Tài liệu Bài giảng bài định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm giải tích 11 (7)

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a)Bài toán tìm vận tốc tức thời Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os. s’ O s(t) s(to) Mo {Tại to} s M {Tại t} Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t). Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm to ? Giải Tại thời điểm to chất điểm đi được quãng đường là s(to) còn tại thời điểm t chất điểm đi được quãng đường là s(t). Vậy trong khoảng thời gian từ to đến t, chất điểm đi được quãng đường là: MMo = s(t) – s(to) s (t )  s (to ) Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số t  t0 Là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm. BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a)Bài toán tìm vận tốc tức thời Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os. O s’ s(t) s(to) Mo {Tại to} s M {Tại t} Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t). Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm to ? Giải Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chất điểm. Khi t – to càng nhỏ (tức là t càng gần to ) thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác mức độ nhanh chậm của chuyển động tại to. Vì vậy người ta coi giới hạn (nếu có) lim t  to s( t )  s( t o ) t  t0 Là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a)Bài toán tìm vận tốc tức thời Vận tốc tức thời tại thời điểm to là: v ( to )  lim t t o s( t )  s( t o ) t  t0 b)Bài toán tìm cường độ tức thời (SGK) Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to là: I ( to )  lim t t o Bài toán tìm giới hạn dạng f ( x )  f ( xo ) lim (*) x  xo x  x0 Giới hạn(*) nếu tồn tại hữu hạn thì được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại xo. Q( t )  Q( t o ) t  t0 BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (a; b) và xo (a;b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim x  xo f ( x )  f ( xo ) thì giới hạn đó được gọi x  x0 là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo và kí hiệu là f ’(xo) (hoặc y’(xo) ), tức là: f ( x )  f ( xo ) f '( xo )  lim x  xo x  x0 Chú ý: x  x  xo Là số gia của đối số tại xo y  f ( x )  f ( xo )  f ( xo  x )  f ( xo ) Là số gia của hàm số ứng với số gia x tại xo y Khi đó: y '( xo )  lim x 0 x BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x2. Hãy tính y’(- 2) bằng định nghĩa? Hướng dẫn: *y  f  2  x   f  2  2   2  x   4  x  4  x  y *  4  x x y * lim  lim  4  x   4 x 0 x x 0 KL : y '  2   4 BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Bước 1: Giả sử x là số gia của đối tại xo, tính y= f(xo + x) – f(xo) y Bước 2: Lập tỉ số x y Bước 3: Tìm lim x 0 x Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số 1 a ) f ( x )  2 taïi xo  1 x b) g( x )  x  1 taïi xo  2 BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số 1 a ) f ( x )  2 taïi xo  1 x Giải + Giả sử x là số gia của đối số tại xo= 1 y  f (1  x )  f (1)  + 1 1  x  2  x (1  x )2 y 2x  ( x )2 + lim  lim x  0 x (1  x ) 2 x 0 x 2  x  2 x 0 (1  x )2  lim Vậy f '(1)  2 + Giả sử x là số gia của đối số tại xo= 2 1 2x  ( x )2  (1  x )2 y 2x  ( x )2 x b) g( x )  x  1 taïi xo  2 Ta có: y  1  x  1 y 1  x  1  x x y 1  x  1 + lim  lim x 0 x x 0 x x  lim x  0 x ( 1  x  1) 1 1  lim  x 0 1  x  1 2 + 1 Vậy g '( 2)  2 BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó. Chú ý: * Hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không có đạo hàm tại xo * Mệnh đề đảo của định lý 1 không đúng.  x 2 neá ux 0 f ( x )  Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số  ux<0 x neá liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Hướng dẫn giải Ta coùlim f ( x )  lim f ( x )  0 neâ n f ( x ) lieâ n tuïc taïi x = 0. x 0 x 0 y  2 x Maë t khaù c lim  lim 0 x 0 x x 0 x vaø lim x 0 y x  lim 1 x x 0 x Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.(đpcm) Củng cố Câu 1 : Số gia của hàm số y = 3x2 – 1 tại điểm x0 = 1 ứng với số gia x = - 0,2 là : A. 1,32 B. - 0,08 C. - 1,08 D. 0,92 Câu 2 : Đạo hàm của hàm số y = x2 + 2x tại điểm x0 = -3 là : A. 4 C. - 3 B. 3 Câu 3 : Đạo hàm của hàm số y  A. -1/2 B. 2 Câu 4 : Đạo hàm của hàm số y  A.1/4 B. 3/8 D. - 4 1 tại điểm xo   2 là : x C. 1 x 1 x C.-2 1 2 D. 1/2 tại điểm x0 = - 3 là : D. 1 BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa 4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.