Tài liệu Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (2)

Company LOGO CHÀO MỪNG CÁC EM ĐÃ ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI ! CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG HỌC TẬP ! www.company.com ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Thể tích vật thể hình học 2 ● Diện tích hình phẳng y A M B N x b a Khi x chạy từ a đến b thì MN = f(x) “quét” nên diện tích S của hình phẳng aABb và b S   f ( x)dx x ( f(x)≥0, x[a,b] ) a 1/ Thể tích vật thể hình học y Khi x chạy từ a đến b thì diện tích S(x) “quét” nên thể tích V của vật thể và b x O a x V   S ( x)dx ( S(x) liên tục trên [a,b] ) a b S(x) 3 2/ Thể tích khối chóp, khối nón Xét khối chóp (khối nón) đỉnh O, diện tích đáy là S, chiều cao OI = h. Chọn trục Ox hướng theo chiều từ O đến I S ( x) x 2  2 (0  x  h) S h O O Do đó M H N h S V 2 h h 2 x  dx 0 3 h S x  2 h 3 D C 0 1  Sh 3 I I M A B 4 3/ Thể tích khối chóp cụt, khối nón Xét khối chóp cụt (khối nón cụt) có diện tích hai đáy là S và S’, chiều cao II’=h. Chọn trục Ox theo hướng từ O đến I. Đặt OI=a, OI’=b. b-a=h. S ( x) x 2  2 (a  x  b). Do đó S b O b O V M H N  h D C I I M A B 3 b S x S 2  x dx b2 3 b 2 a  a S 3 3 b a  2  3b S 2 2 ( b  a )( b  ab  a ) 2 3b hS  a a2   \  1   2   vi 3  b b    h  S  S .S /  S / 3  S/ a    S b  5 4/ Thể tích của vật thể tròn xoay Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=f(x), y=0, x=a, x=b quay quanh trục Ox taọ thành một vật thể tròn xoay (T) y Tính thể tích của (T) f ( x) x O x a b y Thiết diện của (T) và mặt phẳng vuông góc với Ox là hình tròn có bán kính R=f(x) nên diện tích thiết diện là S(x) = [f(x)]2. Do đó thể tích của khối tròn xoay (T) là: y  f ( x) b V    [ f ( x)]2 dx f ( x) a x O a x b b V    y 2 dx a 6 5/ Thể tích của khối cầu y Khối cầu bán kính R là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn giới hạn bởi đường tròn x -R O R (C ) : x 2  y 2  R2 quanh trục Ox Do đó có thể tích là: R R R R V    y 2 dx    ( R 2  x 2 )dx R  2 x   3 2 R3     R x      2R   3  R  3   3 4   R3 3 M R H S 7 6/ Ví dụ: Tính thể tích của hình tròn xoay sinh ra khi quay hình giới hạn bởi: a) y  e , y  0, x  1, x  2 x y b) quanh trục Ox. 1 2 x , y  2, y  4, x  0 2 quanh trục Oy. y Quay quanh Ox: b V    y 2 dx a x Quay quanh Oy: O b 2 V    (e ) dx x 2 1  2x   4 1  e   e   (dvtt ) 2 2 e 1 2 V    x 2 dy a 4 V    2 ydy   y 2 4 2 2  12 (dvtt ) 8 b b V   S ( x)dx a V    [ f ( x)] dx 2 a 9 Xin trân thành cảm !