Tài liệu Bài tập phương trình vi phân

  • Số trang: 47 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 165 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62571 tài liệu

Mô tả:

www.VNMATH.com 1 . . BÀI TÂ . P PHU O NG TRÌNH VI PHÂN 1) . . ' i phu o ng tr nh: Gia 2xy 0 y” = y 02 − 1 2xpp0 = p2 − 1 √ dx 2pdp . 2 2 V o i x(p − 1) 6= 0 ta co C1 x + 1 = ⇔ p − 1 = C ⇔ p = ± : 1 p2 − 1 x dy √ 2 3 p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2 dx 3C1 - a D  .t HD gia’i: 2) . . ' i phu o ng tr Gia nh: - a D  .t HD gia’i: . V oi y0 = p : p 6= 0 √ y.y” = y 0 y 0 = p ⇒ y” = p dp dy . . '. tha nh tro (ha m theo y). Phu o ng tr nh: . . . . ta d u o nh: . c phu o ng tr √ yp dp =p dy dy dy √ √ = 2 y + C1 ⇒ dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ y dx dy dx = √ 2 y + C1 .  o nghi^ e o'ng qua  t: T u d . m t^ Ngoa i ra 3) y = c: x= √ y− C1 √ ln |2 y + C1 | + C2 2  ng cu ~ ng la h a  nghi^ e . m. . . ' i phu o ng tr nh: Gia a(xy 0 + 2y) = xyy 0 HD gia’i: a(xy 0 + 2y) = xyy 0 ⇒ x(a − y)y 0 = −2ay y 6= 0, u N^ e Ngoa i ra 4) y=0 . V o ip - a D  .t 2a a−y dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C y x ~ ng la cu  nghi^ e . m. . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: . V oi . . . . . . . ta co  phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v oi y” = y 0 ey y 0 = p ⇒ y” = p dp dy . . thay va o phu o ng tr nh: p dp = pey dy dy dy dp = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx dy dx e + C1 R ey dy R 1 R ey + C1 − ey 1 y dy = dy = (y − ) = − C1 6= 0 ta co : ey + C1 C1 ey + 1 C1 ey + C1 C1 6= 0 : 1 ln(ey + C1 ) C1  −e−y R dx . nhu v^ a = 1 . y: ey + C1  (y − ln |ey + C1 |) C1  ng la Ngoa i ra y = C : h a  m^ o e . t nghi^ .m 5) . . ' i phu o ng tr Gia nh: xy 0 = y(1 + ln y − ln x) nê´u C1 = 0 nê´u C1 6= 0. . v oi y(1) = e www.VNMATH.com 2 y y . . 0 (1 + ln ), da  u o . t y = zx d . c: xz = z ln z x x dx y dz = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx • z ln z 6= 0 ⇒ z ln z x x x y(1) = e → C = 1. V^ a . y y = xe HD gia’i: 6) - u.a phu.o.ng tr  D nh v^ e: . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: - a D  .t y0 = y”(1 + y) = y 02 + y 0 y 0 = z(y) ⇒ z 0 = z dz dy . . thay va o phu o ng tr nh: ⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ • C1 = 0 ⇒ (∗) cho • C1 6= 0 ⇒ (∗) cho Ngoa i ra y=C dy = dx (∗) C1 y + C1 − 1 y =C −x 1 ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 la  nghi^ e . m. To  m la e o'ng qua  t: . i nghi^ . m t^ 7) dy dz = z+1 y+1 . . ' i phu o ng tr nh: Gia y = C, y = C − x; y0 = y2 − 1 ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 2 x2 2 0 2 n d  HD gia’i: Bi^ e o ^'i (3) v^ e da . ng: x y = (xy) − 2 (∗) 0 0 - a D  o (∗) suy ra: . t z = xy ⇒ z = y + xy thay va dx dz = ⇔ xz = z + z − 2 ⇔ 2 z +z−2 x 0 V^ a . y TPTQ: 8) 3 z−1 = Cx z+x xy − 1 = Cx3 . xy + 2 . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: r 2 - a D  .t yy” + y 02 = 1 y 0 = z(y) ⇒ y” = z. dz dy z C1 dy ⇔ z2 = 1 + 2 dz = 2 1−z y y r R dy C1 dy ⇒ =± 1+ 2 ⇔± r = dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2 dx y C1 1+ 2 y 2 'ng qua Nghi^ e m t^ o  t: y + C = (x + C2 )2 1 . . . n d  Bi^ e o ^'i phu o ng tr nh v^ e: 9) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: y 0 − √ 2x(1 + x)y 0 − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0 3x + 4 1 .y = − √ ; x 6= 0, x 6= −1 2x(x + 1) x+1  t: ' a phu.o.ng tr Nghi^ e o'ng qua  t cu nh thu^ an nh^ a . m t^ R dy R 3x + 4 R 2 1 Cx2 = dx = ( − )dx ⇔ y = √ y 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1 www.VNMATH.com  ng s^ n thi^ : Bi^ e en h a o 1 1 ⇒ C = − + ε. 2 x x x2 1 y=√ ( + ε) x+1 x C0 = − V^ a e o'ng qua  t: . y nghi^ . m t^ 10) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: - a D  .t 3 y” = e2y z = y 0 → y” = z. dz dy ' thoa ( y(0) = 0 y 0 (0) = 0 . . '. tha phu o ng tr nh nh tro z. z2 e2y dz = e2y ⇔ = +ε dy 2 2 1 . 2 2y a − 1. T u d  o: y 0 (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^ .y z = e 2 Z √ dy √ 2y dy √ = e −1⇒ z= = x + ε. d̄ô’i biê´n t = e2y − 1 dx e2y − 1 √ arctg e2y − 1 = x + ε 1  ' d ln(tg 2 x + 1). y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^ a e eng thoa i^ eu ki^ e  ^ e ba i: y = . y nghi^ . m ri^ .n d 2 11) . . ' a phu o ng tr nh: T m nghi^ e eng cu . m ri^ ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d HD gia’i: t phu.o.ng tr nh la Vi^ e . i: x(1 − y)y 0 = −2y ; 1−y dx dy = −2 y x . . n: nh ta  ch bi^ e phu o ng tr t ch ph^ an t^ o'ng qua  t:  ri^ eng c^ an t m la : 12) xy 0 + 2y = xyy 0 y(−1) = 1. x2 ye−y = C . do y(−1) = 1 . .  Thay d i^ eu ki^ e o ta d u o . n va .c C= x2 ye1−y = 1.  B a ng ca  ch d  a .t y = ux, . . ~ y gia ' i phu o ng tr nh: ha xdy − ydx − . . - t y = ux; du = udx + xdu thay va nh va  o phu o ng tr . √ HD gia’i: Da . . . ~ ra a phu o ng 1 − u2 dx = 0. Ro ng u − ±1 la  nghi^ e m. khi u ≡ 6 ±1 d  u . du dx . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0). = 1 − u2 x y ' a phu.o.ng tr V^ a = ln x + C . nh: y = ±x; arcsin . y NTQ cu x 13) . . ' a phu o ng tr nh: T m nghi^ e eng cu . m ri^ ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d xy 0 = y(1) = 0. p x2 − y 2 + y r y2 y + x2 x HD gia’i: 0 xy = d a  .t u= y x hay n^ en y = ux . . phu o ng tr nh tha nh: p 0 x2 − y 2 + y ⇐⇒ y = 1− y 0 = xu0 + u √ du dx xu0 = 1 − u2 ⇐⇒ √ = x 1 − u2 suy ra p 1 . e y 6≡ 0. - u.a v^  D e V^ a ch ph^ an . y t x2 − y 2 dx = 0. (x > 0) . ' n u.o gia c x: xdu −  n: tr nh v^ e ta  ch bi^ e www.VNMATH.com 4 ⇐⇒ arcsin u = ln Cx ~n d  ' ma thoa i^ eu ki^ e  a ^u .n d 14) y(1) = 0 khi C = 1. V^ a e . y nghi^ .m y = ±x. . . ' a phu o ng tr nh: T m nghi^ e eng cu . m ri^ ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d y 0 sin x = y ln y π y( ) = e. 2 HD gia’i: y 0 sin x = y ln y ⇐⇒ ~n d  ' ma thoa i^ eu ki^ e .n 15) dx dy = y ln y sin x x C tan x 2 ⇐⇒ ln y = C tan ⇐⇒ y = e 2 x tan π 2. a d  a ^u y( ) = e khi C = 1. V^ .y y = e 2 . . ' a phu o ng tr T m nghi^ e eng cu nh: . m ri^ (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 y(0) = 1. ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d - a D  .t x + y = . . phu o ng tr nh tha nh: HD gia’i: z =⇒ dy = dz − dx (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C ~n d  ' ma thoa i^ eu ki^ e  a ^u y(0) = 1 khi C = 2. .n d 16) - a D  .t y = (z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0; ⇐⇒ ⇐⇒ ln |x| + ln thay u= 17) 1 xy . . d u o e . c nghi^ .m  r^ oi d a  .t z = ux, dx u2 − 1 + 3 du = 0 x u +u u2 + 1 x(u2 + 1) = ln C ⇐⇒ =C |u| u 1 + x2 y 2 = Cy . . . ' a phu o ng tr nh sau: T m nghi^ e o'ng qua  t cu . m t^ y 0 − xy = x + x3 HD gia’i: . . - a n t p 1 va D ^y la  phu o ng tr nh tuy^ e nh c^ a  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ x2 y = Ce 2 . . V^ a .y y= 1 . . d u o . c: z (u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0 HD gia’i: x − 2z − 3 ln |z − 2| = C . 1 ~  ' r^ oi d  a . t z = ux,ha y giai z (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0  B a ng ca  ch d  a .t . . nh: phu o ng tr ' i ra gia x2 +1 2 . . d u o .c www.VNMATH.com 18) . . ' a ca T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: . m t^ HD gia’i: y0 − y = y2. . . - a n va nh ta  ch bi^ e  co  nghi^ e o'ng qua  t la  D ^y la  phu o ng tr . m t^ ln | 19) 5 y | = x + C. y+1 . . ' T m nghi^ e  c phu o ng tr nh sau: . m cua ca y0 + y = ex x HD gia’i: . . - a n t p 1 va D ^y la  phu o ng tr nh tuy^ e nh c^ a  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ 20) . . ' T m nghi^ e  c phu o ng tr nh sau: . m cua ca HD gia’i: ex C x y = +e − . x x y0 − y = y3. . . - a n va D ^y la  phu o ng tr nh ta  ch bi^ e  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ C + x = ln |y| − arctgy. 21) . . ' i phu o ng tr Gia nh: y0 = y y + sin , x x HD gia’i: y = zx ⇒ y 0 = z 0 x + z , z 0 x = sin x ⇔ V^ a e o'ng qua  t: . y nghi^ . m t^ V^ a . y: 22) tg y = x. 2x . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: π 2 . . '. tha nh: nh tro phu o ng tr dz dx z z = ⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx sin z x 2 2 y π tg = Cx; y(1) = ⇒ C = 1. 2x 2 y y (x − y cos )dx + x cos dy = 0 x x y  = z ⇒ y 0 = z 0 x + z phu.o.ng trnh du.o..c du.a v^ e da . ng: x Z dx 0 x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − + C ⇔ sin z = − ln |x| + C x sin y = − ln |x| + C x . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: y(1) = - a D  .t V^ a . y TPTQ: 23) . v oi (y 02 − 1)x2 y 2 + y 0 (x4 − y 4 ) = 0 . . . ' ng c^ p nhu.ng gia ' i kha La  phu o ng tr nh d  a a  ph u c ta . p. www.VNMATH.com 6 y2 x2 y 0 : 4 = (x4 + y 4 )2 ⇒ y10 = 2 ; y20 = − 2 . x y x 3 3 ; x + y = C2 qua  t: y = C1 x + 1 . . . i v nh b^ a o ^ oi Xem phu o ng tr . c hai d .  o co  hai ho e o'ng T u d . nghi^ . m t^ 24) . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: t phu.o.ng tr Vi^ e nh la .i . . e o'ng qua  t: ra d u o . c nghi^ . m t^ 25) y 2 + x2 y 0 = xyy 0 y2 x2 0 y = y y x −1 . .  t, gia 'i nh thu^ an nh^ a d a ^y la  phu o ng tr y 2 = Cxe x . . ' a phu o ng tr T m nghi^ e eng cu nh: . m ri^ (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0 y(1) = 0. ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d HD gia’i: - a D  .t ( x y =u−1 = v + 3. (u + v)du + (u − v)dv = 0, 2 u + 2uv − v 2 = C . . . . . thay va o phu o ng tr nh d u o . c: . .  t co nh thu^ an nh^ a  t ch ph^ an t^ o'ng qua  t la : d a ^y la  phu o ng tr ' a phu.o.ng tr V^ a ch ph^ an t^ o'ng qua  t cu nh ban d  a ^u la : . y t 26) . . ' i phu o ng tr Gia nh HD gia’i: - a D  .t ( x y x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0. =X −1 , =Y +3 . . nh tha nh: phu o ng tr (X + Y )dX + (X − Y )dY = 0 d a  .t Y = uX ' i ra Gia 27) 1−u dX + du = 0. X 1 + 2u − u2 x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C . . . .  d u a phu o ng tr nh v^ e X 2 (1 + 2u − u2 ) = C hay . . ' a phu o ng tr nh sau: T m t  ch ph^ an t^ o'ng qua  t cu HD gia’i: . . - a ' ng c^ p, ta d D ^y la  phu o ng tr nh d  a a a  .t b) y 0 = z= y . z 2xy . − y2 x2 . . Khi d  o phu o ng tr nh tr^ en z(1 + z 2 ) 2z 1 dx xz 0 = . Suy ra nghi^ e . Hay ( − )dz = .m 2 2 1−z z 1+z x z na y la  = Cx, C 6= 0. 1 + z2 2 2 ' a phu.o.ng tr nh d ~ a cho la  x + y = C1 y, C1 6= 0. V^ a e . y nghi^ . m cu '. tha nh tro 28) . . ' a ca T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: . m t^ HD gia’i: - a D  .t u = 2x + y . . .  phu o ng tr nh d u a v^ e da . ng 5u + 9 du = . dx 2u + 5 y0 = ' a phu.o.ng tr cu nh 2x + y − 1 . 4x + 2y + 5 www.VNMATH.com 7 . . ' i phu.o.ng tr Gia nh na y ta d u o e . c nghi^ . m 10u + 7 ln |5u + 9| = . . ~ ' a phu o ng tr nh d a cho la  10y + 7 ln |10x + 5y V^ a e . y nghi^ . m cu 29) 25x + C. = 9| − 5x = C. . . ' a ca T m t  ch ph^ an t^ o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: (x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0 HD gia’i: . . . . . - a ' ng c^   p d nh d u a v^ e da  a a u o a ng ca  ch d  a D ^y la  phu o ng tr . ng d . c b .t u + 1, y = v − 3, tr nh la  . . ta d u o .c v 2 − 2uv − v 2 = C. u+v dv = . du −u + v ' i phu.o.ng tr ' a phu.o.ng Gia nh ta co  nghi^ e . m cu ' a phu.o.ng tr nh d ~ a cho la  V^ a e . y nghi^ . m cu 30) x = y 2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 . . .  ' ' a phu o ng tr a) T m mi^ en ma  trong d o  nghi^ e i toa  n Cauchy cu nh . m cua ba y0 = √  t sau d ^ ay t^ on ta  duy nh^ a . i va . . ' a ca nh sau: b) T m t  ch ph^ an t^ o'ng qua  t cu  c phu o ng tr x − y. (x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0. HD gia’i: t nghi^  a) Ba i toa  n Cauchy co  duy nh^ a e en . m trong mi^ . 2 y  y. D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v o i δ > 0 tu - u.a phu.o.ng tr  b) D nh v^ e da . ng z= y . x dy xy . = 2 dx x − y2 . . - a ' ng c^ p, ta d D ^y la  phu o ng tr nh d a  a a  .t . . '. tha Khi d  o phu o ng tr nh nh tr^ en tro z(1 + z 2 ) . xz = 1 − z2 0 Hay dx 1 2z )dz = ( − . 2 z 1+z x z = Cx, C 6= 0. 1 + z2 2 2 la  x + y = C1 y, C1 6= 0. ' a phu.o.ng tr nh na y la  Suy ra nghi^ e . m cu ' a phu.o.ng tr V^ a e nh d ~ a cho . y nghi^ . m cu . . 2x 2x 2  a ng h^ e  c vecto a) Ch u ng minh r . ca . . ' a phu o ng tr nh sau: b) T m t  ch ph^ an t^ o'ng qua  t cu n t {e , xe , x } la  h^ e ^ o a e  nh. . d . c l^ . p tuy^ (x − y)dy − (x + y)dx = 0; 31) HD gia’i: ~a ki^ n t a) Du ng d .inh ngh e'm tra h^ e o ^ a e nh . . d . c l^ . p tuy^ - u.a phu.o.ng tr  b) D nh v^ e da . ng z= y . x y0 = x+y . x−y . . - a ' ng c^ p, ta d D ^y la  phu o ng tr nh d  a a  a .t . . '. tha nh Khi d  o phu o ng tr nh tr^ en tro xz 0 = 1 + z2 . 1−z . . ' i phu.o.ng tr Gia nh na y ta d u o .c p y x2 + y 2 = Cearctg x . 2 . . 2  n t a) Ch u ng minh r a ng h^ e  c vecto la  h^ e o e  nh. . ca . phu . thu^ . c tuy^ . ' a chu T  nh d i nh th u c Wronski cu  ng. . . . ' a phu o ng tr b) T m t  ch ph^ an t^ o'ng qua  t cu nh sau: 32) {cos 2x, sin 2x, 2} (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0. www.VNMATH.com 8 HD gia’i: 2 2 n t a) H^ e y phu o e nh v  2 cos 2x + 2 sin 2x − 2 = 0. . na . thu^ . c tuy^ . . . . . ' ng c^  p, ta d b) Phu o ng tr nh na y co  th^ e' d u a v^ e da a  a u o . ng d .c y0 = - a D  .t 1 1 u=x− , v =y+ , 3 3 x+y . x − 2y + 1 . . '. tha khi d  o phu o ng tr nh nh tr^ en tro v0 = . . ' i phu.o.ng tr Gia nh na y ta d u o .c Hay u+v . u − 2v √ 2 = Ce u2 + 2v √ 3x−1 p 1 √ arctg( 2 ) 3y+1 (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e 2 . 33) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: . .  t: d Phu o ng tr nh thu^ an nh^ a a  .t . . ' i phu o ng tr Gia nh HD gia’i: 35) . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: y = C : y 6= C z − ln |z| = ln |x| + C y y − ln | | = ln |x| + C x x y 2 + x2 y 0 = xyy 0 . y2 x2 0 y = y y x −1 . .  t, gia 'i nh thu^ an nh^ a d a ^y la  phu o ng tr y 2 = Cxe x y” cos y + (y 0 )2 sin y = y 0 y 0 = p ⇒ y” = p dp cos y + p sin y = 1: dy dp dy (ha m theo p= t ch ph^ an 36) p = C cos y. dy dy = sin y + C1 cos y ⇔ = dx dx sin y r + C1 cos y y 1 1 tg + 1 + 2 − 1 2 C1 C1 n: p r d i d ^ e ln = x + C2 y 1 1 C12 + 1 −tg + 1 + 2 + 2 C1 C1 . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: y) . . n t phu o ng tr nh tuy^ e nh. . .  t co Phu o ng tr nh thu^ an nh^ a  nghi^ e o'ng qua  t: . m t^ . .    bi^ e n thi^ en h a ng s^ o d u o . c C = tgy + C1 . . t u d  o .  ng la h a  m^ o e . t nghi^ . m. - a  ng). D (h a  .t thay va o (2): 2u ) v y = zx → y 0 = z 0 x + z dx z−1 dz = → z x t phu.o.ng tr nh la Vi^ e .i . . ra d u o e o'ng qua  t: . c nghi^ . m t^ √ y 2 + x2 y 0 = xyy 0 . . '. tha nh Phu o ng tr nh tro 34) √1 arctg( 2 Coi x = x(y) y0 + 1 =0 2x − y 2 'a la  ha m cu y ta co : y0 = 1 x0 . . thay va o phu o ng tr nh: www.VNMATH.com 1 1 + = 0 ⇔ x0 + 2x = y 2 : 0 x 2x − y 2 9 . . n t phu o ng tr nh tuy^ e nh.  t: ' a phu.o.ng tr Nghi^ e o'ng qua  t cu nh thu^ an nh^ a . m t^ x = Ce−2y 1 1 1  ng s^ n thi^ : C 0 (y) = y 2 e2y ⇒ C(y) = y 2 e2y − ye2y + e2y + C Bi^ e en h a o 2 2 4 1 1 1 . . −2y ' a phu o ng tr nh: x = Ce + y2 − y + V^ a e o'ng qua  t cu . y nghi^ . m t^ 2 2 4 37) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: - a D  .t y 0 = p, xy” = y 0 + x2 '. tha (1) tro nh: xp0 − p = x2 n t tuy^ e nh  t: ' a phu.o.ng tr Nghi^ e o'ng qua  t cu nh thu^ an nh^ a . m t^  ng s^ n thi^  → Bi^ e en h a o C(x) = x + C1 Suy ra: 38) dy = x(x + C1 ) dx . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: ⇔p+y - a D  .t →y= y 6= 0 xe t x3 x2 + C1 . + C2 3 2 y 02 + yy” = yy 0 p = y 0 (p 6= 0), dp = y, dy p = Cx . . . . . . . nh tu o ng d u o ng v o i: phu o ng tr . . .  nh v^ e: d u a phu o ng tr  t: ' a phu.o.ng tr nh thu^ an nh^ a NTQ cu p= ⇒ C(y) = C , y dp p + =1 dy y p2 + yp dp = yp dy n t (tuy^ e nh)  ng s^ n thi^  bi^ e en h a o y2 + C1 2 dy y 2 + 2C1 2ydy y 2 + 2C1 ⇒ = ⇒ 2 = dx 2y dx 2y y + 2C1 ⇒ y 2 = A1 ex + A2 . 0 0 0 0 x x 2 x  tra Chu   y : V^ e  i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2 . a Nhu v^ . y: 39) p= . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: yx0 = 1 x0 y yey = y 0 (y 3 + 2xey ) . v oi . . n d  bi^ e o ^'i phu o ng tr nh v^ e: Nghi^ e o'ng qua  t: . m t^ y(0) = −1 2 x0 − x = y 2 e−y y x = y 2 (C − e−y ) y(0) = −1 ⇒ C = e. 2 −y V^ a . y x = y (e − e ) 40) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: - a D  .t y 0 = p; Nghi^ e o'ng qua  t: . m t^ xy” = y 0 + x 1 p0 − p = 1 x  s^ o : C = ln |x| + C1 . . '. tha nh: phu o ng tr nh tro p = Cx  ng n thi^ bi^ e en h a www.VNMATH.com 10 dy ⇒p= = (ln |x| + C1 )x ⇒ y = dx Z (ln |x| + C1 )xdx + C2 = C1 x2 + 41) . . ' i phu o ng tr nh: Gia x2 x2 ln |x| − + C2 2 4 y 0 + xy = x3  t ' a phu.o.ng tr nh thu^ an nh^ a Nghi^ e o'ng qua  t cu . n t^ x2  ng s^ n thi^ : C(x) = (x2 − 2)e− 2 + ε bi^ e en h a o HD gia’i: V^ a e o'ng qua  t: . y nghi^ . m t^ 42) . . ' i phu o ng tr Gia nh: x2 y = Ce− 2 x2 y = εe− 2 + x2 − 2. (x2 − y)dx + xdy = 0 . . . . 0 2 t la  t: Phu o ng tr nh vi^ e nh thu^ an nh^ a . i: xy − y = −x , phu o ng tr  ng s^ n thi^  suy ra C = −x + ε en h a  t: y = Cx bi^ e o co  nghi^ e o'ng qua . m t^ 2 ' V^ a e o ng qua  t : y = −x + εx . y nghi^ . m t^ HD gia’i: 43) . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: . . n t Phu o ng tr nh tuy^ e nh: 1 y = εx2 − ; x . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: - a D  .t Xe t . v oi y(1) = 1 y = Cx2 ; C 0 = 1 3 ⇒C =− 3 +ε 4 x x y(1) = 1 ⇒ ε = 2 V^ a e o'ng qua  t: . y nghi^ . m t^ 44) 2 3 y0 − y = 2 x x xy 0 − y = 0 y 6= 0, y = 2x2 − 1 x (x + 1)(y 0 + y 2 ) = −y 1 .y = −y 2 x+1 1 0  tr nh v^ e z − .z = 1. x+1 t: z = C1 (x + 1) bi^ n thi^ nh^ a e en . .  n d nh v^ e da bi^ e o ^'i phu o ng tr . ng 1 z0 = z ⇒ y 0 = − 2 = −y 2 z 0 y z . . . d u a phu o ng  ' a phu.o.ng tr nh thu^ an Nghi^ e o'ng qua  t cu . m t^ y0 +  ng s^  h a o C1 = ln |x + 1| + ε. V^ a e . y nghi^ . m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε) ~ ng la ngoa i ra y = 0 cu  nghi^ e . m. V^ a e o'ng qua  t: . y nghi^ . m t^ 45) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: p 1 t nh c^ a y= 1 (x + 1)(ln |x + 1| + ε) 2xy 0 + y = va  y=0 nghi^ e  di . m k .. 1 1−x - u.a phu.o.ng tr  D nh v^ e da . ng y0 + 1 1 y = 2x 2x(1 − x) . . n phu o ng tr nh tuy^ e www.VNMATH.com Nghi^ e o'ng qua  t: . m t^ C y=√ , x 11  ng s^ n thi^ : bi^ e en h a o √ √ 1 x x+1 C (x) = |+ε ⇒ C = ln | √ 2x(1 − x) 2 x−1 √  1 1 x+1 √ √ qua  t: y = ln | |+ε x 2 x−1 0 V^ a e o'ng . y nghi^ . m t^ 46) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: y 0 − xy 0 − y = x2 sin x y = x sin x, x . . n t phu o ng tr nh tuy^ e nh. NTQ: y = Cx  ng n thi^ bi^ e en h a : s^ o Nghi^ e o'ng qua  t: . m t^ 47) y = (C − cos x)x . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: y 0 cos2 x + y = tgx . . n t nh tuy^ e nh Phu o ng tr → ' thoa NTQ y(0) = 0 y = Ce−tgx ; y = tgx − 1 (m^ o e . t nghi^ .m ri^ eng) ⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^ a e . y nghi^ .m 48) . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ √ y 0 1 − x2 + y = arcsin x ' thoa y(0) = 0  nghi^ e eng c^ an t m: . m ri^ ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d Xem x y = Ce−arcsinx y = arcsinx − 1 + arcsinx − 1 . . ' a phu o ng tr nh: T m nghi^ e eng cu . m ri^ HD gia’i: y = tgx − 1 + e−tgx . n t  t: ' a phu.o.ng tr nh tuy^ e nh thu^ an nh^ a Nghi^ e o'ng qua  t cu . m t^ ~ y nghi^ D^ e th^ a e eng: . m ri^ −arcsinx ⇒ NTQ: y = Ce 49)  ri^ eng c^ an t m: la  a ^'n ha m, thay y = e−arcsinx + arcsinx − 1 y0 = 1 2x − y 2 y(1) = 0. y0 = 1 , x0 . . nh tha nh phu o ng tr 1 1 = ⇐⇒ x0 − 2x = −y 2 0 2 x 2x − y . . - a n t p m^ n ' a phu.o.ng tr nh tuy^ e nh c^ a o e o'ng qua  t cu nh tuy^ e D ^y la  phu o ng tr . t, nghi^ . m t^ . . . . . −2y  n thi^  d  t tu o ng u  ng la  x = Ce . Bi^ e en h a ng s^ o u o t nh thu^ an nh^ a . c NTQ: y2 y − + 2 2 3 ~n d  ' ma thoa i^ eu ki^ e  a ^u y(1) = 0 khi C = . .n d 4 3 −2y ~n d  ' a ma V^ a e i^ eu ki^ e  a ^u: x = e + . y nghi^ . m tho .n d 4 x = Ce−2y + 1 4 y2 y 1 − + . 2 2 4 www.VNMATH.com 12 50) . .  t r ' i phu o ng tr Gia nh sau d ^ ay, bi^ e a ng sau khi d  a .t . . p hai co m^ o nh vi ph^ an c^ a  m^ o e . t phu o ng tr . t nghi^ .m x2 y 00 + 4xy 0 + (x2 + 2)y = ex . : z 00 + z = ex , z 0 x − 2z 00 z 00 x2 − 4z 0 x + 6z . . ;y = . Phu o ng tr nh 4 x3 x x e ∗  ' a phu.o.ng tr ri^ eng la  y = , NTQ cu nh thu^ an 2 y = zx2 =⇒ y 0 = - a D  .t HD gia’i: z . . , ta nh^ a u o .n d .c x2 1 x ∗ e : ri^ eng y = 2 y= co  m^ o e . t nghi^ .m z = C1 cos x + C2 sin x. tha nh t: nh^ a ' a phu.o.ng tr nh ban d  a ^u la : V^ a . y NTQ cu ex sin x cos x y = C1 2 + C2 2 + 2 x x 2x 51) . . ' a phu o ng tr T m nghi^ e eng cu nh: . m ri^ ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d HD gia’i: x Xem yey = y 0 (y 3 + 2xey ) y(0) = −1. 1 , x0 y0 = la  a ^'n ha m, thay . . phu o ng tr nh tha nh . n t  t tu.o.ng u ' a phu.o.ng tr nh tuy^ e nh thu^ an nh^ a  ng la  NTQ cu . .  d s^ o u o .c . . d u o .c C(y) = −e−y + C . C= 52) 1 . e . Nhu v^ a  . y NTQ la  'a d tho i^ eu ki^ e .n  ng n thi^ bi^ e en h a  Thay d i^ eu ki^ e  ^ au xa c d .inh .n d y bi a . ch .n y 0 − y = cos x − sin x. khi x → ∞ n t ' i phu.o.ng tr Gia nh tuy^ e nh ra  'a d tho i^ eu ki^ e .n 53) 1 C − y. y ye C ; y .  o KL. T u d . . ' T m nghi^ e nh . m cua phu o ng tr HD gia’i: x= x= 2 x0 − x = y 2 e−y . y y bi a . ch . n khi x→∞ y = Cex + sin x C=0 khi . . ' a phu o ng tr nh: T m nghi^ e eng cu . m ri^ ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d y 0 + sin y + x cos y + x = 0 π y(0) = . 2 HD gia’i: y 0 + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y 0 + 2 sin ⇐⇒ d a  .t z = tan z 0 + z = −x. y 2 'i Gia ~n d  ' ma thoa i^ eu =⇒ z 0 = y y y cos + x.2 cos2 = 0 2 2 2 y0 y + tan + x = 0 y 2 2 cos2 2 y0 . . . . n t nh phu o ng tr nh tuy^ e nh y , phu o ng trnh tha 2 −x ra: z = 1 − x + Ce π ki^ e  a ^u y(0) = khi C = 0. V^ a e eng y = 2 arctan(1 − x). .n d . y nghi^ . m ri^ 2 2 cos2 www.VNMATH.com 54) 13 . . ' a ca T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: . m t^ HD gia’i: - a D  .t z = sin y, y 0 − x tan y = . . '. tha khi d  o phu o ng tr nh nh d ~ a cho tro z 0 − xz = x. z = Ce − 1. . . n t p 1 va nh tuy^ e nh c^ a  co  nghi^ e o'ng qua  t la  phu o ng tr . m t^ x2 . . ' a phu o ng tr V^ a e nh d ~ a cho la  sin y = z = Ce 2 . y nghi^ . m cu 55) x cos y . . ' a ca T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: . m t^ - a D ^y la  x2 2 −1 y 0 − xy = x HD gia’i: . . - a n t p 1 va nh tuy^ e nh c^ a  co  nghi^ e o'ng qua  t la  D ^y la  phu o ng tr . m t^ 56) . . ' a ca nh sau: T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr . m t^ HD gia’i: y √ = x y. x . . - a nh Bernoulli va  co  nghi^ e o'ng qua  t la  D ^y la  phu o ng tr . m t^ √ 57) y0 + C 1 y = √ + x2 . x 5 . . ' nh sau: T m nghi^ e  c phu o ng tr . m cua ca y0 − y = x3 x HD gia’i: . . - a n t p 1 va D ^y la  phu o ng tr nh tuy^ e nh c^ a  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ 1 y = Cx + x4 . 3 58) . . ' T m nghi^ e  c phu o ng tr nh sau: . m cua ca y0 − y = y2. HD gia’i: . . - a nh Bernoulli va  co  nghi^ e o'ng qua  t la  D ^y la  phu o ng tr . m t^ y2 = 59) 1 Ce−2x . . ' T m nghi^ e  c phu o ng tr nh sau: . m cua ca −1 . y0 + y = sin x x HD gia’i: . . - a n t p 1 va D ^y la  phu o ng tr nh tuy^ e nh c^ a  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ y= C sin x + − cos x. x x 1 2 y = Ce 2 x − 1. www.VNMATH.com 14 60) . . ' T m nghi^ e  c phu o ng tr nh sau: . m cua ca √ y 0 − y = x y. HD gia’i: . . - a D ^y la  phu o ng tr nh Bernoulli va  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ √ 61) 1 y = Ce 2 x − x − 2. . . ' a ca nh sau: T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr . m t^ y 0 + 2xy = xe−x 2 HD gia’i: . . - a n t p 1. D ^y la  phu o ng tr nh vi ph^ an tuy^ e nh c^ a x2 −x2 )e . Nghi^ e o'ng qua  t la  y = (C + . m t^ 2 62) . . ' a ca T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: . m t^ HD gia’i: y √ = x y. x . . - a D ^y la  phu o ng tr nh Bernoulli va  co  nghi^ e  . m la √ 63) y0 − 4 y= 1 ln x + Cx2 . 2 . .  ' ' a phu o ng tr nh sau a) T m mi^ en ma  trong d o  nghi^ e i toa  n Cauchy cu . m cua ba  t d ^ ay t^ on ta  duy nh^ a . i va ' b) T m nghi^ e i toa  n Cauchy sau d ^ ay . m cua ba y 0 = y + 3x.  1  y” − y 0 = x x y(x = 1) = 1 và y 0 (x = 1) = 2. HD gia’i: . . - a n t p 1 tho   t 'a d a) D ^y la  phu o ng tr nh tuy^ e nh c^ a .inh ly  d i^ eu ki^ e on ta a . n t^ . i duy nh^ 2 nghi^ e en R . . m tr^ y0 ' i phu.o.ng tr nh y” − b) Gia = x, ta du.o..c nghi^ e o'ng qua t . m t^ x y = C1 + C2 x + x2 . 2 ' a ba V^ a e i toa  n Cauchy la  . y nghi^ . m cu 1 x2 y =− +x+ . 2 2 64) . . ' nh sau: T m nghi^ e . m cua phu o ng tr y 0 + ytgx = cos x HD gia’i: . . - a n t p 1. D ^y la  phu o ng tr nh vi ph^ an tuy^ e nh c^ a Nghi^ e o'ng qua  t la : . m t^ y = (C + x) cos x. www.VNMATH.com 65) . . ' nh sau: T m nghi^ e . m cua phu o ng tr y0 + 15 y ex = x( x )y 2 . x e +1 HD gia’i: . . - a ' a phu.o.ng tr D ^y la  phu o ng tr nh vi ph^ an Bernoulli va  co  nghi^ e o'ng qua  t cu nh la  . m t^ y= 66) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: - a D  .t y 0 = p, (x + 1)y” + x(y 0 )2 = y 0 . . . . . '. tha phu o ng tr nh phu o ng tr nh tro nh Bernouili (v oi p0 − - a D  .t z = p−1 6= 0, . d u a 1 . Cx − x ln(ex + 1) (∗) x 2 1 p=− p x+1 x+1 (∗) . .  n t p m^ v^ e phu o ng tr nh tuy^ e nh c^ a o . t: z0 + 1 x z= 1+x x+1 C x+1 x2 + C1 1 2(x + 1) z= ⇒ y0 = = 2 2(x + 1) z x + C1  t: ' a phu.o.ng tr Nghi^ e o'ng qua  t cu nh thu^ an nh^ a . m t^ . . ng s^ n thi^  cu^ i cu Bi^ e en h a o o ng d u o . c: z= ' a phu.o.ng tr nh: Suy ra nghi^ e o'ng qua  t cu . m t^  x 2   ln |x2 + C1 | + √ arctg √ + C2 C1 C1√ 1 x − −C   √ 1 | + C2 ln | ln |x2 + C1 | + √ −C1 x + −C1 Chu   y 67) y=C nê´u C1 > 0 nê´u C1 < 0 la  NKD . . ' i phu o ng tr Gia nh: x2 y 0 = y(x + y) 1 1 = 2 y 2 : phu.o.ng trnh Bernouilli y x 1 1 −1 - a D  (y 6= 0) : −z 0 − z = 2 . .t z = y x x  t: ' a phu.o.ng tr nh thu^ an nh^ a z = Cx NTQ cu 1 1  ng s^ n thi^  C: C(x) = ε − bi^ e en h a o . V^ a ) . y z = x(ε − 2 2x 2x2 2x V^ a e o'ng qua  t la : y = . y nghi^ . m t^ 2 εx − 1 HD gia’i: x2 y 0 = y(x + y) ⇔ y 0 − 68) . . ' i phu o ng tr Gia nh: ' thoa yy” − (y 0 )2 = y 3  1  y(0) = − 2 y 0 (0) = 0 x 6= −1) www.VNMATH.com 16 HD gia’i: - a D  .t y 0 = p(y); y 00 = p.p0y py p: d a  e . t ti^ p(y) = y.z(y) . . thay va o phu o ng tr nh dp − p2 = y 3 , dy . . .  nh v^ e d u a phu o ng tr p 1 dy dz = ⇒ z 2 = 2(y + C1 ) ⇔ = y |2y + C| dy z dx 1 . y(0) = − ; y 0 (0) = 0 ⇒ C = 1. T u d  o suy 2p |2y + 1| − 1 p dy = y |2y + 1| ⇒ ln p = x + C2 . dx |2y + 1| + 1 1 do y(0) = − ⇒ C2 = 0. 2 p|2y + 1| − 1  ' : ln p V^ a e eng c^ an t m thoa = x. . y nghi^ . m ri^ |2y + 1| + 1  Do d i^ eu ki^ e .n 69) . . ' i phu o ng tr Gia nh: √ 2y x dy ydx + 2xdy = cos2 y HD gia’i: - u.a phu.o.ng tr  nh v^ e da D . ng - a D  .t 1 z = x2 ta co  1 1 z 0 = x0 + x− 2 x0 2  ' d thoa i^ eu ki^ e .n 2 2 1 x0 + x = .x 2 2 y cos y thay va o ra: y(0) = π (Bernoulli) (∗) (∗) 1 1 z0 + z = y cos2 y Nghi^ e o'ng qua  t: . m t^ z= c y C0 = V^ a .y Z = tgy +  ng s^ n thi^ : bi^ e en h a o y ⇒ C(y) = ytgy + ln | cos y| + ε cos2 y 1 ε ln | cos y| + y y ε √ 1 ln | cos y| + = x y y √ 1 tgy + ln | cos y| = x y ' a phu.o.ng tr Va  TPTQ cu nh: y(0) = π ⇒ ε = 0 70) . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i:  v^ e da . ng: Do y=0 1 y 0 − y = y −1 x V^ a . y TPTQ: 71) v^ a . y TPR : tgy + xydy = (y 2 + x)dx  cho ' i la kh^ ong pha  nghi^ e e . m, chia hai v^ - a Bernouilli; D  .t z = y2 (y + √ . . n d bi^ e o ^'i phu o ng tr nh . . .  d u a phu o ng tr nh v^ e da . ng: 2 z 0 − z = 2 → z = −2x + Cx2 x 2 2 y = −2x + Cx . . ' i phu o ng tr Gia nh: xy xy)dx = xdy www.VNMATH.com HD gia’i: - a D  .t - u.a phu.o.ng tr  nh v^ e da D . ng 1 1 1 1 y 0 − y = √ .y 2 ; x 6= 0 x x 1 1 z = √ phu.o.ng trnh 2x x 2 ' t^ o ng qua  t: y = x(ln x + C) z = y 2 : z0 − V^ a e . y nghi^ .m 72) n t ' i ra tuy^ e nh gia z= √ x(ln x + C) √ xy 0 − 2x2 y = 4y . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: 17 . . Phu o ng tr nh Bernouilli, d a  .t z = y 1−α = √ 1 y ⇒ z0 = √ 2 y 4 z 0 − z = 2x → NTQ z = Cx4 − x2 x y = (Cx2 − 1)2 x4 . . . '. tha phu o ng tr nh: nh tro V^ a e o'ng qua  t: . y nghi^ . m t^ 73) . . ' i phu o ng tr nh: Gia 2x2 y 0 = y 2 (2xy 0 − y) n y : x0 y 3 − 2xy 2 = −2x2 Bernouilli HD gia’i: Xem x la  ha m theo bi^ e 2 2z 1 . . 0 - a '. tha , phu o ng tr = 3 → TPTQ: y 2 = x ln Cy 2 , nh: z + D  nh tro .t z = x y y ky  di y = 0. . 74) . . ' a phu o ng tr nh: T m nghi^ e eng cu . m ri^ ~n d   ' ma thoa i^ eu ki^ e ^ au .n d x2 y 0 = y(x + y) y(−2) = −4. HD gia’i: Do y(−2) = −4 n^ en y 6≡ 0. 2 y . −1 p tu e a  d u a y 0 − 1y = 2 . Ti^ .c d .t z = y x . . - u.a phu.o.ng tr  D nh v^ e phu o ng tr nh Bernouilli: . .  n t phu o ng tr nh v^ e PT tuy^ e nh .  t tu.o.ng u ' a phu.o.ng tr NTQ cu nh thu^ an nh^ a  ng: z = Cx, 1 . ' a phu.o.ng tr a e nh ban d  a ^u . Nhu v^ . y nghi^ . m cu 2x 1 4x  C = . V^ a e eng c^ an t m la  y = . y nghi^ . m ri^ 2 x2 − 1 C(x) = Cx − d  a ^u cho 75) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: Phu.o.ng y (1 + Ce−x ) = 1 tr nh: . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: Phu.o.ng 1 y= . 1 + Cx + ln x 77) tr nh 1 1 z0 + z = − 2 . x x . .  n thi^  d bi^ e en h a ng s^ o u o .c la : y= 2x . Cx2 − 1 - i^  D eu ki^ e .n y 0 − xy = −xy 3 y 0 − xy = −xy 3 2 76) nghi^ e .m . . . . ' i ra d la  phu o ng tr nh Bernouilli, gia u o .c xy 0 + y = y 2 ln x. xy 0 + y = y 2 ln x . . . . ' i ra d la  phu o ng tr nh Bernouilli, gia u o .c . . ' a ca T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: . m t^ y0 − 4 y √ =x y x www.VNMATH.com 18 . . - a  ng ca D ^y la  phu o ng tr nh Bernoulli, b a  ch d a  .t HD gia’i:  tr nh v^ e da . ng x 2 z0 − z = x 2 z = √ y . . . ta d u a phu o ng va  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ 1 z = x2 ( ln |x| + C). 2 ' a phu.o.ng tr nh la  V^ a e o'ng qua  t cu . y nghi^ . m t^ 1 y = x4 ( ln |x| + C)2 . 2 78) . . ' a ca nh sau: T m nghi^ e o'ng qua  t cu  c phu o ng tr . m t^ HD gia’i: y= y0 + y = y 2 xtgx. x . . - a D ^y la  phu o ng tr nh Bernoulli va  co  nghi^ e o'ng qua  t la  . m t^ 1 . Cx + x ln | cos x| 79) . . ' i phu o ng tr nh: Gia y 2 dx + (2xy + 3)dy = 0 ∂P ∂Q = = 2y ∂y ∂x HD gia’i: P (x, y) = y 2 , Q(x, y) = 2xy + 3; (1) ⇔ d(xy 2 + 3y) = 0. 80) V^ a .y . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: xy 2 + 3y = C ex (2 + 2x − y 2 )dx − yex dy = 0 ∂P ∂Q = = −2yex ∂y ∂x . . . . . . . nh tu o ng d u o ng v o i: suy ra phu o ng tr  d ex (2x − y 2 ) = 0. V^ a .y ex (2x − y 2 ) = C. 81) . . ' i phu o ng tr nh: Gia 3 (y 2 + 1) 2 dx + (y 2 + 3xy 3 HD gia’i: p = (y 2 + 1) 2 ; Q = y 2 + 3xy 'a Suy ra nghi^ e o'ng qua  t cu . m t^ (∗) p 1 + y2 ⇒ Zy P (x, 0)dx + 0 HD gia’i: Q(x, y)dy = C 0 ⇔ . . ' i phu o ng tr Gia nh: p ∂P ∂Q = = 3y 1 + y 2 ∂y ∂x la : Zx 82) p 1 + y 2 )dy = 0 3 y3 + x(1 + y 2 ) 2 = C 3 (y cos2 x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx ∂P ∂Q = = y sin 2x + cos x ∂y ∂x (∗) www.VNMATH.com NTQ: Rx 19 Ry y2 Q(x, y)dy = C ⇔ y sin x − cos2 x = C P (x, y0 )dx + 2 y0 =0 x0 =0 83) . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: 84) . .  Phu o ng tr nh vi ph^ an toa n ph^ an: . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: (2x + 3x2 y)dx = (3y 2 − x3 )dy ( x2 + x3 y − y 3 = C (x2 + 1) cos y x + 2)dx − dy = 0 sin y 2 sin2 y ∂Q x cos y ∂P = =− ∂y ∂x sin2 y TPTQ: Zx 0 85) π 2 x2 (x2 + 1) 1 + 2x − ( − 1) = C 2 2 sin y (y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0 . .  nh vi ph^ an toa n ph^ an, nghi^ e o'ng qua  t: Phu o ng tr . m t^ 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x2 + 2(x sin y − cos y) = C. x3 )dy y . .  Phu o ng tr nh vi ph^ an toa n ph^ an: Nghi^ e o'ng qua  t: . m t^ . . ' a phu o ng tr T m nghi^ e o'ng qua  t cu nh vi ph^ an: . m t^ HD gia’i: xy + ex sin y = C. (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 . .  Phu o ng tr nh vi ph^ an toa n ph^ an: NTQ . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: 88) Q(x, y)dy = C ⇔ . . ' i phu o ng tr Gia nh: HD gia’i: 87) Zy . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: 86) π P (x, )dx + 2 x3 (1 + ln y) − y 2 = C 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x3 )dy y . . - a  D ^y la  phu o ng tr nh vi ph^ an toa n ph^ an co  t ch ph^ an t^ o'ng qua  t la : x3 (1 + ln y) − y 2 = C 89) . . ~ y t ' a phu o ng tr Ha m nghi^ e o'ng qua  t cu nh: . m t^ HD gia’i: PTVPTP co  t ch ph^ an t^ o'ng qua  t: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 x2 + 2(x sin y − cos y) = C www.VNMATH.com 20 ~y 90) Ha . . ' a phu o ng tr t m nghi^ e o'ng qua  t cu nh: . m t^ 1 y2 − x (x − y)2 HD gia’i: 91)   dx + 1 x2 − 2 (x − y) y  dy = 0 PTVPTP co  t ch ph^ an t^ o'ng qua  t: ln xy x + =C y x−y . . ' a phu o ng tr T m nghi^ e o'ng qua  t cu nh vi ph^ an: . m t^ (sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0 HD gia’i: 92) . .  nh vi ph^ an toa n ph^ an co  nghi^ e o'ng qua  t la  Phu o ng tr . m t^ . . . ~ y t  t ' a phu o ng tr Ha m th u a s^ o  ch ph^ an cu nh: x sin(xy) = C . (x + y 2 )dx − 2xydy = 0 . . ' a phu o ng tr suy ra nghi^ e o'ng qua  t cu nh. . m t^ HD gia’i: .  t ' a phu.o.ng tr Th u a s^ o ch ph^ an cu nh la  . . .  t  ' i ra phu o ng tr nh cho th u a s^ o ch ph^ an r^ oi gia 93) . . ' i phu o ng tr nh: Gia HD gia’i: 2xy ln ydx + (x2 + y 2 µ(x) = y2 x = Ce x p  cu 'a Nh^ an hai v^ e . y 2 + 1)dy = 0 . . . - a   t D ^y la  phu o ng tr nh vi ph^ an toa n ph^ an, th u a s^ o ch ph^ an: . . .  t  cu  ' a phu.o.ng tr ' i ra d th u a s^ o ch ph^ an va o hai v^ e nh r^ oi gia u o . c: 94) 1 . x2 µ(y) = 1 y nh^ an 1 3 x2 ln y + (y 2 +1) 2 = 0 3 . . ' nh T m nghi^ e . m cua phu o ng tr  'a d tho i^ eu HD gia’i: (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0. ki^ e . n y(0) = 1. . . - a  D ^y la  phu o ng tr nh vi ph^ an toa n ph^ an NTQ la : x4 + 2x2 y 2 + y 4 = C .  'a d tho i^ eu ki^ e .n 95) y(0) = 1 khi C = 1. . . ' a ca T m t  ch ph^ an t^ o'ng qua  t cu  c phu o ng tr nh sau: HD gia’i: . . .  t Ta t m d u o u a s^ o ch ph^ an . c th 1 - . . . . Du a phu o ng 2 x 2 2 la  x − y = Cx. µ(x) =  da an toa n ph^ an. Khi d  o nghi^ e o'ng qua t . ng vi ph^ . m t^ a) − 2xydy + (y 2 + x2 )dx = 0  tr nh d ~ a cho v^ e
- Xem thêm -