Mô tả:
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
Bài 1: NGUYÊN HÀM
5/15/2015
1
Bài 1: NGUYÊN HÀM
1./ Khái niệm nguyên hàm
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
5/15/2015
2
1./ Khái niệm nguyên hàm
VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:
a) f(x) = 2x
b) f(x) = cosx
Giải :
2 '
a)Ta có
(x ) 2x
nên F(x) = x 2
b) Ta thấy (sin x ) ' cos x
nên F(x) = sinx
khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x)
5/15/2015
3
1./ Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa
khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x)
được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K.
Câu hỏi :
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?
Trả lời :
1
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y=
2
cos x
1
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =
x ln 10
5/15/2015
4
1./ Khái niệm nguyên hàm
Chú ý:
• Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) =
f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là:
F ( x) F (a)
hay
f
(
a
)
lim
xa
xa
F ( x) F (b)
f (b)
lim
x b
x b
• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu
F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng
minh được rằng:
F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)
Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].
5/15/2015
5
1./ Khái niệm nguyên hàm
ĐỊNH LÝ 1
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của
hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao
cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
5/15/2015
6
1./ Khái niệm nguyên hàm
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu
là:
f ( x )dx F ( x ) C ,C .
trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).
Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất
kỳ của hàm số f.
( f ( x )dx )' f ( x )
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.
5/15/2015
7
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
0dx C
dx 1dx x C
x
dx
x
1
1
C ( 1)
1
x dx ln x C
5/15/2015
8
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
cos( kx b )
C ,k 0.
sin( kx b )dx
k
sin( kx b )
C
cos( kx b )dx
k
x
kx
a
e
x
kx
a dx
C( 0 1 )
e
dx
C
ln a
k
1
cos 2 x dx tan x C
5/15/2015
1
dx cot x C
2
sin x
9
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý 2: Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K,
với a là số thực khác 0 thì:
[f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
af ( x )dx a f ( x )dx
Chú ý:
5/15/2015
[ f ( x )dx ] ' f ( x )
f ( t )dt F ( t ) C
f [u( x )]u'( x )dx F [u( x )] C
f ( u )du F ( u ) C
10
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Chú ý:
Nêu f ( x )dx F ( x ) C thì
1
f ( ax b )dx f ( ax b )d ( ax b )
a
1
F ( ax b ) C
a
u ' ( x)
u ( x) dx ln u ( x) C
dx
2 x C
x
5/15/2015
n n n 1
x dx n 1 x C
dx
n n n 1
n x n 1 x C
n
dx
1
x n (n 1) x n1 C
11
Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:
A.
B.
e
dx
e
C
x
x
2
dx
2
x
C
sin
xdx
cos
x
C
2
x
D. xdx
C
2
C.
5/15/2015
12
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số:
f( x)
Giải
x 3x 5x
3
3
1
3
1
2
f ( x) x 3 3 x 3 5 x x (3 x) (5 x)
f ( x)dx [ x
3
2
1
2
1
3
1
3
1
3
(3 x) (5 x) ]dx
1
3
4
3
1
3
4
3
2x
3
3
3 x 5 x C
3
4
4
3
2 3 3 34 3 4
5 3 4
x
x 3
x C
3
4
4
5/15/2015
13
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số:
f( x)(3 2 )
x
Giải
x
2
f ( x) (3 2 ) (3 ) 2.3 .2 (2 )
x
x
x
9 2.6 4
x
Vậy
5/15/2015
x 2
x
x 2
x
x
x
x 2
x
9
6
4
f ( x)dx
2.
C
ln 9
ln 6 ln 4
14
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:
sin x 2
f( x)
2
3 sin x
3
Giải
sin x 2 sin x 2 1
f ( x)
2
2
3 sin x
3
3 sin x
3
Vậy
2
1
2
sin x
dx
cos
x
cot
x
C
2
3 3 sin x
3
3
5/15/2015
15
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:
x
x
f ( x ) 8 sin
6 sin
3
3
Giải
x
3 x
f ( x) 8 sin 6 sin
3
3
3
Vậy
x
3 x
2(3 sin 4 sin ) 2 sin x
3
3
f ( x)dx (2 sin x)dx
2( cos x) C
2 cos x C
5/15/2015
16
Bảng các nguyên hàm mở rộng
a 0
1
sin( ax b)dx a cos(ax b) C
dx
1
ax b a ln ax b C
1
cos(ax b)dx a sin( ax b) C
1
1
cos 2 (ax b) dx a tan(ax b) C
e
ax b
1 ax b
dx e
C
a
1
1
(
ax
b
)
(
ax
b
)
dx
C ( 1)
a
1
1
1
sin 2 (ax b) dx a cot(ax b) C
5/15/2015
17
Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
1
f( x)
2 x2 x 3
1
1
1
f ( x) 2
2 x x 3 2 ( x 1)( x 3 )
2
2
3
[( x ) ( x 1)]
1 5
1 1
1
2
(
)
3
3
2
5
x
1
( x 1)( x )
x
2
2
1
1
1
dx
dx ]
Vậy f ( x )dx [
3
5 x 1
x
2
1
[ln x 1 ln x 3 / 2 C ]
5
1
x 1
ln
C
5/15/2015
5 x 3/ 2
18
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số:
f( x)
Giải
f ( x)
1
2 sin x cos x
1
2 [1 cos( x
Vậy
5/15/2015
4
)]
1
2 sin x cos x
1
2 2 cos( x
1
4
)
x
2 2 sin ( )
2 8
2
dx
1
x
f ( x ) dx
cot( ) C
2 8
2 2 sin 2 ( x )
2
2 8
1
19
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của hàm số:
f ( x ) e x e x 2dx
Giải
x
2
x
2 2
x
2
f ( x ) e x e x 2 (e e ) | e e
x
2
Xét e e
x
2
x
2
x
2
|
x x
0
x0
2
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
f ( x) e e f ( x)dx (e e )dx 2(e e ) C
Xét
x
2
e e
x
2
x
2
x
2
0 x0
x
2
x
2
x
2
x
2
f ( x) e e f ( x)dx (e e )dx 2(e e ) C
5/15/2015
20
- Xem thêm -