Tài liệu áp dụng phương pháp wavelet để chuẩn đoán vết nứt của cầu dạng dầm dưới tác động của tải trọng di động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC NGUYỄN ĐÌNH DŨNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP WAVELET ĐỂ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT CỦA CẦU DẠNG DẦM DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội – 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC NGUYỄN ĐÌNH DŨNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP WAVELET ĐỂ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT CỦA CẦU DẠNG DẦM DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG Ngành: Cơ học Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VIỆT KHOA Hà Nội – 2010 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn: “Áp dụng phƣơng pháp wavelet để chẩn đoán vết nứt của cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động” là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu nêu ra và trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu đƣợc trình bày trong luận văn này chƣa từng đƣợc công bố tại bất kỳ công trình nào khác. Hà nội, ngày 15 tháng 09 năm 2010 Tác giả luận văn Nguyễn Đình Dũng 2 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Việt Khoa – cán bộ hƣớng dẫn. Thầy đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình làm luận văn. Nhờ đó, tôi đã học tập đƣợc rất nhiều kiến thức bổ ích. Thầy đã truyền cho tôi lòng say mê cũng nhƣ phƣơng pháp nghiên cứu khoa học và những kinh nghiệm vô cùng quý giá. Tác giả xin chân thành cảm ơn các cán bộ của Khoa Cơ học kỹ thuật và Tự động hoá – Viện Cơ học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và ngƣời thân về sự động viên, khích lệ tinh thần trong suốt quá trình học tập cũng nhƣ thực hiện đề tài này. Hà nội, ngày 15 tháng 09 năm 2010 Tác giả luận văn Nguyễn Đình Dũng 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 6 CHƢƠNG 1: Cơ sở lý thuyết dao động của hệ xe-cầu dƣới tác động của xe di chuyển ..................................................................................................................... 9 1.1. Dầm nguyên vẹn ........................................................................................... 9 1.2. Kết cấu dầm có vết nứt ................................................................................ 11 1.3. Ví dụ minh hoạ cho việc xác định ma trận tổng thể ..................................... 14 CHƢƠNG 2: Biến đổi wavelet .............................................................................. 16 2.1. Biến đổi wavelet ......................................................................................... 16 2.1.1. Biến đổi wavelet liên tục và biến đổi ngƣợc của nó .................................. 18 2.1.2. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) và biến đổi ngƣợc của nó ....................... 19 2.2. Áp dụng wavelet phát hiện sự thay đổi đột ngột của tín hiệu ....................... 21 CHƢƠNG 3: Mô phỏng số dao động của hệ xe-cầu với các vận tốc của xe và độ sâu vết nứt của cầu khác nhau .............................................................................. 26 3.1. Trƣờng hợp vận tốc của xe bằng 1m/s ......................................................... 26 3.2. Trƣờng hợp vận tốc của xe bằng 2m/s ......................................................... 33 3.3. Trƣờng hợp vận tốc của xe là 10m/s ............................................................ 40 3.4. Trƣờng hợp vận tốc của xe là 30m/s ............................................................ 45 3.5. Trƣờng hợp vận tốc của xe là 40m/s ............................................................ 50 KẾT LUẬN ........................................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 56 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ .............................................. 59 PHỤ LỤC I ........................................................................................................... 70 4 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1. Mô hình cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động ............................. 9 Hình 1.2. Mô hình dầm có vết nứt ............................................................................. 11 Hình 1.3. Mô hình dầm ba phần tử có vết nứt tại giữa dầm .......................................... 14 Hình 2.1. Hàm wavelet, vị trí wavelet ....................................................................... 17 Hình 2.2. Cây phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết .............................................. 20 Hình 2.3. Đồ thị của tín hiệu f(t): sóng hình sin tần số thấp đƣợc thay thế ..................... 21 Hình 2.4. Biến đổi wavelet liên tục của tín hiệu f(t) .................................................... 22 Hình 2.5. Biến đổi wavelet rời rạc của tín hiệu f(t) ..................................................... 22 Hình 2.6. Tín hiệu f(t) với một xung nhỏ ẩn ở điểm 150 ms ......................................... 23 Hình 2.7. Biến đổi wavelet liên tục của tín hiệu f(t) .................................................... 24 Hình 2.8. Biến đổi rời rạc của tín hiệu f(t).................................................................. 24 Hình 3.1. Phản ứng của thân xe khi vận tốc v = 1m/s, với các vết nứt khác nhau ........... 26 Hình 3.2. Phản ứng của thân xe khi xe chạy với vận tốc v = 1m/s, vết nứt 0% ............... 27 Hình 3.3. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 0% .............. 28 Hình 3.4. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 10% .......................................... 28 Hình 3.5. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 10% ............. 29 Hình 3.6. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 20% .......................................... 29 Hình 3.7. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 20% ............ 30 Hình 3.8. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 30% .......................................... 30 Hình 3.9. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 30% ............. 31 Hình 3.10. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 40% ........................................ 31 Hình 3.11. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 40% ........... 32 Hình 3.12. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 50% ........................................ 32 Hình 3.13. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 50% ........... 32 Hình 3.14. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau ........... 33 Hình 3.15. Phản ứng xử của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 0%...................................... 34 Hình 3.16. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 0% ............. 35 Hình 3.17. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 10% ........................................ 35 Hình 3.18. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 10% ........... 36 Hình 3.19. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 20% ........................................ 36 Hình 3.20. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 20% ........... 37 Hình 3.21. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 30% ........................................ 37 Hình 3.22. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 30% ........... 38 Hình 3.23. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 40% ........................................ 38 5 Hình 3.24. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 40% ........... 39 Hình 3.25. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 50% ........................................ 39 Hình 3.26. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 50% ........... 39 Hình 3.27. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau ......... 40 Hình 3.28. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 0% ........................................ 41 Hình 3.29. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 0% ........... 41 Hình 3.30. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 30% ...................................... 42 Hình 3.31. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 30% ......... 42 Hình 3.32. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 40%....................................... 43 Hình 3.33. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 40% ......... 44 Hình 3.34. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 50%....................................... 44 Hình 3.35. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 50% ......... 44 Hình 3.36. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau ......... 45 Hình 3.37. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 0% ........................................ 46 Hình 3.38. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 0% ........... 47 Hình 3.39. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 30%....................................... 47 Hình 3.40. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 30% ......... 48 Hình 3.41. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 40%....................................... 48 Hình 3.42. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 40% ......... 49 Hình 3.43. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 50%....................................... 49 Hình 3.44. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 50% ......... 49 Hình 3.45. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau ......... 50 Hình 3.46. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, vết nứt 0% ........................................ 51 Hình 3.47. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 40m/s, vết nứt 0% ........... 52 Hình 3.48. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, vết nứt 40%....................................... 52 Hình 3.49. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 40m/s, vết nứt 40% ......... 53 Hình 3.50. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, vết nứt 50%....................................... 53 Hình 3.51. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 40m/s, vết nứt 50% ......... 53 6 MỞ ĐẦU Hƣ hỏng trong các kết cấu có thể gây ra do sự tác động của môi trƣờng ví dụ nhƣ tải trọng gió, tải trọng sóng, sự ăn mòn, sự suy giảm các điều kiện biên, hoặc sự tập trung ứng suất nhƣ sự nứt vỡ, sự phá hủy các khớp… Sự phát triển của những hƣ hỏng nhƣ vết nứt chịu tải trọng tác dụng kéo dài có thể dẫn tới sự phá hủy kết cấu, gây nên thiệt hại to lớn về ngƣời và của. Do đó, việc phát hiện ra những vết nứt trong kết cấu là một vấn đề rất quan trọng. Việc chẩn đoán các vết nứt trong các hệ cơ khí và các công trình xây dựng dân dụng đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu trong hơn hai thập kỷ qua nhƣ đã chỉ ra trong báo cáo tổng quan của Salawu [25], Doebling và đồng nghiệp [7]. Hiện trên thế giới đã có một số lƣợng lớn các phƣơng pháp không phá hủy để phát hiện ra các vết nứt dựa trên những thay đổi của các tính chất động lực học của kết cấu (tần số, dạng riêng, hàm truyền). Pandey và đồng nghiệp [19] đã đề xuất phƣơng pháp ứng dụng độ cong của dạng riêng để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu. Sự suy giảm mặt cắt ngang gây ra bởi hƣ hỏng có xu hƣớng làm tăng độ cong của các dạng riêng trong lân cận vùng bị hƣ hỏng. Pandey và Biswas [18] đã giới thiệu một phƣơng pháp phát hiện vết nứt dựa trên sự khác nhau giữa các ma trận độ mềm của các kết cấu bị và không bị hƣ hỏng. Nghiên cứu này đã chỉ ra rằng phƣơng pháp trên làm việc hiệu quả nhất khi hƣ hỏng nằm tại nơi có mô men uốn lớn. Verboven và đồng nghiệp [27, 28] đã giới thiệu phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng một cách tự động dựa trên các tham số modal. Những thay đổi của dạng riêng của kết cấu do hƣ hỏng gây ra đƣợc tự động nhận dạng bằng phƣơng pháp ƣớc lƣợng khả năng xảy ra cực đại (maximum likelihood estimator) trong miền tần số. Khoo và đồng ngiệp [10] đã giới thiệu một kỹ thuật phân tích modal để theo dõi kết cấu của một bức tƣờng bằng gỗ. Những thay đổi đáng chú ý trong tần số riêng đã đƣợc sử dụng để phát hiện sự tồn tại của vết nứt và để xác định các dạng riêng nhạy cảm với vết nứt. Vị trí của vết nứt đƣợc xác định bằng cách so sánh sự biến dạng của dạng riêng trƣớc và sau hƣ hỏng. Trong thập kỷ trƣớc, biến đổi wavelet đã nổi lên nhƣ một công cụ hữu hiệu cho việc xử lý tín hiệu do tính chính xác và linh hoạt trong việc phân tích tín hiệu theo miền thời gian - tần số. Lu và Hsu [14] đã giới thiệu phƣơng pháp dựa trên phân tích wavelet để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu. Những hƣ hỏng nhỏ của kết cấu có thể gây ra những thay đổi lớn đối của các hệ số wavelet tại vị trí hƣ hỏng. Hong và đồng nghiệp [9] đã nghiên cứu tính hiệu quả của phƣơng pháp biến đổi wavelet liên 7 tục (CWT) để đánh giá số mũ Lipschitz. Trong nghiên cứu của họ, độ lớn của số mũ Lipschitz đƣợc sử dụng nhƣ một chỉ số về mức độ hƣ hỏng khi nghiên cứu dạng riêng uốn của một dầm có vết nứt. Dầm có hai vết nứt đã đƣợc Loutridis và đồng nghiệp nghiên cứu [13]. Dạng dao động riêng cơ bản của một dầm cantilever đã đƣợc phân tích bằng phƣơng pháp CWT. Vị trí của các vết nứt đƣợc phát hiện thông qua những thay đổi đột ngột của các hệ số wavelet của phản ứng động của kết cấu. Poudel và Ye [22], Rucka và Wilde [24] đã giới thiệu phƣơng pháp dựa trên biến đổi wavelet để xác định vị trí của hƣ hỏng trong dầm cantilever và dầm có gối tựa đơn giản sử dụng độ võng tĩnh. Trong thí nghiệm của họ, độ võng tĩnh thu đƣợc nhờ việc xử lý ảnh số của dầm. Vị trí vết nứt đƣợc xác định rất hiệu quả nhờ phƣơng pháp đã đề xuất. Gần đây, Castro và đồng nghiệp [4, 5], Nguyen và Olatubosun [17] đã giới thiệu phƣơng pháp dựa trên biến đổi wavelet để xác định các khuyết tật trong các dầm chịu dao động tự do và cƣỡng bức. Sự tồn tại và vị trí của khuyết tật do những thay đổi cục bộ trong tỷ trọng hoặc độ cứng của thanh đã đƣợc phát hiện nhờ việc áp dụng biến đổi wavelet. Việc phân tích các hệ đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng di động là một chủ đề đƣợc quan tâm trong hơn một thế kỉ qua. Đặc biệt trong kỹ nghệ cầu đƣờng, nhiều ứng dụng đã đƣợc phát triển từ chủ đề này. Dƣới tác dụng của tải trọng động, phản ứng của kết cấu thƣờng đƣợc sử dụng cho việc phát hiện hƣ hỏng. Parhi và Behera [20] đã giới thiệu phƣơng pháp giải tích cùng với sự kiểm chứng bằng thực nghiệm để nghiên cứu phản ứng của một dầm bị nứt dƣới tác dụng của một khối lƣợng di động. Phƣơng pháp Runge-Kutta đã đƣợc sử dụng để giải các phƣơng trình vi phân liên quan tới việc phân tích độ võng động của dầm cantilever. Piombo và đồng nghiệp [21] đã tính toán hệ tƣơng tác xe-cầu bằng cách xem nó nhƣ mặt thẳng đứng ba nhịp chịu tác dụng của một hệ vật bẩy bậc tự do với hệ giảm xóc tuyến tính và lốp xe là không cứng tuyệt đối. Trong các bài báo này, các tham số modal đƣợc trích ra từ phân tích wavelet. Lee và đồng nghiệp [11] đã đề xuất một quy trình bao gồm việc nhận dạng các tham số modal và đánh giá vị trí và mức độ hƣ hỏng. Các tham số modal đƣợc xác định từ tín hiệu tắt dần, đƣợc tính bằng cách sử dụng phƣơng pháp suy giảm ngẫu nhiên. Việc đánh giá hƣ hỏng đƣợc thực hiện dựa trên các tham số modal nhờ phƣơng pháp trí tuệ nhân tạo. Bilello và Bergman [2] đã nghiên cứu dầm bị hƣ hỏng dƣới tác dụng của tải trọng động. Hƣ hỏng đƣợc mô hình hóa bằng lò xo xoay và góc xoay của nó đƣợc đánh giá bằng cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính. Zhu và Law [30] đã sử dụng biến đổi wavelet liên tục để phân 8 tích độ võng theo thời gian của cầu chịu tải trọng là xe di động. Trong tất cả những nghiên cứu trên, các cảm biến đều đƣợc gắn trên cầu. Tuy nhiên, những phản ứng từ cầu ở những vị trí khác nhau thì khác nhau. Vì vậy, để có những dữ liệu phù hợp cho việc phát hiện hƣ hỏng, vị trí của các cảm biến trên cầu cần phải đƣợc xem xét. Từ việc điểm lại những nghiên cứu kể trên, một ý tƣởng về sử dụng biến đổi wavelet để phân tích dữ liệu dao động đo trực tiếp trên phƣơng tiện đang di chuyển để phát hiện vết nứt đã đƣợc đề xuất. Đây sẽ là phƣơng pháp đơn giản do việc thiết lập hệ thống cảm biến trên cầu là không cần thiết. Cùng với đó, phƣơng pháp này cũng sẽ không cần quan tâm tới vị trí của các cảm biến trên cầu. Mục đích của nghiên cứu này là để mở rộng các phƣơng pháp phát hiện vết nứt bằng cách giới thiệu một kỹ thuật dựa trên biến đổi wavelet để nghiên cứu phản ứng động của kết cấu đƣợc đo trực tiếp trên phƣơng tiện đang di chuyển. Trong luận văn này, mô hình lý thuyết của hệ xe-cầu và biến đổi wavelet sẽ đƣợc giới thiệu. Một ví dụ mô phỏng số cũng đã đƣợc thực hiện để nghiên cứu tính hiệu quả của kỹ thuật đƣợc đề xuất này. Bố cục của luận văn bao gồm ba chƣơng và một phụ lục. Chƣơng thứ nhất xây dựng mô hình phần tử hữu hạn của hệ xe-cầu, trong đó xe đƣợc mô hình hoá nhƣ hệ một bậc tự do, cầu đƣợc mô hình hoá nhƣ một dầm Euler – Bernoulli. Từ đó, hệ phƣơng trình tƣơng tác xe-cầu đƣợc thiết lập. Chƣơng thứ hai giới thiệu cơ sở toán học của phép biến đổi wavelet. Phép biến đổi wavelet liên tục và rời rạc cũng đƣợc giới thiệu. Một số ví dụ minh họa cho khả năng phân tích wavelet để phát hiện cũng nhƣ đánh giá sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu. Chƣơng cuối cùng mô phỏng số dao động của một hệ xe-cầu đã đƣợc nêu ở chƣơng đầu. Phản ứng của xe với các vận tốc và độ sâu vết nứt của cầu khác nhau đƣợc dùng để phân tích wavelet nhằm phát hiện sự thay đổi đột ngột trong các đáp ứng này. Từ đó dẫn đến kết luận tại vị trí thay đổi đột ngột của tín hiệu chính là vị trí của vết nứt tƣơng ứng ở trên cầu. Phụ lục là chƣơng trình máy tính để giải hệ phƣơng trình tƣơng tác xe-cầu đã đƣợc thiết lập ở chƣơng đầu tiên bằng ngôn ngữ Matlab chạy trên hệ điều hành Windows. 9 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA HỆ XE-CẦU DƢỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN 1.1. Dầm nguyên vẹn Mô hình của xe, cầu và xe–cầu sử dụng trong các bài toán tải trọng di động trên cầu đã đƣợc thảo luận bởi Yua và Chan [29]. Hệ xe–cầu là một hệ rất phức tạp và sự tƣơng tác giữa cầu và xe cũng là một vấn đề phức tạp bị ảnh hƣởng bởi rất nhiều tham số khác nhau. Tuy nhiên, trong một số trƣờng hợp mô hình có thể đƣợc đơn giản hoá và nó lại có hiệu quả hơn mô hình phức tạp trong việc thiết lập sự liên quan giữa các tham số chính và đáp ứng của cầu. Với mục đích đó, chúng ta sẽ xem xét nghiên cứu một mô hình đơn giản là hệ xe–cầu một chân. Chúng ta bắt đầu bằng cách xem xét hệ xe–cầu một chân nhƣ trong hình 1.1. Trong đó xe di chuyển đều với vận tốc v, lốp xe cứng tuyệt đối. Xe đƣợc mô hình hoá nhƣ hệ một bậc tự do với thân xe và lốp xe là những vật thể rắn. Để đơn giản hoá, vết nứt đƣợc giả định là vết nứt mở. Cầu đƣợc mô hình hoá nhƣ một dầm Euler – Bernoulli. Độ gồ ghề của bề mặt cầu đƣợc bỏ qua và bánh xe luôn tiếp xúc với mặt cầu. Theo các giả định này và áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn, phƣơng trình chuyển động của hệ xe–cầu đƣợc thể hiện nhƣ sau [12]: m1 y  c( y  u o )  k ( y  uo )  0 (1.1)   Cd  Kd  f  N T f Md 0 (1.2) f o  m1  m2 g  m2 uo  m1 y (1.3) m1 v y k c m2 X x u0 L Y Hình 1.1. Mô hình cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động 10 Trong đó m1, m2, k, c là các tham số nhƣ hình 1. y là chuyển vị theo phƣơng thẳng đứng của xe. u0 là chuyển vị theo phƣơng thẳng đứng của khối lƣợng m2 và bằng với chuyển vị theo phƣơng thẳng đứng của cầu tại vị trí tiếp xúc. M, C và K là ma trận khối lƣợng, ma trận cản và ma trận độ cứng của kết cấu. NT là ma trận chuyển của hàm dạng tại vị trí x của lực. f0 là độ lớn của lực tác dụng lên dầm. d là véc tơ chuyển vị nút của từng phần tử dầm. Chuyển vị u của dầm tại vị trí x có thể đƣợc tính từ hàm dạng và chuyển vị nút d: u  Nd (1.4) Hàm dạng của các phần tử là: N = [N1 N2 N3 N4] (1.5) Trong đó: 2 3 2  x  x x  N1  1  3   2  ; N 2  x  1 ; l l l  2 3  x  2 x   x  x N 3  3   2  ; N 4  x     l  l l  l  (1.6) Với l là chiều dài của phần tử. Các đạo hàm theo thời gian của u0 là: u o ( x, t )  u u x  x t (1.7) uo ( x, t )   2u 2  2u u  2u     x 2 x x 2 xt x x 2 t (1.8) Theo giả thiết xe chuyển động đều ta có: x  0 Vậy phƣơng trình (1.8) đƣợc viết lại nhƣ sau: uo ( x, t )   2u 2  2u  2u   x  2 x  xt x 2 t 2 (1.9) Vế bên phải của phƣơng trình (1.9) chính là gia tốc Coriolis do m2 di chuyển dọc theo dầm đang dao động. Bởi vì N là hàm của biến x trong khi d độc lập với thời gian, từ (1.4) chúng ta có: 2  2u u  2u  ; u  Nd ;  u  Nd ;  N d ;  N d ;  N d xx x x 2 2 x xt t x t (1.10) 11 Thay (1.10) vào phƣơng trình (1.7) và (1.9) ta đƣợc: u o ( x, t )  xN x d  Nd (1.11)   2 xN d  x 2 N d uo ( x, t )  Nd x xx (1.12) Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình (1.2) ta đƣợc: M  m N Nd  m N T 2 1 T     y  C  2m2 xN T N x d  K  m2 x 2 N T N xx d  (m1  m2 ) gN T (1.13) Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình (1.1) ta đƣợc: m1 y  cNd  cy  (cxN x  kN)d  ky  0 (1.14) Kết hợp (1.13) và (1.14) ta đƣợc phƣơng trình sau:  M  M*   0     C  C* N T m1  d     m1  y    cN 0  d   N T m1  m2 g  0  d   K  K *           c  y    cN x x  kN k  y   0  (1.15) Trong đó: M*  m2 N T N ; C*  2m2 xN T N x ; K *  m2 x 2 N T N xx (1.16) 1.2. Kết cấu dầm có vết nứt Lci xi X  i+1  ui+1  i ui ai Y Mi P i Pi+1 Mi+1 Hình 1.2. Mô hình dầm có vết nứt Hình 1.2 thể hiện một mô hình dầm đƣợc chia thành Q phần tử, vết nứt nằm ở phần tử thứ i. Giả định rằng vết nứt chỉ ảnh hƣởng đến độ cứng, không ảnh hƣởng đến khối lƣợng và hệ số cản của dầm. Theo nguyên lý Saint-Venant thì trƣờng ứng suất chỉ bị ảnh hƣởng ở khu vực lân cận với vết nứt. Do đó, ma trận độ cứng phần tử của phần tử nguyên vẹn có thể coi là không thay đổi. Một ma trận độ cứng của 12 phần tử có vết nứt có thể đƣợc xác định nhƣ sau [23]: Bỏ qua biến dạng trƣợt, năng lƣợng biến dạng của một phần tử không có vết nứt có dạng: W (o)  1 2 EI  2 P 2l 3   M l  MPl 2   3   (1.17) Trong đó P và M là lực cắt và mô men uốn nội ở nút bên phải của phần tử (hình 1.2). Năng lƣợng biến dạng bổ sung do vết nứt đã đƣợc tính trong cơ học phá huỷ. Các hệ số độ mềm đƣợc tính thong qua hệ số cƣờng độ ứng suất trong giới hạn đàn hồi tuyến tính, sử dụng định lý Castigliano. Với dầm chữ nhật có chiều cao h, chiều rộng b, thì năng lƣợng bổ sung do vết nứt có thể đƣợc viết dƣới dạng: W    K I2  K II2  1   K III2  b    E E 0 a (1)  da  Trong đó E’=E là ứng suất phẳng và E   (1.18) E là biến dạng phẳng và a là độ sâu 1  2 vết nứt, KI, KII, KIII là hệ số cƣờng độ ứng suất cho kiểu mở, kiểu trƣợt, kiểu rách tƣơng ứng. Chỉ tính đến lực uốn thì phƣơng trình (1.18) dẫn đến: a W (1)  b 0 K IM 2  K IP   K IIP da E 2 (1.19) Trong đó: K IM  6M a FI ( s) 3Pl a FI ( s) P a FII ( s) ; K IP  ; K IIP  2 2 bh bh bh   s  0.923  0.1991  sin  2  s   2   FI ( s)  tg   s  2   s  cos  2  FII ( s)  3s  2s 2 4 1.122  0.561s  0.085s 2  0.18s 3  1 s (1.20) (1.21) (1.22) Trong đó s = a/h; a là độ sâu vết nứt. Các thành phần của ma trận độ mềm của phần tử nguyên vẹn có thể đƣợc tính nhƣ sau: 13  2W ( o ) c~ij( o )  ; i, j  1,2 ; P1  P ; P2  M Pi Pj (1.23) Từ (1.23) và (1.17) các hệ số c~ij( o ) đƣợc tính nhƣ sau: l3 ; c~11( 0)  3EI l2 ; c~12( 0)  2 EI l2 ; c~21( 0)  2 EI l c~22( 0)  EI (1.24) Hệ số độ mềm bổ sung là:  2W (1) (1) ~ cij  ; i, j  1,2 ; P1  P ; P2  M Pi Pj (1.25) Từ (1.25) và (1.18) các hệ số c~ij(1) đƣợc tính nhƣ sau: a b 18al 2 FI2 ( s) 2aFII2 ( s)  (1) ~ c11     da ; E' 0  b2h4 b2h2  b 36alFI2 ( s) (1) ~ c21   da ; E' 0 b2h4 a b 36alFI2 ( s) c~12(1)   da E' 0 b2h4 a b 72aFI2 ( s) (1) ~ c22   da E' 0 b 2 h 4 a (1.26) Do đó, hệ số độ mềm tổng thể là: c~ij  c~ij(o )  c~ij(1) (1.27) Từ điều kiện cân bằng, phƣơng trình sau có thể nhận đƣợc: Pi Mi Pi 1 M i 1   TPi 1 T M i 1  T (1.28) Trong đó:  1  L 1 0  T   0  1 0 1   T (1.29) Theo nguyên lý công ảo, ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt có thể đƣợc tính nhƣ sau: ~ K c  T T C 1 T (1.30) Ma trận độ cứng và ma trận khối lƣợng của phần tử không có vết nứt đƣợc biểu diễn nhƣ sau: 14 6l  12 6l   12  6l 4l 2  6l 2l 2  EI Ke  3  l  12  6l 12  6l    2l 2  6l 4l 2   6l  156  ml  22l Me  420  54   13l 22l 54 2 13l 13l 156  3l 2  22l 4l (1.31)  13l   3l 2   22l   4l 2  (1.32) Trong đó I - mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm; E - mô đun đàn hồi; l - độ dài của phần tử; m- khối lƣợng trên một đơn vị dài của phần tử. Các ma trận khối lƣợng của phần tử đƣợc ghép nối thành ma trận khối lƣợng tổng thể, trong khi đó các ma trận Ke và Kc đƣợc ghép nối thành ma trận độ cứng tổng thể của dầm có vết nứt. Ma trận cản Rayleigh có dạng C  M  K đƣợc sử dụng cho dầm. Trong đó  và  đƣợc tính nhƣ sau [27]:  21 2 1 2   21  2 2 2  11  ; 2 2  2  1  22  12 (1.33) Trong đó ω1 và ω2 là tần số riêng thứ nhất và thứ hai của dầm, 1, 2 là hệ số cản modal tƣơng ứng với hai tần số trên. 1.3. Ví dụ minh hoạ cho việc xác định ma trận tổng thể Dƣới đây trình bày một ví dụ minh hoạ cho việc tính ma trận độ cứng tổng thể của một dầm có vết nứt tại chính giữa của dầm. Dầm đƣợc chia làm ba phần tử, mỗi phần tử có độ dài l. E - mô đun đàn hồi của dầm. I - mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm (hình 1.3). 1 2 3 X Y Hình 1.3. Mô hình dầm ba phần tử có vết nứt tại giữa dầm 15 Theo công thức (1.31) ma trận độ cứng của phần tử 1 và 3 nhƣ sau: 6l  12  6l 4l 2 EI  K1  K 3  3 l  12  6l  2l 2  6l  12  6l 12  6l 6l  2l 2   6l   4l 2  (1.34) Ta giả sử ma trận độ cứng phần tử 2 là phần tử có vết nứt nhƣ sau:  k11 k12  EI k 21 k 22 K2  3 l k 31 k 32  k 41 k 42 k13 k 23 k 33 k 43 k14  k 24  k 34   k 44  (1.35) Ghép nối các ma trận K1, K2, K3 ta đƣợc ma trận độ cứng K tổng thể của dầm nhƣ sau: 6l  12  6l 4l 2   12  6l  2l 2 EI  6l K 3 0 l  0  0  0  0 0  0  0  12 6l 0 0 0 0  6l 2l 12  k11  6l  k12 k13 k14  6l  k 21 4l  k 22 k 23 k 24 k 31 k 32 k 33  12 k 34  6l k 41 k 42 k 43  6l k 44  4l 2 0 0  12  6l 0 0 6l 2l 2 2 2 0  0 0  0 0   0 0   12 6l    6l 2l 2  12  6l    6l 4l 2  0 (1.36) Sau khi đã có các ma trận tổng thể M, C, và K của dầm có vết nứt, thay các ma trận này vào hệ phƣơng trình (1.15) và giải hệ phƣơng trình này bằng phƣơng pháp Newmark ta sẽ thu đƣợc phản ứng động của xe và dầm. Khi có vết nứt thì phản ứng của hệ xe-cầu sẽ có thay đổi so với khi không có vết nứt. Tuy nhiên, những thay đổi này có thể là rất nhỏ và khó phát hiện bằng cách quan sát trực tiếp. Vì thế, việc áp dụng các phƣơng pháp xử lý tín hiệu nhằm khuếch đại sự thay đổi của phản ứng của hệ xe-cầu để phát hiện vết nứt là rất cần thiết. Chƣơng tiếp theo sẽ trình bày khái quát cơ sở lý thuyết của một trong các phƣơng pháp xử lý tín hiệu đó là: biến đổi wavelet. 16 CHƢƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET Nhƣ đã trình bày trong phần tổng quan, khi có vết nứt thì sẽ có sự không liên tục hoặc sự thay đổi đột ngột trong phản ứng động của kết cấu. Sự thay đổi này sẽ đƣợc khuếch đại và phát hiện nếu lựa chọn đƣợc kỹ thuật xử lý dữ liệu một cách phù hợp. Gần đây, biến đổi wavelet đã thể hiện nhƣ một công cụ nhanh và chính xác cho việc phân tích tín hiệu trong miền thời gian-tần số. Đặc biệt, biến đổi wavelet có tính địa phƣơng nên nó có khả năng phân tích những sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu. Vì vậy, biến đổi wavelet đƣợc đề xuất để sử dụng cho luận văn này. Trong chƣơng này sẽ trình bày cơ sở và một số đặc tính quan trọng của các biến đổi wavelet có thể đƣợc áp dụng hiệu quả cho việc phát hiện sự thay đổi đột ngột trong các tín hiệu. Chƣơng này bao gồm hai phần chính. Phần thứ nhất trình bày một giới thiệu ngắn gọn cơ sở của các biến đổi wavelet bao gồm biến đổi wavelet liên tục, biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi ngƣợc của chúng. Phần thứ hai sẽ trình bày một số ví dụ minh hoạ cho khả năng phân tích wavelet để phát hiện cũng nhƣ đánh giá sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu. 2.1. Biến đổi wavelet Nhƣ tên đã gợi ý, biến đổi wavelet sử dụng các hàm sóng nhỏ đƣợc gọi là wavelets. Mô tả chính xác hơn thì wavelet là một hàm mà có chứa các sóng nhỏ địa phƣơng. Wavelets đƣợc sử dụng để chuyển đổi một tín hiệu sang một dạng biểu diễn khác, trong đó các thông tin của tín hiệu đƣợc trình bày ở dạng hữu ích hơn. Cách chuyển đổi tín hiệu này là biến đổi wavelet. Về mặt toán học, các biến đổi wavelet là phép nhân cuộn của hàm wavelet với tín hiệu. Nói chung, biến đổi wavelet chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian (hoặc không gian) sang miền thời gian (hoặc không gian) - tần số. Điều này có nghĩa rằng, thông qua biến đổi wavelet, tín hiệu đƣợc trình bày trong miền tần số trong khi các thông tin trong miền thời gian (hoặc không gian) vẫn đƣợc giữ lại. Điều này là rất hữu ích cho việc phân tích các sự kiện xảy ra trong thời gian ngắn hoặc các kỳ dị có trong tín hiệu. Hàm wavelet có thể đƣợc thực hiện theo hai cách: 1) Đó là “dịch chuyển theo trục thời gian”: Wavelet có thể đƣợc dịch chuyển đến các địa điểm khác nhau của tín hiệu. 17 2) Nó có thể kéo hoặc nén lại. Một lợi thế lớn của wavelet là khả năng phân tích các tín hiệu một cách địa phƣơng. Nếu hàm wavelet có sự tƣơng quan với tín hiệu tại một vị trí và độ co giãn nhất định thì hệ số wavelet sẽ lớn. Ngƣợc lại, nếu hàm wavelet không tƣơng quan với tín hiệu thì giá trị của các hệ số wavelet là nhỏ. Tính chất đặc biệt này của biến đổi wavelet sẽ rất hữu ích cho việc xử lý nhiều loại tín hiệu khác nhau. Hình 2.1 trình bày một ví dụ về hàm wavelet, sự co giãn và vị trí của nó. a b c Hình 2.1. a) Hàm wavelet. b) Vị trí wavelet – hàm wavelet có thể đƣợc dịch chuyển đến các vị trí khác nhau. c) Sự co giãn - hàm wavelet có thể đƣợc kéo giãn hoặc nén lại. Biến đổi wavelet có những ứng dụng khác nhau trong nhiều lĩnh vực. Các ứng dụng chủ yếu của biến đổi wavelet nhƣ sau: 1) Phát hiện điểm gẫy và điểm thay đổi đột ngột trong tín hiệu 18 2) Phát hiện sự tƣơng tự trong tín hiệu 3) Xác định các tần số của tín hiệu thành phần 4) Nén các tín hiệu 5) Khử các tín hiệu nhiễu 6) Khử các hình ảnh nhiễu 7) Nén các hình ảnh 8) Nhân nhanh các ma trận lớn Trong các ứng dụng trên của biến đổi wavelet, phát hiện sự thay đổi đột ngột trong các tín hiệu là mối quan tâm chính của luận văn này để phục vụ cho việc phát hiện các vết nứt của kết cấu. 2.1.1. Biến đổi Wavelet liên tục và biến đổi ngƣợc của nó Các biến đổi wavelet liên tục (CWT) đƣợc định nghĩa nhƣ sau [6, 15]: Wf (a, b)  1 a   f (t ) *  t b  dt  a  (2.1) Trong đó: Số thực a thể hiện hệ số co giãn Số thực b thể hiện vị trí Wf(a,b) là hệ số wavelet với độ co giãn a và vị trí b f(t) là tín hiệu đầu vào t b  là hàm wavelet  a    tb t b  là liên hợp phức của     a   a   * Để đơn giản biểu thức của phép biến đổi wavelet, đặt  a ,b (t )  1 a t b  , phép  a   * biến đổi wavelet (2.1) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau:  Wf (a, b)   f (t )  a,b dt (2.2)