Tài liệu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử phonon quang)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- HOÀNG THỊ HƢỜNG ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- HOÀNG THỊ HƢỜNG ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số : 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU Hà Nội – 2015 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU............................................................................................................ 1 CHƢƠNG 1 DÂY LƢỢNG T Ử HÌNH TRỤ VÀ LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG RADIO ́ ́ ĐIỆN TRONG BAN DẪN KHÔI ...................................................................... 4 1.1. Dây lượng tử. ......................................................................................... 4 1.1.1. Khái về dây lượng tử. ................................................................................ 4 1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử và phonon giam cầm trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn ..................................................................... 4 1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Radio điện trong bán dẫn khối.................. 6 CHƢƠNG 2 PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ TRƢỜNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN KHI KỂ ĐẾN ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM .................................................... 8 2.1. Hamiltonian của điện tử - phonon trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn khi kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm .................................................. 8 2.2. Phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn khi kể đế n ảnh hưởng của phonon giam cầ m . ..................................... 10 2.3 Biểu thức mật độ dòng toàn phần ................................................................ 22 2.4. Biểu thức giải tích cho trường radio điê ̣n .................................................... 36 CHƢƠNG 3 ..................................................................................................... 45 TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN GaAs/GaAsAl................ 45 3.1. Sự phụ thuộc của trường radio-điện vào tần số  của bức xạ laser. ....................... 46 3.2. Sự phụ thuộc của trường radio điện vào nhiệt độ. ......................................... 47 KẾT LUẬN...................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO. .............................................................................. 49 PHỤ LỤC ........................................................................................................ 51 DANH MỤC BẢNG BIỂU Trang Bảng 3: Tham số vật liệu được sử dụng trong quá trình tính toán 45 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 3.1: Sự phụ thuộc của trƣờng radio điện vào tần số  của bức xạ laser Hình 3.2: Sự phụ thuộc của trƣờng radio điện vào nhiệt độ 46 47 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Những năm gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ vật liệu mới, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều phương pháp tạo ra các cấu trúc nano khác nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều (như siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử...). Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này cho ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật như: các vi mạch, diot huỳnh quang điện, pin mặt trời, … Khi nghiên cứu các hệ điện tử thấp chiều này người ta thấy, không những tính chất vật lý của các điện tử bị thay đổi một cách đáng kể, mà còn xuất hiện trong chúng thêm nhiều đặc tính mới khác hoàn toàn so với hệ điện tử ba chiều thông thường. Trong bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động tự do trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều), còn ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một, hai, hoặc ba hướng tọa độ nào đó. Phổ năng lượng của các hạt tải cũng bị gián đoạn theo các phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất vật lý của hệ như: tương tác điện tử - phonon, tính chất điện, tính chất quang [1, 2], ... Do vậy, các đặc trưng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, tensor độ dẫn … cũng thay đổi. Theo đó, khi chịu tác dụng của trường ngoài, các bài toán trong các hệ thấp chiều như: tính toán mật độ dòng, tính toán hệ số hấp thụ, tính toán dòng âm điện, trường âm điện, hiệu ứng Hall, hiệu ứng radio điện… sẽ cho các kết quả mới, khác biệt so với trường hợp bán dẫn khối [3, 8-12]. Dưới ảnh hưởng của trường điện từ mạnh cao tần, cùng sự tương tác của điện tử và phonon, trong bán dẫn khối cũng như các hệ thấp chiều xuất hiện các hiệu ứng vật lý thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Một trong các hiệu ứng vật lý được nghiên cứu đó là hiệu ứng radio điện. Hiệu ứng radio - điện trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu trong những năm 80 của thế kỷ trước. Hiệu ứng radio – điện trong hệ hai chiều được nghiên cứu gần đây trong [4 - 5, 8]. Những đặc tính của hiệu ứng radio điện trong hệ một chiều, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đã được nghiên cứu [7]. Tuy nhiên, bài toán nghiên cứu về hiệu ứng radio điện có kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử- phonon quang) vẫn còn đang bỏ ngỏ.Vì 1 vậy, trong luận văn này tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang)”. 2. Phƣơng pháp nghiên cứu Để tìm được lời giải cho bài toán về hiệu ứng radio-điện trong dây lượng tử hình trụ (trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang), ta có thể áp dụng nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phương pháp tích phân phiến hàm, phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm của nó, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể được đánh giá tùy vào từng bài toán cụ thể. Trong luận văn của mình, tôi đã sử dụng: - Phương pháp phương trình động lượng tử để thu nhận biểu thức giải tích của trường radio - điện E0 trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang). Đây là phương pháp được sử dụng nhiều và có những ưu việt khi nghiên cứu các vật liệu bán dẫn thấp chiều. - Ngoài ra, tôi còn sử dụng chương trình Matlab để tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của trường radio - điện E0 vào tần số của bức xạ laser  , và nhiệt độ T với dây lượng tử hình trụ GaAs/GaAsAl để minh họa tính toán lý thuyết. 3. Cấu trúc của luận văn. Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và ba chương sau: Chương 1: Dây lượng tử hình trụ và lý thuyế t lượng tử về hiê ̣u ứng radio điê ̣n trong bán dẫn khố i. Chương 2: Phương trình động lượng tử và hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn khi kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm. Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình tr ụ với thế cao vô han GaAs/GaAsAl. ̣ 4. Các kết quả thu đƣợc của luận văn. So sánh khi có ảnh hưởng của phonon khi bị giam cầm và khi phonon không bị giam cầm trong dây lượng tử hình trụ, ta thấy phonon khi bị giam cầm có ảnh 2 hưởng đáng kể tới giá trị truờng radio-điện của hệ, cụ thể là làm tăng trường radio – điện lên khoảng 1,5 – 1,6 lần và ta không thể bỏ qua sự ảnh hưởng này. Trong trường hợp giới hạn khi chỉ số giam cầm phonon tiến tới 0 ta sẽ thu được kết quả tương ứng với trường hợp phonon không giam cầm. Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học, góp phần vào phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn thấp chiều. 3 CHƢƠNG 1 ̉ DÂY LƢỢNG TƢ HÌNH TRỤ VÀ LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG RADIO ́ ́ ĐIỆN TRONG BAN DẪN KHÔI 1.1. Dây lƣợng tử. 1.1.1. Khái niệm về dây lượng tử. Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều trong đó chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt. Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể giải dễ dàng nhờ phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều : 2   H     2  V(r)  U(r)    E  2m *  (1.1) Trong đó: U(r): là thế năng tương tác giữa các điện tử, V  r  : là thế năng giam giữ các điện tử do sự giảm kích thước, m*: là khối lượng hiệu dụng của điện tử. 1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử và phonon giam cầm trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn Xét bài toán với dây lượng tử hình trụ có bán kính R, thế giam giữ điện tử của dây có đặc điểm: 4 0 V(r)    rR (1.2) Với thế năng này, hàm sóng và phổ năng lượng trong hệ tọa độ trụ  r, , z  - Hàm sóng: 0    n, ,k (r, , z)   1 in ikz e e  n, (r )  V  0 r>R r=  a   t n ,l , pz an ,l , pz ,  n ',l ', p 'z a   a  n,l , pz an,l , pz , H    có dạng: t (2.2)   n ',l ', p ' a  n ',l ', p ' an ',l ', p '    t z z z   n ',l ', p '    n ',l ', p ' a  n,l , p  n,n ' l ,l ' p , p '  a  n ',l ', p ' an,l , p  an ',l ', p '  n ',l ', p 'z   f n,l , pz i t n ',l ', p ' z z  n ,l , pz z an,l , pz a  n ',l ', p 'z an ',l ', p 'z  a  n ',l ', p 'z an ',l ', p 'z a  n,l , pz an,l , pz z z z  z z   a  n ',l ', p 'z  n,n ' l ,l ' pz , p 'z  a  n,l , pz an ',l ', p 'z an,l , pz    SH 2   a  n ,l , pz an ,l , pz ,  m,k,qz b  m,k,qz bm,k,qz  qz   t z 0 (2.3) t 0 (2.4) t   m,k   a   SH 3  a ,  I n ',l ',n '1 ,l '1 Cm,qz a n ',l ', p 'z an1 ',l1 ', p 'z qz (bm,k ,qz  b m,k , qz )   n,l , pz n,l , pz n ',l ',n '  1   l '1 , p 'z ,m,k,q z     n ',l ',n '1 l '1 , p 'z ,m,k,q z   Cm,k,qz I m ,k n ',l ', n '1 ,l '1 a   n ,l , p z an,l , pz , a  n ',l ', p ' z  q z an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,qz  b  m ,k,  q z )  Cm,k,qz I m,k n ',l ',n '1 ,l '1 a  n,l , pz an,l , pz a  n ',l ', p 'z qz an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,qz  b  m,k, qz )  n ',l ', n '1 l '1 , p 'z ,m,k,q z  a  n ',l ', p 'z qz an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,q z  b m,k, qz )a  n,l , pz an,l , pz 10 t t t     Cm,k,q I m.k n ',l ',n '1 ,l '1 a  n,l , pz  n,n ' l ,l ' pz , p 'z qz  a  n ',l ', p 'z qz an,l , pz  n ',l ', n '1 l '1 , p 'z ,m,k,q z an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,qz  b  m,k, qz )     a  n ',l ', p 'z qz  n,n1 ' l ,l1 ' pz , p 'z  a  n,l , pz an1 ',l1 ', p 'z an,l , pz (bm,k,q z  b m,k, qz )   Cm,k,qz I  n,n ' l ,l ' p , p ' q an ',l ', p ' (bm,k,q  b m,k n ',l ', n '1 ,l '1 z z z 1 1 z  z m,k,  qz t ) n ',l ', n '1 l '1 , p 'z ,m,k,q z  a  n ',l ', p 'z qz  n,n1 ' l ,l1 ' pz , p 'z an,l , pz (bm,k,qz  b m,k, qz ) t         Cm,k,qz I m,k n,l ,n ',l '  a  n,l , pz an ',l ', pz qz bm,k,qz  a  n,l , pz an ',l ', pz qz b  m,k, qz   n ',l ',m,k,q    a  n ',l ', pz qz an,l , pz bm,k,qz  a  n ',l ', pz qz an,l , pz b m,k, qz     Cm,k,q I m,k n ,l ,n ',l ' n ',l ',m,k,q  Fn ',l ', p q ,n,l , p ,m,k,q (t )  F z z z z  t * n ,l , pz ,k ,n ',l ', pz  qz ,m,k,q z (t )   Fn,l , pz ,q z ,n ',l ', pz qz ,m,k,q z (t )  F *n ',l ', pz qz ,n,l , pz ,m,k, qz (t )   (2.5) Thay (2.3), (2.4), (2.5) vào biểu thức (2.2). Ta thu được: a  n,l , pz an,l , pz   t i   Cm,k,qz I m,k n,l ,n ',l ' (q z ) Fn ',l ', p  q ,n ,l , p ,m,k,q (t )  Fn*,l , p ,n ',l ', p  q ,m,k,q (t )  n ',l ',m,k,q z z z z  Fn ,l , p ,n ',l ', p q ,m,k,q (t )  Fn*',l ', p k ,n ,l , p ,m,k,q (t ) z z Tìm biểu thức F z z n , l , pz , n ', l ', p' z ,m,k, qz i  a  n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz t t z z z z z z  z z z (2.6) bằng phương pháp phương trình động lượng tử   a  n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz , H    t (2.7) Ta có:    SH 1   a  n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz ,   n '',l '', p ''z a  n '',l '', p ''z an '',l '', p ''z  n '',l '', p '' z      n '',l '', p '' a    n '',l '', p '' a  n ,l , pz z an ',l ', p 'z a n ,l , p z  n '',l '', p ''z  z  n '',l '', p '' z an '',l '', p ''z bm,k ,qz  a   p ' , p ''  a n ', n '' l ',l '' z  z n '',l '', p '' z 11 n '',l '', p '' z  n '',l '', p ''z  t an '',l '', p ''z a  n ,l , pz an ',l ', p 'z bm,k ,qz an ',l ', p ' z an '',l '', p ''z bm ,k,qz  t   a  n '',l '', p ''z  n,n '' l ,l '' pz , p ''z  a  n,l , pz an '',l '', p '' z an ',l ', p ' z bm,k, qz    n '',l '', p '' a  n,l , p  n ',n '' l ',l '' p ' , p '' an '',l '', p '' bm,q z z z z z z n '',l '', p ''z  a t t  n '',l '', p ''z  n,n '' l ,l '' p , p '' an ',l ', p ' bm,k,q z     n,l , pz   n ',l ', p 'z  z a z  n ,l , pz z t an ',l ', p 'z bm,k,qz t     n ',l ', p 'z   n,l , pz Fn,l , pz ,n ',l ', pz ',m,k,qz    SH 2   a  n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz ,  m ',k',q 'z b  m ',k',q'z bm ',k',q'z  m ',k', q ' z     t   m ',k',q ' a  n,l , p an ',l ', p '  z z z m ',k', q 'z  a  n,l , pz an ',l ', p 'z b  m,k,qz bm ',k',qz bm,k,qz   m ',k',q ' a z  n ,l , pz q z , q 'z   b  m ',k',q'z bqz bm ',k',q'z m ',k',q ' z m ',k', q ' z a  n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz b  m ',k',q 'z bm ',k',q 'z a  n,l , pz an ',l ', p 'z b  m ',k',q'z bm ', k',q 'z bm,k,qz  (2.8) t  t t an ',l ', p 'z  mm ',kk',qz q 'z bm ',k',q 'z m ',k', q 'z t  m,k,qz a  n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz  m,k,qz Fn,l ,pz n ',l ',p'z m,k,qz t (2.9) Ta có:   SH 3   a  n ,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz , ,m',k',q' I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm ',k',q 'z n '',l '', n ''1 ,l ''1  z a  n '',l '', p ''z an1 '',l1 '', p ''z (bm,k,q 'z  b  m,k, qz )     I m ',k' n '',l '', n ''1 ,l ''1 Cm ',k',q 'z a t  n ,l , p z an '',l '', p 'z q 'z bm,k,q (bm ',k',q 'z  b m ',k', q 'z )  t n ''1 ,l ''1 ,m',k',q'z   I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm ',k',q 'z a  n '',l '', pz q 'z an ',l ', p 'z (bm ',k',q 'z  b m ',k', q 'z )bm,k,q  t n '',l '',m',k',q'z   I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 C qz a  n,l , pz an '',l '', p ''z qz an ',l ', p 'z an1 '',l1 '', p ''z t n '',l '', n ''1 ,l ''1 ,m',k',q'z Bỏ qua số hạng bậc cao hơn hai của hằng số tương tác điện tử - phonon ta có:  SH 3   n ''1 ,l ''1 ,m',k',q'z I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm ',k',q 'z a  n ,l , p z an '',l '', p 'z q 'z bm,k,q (bm ',k',q 'z  b  m ',k', q 'z )  t  a  n '',l '', pz  q 'z an ',l ', p 'z (bm ',k',q 'z  b  m ',k', q 'z )bm,k,q  m      Cm,k , qz I n,l,,kn ',l ' an,l , pz an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz  an ',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz 12  t  (2.10) Tìm biểu thức F n , l , pz , n ', l ', p' z ,m,k, qz bằng phương pháp phương trình động lượng tử. Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình điện tử và trung bình số phonon mà bỏ qua những giá trị chứa số hạng bậc hai của trung bình điện tử. Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào (2.6), ta được:   F (t ) i    n,l , pz   n ',l ', p 'z  m,k,qz Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k,qz (t )  t i         I m n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm,qz an,l , pz an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz  an ',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz t n ''1 ,l ''1 ,p z ,m     t   (2.11)   Ta đi giải phương trình (2.11) để đi tìm Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,q (t ) với điều kiện đoạn nhiệt của tương tác Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k,qz (t )()  0 . Giải phương trình (2.11) bằng phương pháp biến thiên hàm số. Trước hết ta giải phương trình thuần nhất tương ứng. F 0  t   M t F 0  t  , suy ra t dF 0  t  t 0 0  F 0  t    M t1 dt1  ln F t   ln F   t t t  t Suy ra: F  t   exp  M t1 dt1 (do giả thiế t đoa ̣n nhiê ̣t ta ̣i t   0  Biế n thiên hằ ng số : F t   C t  F 0 t   F  t  F  t  0  F t   C t  M t F 0 t  t t Mà: F  t   M t F 0  t   Nt t Suy ra: t  t'  1 C  t   Nt F 0  t   C  t    dt ' N t ' exp    M t1 dt1  t     13   M t1 dt1  t t  t'    Vâ ̣y: F  t     dt 'Nt ' exp    M t1 dt1   exp  M t1 dt1        t' t t  t F  t    dt ' Nt ' exp   M t1 dt1   M t1 dt1    dt ' N t ' exp  M t1 dt1   t'     t Do đó: (2.11) có nghiệm Fn ,l , pz ,n',l',p  t     dt 'Cn.k ,q I nm,l,,kn ',l '  i z ,k ,m ,qz t     an ',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz t  exp  dt1 t' z t   an,l , pz an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz t    i  e  ' e     n ',l '  pz  A  t1     n,l  pz  A  t1    m,k ,qz  c c       (2.12) 2 2 An,l pz2  Ta có:  n,l  pz   2m 2m R 2 2 e  ' e    Biế n đổ i:  n ',l '  pz  A  t1     n,l  pz  A  t1    c c     2 2 2 2 2 2  1  ' e An ',l '   1  A  e           pz  A  t1     2      pz  A  t1     n,l2  c c  2 m R   2m   2m R   2m      2 2  1  2  1  '2 e      e  2  e  2 ' e  pz  2 pz A  t1     A  t1    pz  2 pz A  t1     A  t1     2m  c c  c  c  2m         2 2mR 2 A 2 n ',l ' 2  An,l  2 1  pz' 2  pz2   me c  pz ' pz  At1   2mR2  An2',l '  An2,l  2m   n ',l ', p 'z   n,l , pz  t Suy ra: exp  dt1 t' e  m c  pz ' pz  A  t1   i  e e      n ',l '  p 'z  A  t1     n,l  pz  A  t1    m,k ,qz   c c       14 t i  exp  dt1  n ,l , pz t' i  exp   ie   n ',l ', p 'z  m,k ,qz exp    n ',l ', p 'z  m,k ,qz n ,l , pz t  2 m t' c  pz ' pz  A  t1  dt1 t  t  t ' exp  m ie c  p ' p  A t  dt  2 z z 1 1 t' Vậy ta có : Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k ,qz  t   t i  dt '     an ',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz t  exp  ie  2 m t' c m I n,l,,kn ',l 'Cm,k ,  qz t'   exp i  a  n ,l , p z n ,l , pz  an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz t'    t  t '    n ',l ', p 'z  m,k ,qz  pz ' pz  A  t1  dt1 (2.13) Tương tự ta có: Fn*,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k ,qz  t   t  dt '     an ',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz  exp i i t'  m   I n,l,,kn ',l 'Cm,k ,  qz  an ',l ', p ' z an ',l ', p ' z bm,k ,q z bm,k ,q z   n ',l ', p '   n,l , p  m,k ,q z t' z z  t ie  pz ' pz  A  t1  dt1 m 2c t'  t  t ' exp  (2.14) Suy ra: Fn,l , pz ,n ',l ', pz qz ,m,k ,qz  t    n ,l , p z  a  exp i t  dt '   m ,k ,qz an,l , pz bm,k ,qz b  n ,l , pz t' i m I n ,l,,kn ',l 'Cm,k ,  qz a  n ',l ', p z q z  an ',l ', pz qz bm,k ,qz bm,k ,qz t'     n ',l ', p 'z  m,k ,qz  t  t ' exp  mie c q A t  dt t  2 z 1 (2.15) 1 t' Fn ',l ', pz  qz ,n,l , pz ,m,k ,qz  t   t  dt ' i     an ',l ', pz  qz an ',l ', pz  qz bm,k ,qz bm,k ,qz  exp i  n ',l ', pz  qz m I n,l,,kn ',l 'Cm,k ,  qz t' a  n ,l , p z  an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz t'     n,l , pz  m,k ,qz  t  t ' exp  mie c q A t  dt t  2 t' 15 z 1 1 (2.16)