Tài liệu Bài tập giải tích 12

  • Số trang: 143 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 153 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62597 tài liệu

Mô tả:

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- BAØI TAÄP OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2010 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: x2 5 +x4 4 a) y = - 2 x 2 + 4 x + 5 b) y = d) y = x 3 - 2 x 2 + x - 2 e) y = (4 - x )( x - 1)2 f) y = x 3 - 3 x 2 + 4 x - 1 i) y = g) y = 1 4 x - 2x2 - 1 4 h) y = - x 4 - 2 x 2 + 3 k) y = 2x -1 x+5 l) y = n) y = 2 x 2 + x + 26 x +2 o) y = - x + 3 - x -1 2- x Trang 1 c) y = x 2 - 4 x + 3 1 4 1 2 x + x -2 10 10 m) y = 1 1 1- x p) y = 1 1- x 4 x 2 - 15 x + 9 3x Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y = -6 x 4 + 8 x 3 - 3 x 2 - 1 d) y = 2x -1 x b) y = e) y = 2 x2 -1 x2 - 4 x 2 x - 3x + 2 h) y = x 2 - x 2 g) y = 2 x - 1 - 3 - x æ p pö 0 êë îD £ 0 é ìa = b = 0 ê íc £ 0 · y ' £ 0, "x Î R Û ê î ê ìía < 0 êë îD £ 0 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c : · Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. b ) 2a · Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. · Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = - 4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0: ìD > 0 ï · x1 < x2 < 0 Û í P > 0 ïîS < 0 ìD > 0 ï · 0 < x1 < x2 Û í P > 0 ïîS > 0 · x1 < 0 < x2 Û P < 0 5) Để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: · Tính y¢. · Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: ìa ¹ 0 íD > 0 î (1) · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 = d 2 Trang 2 (2) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y = x 3 + 5 x + 13 b) y = x3 - 3x 2 + 9 x + 1 3 c) y = 2x -1 x+2 x2 + 2 x - 3 x 2 - 2mx - 1 e) y = 3 x - sin(3 x + 1) f) y = d) y = x +1 x-m Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y = -5 x + cot( x - 1) b) y = cos x - x c) y = sin x - cos x - 2 2 x Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: a) y = x 3 - 3mx 2 + (m + 2) x - m b) y = mx + 4 d) y = x+m Baøi 4. Tìm m để hàm số: x 3 mx 2 - 2x +1 3 2 x 2 - 2mx - 1 e) y = x-m c) y = x+m x -m x 2 - 2mx + 3m 2 f) y = x - 2m a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) y = 1 3 1 2 x - mx + 2 mx - 3m + 1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. 3 2 1 c) y = - x 3 + (m - 1) x 2 + (m + 3) x - 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. 3 Baøi 5. Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x 2 - (m + 1) x + 1 đồng biến trên khoảng (1; +¥). 3 b) y = x 3 - 3(2m + 1) x 2 + (12 m + 5) x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +¥). c) y = mx + 4 x + m2 (m ¹ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +¥). d) y = x+m đồng biến trong khoảng (–1; +¥). x -m e) y = x 2 - 2mx + 3m 2 đồng biến trên khoảng (1; +¥). x - 2m f) y = -2 x 2 - 3 x + m nghịch biến trên khoảng 2x +1 æ 1 ö ç - ; +¥ ÷ . è 2 ø Trang 3 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: · Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định. · Xét dấu f¢ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. · Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h¢ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) x - x3 < sin x < x , vôùi x > 0 6 b) 2 1 p sin x + tan x > x , vôùi 0 < x < 3 3 2 p p d) sin x + tan x > 2 x , vôùi 0 < x < 2 2 Baøi 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) x < tan x, vôùi 0 < x < a) tan a a p < , vôùi 0 < a < b < tan b b 2 b) a - sin a < b - sin b, vôùi 0 < a < b < p 2 p 2 Baøi 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) a - tan a < b - tan b, vôùi 0 < a < b < a) sin x > 2x p , vôùi 0 < x < p 2 b) x - x3 x3 x5 < sin x < x - + , vôùi x > 0 6 6 120 p 2 Baøi 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) x sin x + cos x > 1, vôùi 0 < x < a) e x > 1 + x , vôùi x > 0 b) ln(1 + x ) < x , vôùi x > 0 ( ) 1 d) 1 + x ln x + 1 + x 2 ³ 1 + x 2 , vôùi x > 0 1+ x Baøi 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) ln(1 + x ) - ln x > a) tan 550 > 1, 4 b) 1 7 < sin 20 0 < 3 20 HD: a) tan 550 = tan(450 + 10 0 ) . Xét hàm số f ( x ) = c) log 2 3 > log3 4 1+ x . 1- x b) Xét hàm số f ( x ) = 3 x - 4 x 3 . æ 1 1ö 1 7 f(x) đồng biến trong khoảng ç - ; ÷ và ,sin 200 , Î è 2 2ø 3 20 c) Xét hàm số f ( x ) = log x ( x + 1) với x > 1. Trang 4 æ 1 1ö ç- ; ÷. è 2 2ø Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: · Chọn được nghiệm x0 của phương trình. · Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Baøi 1. Giải các phương trình sau: a) x + x-5 = 5 b) x 5 + x 3 - 1 - 3 x + 4 = 0 c) x + x - 5 + x + 7 + x + 16 = 14 d) x 2 + 15 = 3 x - 2 + x 2 + 8 Baøi 2. Giải các phương trình sau: a) 5 x +1 + 5 x + 2 + 5 x + 3 = 0 b) ln( x - 4) = 5 - x c) 3 x + 4 x = 5 x Baøi 3. Giải các bất phương trình sau: a) d) 2 x + 3 x + 5 x = 38 x + 1 + 3 5 x - 7 + 4 7 x - 5 + 5 13 x - 7 < 8 b) 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x < 35 Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau: ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y ï a) í2 y + 1 = z3 + z2 + z ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x î ì x = y3 + y2 + y - 2 ï b) í y = z3 + z2 + z - 2 ïz = x 3 + x 2 + x - 2 î ì y 3 = 6 x 2 - 12 x + 8 ï 3 c) íz = 6 y 2 - 12 y + 8 ï x 3 = 6 z2 - 12 z + 8 î ìtan x - tan y = y - x ï 5p d) ï2 x + 3y = í 4 ï p p ï- < x , y < î 2 2 ìsin x - sin y = 3 x - 3y ïï p e) í x + y = 5 ï ïî x, y > 0 ìsin 2 x - 2 y = sin 2 y - 2 x f) ïï2 x + 3y = p í ï0 < x, y < p ïî 2 ìcot x - cot y = x - y ï g) í5 x + 7 y = 2p ïî0 < x , y < p h) HD: a, b) Xét hàm số f (t ) = t 3 + t 2 + t c) Xét hàm số f (t ) = 6t 2 - 12t + 8 d) Xét hàm số f(t) = tant + t Trang 5 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Î D. a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho f(x) < f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho f(x) > f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1. · Tìm f¢ (x). · Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. · Xét dấu f¢ (x). Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. Qui tắc 2: Dùng định lí 2. · Tính f¢ (x). · Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …). · Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …). Nếu f¢¢ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. Nếu f¢¢ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. Trang 6 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 3 x 2 - 2 x 3 b) y = x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1 x4 - x2 + 3 e) y = x 4 - 4 x 2 + 5 2 - x2 + 3x + 6 3x 2 + 4 x + 5 g) y = h) y = x+2 x +1 Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: d) y = 4x2 + 2x -1 a) y = ( x - 2)3 ( x + 1)4 b) y = d) y = x x 2 - 4 e) y = x 2 - 2 x + 5 2x2 + x - 3 1 c) y = - x 3 + 4 x 2 - 15 x 3 x4 3 f) y = + x2 + 2 2 2 x - 2 x - 15 i) y = x -3 c) y = 3x 2 + 4 x + 4 x2 + x + 1 f) y = x + 2 x - x 2 Baøi 3. Tìm cực trị của các hàm số sau: 3 2 3 x2 2x +1 a) y = x + 1 b) y = d) y = x 2 - 5 x + 5 + 2 ln x e) y = x - 4sin 2 x c) y = e x + 4e - x f) y = x - ln(1 + x 2 ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x0. Chú ý: · Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx0 2 + cx0 + d + y ( x0 ) = Ax0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y¢. ax 2 + bx + c P( x ) · Hàm số y = = (aa¢¹ 0) có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai a' x + b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác - . a' Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: P ( x0 ) P '( x 0 ) hoặc y ( x0 ) = y ( x0 ) = Q ( x0 ) Q '( x 0 ) · Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. · Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et. Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - m 3 b) y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 x 2 + m(m 2 - 1) x - m 4 + 1 c) y = x-m x 2 + mx - m + 2 d) y = x - m +1 Trang 7 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi 2. Tìm m để hàm số: a) y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 có cực đại, cực tiểu. b) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2 m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) có cực đại, cực tiểu. c) y = x 3 - 3mx 2 + (m 2 - 1) x + 2 đạt cực đại tại x = 2. 1 d) y = - mx 4 + 2(m - 2) x 2 + m - 5 có một cực đại x = . 2 2 x - 2mx + 2 e) y = đạt cực tiểu khi x = 2. x-m x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2 f) y = có cực đại, cực tiểu. x -1 x2 - x + m g) y = có một giá trị cực đại bằng 0. x -1 Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: a) y = x 3 - 3 x 2 + 3mx + 3m + 4 - x 2 + mx + 5 c) y = x -3 Baøi 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: b) y = mx 3 + 3mx 2 - (m - 1) x - 1 x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2 d) y = x -1 a) y = ax 3 + bx 2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4 1 tại x = 27 3 b) y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3. x 2 + bx + c đạt cực trị bằng –6 tại x = –1. x -1 ax 2 + bx + ab d) y = đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. bx + a ax 2 + 2 x + b đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. e) y = x2 + 1 Baøi 5. Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x 3 + 2(m - 1) x 2 + (m 2 - 4 m + 1) x - 2(m2 + 1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 1 1 1 + = (x + x ) . x1 x2 2 1 2 1 3 x - mx 2 + mx - 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1 - x2 ³ 8 . 3 1 1 c) y = mx 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 3 3 x1 + 2 x2 = 1 . b) y = Baøi 6. Tìm m để hàm số : x 2 + mx - m + 2 có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu. x - m +1 x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2 b) y = có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực x -1 a) y = Trang 8 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. -x2 + 3x + m có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M - m = 4 . x-4 2 x2 + 3x + m - 2 d) y = có yCÑ - yCT < 12 . x+2 Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số : c) y = 900m 2 a) y = - x + mx - 4 có hai điểm cực trị là A, B và AB = . 729 3 2 2 b) y = x 4 - mx 2 + 4 x + m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. x 2 + mx + m - 2 có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh x-m hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành. c) y = x 2 + mx có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. 1- x - x 2 + 2 mx + 5 e) y = có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường x -1 thẳng y = 2x. d) y = x2 + 2x + m + 3 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. x-m Baøi 8. Tìm m để đồ thị hàm số : f) y = a) y = 2 x 3 + mx 2 - 12 x - 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung. b) y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3 x - 2 y + 8 = 0 . x 2 + (2m + 1) x + m 2 + 1 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng x +1 (d): 2 x - 3y - 1 = 0 . d) y = Baøi 9. Tìm m để đồ thị hàm số : x 2 - (m + 1) x + 2 m - 1 a) y = có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt x-m phẳng toạ độ. 2 mx 2 + (4m 2 + 1) x + 32 m2 + 2m b) y = có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ x + 2m hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. mx 2 - (m 2 + 1) x + 4m 2 + m có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và x-m điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. c) y = d) y = x 2 + (2m + 1) x + m 2 + 1 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung). x +1 Trang 9 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . · Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B. · Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: ì y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B í y = f x = Ax + B ( 2) î 2 2 Þ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. P( x ) ax 2 + bx + c 2) Hàm số phân thức y = f ( x ) = = . Q( x ) dx + e P '( x0 ) · Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 = . Q '( x0 ) · Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực P '( x ) 2ax + b trị ấy là: y = = . Q '( x ) d Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số : a) y = x 3 - 2 x 2 - x + 1 b) y = 3 x 2 - 2 x 3 c) y = x 3 - 3 x 2 - 6 x + 8 2x2 - x +1 x2 - x - 1 e) y = x+3 x-2 Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: d) y = a) y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - m 3 x 2 + mx - 6 x-m 2 x + mx - m + 2 d) y = x - m +1 b) y = c) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2m 2 - 3m + 2) x - m(m - 1) Baøi 3. Tìm m để hàm số: a) y = 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x - 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1. b) y = 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6 m(1 - 2m ) x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x. c) y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7. d) y = x 3 - 3 x 2 + m 2 x + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (D): y = 1 5 x- . 2 2 Trang 10 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R). ì f ( x ) £ M , "x Î D a) M = max f ( x ) Û í D î$ x 0 Î D : f ( x 0 ) = M ì f ( x ) ³ m, "x Î D b) m = min f ( x ) Û í D î$x0 Î D : f ( x0 ) = m 2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x ) = f (b), min f ( x ) = f (a) . [ a;b ] [ a;b ] b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max f ( x ) = f (a), min f ( x ) = f (b) . [ a;b ] [ a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng. · Tính f¢ (x). · Xét dấu f¢ (x) và lập bảng biến thiên. · Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. · Tính f¢ (x). · Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có). · Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). · So sánh các giá trị vừa tính và kết luận. M = max f ( x ) = max { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )} [a;b] m = min f ( x) = min { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )} [ a;b] Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y = x 2 + 4 x + 3 b) y = 4 x 3 - 3 x 4 d) y = x 2 + x - 2 e) y = x -1 x2 - 2 x + 2 x2 - x + 1 1 ( x > 0) h) y = x x2 + x + 1 Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: g) y = x 2 + c) y = x 4 + 2 x 2 - 2 f) y = i) y = 2 x2 + 4 x + 5 x2 + 1 x4 + x2 +1 x3 + x a) y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1 trên [–1; 5] b) y = 3 x - x 3 trên [–2; 3] c) y = x 4 - 2 x 2 + 3 trên [–3; 2] d) y = x 4 - 2 x 2 + 5 trên [–2; 2] 3x - 1 trên [0; 2] x -3 4 x2 + 7x + 7 g) y = trên [0; 2] x+2 x -1 trên [0; 4] x +1 1 - x + x2 h) y = trên [0; 1] 1 + x - x2 e) y = f) y = Trang 11 ( x > 0) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng i) y = 100 - x 2 trên [–6; 8] k) y = 2 + x + 4 - x Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 2 sin x - 1 1 a) y = b) y = c) y = 2sin 2 x - cos x + 1 2 sin x + 2 cos x + cos x + 1 e) y = sin 3 x + cos3 x d) y = cos 2 x - 2sin x - 1 g) y = 4 x 2 - 2 x + 5 + x 2 - 2 x + 3 f) y = x2 -1 x4 - x2 +1 h) y = - x 2 + 4 x + x 2 - 4 x + 3 VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số. · Chứng minh một bất đẳng thức. · Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức. Baøi 1. Giả sử D = {( x; y; z) / x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} . Tìm giá trị lớn nhất của biểu x y z + + . x +1 y +1 z +1 æ 1 1 1 ö HD: P = 3 - ç + + ÷ è x +1 y +1 z +1ø thức: P= æ 1 1 1 ö Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [( x + 1) + ( y + 1) + ( z = 1)] ç + + ÷³9 è x +1 y +1 z +1ø 3 1 3 Þ P £ . Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = . Vậy min P = . D 4 3 4 ì 5ü Baøi 2. Cho D = í( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y = ý . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: î 4þ 4 1 S= + . x 4y æ1 1 1 1 1 ö æ4 1 ö HD: ( x + x + x + x + 4 y ) ç + + + + ÷ ³ 25 Û 4( x + y ) ç + ÷ ³ 25 è x x x x 4y ø è x 4y ø 1 . Vậy minS = 5. 4 Baøi 3. Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y < 1} . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Þ S ³ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = 1, y = P= x2 y2 1 + +x+y+ . 1- x 1- y x+y x2 y2 1 1 1 1 + (1 + y ) + + -2 = + + -2 . 1- x 1- y x + y 1- x 1- y x + y æ 1 1 1 ö Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [(1 - x ) + (1 - y ) + ( x + y )] ç + + ÷³9 è 1- x 1- y x + y ø HD: P = (1 + x ) + Û 1 1 1 9 + + ³ 1- x 1- y x + y 2 Trang 12 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 5 1 5 . Dấu “=” xảy ra Û x = y = . Vậy minP = . 2 3 2 Baøi 4. Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y ³ 4} . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ÞP³ 3 x 2 + 4 2 + y2 P= + . 4x y2 HD: P = æ 1 y yö x+y x 1 + + 2ç + + ÷ + 2 4 x 8 8ø 2 èy Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 y ÞP³ 2 + (1) x 1 x 1 + ³ 2 . =1 4 x 4 x (2) y y 1 y y 3 + ³ 33 . . = 8 8 y2 8 8 4 (3) 9 9 . Dấu “=” xảy ra Û x = y = 2. Vậy minP = . 2 2 VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước. Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: ì f ( x ) = y0 (1) í (2) îx Î D Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m £ y0 £ M (3) Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được: min f ( x ) = m; max f ( x ) = M D D Baøi 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x2 + x + 1 x2 - x + 1 2sin x + cos x + 3 d) y = 2 cos x - sin x + 4 b) y = 2 x 2 + 7 x + 23 c) y = x 2 + 2 x + 10 2sin x + cos x + 1 sin x - 2 cos x + 3 VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x ) = m; max f ( x ) = M . Khi đó: D ì f ( x) = a 1) Hệ phương trình í có nghiệm Û m £ a £ M. îx Î D ì f ( x) ³ a 2) Hệ bất phương trình í có nghiệm Û M ³ a. îx Î D ì f ( x) £ b 3) Hệ bất phương trình í có nghiệm Û m £ b. îx Î D 4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x Û m ³ a. 5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x Û M £ b. Trang 13 D Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi 1. Giải các phương trình sau: a) 4 x -2 + 4 4- x = 2 c) x 5 + (1 - x )5 = b) 3 x + 5 x = 6 x + 2 Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x + 2 x 2 + 1 = m b) 1 16 2 - x + 2 + x - (2 - x )(2 + x ) = m 3 + x + 6 - x - (3 + x )(6 - x ) = m d) 7 - x + 2 + x - (7 - x )(2 + x ) = m Baøi 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R: c) a) x + 2 x 2 + 1 > m b) m 2 x 2 + 9 < x + m c) mx 4 - 4 x + m ³ 0 Baøi 4. Cho bất phương trình: x 3 - 2 x 2 + x - 1 + m < 0 . a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]. b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]. Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau: a) mx - x - 3 £ m + 1 có nghiệm. b) (m + 2) x - m ³ x + 1 có nghiệm x Î [0; 2]. c) m( x 2 - x + 1) £ x 2 + x + 1 nghiệm đúng với mọi x Î [0; 1]. Trang 14 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ 1. Định nghĩa: Điểm U ( x0 ; f ( x0 ) ) đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị 2. Tính chất: · Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f¢¢(x0) = 0 và f¢¢(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì U ( x0 ; f ( x0 ) ) là một điểm uốn của đồ thị hàm số. · Đồ thị của hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) luôn có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị. Baøi 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau: a) y = x 3 - 6 x 2 + 3 x + 2 b) y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 9 c) y = x 4 - 6 x 2 + 3 x4 - 2x2 + 3 e) y = x 4 - 12 x 3 + 48 x 2 + 10 f) y = 3 x 5 - 5 x 4 + 3 x - 2 4 Baøi 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra: d) y = x3 8 + (m - 1) x 2 + (m + 3) x - ; I(1; 3) 3 3 æ2 ö d) y = x 3 - mx 2 + nx - 2 ; I ç ; -3 ÷ è3 ø a) y = x 3 - 3 x 2 + 3mx + 3m + 4 ; I(1; 2). b) y = c) y = mx 3 + nx 2 + 1 ; I(1; 4) x3 e) y = - + 3mx 2 - 2 ; I(1; 0) f) y = mx 3 + 3mx 2 + 4 ; I(–1; 2) m Baøi 3. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn: x5 4 4 x 2 + mx - 1 - x + (4m + 3) x3 + 5 x - 1 b) y = 5 3 x2 + 1 Baøi 4. Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng: a) y = a) y = d) y = g) y = 2x +1 x2 + x + 1 2x +1 x2 + 1 2 x 2 - 3x b) y = e) y = x +1 x2 + 1 x x2 + 1 x2 + 3x h) y = x2 - 3x + 3 x2 + 1 Baøi 5. Tìm m, n để đồ thị của các hàm số: c) y = f) y = i) y = 2 x 2 - 3x x2 + 1 x2 + 2 x + 5 x2 - x +1 x3 x2 - 4 x + 5 a) y = x 4 - 2 x 3 - 6 x 2 + mx + 2 m - 1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2). x3 2 - x 2 + mx + có điểm uốn ở trên đường thẳng y = x + 2 . 3 3 1 c) y = - x 4 + mx 2 + n có điểm uốn ở trên Ox. 4 b) y = - Trang 15 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 1. Định nghĩa: · Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim + f ( x ) = +¥ ; lim + f ( x ) = -¥ ; lim - f ( x ) = +¥ ; lim - f ( x ) = -¥ x® x0 x® x0 x® x0 x® x0 · Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f ( x ) = y0 ; lim f ( x ) = y0 x ®+¥ x ®-¥ · Đường thẳng y = ax + b, a ¹ 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim x ®+¥ [ f ( x ) - (ax + b)] = 0 ; lim x ®-¥ [ f ( x ) - (ax + b)] = 0 2. Chú ý: a) Nếu y = f ( x ) = P( x ) là hàm số phân thức hữu tỷ. Q( x ) · Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 . · Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang. · Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên. b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: f ( x) ; a = lim b = lim [ f ( x ) - ax ] x ®+¥ x x ®+¥ hoặc a = lim x ®-¥ f ( x) ; x b = lim x ®-¥ [ f ( x ) - ax ] Baøi 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 2x - 5 10 x + 3 b) y = x -1 1- 2x 2 x - 4x + 3 ( x - 2)2 d) y = e) y = x +1 1- x Baøi 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) y = a) y = d) y = x x2 - 4 x + 5 2 x2 + 3x + 3 b) y = 2+x 9 - x2 x3 + x + 1 e) y = x2 + x + 1 x2 + 1 Baøi 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 4x + 2 a) y = x 2 - 4 x b) y = x2 - 9 Trang 16 2x + 3 2- x 7x2 + 4 x + 5 f) y = 2 - 3x c) y = c) y = f) y = c) y = x2 + 4 x + 5 x2 - 1 x4 - x + 4 x3 - 1 1 x2 - 4x + 3 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số x -1 3 e) y = 3 x 2 - x 3 x +1 Baøi 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: d) y = x f) y = x 2 - 3x + 2 x-2 e x - e- x c) y = ln( x 2 - 5 x + 6) x 2 2 -1 Baøi 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: a) y = a) y = d) y = 2x + 1 b) y = ln 3 4 x 2 + 2(2 m + 3) x + m 2 - 1 x -3 b) y = 2 + x2 3 x 2 + 2(m + 1) x + 4 x -1 c) y = x +3 2 x + x +m-2 3 e) y = f) y = 2 x 2 + 2 mx + m - 1 x 2 + 2(m + 2) x + m 2 + 1 x 2 + 2(m - 1) x + m2 - 2 Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên: x 2 + (3m + 2) x + 2 m - 1 mx 2 + (2 m + 1) x + m + 3 a) y = b) y = x+5 x+2 Baøi 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ: 3x2 + x + 1 -3 x 2 + x - 4 x2 + x - 7 b) y = c) y = a) y = x -1 x+2 x -3 Baøi 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra: x 2 + (2m - 1) x - 2 m + 3 x 2 + mx - 1 y a) y = ;S=8 b) = ;S=8 x +1 x -1 2 x 2 + 2(2 m + 1) x + 4m - 5 2 x 2 + mx - 2 c) y = ; S = 16 d) y = ;S=4 x +1 x -1 Baøi 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số: a) y = x2 - x + 1 x -1 b) y = 2 x2 + 5x - 4 x +3 Trang 17 c) y = x2 + x - 7 x -3 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số · Tìm tập xác định của hàm số. · Xét sự biến thiên của hàm số: + Tính y¢. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y¢ bằng 0 hoặc không xác định. + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số. · Vẽ đồ thị của hàm số: + Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương). – Tính y¢¢. – Tìm các điểm tại đó y¢¢ = 0 và xét dấu y¢¢. + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn. + Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị. 2. Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) : · Tập xác định D = R. · Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. · Các dạng đồ thị: a>0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y Û ’ = b2 – 3ac > 0 a<0 y I 0 x 0 I x y’ = 0 có nghiệm kép Û ’ = b2 – 3ac = 0 y’ = 0 vô nghiệm Û ’ = b2 – 3ac < 0 y y I 0 3. Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0) : Trang 18 I x 0 x Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · Tập xác định D = R. · Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. · Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y y y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û ab < 0 0 x 0 x x y y’ = 0 chỉ có 1 nghiệm Û ab > 0 0 y 0 x ax + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) : cx + d ì dü · Tập xác định D = R \ í- ý . î cþ 4. Hàm số nhất biến y = d a và một tiệm cận ngang là y = . Giao điểm của c c hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. · Các dạng đồ thị: · Đồ thị có một tiệm cận đứng là x = - y y 0 0 x ad – bc > 0 x ad – bc < 0 ax 2 + bx + c (a.a ' ¹ 0, töû khoâng chia heát cho maãu) : a' x + b' ì b'ü · Tập xác định D = R \ í- ý . î a'þ 5. Hàm số hữu tỷ y = · Đồ thị có một tiệm cận đứng là x = - b' và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm a' cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. · Các dạng đồ thị: a.a¢ > 0 Trang 19 a.a¢ < 0
- Xem thêm -