổ vũ và động viên những lúc khó khăn để có thể vượt qua và hoàn thành tốt luận văn này. Mặc dù hƣớng tôi đã có nhiều cốhọc gắng: GS.TSKH hoàn thiện luận văn Mạnh bằng tất cả sự nhiệt Ngƣời dẫn khoa Nguyễn Hùng tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô và các bạn. Hà Nội, ngày 16 tháng 6 năm 2013 Học viên Lê Hoàng Anh HÀ NỘI, 2013 -2- Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là do tự bản thân tôi thực hiện, có sự hỗ trợ hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng và không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác để làm sản phẩm của riêng mình. Các nội dung sử dụng trong luận văn là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính trung thực và nguyên bản của luận văn. Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng, cũng như kết quả luận văn của mình. Hà Nội, ngày 16 tháng 6 năm 2013 Tác giả Lê Hoàng Anh -3- Mục lục .............................................................................................. 4 I.1 Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 4 ......................................................................... 4 ....................................................................... 5 .................................................................. 5 ...................................................................... 6 ................................................................... 6 1.1 Không gian Banach .................................................................................... 6 1.1.1 Không gian định chuẩn ........................................................................... 6 1.1.2 Không gian Banach ................................................................................. 7 1.2. Không gian Hilbert .................................................................................... 9 1.2.1 Tích vô hướng ......................................................................................... 9 1.2.2 Không gian Hilbert ................................................................................ 11 1.3. Không gian Sobolev ................................................................................ 14 1.3.1 Đạo hàm suy rộng ................................................................................. 14 1.3.2 Không gian Sobolev .............................................................................. 15 Chƣơng II Bài toán CauchyNeumann đối với phƣơng trình Hyperbolic trong trụ vô hạn ....................................................................... 19 2.1. Giới thiệu:................................................................................................ 19 2.2. Thiết lập bài toán ..................................................................................... 20 2.2.1 Đặt bài toán ........................................................................................... 21 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm .............................................................. 23 Chƣơng III Bài toán biên thứ 2 đối với phƣơng trình Hyperbolic cấp 2 không có điều kiện ban đầu ............................................................... 36 3.1. Giới thiệu ................................................................................................. 36 3.2. Kết quả chính .......................................................................................... 38 -4- Phần III : Danh mục tài liệu tham khảo .................................................... 45 1 1. Lý do chọn đề tài Lí thuyết các bài toán biên đối với các phương trình, hệ phương trình dừng cũng như không dừng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện vào giữa thế kỉ XX. Tuy nhiên, một vấn đề quan trọng được đặt ra đó là khi tính trơn của biên bị phá vỡ, tức là biên của miền xét bài toán chứa các điểm kì dị. Các kết quả nghiên cứu mang tính chất nền móng của V.A Kondrative năm 1967 đã giải quyết được một số vấn đề mang tính nguyên lí để khắc phục điểm biên kì dị của bài toán biên tổng quát đối với phương trình Elliptic. Từ những kết quả quan trọng của V.A Kondrative các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu hệ phương trình Elliptic và hướng nghiên cứu này đã khá hoàn thiện vào những năm chín mươi của thế kỉ XX. Nghiên cứu các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình không dừng trong trụ có đáy là miền với biên không trơn được nghiên cứu một cách hệ thống với các hệ phương trình: Hyperbolic, parabolic và Schrodinger. Trong đó, các kết quả của bài toán biên tổng quát đối với phương trình và hệ phương trình Hyperbolic có ứng dụng thực tiễn quan trọng trong vật lí, cơ học và hóa học lượng tử. Chình vì thế “Bài toán biên thứ 2 đối với phƣơng trình Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn” là đề tài mà tôi đã lựa chọn nghiên cứu trong luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu của luận văn là chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng và tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian trong bài toán biên ban đầu tổng quát đối với phương trình Hyperbolic trong trụ vô hạn và đáy là miền có biên không trơn. -5- 4 Phƣơn Sử các phương pháp giải tích hàm : phương pháp ước lượng tiên nghiệm và phương pháp Galerkin. -6- 2 Chƣơng 1 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa1.1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường số thực hay số phức K , p là một nửa chuẩn xác định trong X , tức p là một ¡ thỏa mãn hai điều kiện : ánh xạ X a) p x b) p x p x y x p x p y Theo nhận xét p x ra p x x, y 0 x X, K X X . Ta có p 0 0 , nhưng có thể xảy 0 với x 0 nào đó. Nếu p thỏa mãn them điều kiện: c) p x x 0 , thì p được gọi là một chuẩn trong X . Khi đó ta 0 kí hiệu x thay cho p x . Như vậy một chuẩn . thỏa mãn ba điều kiện: 0 với 1) x 2) 3) x x y x x với x y X x x 0 X, với x, y x 0 K X Từ đó ta suy ra : x y x y, x, y X Định nghĩa1.1.2 Không gian tuyến tính thực (hay phức) cùng với một chuẩn xác định trong X được gọi là một không gian định chuẩn thực (hay phức). -7- 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa1.1.3 Nếu không gian định chuẩn X là một không gian Metric đầy đủ (với khoảng cách d x, y x y ) thì X được gọi là không gian Banach hay không gian định chuẩn đầy đủ. Ví dụ 1: Không gian Euclide n – chiều ¡ n trở thành không gian định chuẩn với chuẩn: n x xi 2 1 2 x x1 ,..., xn ¡ n . i 1 Không gian ¡ n là không gian Banach. Ví dụ 2: Gọi C a, b là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực (hay giá trị phức) liên tục trên các khoảng đóng a,b ¡ . C a, b trở thành không gian định chuẩn với chuẩn : x max x t a t b Không gian C a, b là không gian Banach. Ví dụ 3: Giả sử C S là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực (hay phức) liên tục trên không gian Tôpô compact (S). C S là không gian định chuẩn với các phép toán đại số thông thường và với chuẩn : x max x t t S Ví dụ 4: C0 và l là các không gian Banach. Ta sẽ chứng minh cho không gian C0 ; đối với l chứng minh tương tự. Giả sử xm nghĩa là m 1 là một dãy Cauchy trong C0 , trong đó xm 0, m0 , m m0 , p nguyên dương, xm xm p m 1 , m 2 ,... có -8- Vì xm sup m , ta có : n n m n khi n cố định (1.1.1) n là một dãy số Cauchy. Do đó, tồn tại m n m p n m 1 0 n lim m m n . trong (1.1.1) ta thu được: Cho p m 0 n n Bởi vì lim m m0 n 0 , cho nên n m0 n 0 n n0 , n n0 , m0 n 0 1 x0 (1.1.2) 0 n , 20 ,... 2 c0 . Từ (1.1.2) suy ra xm x0 x0 khi m m0 . lim xn trong không gian c0 . n Ví dụ 5: l p p 1 là không gian Banach. Giả sử xm trong l p , trong đó xm m 1 , m 2 ,... . Do đó m 1 là dãy Cauchy 0, m0 , m m0 , r nguyên dương: xm xm r tức là m n m r p n 1 p (1.1.3) n 1 m n m p n n, m m0 (1.1.4) N (1.1.5) Từ (1.1.3) suy ra: N m n n 1 m r p n 1 p -9- Từ (1.1.4) suy ra với mọi n, tồn tại giới hạn: m lim m 0 n n trong (1.1.5) ta nhận được Cho r N m 0 n n p 1 p N n 1 ta nhận được Cho N m 0 n m 0 1 n 1 p p (1.1.6) n 1 y: 1 x0 0 1 , 0 2 m , 2 m ,... 1 0 2 ,... , 2 m lp m ,... 0 1 1 , m 2 0 2 ,... xm y lp Từ (1.1.6) suy ra: y Tức là x0 xm x0 m m0 lim xm trong l p . m Ví dụ 6: l p a, b p 1 là không gian Banach. Định lý Fisher-Riesz trong lý thuyết tích phân Lebesgue đã chỉ ra l1 a, b là không gian Banach. Tính đầy đủ của không gian l p a, b p 1 cũng chứng minh tương tự. 1.2. Không gian Hilbert 1.2.1 Tích vô hướng Trong không gian ¡ y 1 , 2 ,..., k k tích vô hướng của hai vectơ x 1 , 2 ,..., k , : x, y 1 1 2 2 ... k k giữ một vai trò rất quan trọng và là một khái niệm được ứng dụng rộng rãi trong toán học, cơ học, vật lý, … Biết tích vô hướng của mọi cặp vectơ thì có thể suy ra độ dài các vectơ (bình phương độ dài một vectơ bằng tích vô hướng - 10 - của vectơ ấy với chính nó) và góc giữa hai vectơ (cosin của góc này bằng tích vô hướng của hai vectơ chia cho tích các độ dài của chúng). Thành thử trong khái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo góc, và từ đó đi đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thẳng,… Ta hãy xét xem làm thế nào đưa được khái niệm tích vô hướng vào không gian định chuẩn. Ta nhận thấy tích vô hướng x, y của hai vectơ x, y trong ¡ k có các tính chất cốt yếu sau đây: 1. x, y 2. x 3. y, x . y, z x, z x, y với mọi số thực x, y 4. x, x y, z . 0 nếu x 0 ; x, x . 0 nếu x 0 . Vả lại tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) của các vectơ bởi hệ thức 5. x, x 2 x . Như vậy phải làm thế nào xác định được trong không gian định chuẩn một hàm hai biến x, y với các tính chất 1. – 4. và liên hệ với chuẩn bởi hệ thức 5. Một không gian định chuẩn mà trong đó có thể xác định được một hàm hai biến x, y với các điều kiện ấy gọi là một không gian Hilbert (hay không gian unita). Từ tính chất 1, 2 và 3, ta có x y, x y x y, x y 2 x, x 2 y, y và kết hợp với 5, ta suy ra chuẩn trong một không gian tiền Hilbert phải thỏa mãn điều kiện x y 2 x y 2 2 x 2 y 2 . (1.2.1) - 11 - Đẳng thức này có nghĩa là: tổng bình phương các cạnh của một hình bình hành bằng tổng bình phương của hai đường chéo, cho nên thường gọi là điều kiện bình hành. Vậy muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện bình hành. Ngược lại có thể chứng minh ( không khó lắm ) rằng nếu một không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện bình hành thì bằng cách đặt x, y 1 x 4 y 2 x x 2 (1.2.2) ta sẽ có hàm hai biến x, y với các tính chất 1 đến 4 Tóm lại, không gian Hilbert chẳng qua là không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện bình hành (1). Nhưng trong phần lớn các ứng dụng, khái niệm tích vô hướng đi trước khái niệm chuẩn, cho nên trong lý thuyết không gian Hilbert người ta thường xuất phát từ một không gian tuyến tính (chưa định chuẩn ),lấy các tính chất 1. – 4. làm những tiên đề để định nghĩa tích vô hướng trong không gian đó, rồi mới định nghĩa chuẩn bởi 5. Tức là x x, x (đương nhiên cần chứng minh rằng đó là một chuẩn, nghĩa là nó thỏa mãn đủ các tiên đề về chuẩn). 1.2.2 Không gian Hilbert Một không gian tuyến tính thực X được gọi là không gian tiền Hilbert, nếu trong đó có xác định một hàm hai biến x, y , gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y , với các tính chất 1. – 4. Ta hãy chứng minh rằng hệ thức 5. tức là x x, x (1.2.3) xác định một chuẩn trong không gian X, nói cách khác không gian tiền Hilbert định nghĩa như trên là một không gian định chuẩn. - 12 - Trước hết, với mọi số thực 0 x y, x ta có y 2 này phải có biệt số 0: y x, x cho nên tam thức bậc hai theo 2 x, y hay 2 x x, x y, y x, y y, y , 0 (1.2.4) x.y Từ đó x y, x y x, x 2 x, y y, y x 2 2x.y y 2 x y 2 Vậy x y x y nghĩa là bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn. Mặt khác từ 3. , 4. , 5. ta suy 0 nếu x 0, x ra ngay: x 0 nếu x 0 , và x . x . Do đó x đúng là một chuẩn. Qua chứng minh trên ta thấy rằng trong không gian tiền Hilbert luôn luôn có bất đẳng thức (1.2.4) gọi là bất đẳng thức Schwarz. Vả lại theo trên đẳng thức bình hành (1.2.1) cũng luôn luôn đúng. Ta có x chuẩn xn có yn xn , yn y, x hệ x y, x y . y thức xn x y, x y 4 x, y nên giữa tính vô hướng và (1.2.2). Khi yn y , cho nên theo (1.2.2) ta cũng có x xn x 0, yn y 0 thì Vậy tích vô hướng x, y là một hàm liên tục đối với x và y. Vả chăng các tính chất 2. , 3. có nghĩa là x, y là một phiếm hàm song tuyến tính trên X, và bất đẳng thức Schwarz (1.2.4) cho thấy phiếm hàm này bị chặn, do đó theo kết quả ở Chương 5, mục 5.3, nó phải liên tục. - 13 - Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi khái niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó. Nói riêng một không gian tiền Hilbert có thể đủ hay không đủ. Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là một không gian Hilbert. Một không gian tiền Hilbert không đủ bao giờ cũng có thể bổ sung cho thành không gian Hilbert: muốn như thế, người ta coi nó là một không gian định chuẩn với chuẩn x để bổ sung cho thành một không gian x, x Banach (như đã thấy ở Chương 5, mục 1.4), sau đó sẽ chứng minh rằng trong không gian Banach này có thể định nghĩa tích vô hướng thêm cho các phần tử mới để vẫn có x x, x Giữa các khái niệm không gian Metric, không gian tuyến tính, không gian định chuẩn và không gian Hilbert, có những liên hệ như trong Bảng 1. Trong những ví dụ về không gian định chuẩn đã gặp, ¡ k không gian Hilbert, với tích vô hướng là x, y i 1 i i k dĩ nhiên là . cũng là không gian Hilbert, với tích vô hướng: Không gian L2 E, x, y E x t y t d Tích phân này tồn tại và hữu hạn vì theo bất đẳng thức Holder: E xy 1 2 x2 . y2 1 2 . 2 Không gian C La ,b gồm tất cả các hàm liên tục trên a, b với các phép toán tuyến tính thông thường, và tích vô hướng x, y b a x t y t dt là một không gian tiền Hilbert không đủ ( tính không đủ này cũng chứng 2 minh tương tự như đối với C La ,b , Chương 2 , mục 3.1) - 14 - Một không gian Hilbert thường gặp nữa là không gian l 2 , lập thành bởi tập tất cả các dãy số x tuyến tính : x y 1 1 1 , , 2 ,... sao cho 2 2 i 1 ,... ; x 1 x, y i , , với các phép toán 2 i 2 ,... , và tích vô hướng i i 1 Không gian này là trường hợp riêng của L2 E, E 1,2,..., n,... , 1 2 với ... n ... 1 Hai không gian Hilbert X , X ' gọi là đẳng cấu nếu có một ánh xạ 1-1 từ X lên X ' bảo toàn các phép toán tuyến tính và bảo toàn tích vô hướng, nghĩa là sao cho 1) x y 2) x, y x y ; x x ; x, y Chẳng hạn, sau này sẽ thấy rằng hai không gian l 2 và L2 là đẳng cấu. 1.3. Không gian Sobolev 1.3.1 Đạo hàm suy rộng Giả sử là một miền không nhất thiết bị chặn trong không gian ¡ n . Một hàm v x u x L1,loc của hàm nếu L1,loc u x với mọi được gọi là đạo hàm suy rộng cấp 0 C x dx , ở đó 1 1 ,..., D v x D n 1 , x1... x dx 1 n ... n và xn Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm v có đạo hàm liên tục cấp thì nó có đạo hàm suy rộng cấp . Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng và từ - 15 - định lí rút ra hàm v có không quá một đạo hàm suy rộng. Thật vậy, giả sử u 1 và u2 là hai đạo hàm suy rộng của hàm v. Khi đó 0 u1 x u2 x x x dx 0 , Do đó u1 = u2 hầu khắp nơi trong C . . Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm (theo nghĩa cổ điển). Để lấy ví dụ ta lấy v x g x2 . Khi đó f x1 2 v x1 x2 với các hàm f , g 0 L1 ¡ , nhưng có thể các đạo hàm ( cổ điển ) cấp một và cấp hai không tồn tại khắp nơi trong ¡ 2 . Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp hàm suy rộng trong miền vào trong miền ' . Khi đó đạo ' được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong ' . Dễ kiểm tra được rằng D v D Dv , aD v1 bD v2 D av1 bv2 , ở đó a và b là các hằng số tùy ý. Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được rằng đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung đạo hàm suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm (cổ điển). Tuy nhiên không phải tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn không suy ra được sự . 1.3.2 Không gian Sobolev Không gian Wpm là không gian bao gồm tất cả các hàm u x sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp trang bị chuẩn , m thuộc Lp Lp , được - 16 - 1 uW p Du x m p (1.3.1) dx m Không khó khăn, ta kiểm tra được Wpm và là không gian Hilbert với p 1 p p là không gian Banach với với chuẩn 2 . Không gian Wpm (4.1) được gọi là không gian Sobolev. Trong luận văn này, chúng tôi giả sử (n 2) với biên . Hơn nữa, giả sử rằng trùng với nón K x: là một miền bị chặn trong ¡ n \ 0 trơn vô hạn và G trong một lân cận nào đó của gốc tọa độ 0, ở x x đây G là một miền trên mặt cầu đơn vị S n 1 với biên G trơn. Kí hiệu QT với 0 T 0,T , ST 0,T , GT G G 0,T 0, t với 0 t T . ; Qt Giả sử l, k và h là những số nguyên không âm; với 0,T , G , là những số thực 0 . Trong luận văn này chúng tôi thường sử dụng các không gian hàm sau. Cl C - không gian các hàm khả vi liên tục đến bậc l trên I k 0 . - không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ck C0 - không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong L2 - không gian các hàm bình phương khả tích trên u Hl 2 u x L2 . . với chuẩn 1 2 dx - không gian các hàm giá trị phức đo được u x có đạo hàm suy rộng đến cấp l, thỏa mãn 1 2 l u Hl 2 : D u dx 0 - 17 - - không gian Soblev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo Hl được u x có đạo hàm suy rộng đến cấp l, thỏa mãn 1 2 l u : Hl r 2 l 2 D u dx 0 - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo Wl được u x có đạo hàm suy rộng đến cấp l, thỏa mãn 1 2 l u 2 r 2 D u dx : Wl 0 L2 QT - không gian các hàm bình phương khả tích trên QT với chuẩn 1 2 u H l ,k QT 2 u x, t L2 QT dxdt QT - không gian các hàm giá trị phức đo được u x, t có đạo hàm đến cấp l theo biến x và cấp k theo biến t, thỏa mãn l u : H l ,k QT Du 2 0 QT k j 1 ut 2 j 1 2 dxdt H l e t , QT - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo được u x, t có đạo hàm đến cấp l theo hai biến x và t, thỏa mãn u H l ,k QT 2 : D ut e 1 2 2 t j j 1 QT dxdt - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức H l e t , QT đo được u x, t có đạo hàm đến cấp l theo hai biến x và t, thỏa mãn 1 2 u Hl e t ,QT : r j l QT 2 j l 2 D ut e j 2 t dxdt - 18 - V l ,,0h e t , QT - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị , xác định trên (0,T) và có đạo hàm theo t đến cấp h, trong không gian H l thỏa mãn h T uV V l trong H l 1 ,0 2 ,h 1 2 l ,0 ,h e t ,QT : j 0 0 j du t dt j 1 2 2 e 2 t dt Hl e t , ST - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị , xác định trên 0,T và có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn h T uV l 1 ,0 2 ,h t e , ST : j 0 0 j du t dt j 1 2 2 e 2 t dt H l 1 2 - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị Lh2 e 2 t , 0,T phức đo được u t có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn h T u L 0,T ; L2 gian L2 Lh2 e 2 t , 0,T : ut t 2 j j 0 0 1 2 e 2 t dt - không gian gồm các hàm nhận giá trị trong không , xác định trên 0,T và thỏa mãn u : ess sup u t 0 t T L2 - 19 - Chƣơng 2 Bài toán CauchyNeumann đối với phƣơng trình Hyperbolic trong trụ vô hạn 2.1. Giới thiệu: Các bài toán giá trị biên elip trong miền xác định với các điểm bất thường được xem xét ở bài báo [1,2], trong đó một số quan trọng về sự tồn tại duy nhất của nghiệm và sự khai triển tiệm cận của nghiệm cho các bài toán đó trong không gian Sobolev được đưa ra. Tính trơn của các nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình eliptic bậc 2 trong miền xác định với biên được mô tả ở [3]. Bài toán giá trị biên ban đầu cho các phương trình và hệ thống bất định trong miền xác định với các điểm hình nón được nghiên cứu trong các công trình [4,5]. Bài toán với điều kiện biên Neumann trong miền xác định với biên được giải quyết cho phương trình nhiệt kinh điển ở [6] và cho phương trình parabolic bậc 2 nói chung ở [7]. Bài toán Cauchy-Dirichlet cho phương trình hyperbolic bậc 2 trong hình trụ với đáy không trơn được khảo sát ở [8] và bài toán tương tự cho phương trình Schrodinger được mô tả ở [9,10], trong đó tính trơn của nghiệm được nghiên cứu trong hình trụ với đáy bao gồm các điểm hình nón. Trong bản luận văn này, chúng tôi xem xét phương trình hyberbol bậc 2 với điều kiện Cauchy-Neumann trong hình trụ với đáy chứa các điểm hình nón. Một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và tính trơn đối với sự biến đổi của các nghiệm tổng quát của bài toán được đưa ra. Bản luận văn được trình bày như sau. Phần 2 nói về các ký hiệu và sự thiết lập của bài toán. Phần 3 trình bày về sự tồn tại duy nhất và tính trơn của nghiệm tổng quát của bài toán đối với biến thời gian. Phần 4 đưa ra tính trơn - 20 - của nghiệm tổng quát đối với biến không gian. Phần cuối ứng dụng kết quả phần 3 và 4 vào một vấn đề trong vật lý toán. 2.2. Thiết lập bài toán là một miền bị chăn trong ¡ n , n 2 với biên rằng là một bề mặt khả vị vô hạn lần trừ điểm gốc, trong miền lần lận của trung với hình nón K {x : x / x cầu đơn vị S n 1 . Ký hiệu 0 T . Chúng ta giả thiết G}, với G là một miền trơn trên hình x (0, T ) với T bất kỳ: x (0, T ) , ST T . Chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây: với mỗi chỉ số p ( p1 ,..., pn ) N n , p p1 ... pn , ký hiệu D pu p đối với x ( x1 ,..., xn ) ; u p p k p1 x1 u/ ... pn xn ux p1 pn 1 ... xn là đạo hàm chung bậc u / t k là đạo hàm chung bậc k đối với t. Chúng ta bắt đầu với việc đưa ra một số không gian hàm được sử dụng thường xuyên trong bản luận văn này. W l ( ) là không gian chứa tất cả các hàm u(x), x uW , với chuẩn: 1 2 2 D pu dx l p l W l ( ) là không gian chứa tất cả các hàm u(x) thỏa mãn 2 2 uW W l , k (e t , cho D pu , t , ut j T r 2 D pu dx l p l ) là không gian chứa tất cả các hàm u x, t , ( x, t ) ,t L2 0 2 uW l .k e p D pu t, T T p l l ,0 2 j k j k ut 2 j e T sao với hầu hết t (0, T ) và 2 t dxdt