Tài liệu Bài giảng giải tích 2 tích phân bội ba

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) [email protected] Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 0.2 – Tọa độ trụ 0.3 – Tọa độ cầu 0.4 – Ứng dụng hình học 0.5 – Ứng dụng cơ học I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f  f ( x, y, z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn E Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: E1 , E2 ,..., En . Thể tích tương ứng mỗi khối V ( E1 ),V ( E2 ),...,V ( En ). Trên mỗi khối Ei lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi , zi ). n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  V ( Ei ) i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y, z )dxdydz E được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tích phân bội ba 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này. 2) VE   dxdydz E 3)    f ( x, y, z )dxdydz   f ( x, y, z )dxdydz E E 4)  ( f  g )dxdydz   f dxdydz   gdxdydz E E E 5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 không dẫm lên nhau:  fdxdydz   fdxdydz   fdxdydz E E1 E2 6) ( x, y, z )  E , f ( x, y, z )  g ( x, y, z )   f   g E E Định lý (Fubini) I   f ( x, y, z )dxdydz E Phân tích khối E: z  z2 ( x, y ) Chọn mặt chiếu là x0y. Mặt phía dưới: z  z1 ( x, y ) Mặt phía trên: z  z 2 ( x, y ) Hình chiếu: Pr0 xy E  D z  z1 ( x, y ) I   f ( x, y, z )dxdydz E  z2 ( x , y )      f ( x, y, z )dz dxdy D  z1 ( x , y )  Hình chiếu: D Ví dụ Tính tích phân bội ba I   ( x  z )dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x 2  y 2  1, z  2  x 2  y 2 , z  0 Hình chiếu của E xuống 0xy: D : x2  y 2  1 Mặt phía trên: z2 ( x, y )  2  x 2  y 2 Mặt phía dưới: z  0  2 x 2  y 2  I     ( x  z )dz dxdy  x 2  y 2 1   0 2 x 2  y 2  z2  I    xz   2 x 2  y 2 1  0 dxdy 2 2 2   (2 x y )   I    x(2  x 2  y 2 )  dxdy 2 x 2  y 2 1   (2  x 2  y 2 ) 2 I   dxdy 2 x 2  y 2 1 2 1 0 0 I   d  2  r  2 2 2  r  dr  7 6 Đổi sang tọa độ cực. Ví dụ Tính tích phân bội ba I   zdxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E y  1  x, z  1  x 2 và các mặt phẳng tọa độ, (phần z  0 ) Hình chiếu của E xuống 0xy: Tam giác OAB 2 Mặt phía trên: z2 ( x, y )  1  x Mặt phía dưới: z  0 1 x 2  I     zdz dxdy OAB  0  B A A 1 x 2  I     zdz dxdy OAB  0   2 1 x2  z dxdy I     OAB  2 0   O 1  x  dxdy 2 2 I   2 OAB 1 1 x 0 0 I   dx  1  x  dy 2 2 2 11  60 B Ví dụ Tính tích phân I   (2 x  3 y )dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E y  x , z  1  y, x  0, z  0. Mặt phía trên: z 1 y Mặt phía dưới: z  0 Hình chiếu của E xuống 0xy: 1 y  I      2 x  3 y  dz dxdy D 0  1 y I   (2 x  3 y ) z 0 dxdy  D I     2 x  3 y  (1  y ) dxdy D 1 1 0 x I   dx  11 I 60   2 x  3 y  (1  y) dy Ví dụ Tính tích phân I   ( z  1)dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x  y 2 , z  x, z  0, x  1. Mặt phía trên: zx Mặt phía dưới: z  0 Hình chiếu của E xuống 0xy: x  I     ( z  1)dz dxdy D 0  x  2  z  I     z  dxdy  D  2  0   x2  I     x dxdy D 2   x2  I   dy    x dx 1 y2  2  1 I 1 38 35 II. Toạ độ trụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. M được xác định duy nhất bởi bộ (r ,  , z ) z (r ,  , z ) được gọi là tọa độ trụ của điểm M. M ( x, y , z )  Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ: z  x y r M1 ( x, y,0)  x  r  cos    y  r  sin   zz  xr' x' xz' J  yr' y' zr' z' y z'  r z z' Đổi biến sang tọa độ trụ.  x  r  cos    y  r  sin   zz  I   f ( x, y, z )dxdydz E Mặt phía dưới: z  z1 (r ,  ) Mặt phía trên: z  z2 (r ,  ) z  z2 ( r ,  ) Hình chiếu: D Xác định cận r ,  của D: 1    2 D:  r1  r  r2 z  z1 (r ,  ) 2 r2 z2 ( r , ) 1 r1 z1 ( r , ) I   d  dr  f (r cos  ,r sin  , z )  r  dz Ví dụ Tính tích phân I   x 2  y 2 dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z  4, z  1  x 2  y 2 , x 2  y 2  1. Mặt phía trên: z  4 Mặt phía dưới: z  1 r2 2 2 Hình chiếu xuống 0xy: D : x  y  1 0    2 D:  0  r 1 2 1 4 0 0 1 r 2 I   d  dr  r  r  dz 2 2 1   2 4 I   d  dr r z 2   d  r 2 (3  r 2 ) dr  12  1r  0 0 0 0 5 1   Ví dụ Tính tích phân I   zdxdydz E 2 trong đó E là vật thể giới hạn bởi z  x  y 2 , z  2  x 2  y 2 , x 2  y 2  1. Mặt phía trên: z  2  r 2 2 Mặt phía dưới: z  r Hình chiếu của E xuống 0xy: D : x2  y 2  1 Cận của D: 0    2 D:  0  r 1 2 2 r 1 2 2 1 I   d  dr  z  r  dz   d  r 2 0 0 0 r 0 Ví dụ   Tính tích phân I   x 2  z 2 dxdydz E 2 2 2 r z 2 dr  3 r2 trong đó E: 2 y  x 2  z 2 , y  2. Chiếu xuống x0z Mặt trên: y  2 r2 Mặt dưới: y  2 Hình chiếu: D : x 2  z 2  4 2 2 2 0 0 r2 / 2 I   d  dr  r 2  r  dy y II. Toạ độ cầu --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. M được xác định duy nhất bởi bộ ( ,  ,  ) z M ( x, y, z )  ( ,  ,  ) được gọi là tọa độ cầu của điểm M.   Công thức đổi biến sang tọa độ cầu: z   cos  y  x r   sin  M1(x, y,0)  x    sin   cos    y    sin   sin   z    cos   x' x' x' J  y' y' z ' z' y' | J |  2  sin  z' II. Toạ độ cầu --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi:  1     2   1    2      2  1 I   f ( x, y, z )dxdydz E 2 2 2 1 1 1   d  d  f (  sin  cos  ,  sin  sin  ,  cos  )   2 sin   d  Chú ý: 0   0    2 or       0    