Tài liệu B splines và ứng dụng trong đồ họa máy tính

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CNTT&TT ép\\ Nguyễn Thanh Hải B-SPLINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Đặng Quang Á. Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Đặt vấn đề ................................................................................................ 1 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 1 3. Hướng nghiên cứu của đề tài ................................................................... 1 4. Những nội dung nghiên cứu chính .......................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 2 6. Ý nghĩa khoa học của đề tài..................................................................... 2 Chƣơng 1 Lý thuyết mô hình hóa hình học .................................................. 3 1.1. Cơ sở của mô hình hóa hình học .......................................................... 3 1.1.1. Các phép biến đổi tọa độ 2D .......................................................... 3 1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất ................................................................. 4 1.1.3. Các phép biến đổi tọa độ 3D .......................................................... 4 1.1.4. Phép ánh xạ .................................................................................... 6 1.1.5. Khung tọa độ .................................................................................. 8 1.2. Đường cong – Curve ............................................................................ 9 1.3. Mặt cong - Surface ............................................................................. 13 1.3.1. Biểu diễn mặt cong....................................................................... 13 1.3.2. Mô hình hóa các mặt cong ........................................................... 14 Chƣơng 2 Đƣờng cong, mặt cong B-Spline................................................. 16 2.1. Thuật toán Casteljau ........................................................................... 16 2.2. Đường cong và mặt cong Bezier ........................................................ 18 2.2.1. Đường cong Bezier ...................................................................... 19 2.2.2. Mặt cong Bezier ........................................................................... 23 2.3. Đường cong B-Spline ......................................................................... 25 2.3.1. Đánh giá đường cong Bezier ........................................................ 25 2.3.2. Đường cong B-Spline ................................................................... 27 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.2.1. Hàm cơ sở B-Spline ............................................................... 27 2.3.2.2. Tính chất của đường cong B-Spline ...................................... 29 2.3.2.3. Đường cong B-Spline đều và tuần hoàn ................................ 30 2.3.2.4. Đường cong B-Spline không tuần hoàn................................. 32 2.3.2.5. Đường cong B-Spline hữu tỷ không đều ............................... 32 2.4. Mặt cong B-Spline .............................................................................. 34 Chƣơng 3 Ứng dụng B-Spline mô hình hóa các vật thể 3D ...................... 35 3.1. Bài toán mô hình hóa các vật thể 3D.................................................. 35 3.2. Phép nội suy và mịn hóa đường cong ................................................ 36 3.2.1. Nối điểm một chiều ...................................................................... 37 3.2.2. Xấp xỉ hóa hai chiều ..................................................................... 38 3.3. Tìm điểm kiểm soát cho đường cong B-Spline .................................. 38 3.4. Vẽ một số đối tượng 3D ..................................................................... 39 3.4.1. Vẽ quả táo..................................................................................... 39 3.4.2. Vẽ lọ hoa ...................................................................................... 44 3.4.3. Vẽ máy bay................................................................................... 46 3.4.4. Giao diện chương trình chính....................................................... 50 KẾT LUẬN .................................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 1.1: Phép biến đổi tọa độ 2D .................................................................... 3 Hình 1.2: Phép biến đối tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động............ 9 Hình 1.3: Biểu diễn đường tròn đơn vị ........................................................... 11 Hình 1.4: Mô hình bề mặt kẻ .......................................................................... 14 Hình 1.5 Mô hình mặt tròn xoay ..................................................................... 15 Hình 1.6: Mô hình mặt trượt ........................................................................... 15 Hình 2.1: Thuật toán Casteljau cho ba điểm ................................................... 17 Hình 2.2: Đường cong Bezier bậc 1, 2, 3........................................................ 20 Hình 2.3: Mặt cong Bezier .............................................................................. 25 Hình 2.4: Các thành phần của đa thức riêng phần .......................................... 26 Hình 2.5: Đường cong B-Spline ..................................................................... 29 Hình 2.6: Mặt cong B-Spline .......................................................................... 34 Hình 3.1 Phép nối điểm và mịn hóa đường cong............................................ 37 Hình 3.2 Xác định đa giác kiểm soát của đường cong B-Spline qua một số điểm đã biết nằm trên đường cong. ................................................................. 38 Hình 3.3: Biểu diễn quả táo............................................................................. 44 Hình 3.4: Biểu diễn lọ hoa .............................................................................. 45 Hình 3.5: Biểu diễn máy bay .......................................................................... 49 Hình 3.6: Giao diện chương trình chính ......................................................... 50 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 1.1: Phép quay 3D quanh các trục tọa độ ................................................ 5 Bảng 2.1: Vector nút đều ................................................................................ 31 Bảng 2.2: Vector nút của đường cong B-Spline bậc 2,3,4 không tuần hoàn .. 32 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Với những tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu cùng các thầy cô giáo trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên, toàn thể các thầy giáo, cô giáo tại Viện Công nghệ thông tin – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu. Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuân lợi cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Đặng Quang Á đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Mặc dù cũng có nhiều cố gắng, nhưng trong luận văn này cũng khó tránh khỏi những thiếu sót, khiếm khuyết. Kính mong sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy, cô và các bạn. Xin chân trọng cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thanh Hải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1. Đặt vấn đề Công nghệ thông tin ngày càng phát triển và đồ họa máy tính là một lĩnh vực công nghệ phát triển rất nhanh. Đồ họa đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau từ khoa học, công nghệ, y tế, kỹ thuật đến giải trí... Đồ họa máy tính phát triển dựa trên các kết quả của hình học họa hình, hình học vi phân cùng với nhiều kết quả toán học khác đặc biệt bao gồm đại số và giải tích. Hiện nay, với sự phát triển của phần cứng máy tính, đồ họa cũng phát triển nhanh hơn, tuy vậy nền tảng của nó vẫn là cơ sở mô hình hóa hình học. Có nhiều bài toán đặt ra trong đồ họa máy tính. Một trong những bài toán cơ bản của nó là xử lý các đường cong và mặt cong. B-Splines là một dạng đường cong và mặt cong trong mô hình hóa hình học đã được nhiều tác giả trên thế giới nghiên cứu. Đề tài này tìm hiểu về B-Splines, từ đó đưa ra một ứng dụng trong đồ họa máy tính, cụ thể là ứng dụng trong bài toán mô hình hóa vật thể 3D. 2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: Cơ sở mô hình hóa hình học, B-Splines, Ứng dụng BSplines trong đồ họa.  Phạm vi: Đề tài tập trung tìm hiểu lý thuyết về B-Splines của mô hình hóa hình học. 3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài  Tổng hợp một số kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi hình học sử dụng trong mô hình hóa hình học. Trong đó tập trung chủ yếu đến các lý thuyết về đường cong, mặt cong và các phép biến đổi tọa độ.  Tìm hiểu lý thuyết mô hình hóa các thực thể hình học bao gồm đường cong và mặt cong. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  Tìm hiểu lý thuyết B-Splines.  Từ những kết quả lý thuyết B-Splines, ứng dụng vào bài toán mô hình hóa vật thể 3D. 4. Những nội dung nghiên cứu chính  Tìm hiểu những kiến thức tổng quan về mô hình hóa hình học.  Tìm hiểu lý thuyết về đường cong B-Splines, mặt cong B-Splines.  Ứng dụng B-Splines vào bài toán mô hình hóa vật thể 3D. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu  Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các thầy cô trong lĩnh vực đồ họa, đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán và các lĩnh vực có liên quan.  Thu thập, nghiên cứu tài liệu từ các giáo trình, bài báo, tạp chí, bài giảng.  Phương pháp thực nghiệm: Cài đặt ứng dụng bằng ngôn ngữ MATLAB. 6. Ý nghĩa khoa học của đề tài Kết quả nghiên cứu của đề tài là đưa ra 1 ứng dụng cụ thể của B-Splines trong bài toán mô hình hóa vật thể 3D. Bên cạnh đó, đề tài cũng đã tổng hợp được các kết quả nghiên cứu cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi hình học sử dụng trong mô hình hóa hình học, đặc biệt là các kết quả về BSplines. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1. Lý thuyết mô hình hóa hình học Chƣơng này dành trình bày về: Các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi hình học sử dụng trong mô hình hóa hình học. Lý thuyết về đường mặt cong và các phép biến đổi tọa độ trong không gian 3D. 1.1. Cơ sở của mô hình hóa hình học 1.1.1. Các phép biến đổi tọa độ 2D Tất cả các phép biến hình trong ĐHMT và mô hình hóa hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi tọa độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay [5]. Xét điểm P'(x', y') là vị trí của điểm P(x, y) sau phép biến đổi tọa độ. Tọa độ (x', y') của điểm P' tương ứng với vector dịch chuyển t(tx, ty) (Hình 1.1a), hệ số tỷ lệ s(sx, sy) (Hình 1.1b); góc xoay θ ngược chiều quay kim đồng hồ (Hình 1.1c) được xác định như sau: x' = x + tx; y' = y + ty (1.1) x' = sxx; y' = syy (1.2) x' = xcosθ – ysinθ; y' = xsinθ + ycosθ (1.3) y y y ’ P (x’,y’) P’(x’,y’) ’ P (x’,y’) r ty P(x,y) θ tx P(x,y) o r P(x,y) x x o α b a x o c Hình 1.1: Phép biến đổi tọa độ 2D 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất Biểu diễn điểm dưới dạng tọa độ đồng nhất cho phép đơn giản hóa và thống nhất hóa việc biểu diễn các phép biến đổi hình học như là phép nhân ma trận. Theo tọa độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều. Ví dụ 1.1: điểm P(x, y , z) trong hệ tọa độ Đề-các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng tọa độ đồng nhất 4 chiều P'(x',y',z',h) theo mối quan hệ: x = x'/h; y = y'/h; z = z'/h (1.4) trong đó h ≠0 là hệ số vô hướng. Mối quan hệ (1.4) dựa trên thực tế, nếu tọa độ Đề-các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P'(x',y',z') theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h. Tổng quát, ta có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.1), (1.2), (1.3) dưới dạng ma trận bởi vector tọa độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P'h và ma trận biến đổi đồng nhất M: P'h = PhM (1.5) trong đó: Ph = (x y 1) ; P'h = (x' ý' 1). Ma trận biến đổi tọa độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau: 1 𝑇= 0 𝑡𝑥 0 1 𝑡𝑦 0 𝑠𝑥 0 ; 𝑆= 0 1 0 0 𝑠𝑦 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ; 𝑅 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 0 1 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 0 0 1 (1.6) 1.1.3. Các phép biến đổi tọa độ 3D Phép biến đổi tọa độ 3D là mở rộng của phép biến đổi tọa độ 2D. Tọa độ (x', y', z') của điểm P(x, y, z) sau phép biến đổi tọa độ 3D, tương ứng với vector dịch chuyển t(tx, ty, tz); hệ số tỷ lệ s(sx, sy, sz) được xác định như sau: 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x' = x + tx; y' = y + ty; z' = z + tz (1.7) x' = sx.x ; y' = sy.y; z = sz.z (1.8) Cũng giống như trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (1.7) và phép lấy tỷ lệ (1.8) dưới dạng tích ma trận bởi vector tọa độ đồng nhất Ph, P'h, ma trận biến đổi T và S. P'h = PhT (1.9) P'h = PhS (1.10) trong đó: Ph = (x y z 1) ; P'h = (x' y' z 1). 1 0 0 1 𝑇= 0 0 𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑠𝑥 0 0 𝑠𝑦 𝑆= 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ; 𝑡𝑧 1 0 0 0 0 𝑠𝑧 0 0 1 Đối với phép quay 3D, việc xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian là rất khó, do vậy phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ như trong Bảng 1.1: Phép quay cơ bản X' Y' Z' Quanh trục x x' = x y' = ycosθ - zsinθ z' = ysinθ + zcosθ Quanh trục y x' = zsinθ + xcosθ y' = y z' = zcosθ + xsinθ Quanh trục z x' = xcosθ + ysinθ y' = xsinθ + ycosθ z' = z Bảng 1.1: Phép quay 3D quanh các trục tọa độ Khi đó ma trận biến đổi đồng nhất R đối với phép quay 3D có giá trị như sau (đặt s = sinθ; c = cosθ;): 1 0 𝑅 𝑥, θ = 0 c 0 −s 0 0 0 s c 0 0 c 0 ; R y, θ = 0 0 s 1 0 0 1 0 0 c s −s 0 0 0 ; R z, θ = −s c c 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 (1.11) 0 1 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tổng quát, ta có thể biểu diễn phép biến đổi tọa độ 3D (chỉ gồm phép dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau: (x' y' z' 1) = (x y z 1).H (1.12) Trong đó: 𝑟11 𝑟21 𝐻= 𝑟 31 𝑡𝑥 𝑟12 𝑟22 𝑟32 𝑡𝑦 𝑟13 𝑟23 𝑟33 𝑡𝑧 0 0 = 0 1 0 0 0 1 𝑅∗ 𝑡 Với 𝑟11 𝑅∗ = 𝑟21 𝑟31 𝑟12 𝑟22 𝑟32 𝑟13 𝑟23 𝑟33 = (x y Hoặc ta có thể viết: (x' y' z') z)R* + t (1.13) Có thể thấy rằng ma trận xoay R trong công thức (1.11) là ma trận trực giao, ta định nghĩa các vector hàng của R: 𝑟1 = (r11 r12 r13); 𝑟2 = (r21 r22 r23); 𝑟3 = (r31 r32 r33) (1.14) Thì thành phần của các vector này chính là cosin chỉ hướng của vector đơn vị i, j, k trong hệ trục tọa độ Oxyz và thỏa điều kiện tích có hướng của 2 vector này sẽ là vector kia, cụ thể ta có: 𝑟1 , 𝑟2 = 𝑟3 ; 𝑟2 , 𝑟3 = 𝑟1 ; 𝑟3 , 𝑟1 = 𝑟2 ; (1.15) Và ta còn có: 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟3 = 1 1.1.4. Phép ánh xạ Ở các phần trên ta đã xét các phép biến đổi tọa độ trong cùng một hệ tọa độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ tọa độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều. Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ tọa độ khác nhau. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ tọa độ sang hệ tọa độ thứ hai được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ tọa độ thứ nhất sang hệ tọa độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ tọa độ. Phép ánh xạ tương đương với phép biến đổi hệ tọa độ thứ nhất sang hệ tọa độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế đồ họa. Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ tọa độ làm việc (còn được gọi là hệ tọa độ địa phương hay hệ tọa độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoa việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) tọa độ được đo trong hệ tọa độ làm việc sang hệ tọa độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối tượng (chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ tọa độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ tọa độ hệ thống chủ. Ví dụ 1.2: Ta có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ tọa độ sang hệ tọa độ thứ hai như sau: Cho trước tọa độ của điểm P xác định theo hệ tọa độ (X, Y, Z), ta sẽ xác định tọa độ của điểm P theo hệ tọa độ (X', Y', Z'), sao cho thỏa mãn điều kiện: P' = f(P, thông số ánh xạ) hay P' = P.H trong đó: P: Vector vị trí của điểm P theo hệ tọa độ (X, Y, Z) P': Vector vị trí của điểm P theo hệ tọa độ (X', Y', Z') H : Ma trận ánh xạ trong công thức (1.12) mô tả vị trí tương đối của hệ tọa độ (X, Y, Z) so với hệ tọa độ (X', Y', Z'). 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.5. Khung tọa độ Phần trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ một hệ tọa độ sang hệ tọa độ thứ hai. Tiếp theo ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ tọa độ. Có thể mô tả phép biến đổi tọa độ (1.12) dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động (Hình 1.2). Cho ih, jh và kh là các vector chỉ hướng đồng nhất của hệ tọa độ tham chiếu: ih = (l 0 0 1 ) ; jh = (0 1 0 1); kh = (0 0 1 1). Áp dụng phép biến đổi (1.12) với các vector đồng nhất ta có: i' h = i h H = ( 1 0 0 1) H = (𝑟1 1) (1.17a) j ' h = j h H = ( 0 1 0 1 ) H = ( 𝑟2 l ) (1.17b) k'h = khH = (0 0 1 1) H = (𝑟3 1) (1.17c) Kết quả trên cho thấy rằng các vector 𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vector trục của hệ tọa độ chuyển động (Hình 1.2) biến đổi theo (1.12). Gốc hệ tọa độ chuyển động được xác định tương tự: P'h = (0 0 0 1) H = (tx ty tz 1) = (t 1) (1.18) Vì lý do này, người ta gọi ma trận biến đổi đồng nhất H là khung tọa độ. Như vậy, phép biến đổi (1.12) chính là phép ánh xạ từ hệ tọa độ làm việc (hệ tọa độ địa phương hay hệ tọa độ chuyển động) sang hệ tọa độ hệ thống (hệ tọa độ cố định). 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 𝑟1 𝑟2 r P z H r’ 𝑟3 t r’ = rH k y i i j x Hình 1.2: Phép biến đối tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động 1.2. Đƣờng cong – Curve Trong các ứng dụng của ĐHMT, hầu như các thực thể là đường cong và mặt cong. Các thực thể này được dùng để mô tả các vật thể trong thế giới thực như nhà cửa, đồi núi, phương tiện đi lại…hay để xây dựng các thực thể đang được thiết kế. Nếu chỉ sử dụng các phương trình đường cong sẽ không thể hiện được hình ảnh thực hay ý tưởng của người thiết kế, ngược lại nếu dùng tập hợp các điểm thì thường cần phải dùng nhiều dung lượng nhớ để lưu trữ cũng như tốc độ tính toán. Ta có quỹ đạo chuyển động của một chất điểm trong không gian có thể tạo thành đường thẳng hoặc đường cong. Về mặt trực quan, người ta định nghĩa đường cong như là quỹ đạo điểm thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Qua hai điểm có thể vẽ được một đường thẳng. Qua ba điểm có thể vẽ được một đường cong trong mặt phẳng. Qua bốn điểm có thể vẽ được một đường cong trong không gian. Nếu ta dùng các phương trình đường cong như 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hypebol, Parabol, Elip ... thì việc tính toán có thể phức tạp và không thể hiện được hình ảnh thực hay ý tưởng đa dạng của người thiết kế. Vấn đề đặt ra là chọn đường cong như thế nào để phù hợp với việc biểu diễn trong máy tính? Trong ĐHMT khi muốn xây dựng một đường cong tổng quát khi chưa biết phương trình toán học của nó người ta sử dụng một tập hợp các điểm cho trước gọi là tập các điểm điều khiển (control points). Giả sử ta dùng n+1 điểm điều khiển P0, P1, P2,..., Pn, khi đó một đường cong C được tạo ra theo một trong hai cách sau:  Nội suy các điểm điều khiển: Đường cong C được bắt đầu tại điểm P0 và đi qua các điểm điều khiển trung gian theo thứ tự P0, P1, P2,..., Pn. C kết thúc tại Pn.  Xấp xỉ các điểm điều khiển: C không nhất thiết phải đi qua các điểm điều khiển nhưng hình dạng của nó được quyết định bởi các điểm điều khiển. Đường cong là các đối tượng cơ bản thường là kết quả của tiến trình thiết kế và các điểm điều khiển đóng vai trò là công cụ để kiểm soát và mô hình hoá đường cong. Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực thiết kế mô hình hình học nhờ máy tính (Computer Aided Geometric Design, viết tắt là CAGD). Về mặt toán học, đường cong được biểu diễn dưới các dạng:  Phương trình ẩn: f(x, y, z) = 0  Phương trình tường minh: y = f(x), z = g(x)  Phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) trong đó t ∈ [0; 1]. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.3: Xét đường tròn đơn vị (O, 1) trên mặt phẳng Oxy, có tâm trùng với gốc hệ toa độ như trên Hình 1.3. Mối quan hệ giữa các tọa độ x và y được mô tả bởi phương trình ẩn: f ( x , y) = x 2 + y 2 - 1 = 0 Nếu ta chỉ xét phần nửa trên của đường tròn thì ta có phương trình tường minh biểu diễn là: y = g(x) = (1 – x2)1/2 y y P(x,y) θ P(x,y) 𝛼 0 0 x x Hình 1.3: Biểu diễn đường tròn đơn vị Giả sử P(x,y) là một điểm nằm trên đường tròn (O, 1). Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục Ox là tham số của đường tròn, ta có phương trình tham số của đường tròn đơn vị: x = x(θ) = cosθ ; y = y( θ ) = sinθ Giả sử Q cũng là một điểm thuộc đường tròn, gọi góc tạo bởi PQ với trục Ox là 𝛼. Khi đó đặt: t = tg𝛼 = y/(x+1) Kết hợp với phương trình (2.1) ta có: x = x(t) = (1 - t2)(1 + t2); y = y(t) = 2t/(1 + t2). Phương trình trên đường gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ của đường tròn. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hóa. 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mặc dù về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để biểu diễn đường cong, nhưng mô hình toán học dưới dạng đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật. Mỗi đường cong có các đặc tính đó là: Độ chảy, Vector tiếp tuyến đơn vị, Vector pháp tuyến chính, Độ cong và bán kính cong [5]. Xét đường cong được biểu diễn bằng phương trình tham số chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)] Độ chảy: Độ lớn của vectơ đạo hàm r’(t) được gọi là độ chảy của đường cong: q’(t) = |r’(t)| Nếu so sánh đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian thì khi đó độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình. Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hóa. Vectơ tiếp tuyến đơn vị: Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho: 𝜃 𝑠= |𝒓’(𝒕)|𝒅𝒕 0 Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau: T = dr/ds hay dưới dạng vi phân: T = r’(t)/ |r’(t) | Vectơ pháp tuyến chính: Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hóa giá trị, chúng ta có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong: 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn N = (dT/dt)/ |𝒅𝑻/𝒅𝒕| ≡(dT/ds)/ |𝒅𝑻/𝒅𝒔| Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T. Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ: B = TxN. Độ cong và bán kính cong: Cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau: k = |𝒅𝑻/𝒅𝒔| Xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi: 𝜌= 1 𝑘 1.3. Mặt cong - Surface 1.3.1. Biểu diễn mặt cong Mặt cong được định nghĩa trực quan là quỹ đạo chuyển động của một đường cong tạo nên. Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: x = x(u, v) với u, v ∈ [0, 1] y = y(u, v) z = z(u, v) S(u,v,w) = S[x = x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)] (1.19) Trong đó u, v, w là tham số của mặt cong. Để biểu diễn phương trình tham biến cho mặt cong ta có thể: 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn