Tài liệu Bài giảng giải tích 2 tích phân kép

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 3: Tích phân kép • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) [email protected] Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép 0.2 – Tọa độ cực 0.3 – Ứng dụng hình học 0.4 – Ứng dụng cơ học I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f  f ( x, y ) giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn). Tìm thể tích vật thể. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y ) giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn). giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D Tìm thể tích vật thể. 1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, ..., Dn. Có diện tích tương ứng là S D1 , S D2 ,..., S Dn . 2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm M i ( xi , yi )  S Di n 3) Thể tích của vật thể: V   f ( M i )  S Di  Vn i 1 4) V  limVn n I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa tích phân kép Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D. Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có) n  I   f ( x, y )dxdy  lim   f ( M i )  S Di  n  i 1  D Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân kép 1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này. 2) S D   1dxdy D 3)   f ( x, y )dxdy   f ( x, y ) dxdy D D 4)   f ( x, y )  g ( x, y )  dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D D D 5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau:  f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y ) dxdy D D1 D2 6) ( x, y )  D, f ( x, y )  g ( x, y )   fdxdy   gdxdy D D I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2 2 Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y )  16  x  2 y giới hạn dưới bởi hình vuông: R  [0,2]  [0,2] giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau: a) Chia R thành 4 phần bằng nhau; b) Chia R thành 16 phần bằng nhau; c) Chia R thành 64 phần bằng nhau; d) Chia R thành 256 phần bằng nhau; e) Tính thể tích của vật thể. 4 V  Vn   f ( M i )  S Di i 1 S Di 1,i 1,...,4. V  f (1,1)  f (1, 2)  f (2,1)  f (2, 2) V  13  7  10  4  34. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cách tính (Định lý Fubini) Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D. y=y2(x) y=y1(x) a b 1) Giả sử D xác định bởi: a  x  b   y1 ( x)  y  y2 ( x) b y2 ( x ) a y1 ( x ) I   f ( x, y )dxdy   dx D  f ( x, y ) dy I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini) x=x1(y) d x=x2(y) c 2) Giả sử D xác định bởi: c  y  d   x1 ( y )  x  x2 ( y ) d x2 ( y ) c x1 ( y ) I   f ( x, y )dxdy   dy D  f ( x, y )dx I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải câu e) 0  x  2  0  y  2 2 2   2 2 0 0   Tính thể tích của vật thể. V   16  x 2  2 y 2 dxdy   dx  16  x 2  2 y 2 dy R 2 3 2 2 16  y    (16  x ) y  2  dx    32  2 x 2  dx  48 3 3 0 0 0 2 Ví dụ Tính tích phân kép I   xydxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D y  2  x 2 , y  x. 2  x  1  2 x  y  2  x 1 2 x 2 2 x I    xy  dxdy   dx  D 2 2  2 x  y   x  2  2  x 1  xy dy dx  (2  x 2 ) 2 x2    x  x dx 2 2  2  1 Ví dụ Tính tích phân kép I   ( x  y )dxdy , trong đó D là tam giác OAB, với D O (0,0), A(1,1), B (2,0). 0  x  2  0  y  ? Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2 A D1 I       D2 B D D1 D2 1 x 2 2 x 0 0 1 0 I   dx  ( x  y )dy   dx  ( x  y )dy Nếu lấy cận y trước, x sau thì không cần chia D