Tài liệu Bài thị dirichlet đối với phương trình monge ampere phức và tính chính qui của hàm green đa phức

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ HOÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUI CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hòa Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả với những kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, Trường PTDT Nội trú - THPT tỉnh, Trường THPT Chuyên Tuyên Quang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hòa Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2 Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 3 1.1. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ...................................................................... 3 1.2. Toán tử Monge-Ampère phức ...................................................................... 4 1.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere ...................................... 8 1.4. Hàm Green đa phức với cực logarit tại một điểm ...................................... 20 Chƣơng 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC .......................................................................................... 24 2.1. Các ước lượng biên đối với các đạo hàm cấp hai ....................................... 25 2.2. Các ước lượng nội tại đối với các đạo hàm cấp hai ................................... 32 2.3. Tính chính quy của hàm Green đa phức .................................................... 36 KẾT LUẬN....................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 42 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cho W là một miền bị chặn trong £ n với biên ¶ W lớp £ ¥ . Xét bài toán Dirichlet đối với các phương trình Monge-Ampère phức íï det (u ) = y (z , u, Ñ u ) trong W z j zk ïï ì ïï u = j tr ên ¶ W ïî (*) Khi W là một miền giả lồi mạnh, bài toán này đã được nghiên cứu rộng rãi. Năm 1976, E. Bedford và B. A. Taylor đã chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui Lipschitz đều toàn cục của các nghiệm đa điều hòa dưới tổng quát. Năm 1980, Cheng và Yau, trong công trình nghiên cứu về các mêtric & & Kahler-Einstein đầy đủ trên các đa tạp phức không Compact, đã giải bài toán (*) với y = e u và j = + ¥ , thu được nghiệm thuộc lớp C ¥ (W) . Năm 1985, L. Caffarelli, J. J. Kohn, L. Nirenberg và J. Spruck đã chứng minh sự tồn tại của các nghiệm đa điều hòa dưới cổ điển của (*) cho trường hợp   0 , không suy biến trong các điều kiện  thích hợp. Trường hợp suy biến   0 cũng đã thu hút nhiều sự chú ý, và các phản ví dụ được tìm thấy đã chỉ ra rằng nghiệm đó không nhất thiết phải là nghiệm thuộc lớp C2 (xem Bedford và Fornaess, 1979; Gamelin và Sibony năm 1980). Ở đây chúng ta xem xét bài toán Dirichlet (*) đối với các miền tổng quát mà không cần đến tính giả lồi. Theo hướng dẫn nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài: "Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức và tính chính qui của hàm Green đa phức". 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere, Hàm Green đa phức với cực logarit tại một điểm . - Trình bày một số kết quả của Bo Guan về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère và tính chính qui của hàm Green đa phức. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết thế vị phức để trình bày các kết quả của Bo Guan. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử MongeAmpère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere, Hàm Green đa phức với cực logarit tại một điểm. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère và tính chính qui của hàm Green đa phức. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® [- ¥ , ¥ ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và b Î £ n , hàm l a u(a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) . (ở đây P SH (W) là lớp các hàm đa điều hoà dưới trong W). 1.1.2. Định nghĩa. Hàm giá trị thực u Î C 2 (W) , WÐ £ n , gọi là đa điều hòa { } là xác định dương trong W. Ký hiệu {u } là ma trận nghịch đảo của {u } khi nó là khả nghịch. dưới chặt nếu ma trận Hessian phức uz z j k jk z j zk 1.1.3. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho v Î P SH (G ) và v £ u trên ¶ G , đều có v £ u trong G. Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại. 1.1.4. Mệnh đề. Cho WÐ £ n là mở và u : W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi v Î P SH (W) , nếu lim sup(u (z ) - v(z )) ³ 0 , với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ; z® x (ii ) Nếu v Î P SH (W) và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W; Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 (iii ) Nếu v Î P SH (W) , G là một tập con mở compact tương đối của W, và u ³ v trên ¶ G thì u ³ v trong G; (iv ) Nếu v Î P SH (W) , G là một tập con mở compact tương đối của W, và lim inf(u (z ) - v(z )) ³ 0, với mỗi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G; z® x (v ) u là hàm cực đại. Chứng minh. (i ) Þ (ii ) : Cho v là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất: với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K . Giả sử rằng u(a ) - v(a ) = h < 0 tại một điểm a Î W. Bao đóng của tập hợp { E = z Î W: u (z ) < v(z ) + h 2 } là tập con compact của W. Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và h compact tương đối trong G . Theo (i ) ta có u ³ v + trong G , điều đó mâu 2 thuẫn với a Î E . Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm íï max {u (z ), v(z )} (z Î G ) ï w(z ) = ì ïï u (z ) (z Î W\ G ) ïî là đa điều hoà dưới trong W theo các giả thiết (iii ) , (iv ) , (v ) và (i ) . 1.2. Toán tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hoà dưới trên miền WÐ £ n . Nếu u Î C 2(W) thì toán tử: c n (dd u ) é ¶u ù ú := (dd u ) Ù ... Ù (dd u ) = 4 n !det êê dV , ú 1444444442 444444443 ¶ z ¶ z ê ú j k n ë û1£ j ,k £ n c c n với dV là yếu có thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0(W) trên W C 0 (W) ' j a c n ò j (dd u ) . W Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {u n } n> 1 íï và ì dd cu n ïîï ( Ð P SH h (W) Ç C ¥ sao cho un ] u nü ï ) ïýïþï hội tụ yếu tới độ đo Radon  trên W tức là: lim ò j (dd cun ) = n n W ò j d m, " j Î C 0 (W). W Hơn nữa  không phụ thuộc vào việc chọn dãy un  như trên, ta ký hiệu: (dd c u )n = m và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của toán tử MongeAmpère được trình bày trong [1]. { } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÐ 1.2.1. Mệnh đề. Giả sử mj ¡ n hội tụ yếu tới độ đo Radon m . Khi đó a) Nếu G Ð W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Nếu K Ð W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì m(E ) = lim mj (E ) . j® ¥ Chứng minh. a) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập compact. Lấy j Î C 0 (G ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ Từ đó j® ¥ m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 { } b) Ta có m(K ) = inf m(V ) : V É K ,V Ð W ,V= V 0 . Giả sử V là một lân cận mở của K và j Î C 0 (V ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ Từ đó j® ¥ m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) £ lim inf mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Mặt khác m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(E ) ³ lim sup mj (E ) . Vậy m(E ) = lim mj (E ) . j® ¥ j® ¥ 1.2.2. Định lý. Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó z® ¶W ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . {u < v } {u < v } (1.1) 1.2.3. Hệ quả. Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W) sao cho u £ v và lim u (z ) = lim v(z ) = 0 . Khi đó z® ¶W z® ¶W ò ( dd v ) c ( W) n £ ò ( dd cu )n . ( W) 1.2.4. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . z® ¶W Giả (dd cu )n £ (dd cv )n trên W. Khi đó v £ u trên W. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sử 7 1.2.5. Hệ quả. Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) = 0 và (dd cu )n = (dd cv )n . Khi đó u = v . z® ¶W 1.2.6. Hệ quả. Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 và z® ¶W ò ( dd cu )n = 0 . {u < v } Khi đó u ³ v trên W. Chứng minh. {u < v + ey } ¹ Giả sử {u < v } ¹ Æ. Khi đó có e> 0 sao cho Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú ý rằng do y < 0 nên {u < v + ey } Ð {u < v }. Khi đó ta có 0= ³ ò c n ( dd cu )n ³ ò ( dd u ) {u < v } {u < v + ey } ò (dd cv )n + en 4n n !l n ({u < v + ey }) > 0 {u < v + ey } và ta gặp mâu thuẫn. 1.2.7. Hệ quả. Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u Î P SH (W) Ç L¥ (W) thỏa mãn phương trình Monge-Ampère (dd cu )n = 0 . Khi đó u là hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W. Chứng minh. Giả sử v Î P SH (W) và G Ð W sao cho u ³ v trên ¶ G . Đặt íï max {u (z ), v(z )}, z Î G w(z ) = ïì ïï u (z ), z Î W\ G . î Khi đó w Î P SH (W) Ç L¥loc (W) . Hơn nữa lim inf(u (z ) - w(z )) = 0 z® ¶W ò và ( dd cu )n = 0 . Vậy theo Hệ quả 1.2.6 ta có u ³ w trên W. Vậy u ³ v trên {u < w } G . Do đó u cực đại. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 1.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere Trước tiên chúng ta xét lớp các hàm đa điều hòa dưới cực đại liên tục liên quan đến bài toán Dichlet tổng quát: Cho W là một miền bị chặn trong £ n và f Î C (¶ W) . Bài toán Dirichlet được đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên u : W® ¡ sao cho u W là đa điều hoà dưới trên W và u ¶ W º f . Ta ký hiệu U (W, f ) là họ của tất cả các hàm u Î P SH (W) sao cho u * £ f trên ¶ W, trong đó u * (z ) = lim sup u ( w) , với mọi z Î W. w® z wÎ W Đặt y W, f (z ) = sup {u (z ) : u Î U (W, f )}, z Î W. Hàm y W, f (z ) được gọi là hàm Perron - Bremermann đối với W và f . Ta sẽ chứng minh rằng y W, f (z ) là nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát khi W là một hình cầu Euclid. 1.3.1. Định lý. Cho f Î C (¶ B ) , trong đó B = B (a, r ) là một hình cầu mở trong £ n . Khi đó hàm y xác định bởi íï y B , f (z ) (z Î B ) y (z ) = ïì ïï f (z ) (z Î ¶ B ) ïî là một nghiệm của bài toán Dirichlet đối với tập B và hàm f . Hơn nữa, y là liên tục. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng a = 0 . Giả sử h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f . Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra y B , f £ h trong B theo nguyên lý cực đại đối với hàm điều hoà dưới. Do h liên tục trong B , nên ta có ( y B , f )* £ h trong B . Đặc biệt, điều đó có nghĩa là ( y B , f )* Î U (B , f ) và như vậy ( y B , f )* º y trong Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 B Þ y Î P SH (B ) . Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh ( y B , f )* ³ f trên ¶ B . Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn: với z 0 Î ¶ B bất kỳ, thì lim inf y B , f (z ) ³ f (z 0 ) . z ® z0 zÎ B Thật vậy, lấy z 0 Î ¶ B và e > 0 . Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có thể tìm được một hàm liên tục v : B ® ¡ sao cho v B Î U (B , f ) và v(z 0 ) = f (z 0 ) - e . Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa v(z ) = c éêRe z , z 0 - r 2 ù + f (z 0 ) - e , ú ë û trong đó c > 0 là hằng số, được chọn để v £ f trên ¶ B . (Chú ý rằng biểu thức trong dấu móc vuông là âm trên B \ {z 0 }). Từ đó với mỗi z 0 Î ¶ B , ta có lim y (z ) = y (z 0 ) , (1.2) z ® z0 zÎ B tức là y liên tục tại mỗi điểm biên. Tính cực đại của y là hiển nhiên. Thực vậy, nếu G là một tập con mở compact tương đối của B , v : G ® [- ¥ , ¥ ) là nửa liên tục trên, v G Î P SH (W) và v £ y trên ¶ G , thì hàm íï max {v, y } V = ïì ïï y ïî zÎG zÎ B\G thuộc U (B , f ) Þ V £ y . Đặc biệt, v £ y trong G . (điều phải chứng minh) Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới. Thật vậy, lấy e > 0 . Khi ¶ B là compact, y B = f là liên tục đều. Điều đó kết hợp r với (1.2) suy ra tồn tại d = (0, ) sao cho nếu z Î B , w Î ¶ B , và 2 z - w < 3d , thì Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 10 y (z ) - y (w) < e . 2 (1.3) Với bất kỳ y Î B (0, d) , đặt íï max {y (z ), y (z + y ) - e} (z Î B Ç (- y + B ) ï . H y (z ) = ïì ïï y (z ) (z Î B \ (- y + B ) ïî Ta sẽ chứng minh rằng H y B Î U (B , f ) . Thật vậy vì B (0, r - d) Ð B Ç (- y + B ) = B (0, r ) Ç B (- y, r ) nên H y Î P SH ( B (0,r - d ) ) là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới. Mặt khác, H y = y trong B \ B (0, r - 2d) . Thực vậy, theo định nghĩa H y (z ) ta có H y (z ) = y (z ), z Î B \ (- y + B ) . Nếu z Î (B Ç (- y + B )) \ B (0, r - 2d) , thì ta chọn z 0 Î ¶ B sao cho z - z 0 < 2d . Ta có z + y - z 0 < 3d và do đó theo (1.3) y (z ) - y (z 0 ) < e 2 và y (z + y ) - y (z 0 ) < e . 2 Như vậy y (z ) ³ y (z + y ) - e Þ H y (z ) = y (z ) Þ H y Î P SH (B ) và H y = f trên ¶ B Þ H y Î U (B , f ) Þ H y £ y . Từ đó nếu z , w Î B và z - w < d , thì y (z ) ³ H w- z (z ) ³ y (z + w - z ) - e = y (w) - e . Vậy y là nửa liên tục dưới. (điều phải chứng minh). Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả trên cho Bài toán Dirichlet tổng quát đối với toán tử Monge-Ampere: Cho W là miền bị chặn trong £ n và f Î C(¶ W) . Bài toán Dirichlet tổng quát đối với toán tử Monge-Ampere phức được đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên u : W® R sao cho u liên tục tại mỗi điểm của ¶ W và các điều kiện sau được thỏa mãn: Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 11 íï u Î P SH(W) Ç L¥ (W) ïï loc ï u = f ì ¶W ïï ïï (ddcu )n = 0 î Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có nghiệm duy nhất khi W là hình cầu Ơcơlit B = B (a, r ) . Theo Hệ quả 1.2.7, nghiệm như vậy phải là hàm cực đại do đó nó phải trùng với hàm Perron-Bremermann YB , f . Vì thế bài toán đưa về chứng minh (dd c YB , f )n = 0 trong B . Ta nhắc lại một vài ký hiệu sẽ dùng trong định lý dưới đây: Cho B (a, R ) là hình cầu mở trong R m . Đặt A (u , a, R ) = 1 bm R m ò u (x )d l (x ) , u là hàm độ đo trên B (a, R ) . B (a , R ) Cho u Î L1loc (W) . Với e > 0 ta định nghĩa (T eu )(x ) = 2(2m + 2) (A(u; x , e) - u(x )), (x Î We ) . e2 Theo công thức Taylor cấp 2 dễ kiểm tra rằng nếu u Î C2 (W) thì limT eu = D u e® 0 trong W. Nếu u Î L1loc (W) thì T eu hội tụ đến D u theo nghĩa suy rộng. 1.3.2. Định lý.[10] Giả sử u : W® R là hàm điều hòa dưới sao cho ¶ 2u Î L¥loc (W), i, j = 1,..., m , ở đó W mở và bị chặn trong  m . Giả sử ¶ xi¶ x j h > 0 và {ej } là dãy các số dương hội tụ đến 0 . Khi đó tồn tại tập compact K Ð W và số tự nhiên j 0 sao cho: i ) l (W\ K )< h; ¶ 2u ii ) ¶ xi ¶ xk Î C(K ) với i, k = 1,..., m ; K Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 12 iii ) với mọi x Î K , j ³ j 0 và y Î B (x , e j ) , ¶ 2u e (T e u )(y ) - D u (x ) £ h và j ¶ xi¶ xk j (y ) - ¶ 2u (x ) £ h , ¶ xi¶ xk trong đó i, k = 1,..., m và u e ( x) = A (u ; x, e j ) . j Bây giờ ta xem xét tính chính qui của hàm Perron- Bremermann: kết quả chính qui sau đây thuộc về Bedford-Taylor (1976) 1.3.3. Định lý. Giả sử j Î C2(¶ (B (0,1)) và u = YB (0,1),j . Khi đó ¶ 2u ¥ Î Lloc (B (0,1)) và u Î C1,1(W) . ¶ xi¶ xk Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh rằng u thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong hình cầu đơn vị. Giả sử y Î C0¥ (( C n ) sao cho 0 Ï supp y và y x  y (z )j ( ¶ B ( 0,1) º 1 . Khi đó hàm z ) thuộc vào C0¥ ( C n ) và trùng với j trên ¶ B (0,1) . z Ta ký hiệu hàm này cũng là j . Lấy hằng số C sao cho íï ü ïï ïï ï C > m ax ïì sup dz j ( w), sup dz2j ( w, w), ïý ïï x = 1 ïï x =1 ïï w = 1 ïï w =1 î þ Theo công thức Taylor ta có j (z ) - j ( z 0 ) - d z j ( z - z 0 ) £ C z - z 0 2 0 với mọi z , z 0 Î ¶ B (0,1). Với mỗi z 0 Î ¶ B (0,1) ta đặt vz (z ) = - 2C éêë1 - Reáz , z 0 ðù + j (z 0 ) + dz j (z - z 0 ) (z Î  n ) . ú û 0 0 Nếu z = 1 , thì theo Định lý Pythagoras ta có Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 13 1= z 2 = (Reáz , z 0 ð)2 + dist (z , R z 0 )2 và z - z0 2 = (1 - Reáz , z 0 ð)2 + dist (z , R z 0 )2 , trong đó R z 0 = {tz 0 : t Î R }. Do đó nếu z Î ¶ B (0,1) thì 2 v z ( z ) = - C z - z 0 + j ( z 0 ) + d z j (z - z 0 ) £ j (z ) 0 0 và vz (z 0 ) = j (z 0 ) . Hơn nữa, Lip(vz ) £ C và v z thuộc vào họ U(B (0,1), j ) 0 0 0 các hàm Perron-Bremermann u . Từ đó hạn chế của hàm v = sup {vz : z Î ¶ B (0,1)} (z Î B (0,1)) trên B (0,1) thuộc vào U(B (0,1), j ) , Lip(v ) £ C và v = j trên ¶ B (0,1) . Tương tự, có thể xây dựng hàm w trên B (0,1) sao cho (- w B (0,1) ) Î U(B (0,1), - j ), Lip( w) £ C , và w = j trên ¶ B (0,1) . Do đó v £ u £ w trong B (0,1) và u (z ) - u ( z ) £ C z - z với mọi z Î B (0,1) và z Î ¶ B (0,1) . Ta sẽ chứng minh ước lượng sau cùng là đúng đối với mọi z Î B (0,1) . Với y Î B (0, 2) đặt íï m ax u (z ), u (z + y ) - C y ï H y (z ) = ì ïï u (z ) ïî { Ta chứng minh H y B (0,1) } (z , z + y Î B (0,1)) (z Î B (0,1), z + y Ï B (0,1)) . Î U(B (0,1), j ) . Thật vậy, vì u (z + y ) - C y £ u (z ) với z Î B (0,1) và z + y Î ¶ B (0,1) nên H y Î P SH (B (0,1)) . Hơn nữa, nếu z Î ¶ B (0,1) và z + y Î B (0,1) thì theo điều kiện Lipschitz ở trên ta có ước lượng u (z ) ³ u (z + y ) - C y . Vì thế H y (z ) = u (z ) với z Î ¶ B (0,1) và ta có điều phải chứng minh. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 Bây giờ, như là hệ quả ta có H y (z ) £ u (z ) với z Î B (0,1) . Nói riêng, với z, z + y Î B (0,1) ta có: u (z + y ) - C y £ u (z ) Þ u (z + y ) - u ( z ) £ C y . Đổi vai trò z và z + y ta được u (z ) - u (z + y ) £ C y . Như vậy Lip(u ) £ C . Tiếp theo ta chứng minh rằng với b Î ¶ B (0,1) tùy ý thì phân bố å j ,k ¶ 2u bb ¶ z j¶ zk j k có thể được biểu diễn một hàm bị chặn địa phương. Để làm điều đó ta lấy e Î (0,1), z Î B (0,1 - e), d Î (0, e / 2ù ú û. Vì u là hàm đa điều hòa dưới nên ta có: 1 0 £ (T b, du )(z ) = 2pd2 1 = 2pd2 2p 1 2p ò (u(z + dbe ò ( 2 u(z + dbe 0 it )dt 0 it )) + 1 u (z - dbe it ) - u (z ))dt £ C , 2 ở đó C là hằng số phụ thuộc vào e . Theo Hệ quả 4.2.7 [10] ta có lim T b, du = d® 0 å j ,k ¶ 2u bb ¶ z j ¶ zk j k (1.4) theo nghĩa hội tụ yếu theo độ đo trên Ae = B (0,1 - e) . Vì C 0 (Ae ) trù mật trong L1(A e ) và 0 £ T b,du £ C nên vế phải của (1.4) thác triển tới hàm liên tục trên L1(A e ) và do đó thuộc L¥ (A e ) . Vì e bé tùy ý nên suy ra điều phải chứng minh. Nói riêng, phép biến đổi Laplace của u được biểu diễn bởi một hàm không âm trong L¥loc (B (0,1)) . Điều đó suy ra rằng nếu z j = x j + ix j + n thì các đạo hàm riêng å j ,k ¶ 2u p (B (0,1)) với mỗi có thể đồng nhất với các hàm thuộc Lloc ¶ x j¶ xk p Î (1, ¥ ) . Điều này có thể thấy như sau: trước tiên ta chỉ ra rằng nếu p Î (1, ¥ ) thì tồn tại hằng số A p sao cho với y Î C0¥ ( R 2n ) tùy ý ta có Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 ¶ 2y ¶ x j¶ xk £ Ap D y (1.5) Lp (  2 n ) Lp (  2 n ) Giả sử ŷ là phép biến đổi Fourier của y và R j là phép biến đổi Riesz thứ j trong R 2n . Khi đó yˆ (x ) = ò exp(2pi  và phép biến đổi Fourier của x , y )y (y )dl (y ) 2n ¶y là 2p ix j yˆ . Từ đó ta có ¶xj ^ æ ¶ 2y ö ÷ çç ÷ (x ) = - 4p 2x x yˆ (x ) çç¶ x ¶ x ÷ j k ÷ ÷ çè j k ø æix öæ ö ^ 2ö çç j ÷ ççix k ÷ æ 2 ÷ ÷ ˆ ÷ ç = - ç ÷ 4 p x y ( x ) = R R D y ÷ ( j k ). çç ÷çè ÷ ø çç x ÷ x ÷ ÷ è øèç ø ¶ 2y = - R j R k D y và ước lượng (1.5) suy ra từ tính Lp - bị chặn Suy ra ¶ x j¶ xk của các phép biến đổi Riesz. Bây giờ kết luận đòi hỏi suy ra từ (1.5), Mệnh đề 2.5.2 [10], tính đầy đủ của các không gian L p và D(u * c e ) = D u * c e . Vì thế, nếu e j = (0,...0,1, 0,..., 0) là véc tơ thứ j của cơ sở chính tắc trong R 2n » C , thì n ¶ 2u d- 2 (u (z + de j ) + u (z - de j ) - 2u (z )) hội tụ đến 2 ¶ x 2j p Lloc (B (0,1)), p < ¥ trong khi d ® 0 . Do đó dãy con hội tụ hầu khắp nơi. Từ đó theo Mệnh đề ở trên ta có ¶ 2u 1 1 £ C = C ( e) 2 2 2 ¶xj h.k.n trong B (0,1 - e) . ¶ 2u 1 Tương tự ta có £ C h.k.n trong B (0,1 - e) . Do đó ta có: 2 ¶ x 2j + n Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 16 ¶ 2u ¶ 2u ¶ 2u 0£ 4 (z ) = (z ) + (z ) £ C ¶ z j¶ z j ¶ x 2j ¶ x j2+ n với hầu như tất cả z Î B (0,1 - e) . Với z như thế ta có íï ¶ 2u ü íï ¶ 2u ü ï ï 1 ¶ 2u ¶ 2u ï ï ï - C £ - m ax ì 2 (z ), 2 (z )ý £ min ì 2 (z ), 2 (z )ïý ïï ¶ x ïï ¶ x 2 ¶ x j + n ïï ¶ x j + n ïï ïþ ï îï j îï j þ ¶ 2u ¶ 2u ¶ 2u ¶ 2u ¥ (z ), 2 (z ) Î L (B (0,1 - e)) . Vậy (z ), 2 (z ) bị chặn ¶ x 2j ¶ xj+n ¶ x 2j ¶ xj+n suy ra địa phương trong B (0,1) . ¶ 2u Î L¥loc (B (0,1)) . Thật vậy, cố định j và k , j ¹ k . Bây giờ ta sẽ chỉ ra ¶ x j¶ xk æe + e ÷ ö ç j k ÷ Giả sử U : C ® C là phép biến đổi duy nhất sao cho U (el ) = çç . ÷ ÷ çè 2 ø ÷ n n Khi đó v = u U = YB (0,1),j U 2 ¶ 2v Î L¥loc (B (0,1)) . Vì thế và như vậy 2 ¶ xl ¶ 2u ¶ 2v - 1 1 ¶ 2u 1 ¶ 2u (z ) = ( U ( z )) ( z ) (z ) . ¶ x j ¶ xk 2 ¶ x j2 2 ¶ x k2 ¶ x l2 Theo chứng minh ở trên, vế phải của đẳng thức này là bị chặn địa phương. Vậy ¶ 2u Î L¥loc (B (0,1)) . Kết luận cuối cùng của định lý được suy ra từ các kết ¶ x j¶ xk quả về không gian Sobolev. 1.3.4. Định lý Bedford-Taylor. Nếu f Î C(¶ B (0,1)) , thì hàm số íï f u = ïì ïï YB (0,1), f î t rên ¶ B (0,1) tr ên B (0,1) (1.6) là nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/