Mô tả:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN
BÀI 2 :
GIỚI HẠN HÀM SỐ
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN
Gv: Trần Xuân Thiện
Trường THPT Nguyễn Huệ
Thái Nguyên, ngày 12 tháng 01 năm 2013
Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
TẠI MỘT ĐIỂM
1.Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
3. Các ví dụ
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1.Định nghĩa
x 4
Hoạt động 1: Cho hàm số f x
x2
2
và hai dãy số:
2n 3
9 4n
''
x
; xn
n
2n
'
n
?1: Tính lim xn’ và lim xn”.
?2: Tính f(x’n), f(x”n)
Rút gọn biểu thức f(x)
?3: Tính lim f(xn’) và lim f(xn”)
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
?
Với dãy số (xn) bất kì, xn ≠ 2 và
lim xn = 2
thì lim f(xn) = ?
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Như vậy với dãy số bất kì (xn), xn ≠ 2 và xn 2, ta
luôn có f(xn) 4.
(Với tính chất thể hiện trong hoạt động 1, ta nói hàm
số f ( x) x 4 có giới hạn là 4 khi x dần tới 2)
2
x2
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Dưới đây, thay cho các khoảng (a; b), (a; +),
(-; b), hoặc (-; +) ta viết chung là khoảng K.
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số y = f(x) xác
định trên K hoặc trên K\{xo}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi
x dần tới xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K\{xo}
và xnx0, ta có f(xn) L.
Kí hiệu: lim f x L hay f(x) L khi x x0
x x0
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2
2x 2x
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) =
x 1
CMR: lim f ( x) 2
x 1
Giải. Hàm số đã cho xác định trên \ 1
-Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa
mãn xn≠ 1 và xn 1 khi n +
Ta có:
2
2x x 1
2 xn 2 xn
lim f ( xn ) lim
lim
xn 1
Do đó lim f ( x) 2
x 1
n
n
x n 1
lim2 x
n
2
(Lưu ý rằng, mặc dù f(x) không xác
định tại x = 1, nhưng hàm số lại có giới
hạn là 2 khi x 1).
Tính giới hạn
hàm số bằng
định nghĩa:
-Lấy dãy số (xn)
bất kì, xn ≠ x0 ,
xnx0.
-Tính lim f(xn)
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
NHẬN XÉT:
lim x x0 ; lim c c
x x0
x x0
lim x n x0n ; lim cx n c.x0n với c là hằng số.
x x
x x
0
0
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2.Định lý giới hạn hữu hạn:
Định lí 1:
a) Giaûsöûlim f x L vaølim g x M khi ñoù
*
*
*
*
x x0
x x0
lim f x g x
LM
lim f x g x
LM
lim f x .g x
L .M
x x0
x x0
x x0
lim
x x0
f x
g x
L
M
Neáu M 0
f x 0
b) Neá
u
thì L 0 vaølim f x L
x x0
f x L
xlim
x0
( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang
tìm giới hạn, với x ≠ x0 )
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x)
2 x
2
Bài Giải:
Theo định lí 12 ta có
2
x 1)
x 1 lim(
x 3
lim f ( x) lim
x 3
x 3 2 x
lim 2 x
x 3
lim x.lim x lim1 3.3 1 5 3
x 3
x 3
x 3
x 3 x 3
lim 2.lim x
lim 2. lim x
3
2 3
x 3
x 3
lim x 2 lim1
x 3
x 3
.Tìm
lim f ( x)
x 3
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
x x2
Ví dụ 3: Tính lim
x 1
x 1
Bài giải
Vì (x - 1)0 khi x1, nên ta chưa thể áp dụng
định lí 1 nêu trên .
2
Nhưng với x 1 ta có x x 2 ( x 1)( x 2) x 2
2
Do đó :
x 1
x 1
x2 x 2
( x 1)( x 2)
lim
lim
lim( x 2) 3
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 4 : Tính các giới hạn sau :
x 3
1
1
1
x 3
lim
lim
a) lim 2
x 3 x 3 x 5
x 3 x 5
x 3 x 2x 15
35 8
x2 1
b) lim 2
x 1 x 3x 2
(x 1)(x 1)
x 1
lim
lim
2
x 1 x 1 x 2
x 1 x 2
x 3 2
lim
c) lim
xx
11
x 1
x 1
x 3 2
x 3 2
x 1 x 3 2
xx 11
11
11
lim
lim
lim
lim
11
xx
xx 11 xx 33 22 xx11 xx3322 4 4
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.Củng cố và dặn dò:
-Qua bài học cần nắm được định nghĩa giới hạn hữu hạn
của hàm số tại một điểm.
-Định lý giới hạn hữu hạn của hàm số
- Đọc trước phần tiếp theo của bài.
2.Bài tập về nhà: 1,2,3 (SGK)
x 3
1/ lim 2
x 3 x 2x 15
x3 1 1
3 / lim
x 0
x2 x
2 x 2
2 / lim 2
x 7
x 49
x 3 x 2 2x 8
4 / lim
x 2
x 2 3x 2
- Xem thêm -