Tài liệu Bài giảng bài định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm giải tích 11 (4)

Chương V. ĐẠO HÀM §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Kiểm tra bài cũ Tính giới hạn HD. x2  4 1) A  lim . x 2 x  2  x2  9  2) B  lim  . x   3  x  3  x2  4 (x  2)(x  2) 1) A  lim  lim  lim (x  2)  4. x2 x 2 x  2 x 2 x 2  x2  9  (x  3)(x  3) 2) B  lim   lim  lim (x  3)  6.  x 3 x   3  x  3  x   3 x  3 Chương V. ĐẠO HÀM §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a. Bài toán tìm vận tốc tức thời Tại thờiM điểm viên ở 0vị) trí O. 0 M1t = 0f (t 1) bif (t v tb  O f(t0) M0 M0 M1 M1 f(t1) . Đến thời  điểm t t = t0 tviên 1  t 0bi ở vị trí M đã đinhỏ được đường 0 và Nếu t càng thì vquãng càng phản tb OM = f(t0). ánh 0chính xác hơn sự nhanh chậm Đến thời bi điểm = t1điểm viên bi vị trí của viên tại tthời t0. ởNgười M và giới đã đihạn được ta 1xem của quãng vtb khi đường t1 dần OM tới t10 =làf(tvận 1). tốc tức thời của viên bi tạitừthời hiệu là Tính thờiđiểm điểm tt00 và đếnkíthời điểm v(t t (t0). < t ) viên bi đã đi được quãng ) 0)fvà (t 0mất ) đường M0M1 = f(tf1)(t–1f(t v(t )  lim . 0 khoảng thời gian – tt0. Tính t1  t 0 t = tt11  0 vận tốc trung bình của viên bi trên quãng đường M0M1. 1 y  0 1 b. Bài toán tìm cường độ tức thời I tb  Q(t)  Q(t 0 ) . t  t0 Q(t)  Q(t 0 ) I(t 0 )  lim . t  t0 t t0 Nhiều vấn đề trong toán học, vật lí, hoá học, sinh Vận Cường dòng phản ứng học,tốc ... tức dẫnthời tới bài toánđộtìm giới Tốc hạn độ dạng điện tức thời hóa học tức thời f (x)  f (x 0 ) lim . f (t )  f (t0 ) s(t )  s(t0 ) x  x 0 xQ(tx)0 Q(t0 ) C ( t )  lim I (t0 )  lim v(t0 )  lim 0 t t t t0 t t0 t  t0 t  t0 t  t0 0 lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc khoảng đó. f(x) - f(x 0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x x - x0 dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f ’(x0) hoặc y’(x0), nghĩa là: f(x) - f(x0 ) f'(x0 ) = lim (1). x  x0 x - x0 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm f(x) - f(x0 ) f'(x0 ) = lim (1). x  x0 x - x0 Chú ý 1) f ’(x0) (nếu có) là một số. 2) Nếu giới hạn viết ở vế phải (1) không tồn tại hoặc bằng vô cực thì f(x) không có đạo hàm tại điểm x0. 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm f (x)  f (x 0 ) f '(x 0 )  lim (1). x  x0 x x0 Cho f (x)  x 2 , tính f '(2), f '(3). f (x)  f (2) x2  4 f '(2)  lim  lim  lim (x  2)  4. Lưu ý:x Có thể áp dụng (1) để tínhxf’(x ) x  2 x  2 2 x  2 2 0 2 2 - Áp dụng (1). x  x 00  sau đó0 )lần lượt thay x = 2, x0 (x =tra -3 để được 2xbài f- Xem '(x  lim lim  ) cũ! 2x 0 lại các bàitập phần kiểm 09 f (x) f (  3) x  x0 x  x0 x0 f f'(’(2) 3) vàlim x lim fx’(-3). x 3 x 3 x 3 x  3  f '(2)  4, f '(3)  6.  lim ( x  3)  6. Ví dụ 1. HD x  3 Đặt x  x  x 0 gọi là số gia của biến số tại x0 , và đặt y  f  f(x 0  x)  f(x 0 ) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Ta có x  x 0  x và y  f  f (x 0  x)  f (x 0 )  f (x)  f (x 0 ). Từ định nghĩa f ( x)  f ( x0 ) f '( x0 )  lim x x x  x0 0 f (x 0  x)  f (x 0 ) y  f (x 0 )  lim  lim . x x 0 x 0 x 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm f (x)  f (x 0 ) f '(x 0 )  lim (1). x  x0 x x0 f (x 0  x)  f (x 0 ) y f '(x 0 )  lim  lim (2). x x 0 x 0 x 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm CHÚ Ý 3) Số x không nhất thiết chỉ mang dấu dương. 4) x, y là những kí hiệu, không được nhầm lẫn rằng: x là tích của  với x, y là tích của  với y. Như vậy có thể thay kí hiệu x bởi kí hiệu khác. Công thức ở định nghĩa có thể viết f (x)  f (x 0 ) f '(x 0 )  lim x  x0 x x0 f ( x 0  x )  f (x 0 ) f (x 0 )  lim x x 0 f (x 0  h )  f (x 0 ) f (x 0 )  lim h h 0 f (x 0  t )  f (x 0 ) f (x 0 )  lim ... t t 0 y f '(x 0 )  lim x 0 x 3. Cách tính đạohàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa ta thực hiện 2 bước sau : B1. TÝnh Δy = f(x0 +Δx) – f(x0 ). Δy Δy B2. LËp tØ sè . T×m lim . Δx Δx  0 Δ x (xem thªm SGK trang 149) Ví dụ 2: Cho f (x)  x, tính f '(1). HD. C1. -Tính y: y  f  f (1  x)  f (1) x  1  x  1  . 1  1  x y -Tính lim : x 0 x y 1 1 lim  lim  . x 0 x x 0 1  1  x 2 1  f '(1)  . 2 B1. Tính Δy = f(x 0 +Δx) – f(x 0 ). Δy B2. Tìm lim . C2. Δx 0 Δx f (x)  f (1) f '(1)  lim x 1 x 1 x 1  lim x 1 x  1 x 1  lim x 1 ( x  1)( x  1) 1 1  lim ( ) . 2 x 1 1  x 1 Ví dụ 3. Cho f(x) = . Tính f '(2). x HD. Cách 2.1. Cách Δf = f(x0 +Δx) - f(x0 ) = f(2+Δx) 1 1 - f(2) f(x) - f(2) 1 1 x 2 1 1 Δx f '(2) = = lim = -lim =. lim ( ) = - . = 2 4 x2 + 2 Δxx - 22 x 2(2 2 x+- Δx) x  2 2x Δf 1 1 lim = lim =- . 4 Δx 0 Δx Δx 0 2(2 + Δx) 1 f '(2) = - . 4 Nhận xét: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0, tức là f(x) - f(x 0 ) f '(x 0 ) = lim . x x0 x - x0 Ta có lim (x  x 0 )  0 x x 0  f ( x)  f ( x0 )  x  x0    f ’(x0).0 = 0 lim  f ( x)  f ( x00 )  lim   0. x  x0 x  x0 x  x0   f ( x)  f ( x0 ) hay Vậy xlim f (x)hàm  f (x 0số ) f liên tục tại x 0. x 0 lim x x 0 x  x0  f '(x 0 ) 4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số - Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm x0 . - Một hàm số liên tục tại một điểm có thể có, có thể không có đạo hàm tại điểm đó. - Nếu hàm số y =f(x) gián đoạn tại điểm x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x0 . 4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0 Qua tiết này, HS cần nắm được định nghĩa và cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm f (x)  f (x 0 ) y f (x 0 )  lim  lim . x  x0 x x0 x  0 x BTVN 1- Đọc bài đọc thêm SGK trang 154. 2- BT SGK: Bài 1, 2, 3, 4 trang 156. 3- BT SBT: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 trang 194. Câu hỏi bổ sung Cho f(x) = x4. Tính f ’(x0), với x0 là một số thực.