Tài liệu Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (12)

NGUYÊN HÀM 1) Định nghĩa  Hàm số F(x) được gọi là nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn khoảng (a; b) nếu với mọi số x ẻ (a; b) ta cú F’(x) = f(x)  Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thỡ ta phải cú thờm F’(a+) = f(a) và F’(b-) = f(b) NGUYÊN HÀM 2 + C (C là  Mọi hàm số dạng F(x) = x Nhận xét: hằng số tuỳ ý) đều là nguyên hàm của f(x) = 2x và mọi hàm số G(x) = tgx + C (C là hằng số tuỳ ý) đều là nguyên hàm của g(x) = 1/cos2x  Nếu F(x) là một nguyên hàm của 2) Định lí: hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì  a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó ĐỊNH LÝ  b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số. Nói cách khác:  F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b) suy ra F(x) + C với C  R là họ các nguyên hàm của f(x). ĐỊNH LÝ  Người ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx đọc là tích phân bất định của f(x) hay họ các nguyên hàm của f(x). Như vậy, theo định nghĩa f(x)dx = F(x) + C trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C là hằng số tuỳ ý. TÍNH CHẤT  3) Các tính chất của nguyên hàm  a) (f(x)dx)’ = f(x) Tính chất này suy ra từ định nghĩa. Chú ý rằng f(x)dx là họ các nguyên hàm có dạng F(x) + C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C là một hằng số tuỳ ý. Do đó bao giờ ta cũng có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x). Đó là kí hiệu (f(x)dx)’  b) af(x)dx = af(x)dx (a ≠ 0) CHỨNG MINH af(x)dx theo định nghĩa là các họ nguyên hàm của hàm số af(x). Mặt khác nều F(x) là một Chứng minh: nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta có: af(x)dx = a(F(x) + C) = aF(x) + C  Vì (aF(x))’ = aF’(x) = af(x) nên aF(x) là một nguyên hàm của af(x). Vì a ≠ 0 và C là một hằng số tuỳ ý, nên aC cũng là một hằng số tuỳ ý. Do đó đẳng thức trên chứng tỏ rằng af(x)dx cũng là họ các nguyên hàm của hàm số af(x). Vậy ta có: af(x)dx = af(x)dx (a ≠ 0)  c) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx chứng minh     tương tự tính chất 2 d) f(t)dt = F(t) + C  f(u(x))u’(x)dx = F(u(x)) + C Nói cách khác: Nếu F(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) thì F(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số f(u(x))u’(x) Chứng minh: Chỉ cần chứng minh rằng (F(u(x)))’ = f(u(x))u’(x) Thật vậy, đặt u = u(x), theo quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp ta có (F(u(x)))’ = F’(u)u’(x). Vì theo giả thiết F’(t) = f(t) nên F’(u) = f(u) = f(u(x)). Do đó: (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)  4) Sự tồn tại của nguyên hàm  Ta thừa nhận định lí sau:  Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Từ đây trở đi, ta giả thiết tất cả các hàm số được xét đều liên tục, đo đó chúng đều có nguyên hàm.  5) Bảng các nguyên hàm ( SGK ) CỦNG CỐ BÀI HỌC Tìm c¸c tÝch ph©n bÊt ®Þnh sau: a)  x dx 5  4 d )  ( x   sin x)dx x 3 a. b) 4dx x3 c) 3 2  xdx x3  1 e)  2 dx x TIẾT HỌC KẾT THÚC