Tài liệu Bài giảng-hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 1 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa 1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng: TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa 1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1j xj + . . . + a1n xn = b1     .................................... ... ...  ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij xj + . . . + ain xn = bi (1)   .................................... ... ...    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amj xj + . . . + amn xn = bm với aij ∈ K , bi ∈ K , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; x1 , x2 , . . . , xn là các biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29 Khái niệm tổng quát TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Định nghĩa 1 CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n (K ) được gọi là ma trận   a11 a12 . . . a1j . . . a1n   ... ... ... ... ... ...     a a . . . a . . . a AB =  i1 i2 ij in    ... ... ... ... ... ...   am1 am2 . . . amj . . . amn  của hệ (1). Ma trận b1 ... bi ... bm       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n (K ) được gọi là ma trận   a11 a12 . . . a1j . . . a1n   ... ... ... ... ... ...     a a . . . a . . . a AB =  i1 i2 ij in    ... ... ... ... ... ...   am1 am2 . . . amj . . . amn  của hệ (1). Ma trận b1 ... bi ... bm       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2      Nếu đặt X =  .  và B =  .  thì hệ (1) được viết dưới dạng  ..   ..  xn bm ma trận Am×n Xn×1 = Bm×1 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n (K ) được gọi là ma trận   a11 a12 . . . a1j . . . a1n   ... ... ... ... ... ...     a a . . . a . . . a AB =  i1 i2 ij in    ... ... ... ... ... ...   am1 am2 . . . amj . . . amn  của hệ (1). Ma trận b1 ... bi ... bm       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2      Nếu đặt X =  .  và B =  .  thì hệ (1) được viết dưới dạng  ..   ..  xn ma trận Am×n Xn×1 bm = Bm×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n (K ) được gọi là ma trận   a11 a12 . . . a1j . . . a1n   ... ... ... ... ... ...     a a . . . a . . . a AB =  i1 i2 ij in    ... ... ... ... ... ...   am1 am2 . . . amj . . . amn  của hệ (1). Ma trận b1 ... bi ... bm       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2      Nếu đặt X =  .  và B =  .  thì hệ (1) được viết dưới dạng  ..   ..  xn bm ma trận Am×n Xn×1 = Bm×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n (K ) được gọi là ma trận   a11 a12 . . . a1j . . . a1n   ... ... ... ... ... ...     a a . . . a . . . a AB =  i1 i2 ij in    ... ... ... ... ... ...   am1 am2 . . . amj . . . amn  của hệ (1). Ma trận b1 ... bi ... bm       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2      Nếu đặt X =  .  và B =  .  thì hệ (1) được viết dưới dạng  ..   ..  xn bm ma trận Am×n Xn×1 = Bm×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có
T nghiệm 0 0 . . . 0 và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa    Véc-tơ α =   α1 α2 .. .    , αi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ  αn (1) nếu Aα = B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa    Véc-tơ α =   α1 α2 .. .    , αi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ  αn (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa    Véc-tơ α =   α1 α2 .. .    , αi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ  αn (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Hệ phương trình Cramer TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Định nghĩa CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1i xi + . . . + a1n xn = b1     .................................... ... ...  ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + aii xi + . . . + ain xn = bi (2)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    an1 x1 + an2 x2 + . . . + ani xi + . . . + ann xn = bn trong đó A = (aij ) ∈ Mn (K ) và detA 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý |Ai | , i = 1, 2, . . . , n trong đó định |A| thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
T B = b1 b2 . . . bn Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất xi = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý |Ai | , i = 1, 2, . . . , n trong đó định |A| thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
T B = b1 b2 . . . bn Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất xi =      |A| =     a11 ... ai1 ... an1 a12 ... ai2 ... an2 ... ... ... ... ... TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a1i ... aii ... ani ... ... ... ... ... a1n ... ain ... ann           CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý |Ai | , i = 1, 2, . . . , n trong đó định |A| thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
T B = b1 b2 . . . bn Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất xi =      |A| =     a11 ... ai1 ... an1 a12 ... ai2 ... an2 ... ... ... ... ... TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a1i ... aii ... ani ... ... ... ... ... a1n ... ain ... ann            ⇒ |Ai | =          a11 ... ai1 ... an1 a12 ... ai2 ... an2 CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ... ... ... ... ... b1 ... bi ... bn ... ... ... ... ... a1n ... ain ... ann TP. HCM — 2011.           6 / 29