Tài liệu 90 đề ôn thi học sinh giỏi toán 9 có đáp án

  • Số trang: 267 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 3146 |
  • Lượt tải: 1
dangvantuan

Tham gia: 02/08/2015

Mô tả:

90 ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (Có đáp án chi tiết) 1 §Ò thi häc sinh giái m«n to¸n líp 9 (Thêi gian lµm bµi 150 phót) C©u 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. 6x  3 = 3 + 2 x  x2 x  1 x C©u 2: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: x - 3y - 3 = 0 x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0 Gäi (x1; y1) vµ (x2; y2) lµ hai nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh trªn. H·y t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc. M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2. C©u 3: Tõ ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn t©m O kÎ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC (B,C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC cña ®­êng trßn (O) (M kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t AB vµ AC t¹i E, F, ®­êng th¼ng BC c¾t OE vµ OF ë P vµ Q. Chøng minh r»ng tû sè PQ kh«ng ®æi khi M di EF chuyÓn trªn cung nhá BC. C©u 4: T×m c¸c sè x, y, z nguyªn d­¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc. 2(y+z) = x (yz-1) C©u 5: Mét ngò gi¸c cã tÝnh chÊt: TÊt c¶ c¸c tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ 3 ®Ønh liªn tiÕp cña ngò gi¸c ®Òu cã diÖn tÝch b»ng 1. TÝnh diÖn tÝch cña ngò gi¸c ®ã. 1 §Ò thi häc sinh giái m«n to¸n líp 9 (Thêi gian lµm bµi: 150 ) C©u 1: Cho biÓu thøc. (x + x 2  2006) (y  y 2  2006)  2006 H·y tÝnh tæng: S = x + y C©u 2: Trong c¸c cÆp sè thùc (x;y) tho¶ m·n: x2  x  y2  y x 2  y 2 1 0 H·y t×m cÆp sè cã tæng x+2y lín nhÊt. C©u 3: T×m c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho x = 2n + 2003 vµ y = 3n + 2005 ®Òu lµ nh÷ng sè chÝnh ph­¬ng. C©u 4: Cho hai ®­êng trßn (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i ®iÓm T. Hai ®­êng trßn nµy n»m trong ®­êng trßn (C3) vµ tiÕp xóc víi (C3) t­¬ng øng t¹i M vµ N. TiÕp tuyÕn chung t¹i T cña (C1) vµ (C2) c¾t (C3) t¹i P. PM c¾t ®­êng trßn (C1) t¹i diÓm thø hai A vµ MN c¾t (C1) t¹i ®iÓm thø hai B. PN c¾t ®­êng trßn (C2) t¹i ®iÓm thø hai D vµ MN c¾t (C2) t¹i ®iÓm thø hai C. a. Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. b. Chøng minh r»ng AB, CD vµ PT ®ång quy. C©u 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2  1 2 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Thanh ho¸ ***** §Ò thi häc sinh giái líp 9 M«n: To¸n Thêi gian: 150 phót Bµi 1: Cã sè y nµo biÓu thÞ trong d¹ng sau kh«ng? y  5  13  5  13  5  ... Bµi 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n hÖ thøc: 1 1 1 1 . Chøng minh    a b c abc r»ng : Víi mäi sè nguyªn n lÎ ta ®Òu cã: 1 1 1 1  n n n n a b c a  bn  cn Bµi 3: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:  x  2  2 y  1  9   x  y  1  1 Bµi 4: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh hai Èn x, y sau: ( m  1) x  my  2m  1  2 mx  y  m  2 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 5: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (x2-1)(x+3)(x+5) = m cã bèn nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, 1 1 1 1 x3, x4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn     1 x1 x2 x3 x4 1 Bµi 6: Cho Parabol (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y  x 2 2 a. T×m m sao cho ®iÓm C(-2; m)thuéc Parabol b. Cã bao nhiªu ®iÓm thuéc Parabol vµ c¸ch ®Òu hai trôc to¹ ®é Bµi 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0 Bµi 8: Cho gãc vu«ng xOy. C¸c ®iÓm A vµ B t­¬ng øng thuéc c¸c tia Ox vµ Oy sao cho OA = OB. Mét ®­êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®o¹n OB t¹i ®iÓm M n»m gi÷a O vµ B. Tõ B h¹ ®­êng vu«ng gãc víi AM t¹i H vµ c¾t ®­êng th¼ng OA t¹i I 1. Chøng minh OI = OM vµ tø gi¸c OMHN néi tiÕp ®­îc 2. Gäi K lµ h×nh chiÕu cña O lªn BI. Chøng minh OK = KH vµ t×m quü tÝch ®iÓm K khi M di ®éng trªn ®o¹n OB. Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC cã A  900 , M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC. Gäi O vµ 3 E lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn AB vµ AC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó ®é dµi ®o¹n th¼ng OE ng¾n nhÊt. -------------------------------------------------------- 4 §Ò thi häc sinh giái líp 9 ® Bµi I (2 ) Rót gän A 1  2a 1  1  2a  1  2a 1  1  2a Víi a = 3 4 Bµi II (6®) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh 2x2 + 4x = 19-3y2 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x3 =7x +3y y3 = 7y+3x Bµi III (3®) Cho x,y,z lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ x+y+z =1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = xy+yz+zx Bµi IV (6®) Cho h×nh thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lÇn l­ît thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c ®­êng hcÐo AC vµ BD , kÎ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC. Gäi I lµ giao ®iÓm cña MH’ vµ NH. Chøng minh r»ng I c¸ch ®Òu 2 ®iÓm C vµ D. Bµi V (3®) Cho a,b,c >0 vµ a+b+c = 1. Chøng minh b+c ≥ 16abc. 5 ®Ò thi häc sinh giái - líp 9 m«n to¸n -thêi gian : 150 phót ng­êi ra ®Ò : lª thÞ h­¬ng – lª thÞ t©m C©u 1: (4 ®iÓm) Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phôc thuéc gi¸ trÞ x A= 6 x  ( x  6) x  3 3 1   2( x  4 x  3)(2  x )  2 x  10 x  12 3 x  x  2 ®iÒu kiÖn x # 4; x # 9 ; x # 1 C©u 2: (3 ®iÓm) gi¶i ph­¬ng tr×nh x 2  48 = 4x - 3 + x 2  35 C©u 3: (4 ®iÓm) Ph©n tÝch ra thõa sè A = x3 y3 + z3 - 3xyz Tõ ®ã t×m nghiÖm nguyªn (x, y , z) cña ph­¬ng tr×nh x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m ®k: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) C©u 4: (3 ®iÓm) T×m GTNN cña biÓu thøc  = 1(x 10 2 y2  y10 1 )  ( x16  y16 )  (1  x 2 y 2 )2 2 x 4 C©u 5: (3 ®iÓm) cho tam gi¸c ABC cã AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm ®­êng cao, ®­êng ph©n gi¸c, ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh B chia tam gi¸c thµnh 4 phÇn. H·y tÝnh diÖn tÝch mçi phÇn. C©u 6: (3 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong (0) cã 2 ®­êng chÐo AC&BD vu«ng víi nhau t¹i H < H kh«ng trïng víi t©m cña (0). Gäi M,N lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng c¸c ®­êng th¼ng AB, BC; P&Q lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng MH & NH víi c¸c ®­êng th¼ng CD; OA. chøng minh r»ng ®­êng th¼ng PQ // ®­êng th¼ng AC vµ 4 ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn mét (0). 6 §Ò thi häc sinh giái To¸n líp 9 Së GD-§T thanh ho¸ B¶ng A Tr­êngTHPT BØm S¬n ( §Ò ®Ò nghÞ ) Thêi gian 150 phót ( Kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò) C©u1 : (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc A= ( x  y )2 x xy y  x xy y x y  x y x y  1,Rót gän biÓu thøc A 2, So s¸nh A vµ A C©u 2: ( 5 §iÓm) 1, Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x2 + 4x + 5 = 2 2x  3 2, Cho 1  a  2 vµ 1  b  2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P= (a  b) 2 a 3  b3 C©u 3, (6 ®iÓm) 1, Sè ®o hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = 0 H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ m ®Ó sè ®o cña ®­êng cao øng víi c¹nh huyÒn 2 cña tam gi¸c lµ: 5 2, Cho 2 ®iÓm A,B ph©n biÖt trªn ®­êng th¼ng (  ) . §­êng trßn (o) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng (  ) t¹i A. H·y dùng ®­êng trßn (o’) tiÕp xóc víi ®­êng trßn (o) vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng (  ) t¹i B. C©u 4: (5 ®iÓm) Cho hai ®­êng trßn (o1) vµ (o2) c¾t nhau t¹i A vµ B. TiÕp tuyÕn chung gÇn B cña hai ®­êng trßn lÇn l­ît tiÕp xóc víi (o1) vµ (o2) t¹i C vµ D. Qua A kÎ ®­êng th¼ng song song víi CD lÇn l­ît c¾t (o1) vµ (o2) t¹i M vµ N. C¸c ®­êng th¼ng BC vµ BD lÇn l­ît c¾t ®­êng th¼ng MN t¹i P vµ Q . C¸c ®­êng th¼ng CM vµ DN c¾t nhau t¹i E . Chøng minh r»ng: 1, §­êng th¼ng AE vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng CD 2, Tam gi¸c EPQ lµ tam gi¸c c©n. 7 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸ ®Ò thi häc sinh giái líp 9 b¶ng b M«n: To¸n Thêi gian: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)  Bµi 1: Rót gän A=  1 22 a  1 22 a  a 2  1  1  1   víi a > 0 vµ a 1 1  a 2  a  Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 thµnh nh©n tö Bµi 3: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh x 2  15 x  m 2  0 cã hai nghiÖm vµ nghiÖm nµy 4 b»ng b×nh ph­¬ng nghiÖm kia. Bµi 4: X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt (x, y) víi x, y lµ sè nguyªn  mx  2 y  m  1  2 x  my  2m  1 1 2 Bµi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh x 2  x  5  5 Bµi 6: Cho ®­êng th¼ng (d): y = x + 2m – 3 gäi A, B lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña d víi Ox, Oy. X¸c ®Þnh m ®Ó SABO b»ng 4. Bµi 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bµi 8: TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp ABC vu«ng ë A biÕt r»ng ®­êng ph©n gi¸c trong AD chia c¹nh huyÒn thµnh 2 ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 10 cm vµ 20 cm. Bµi 9: Cho ®­êng trßn t©m O, tiÕp tuyÕn ®­êng trßn t¹i B, C c¾t nhau ë A,  BAC = 600, M thuéc cung nhá BC, tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t AB, AC t¹i D, E. Gäi giao ®iÓm cña OD, OE víi BC lÇn l­ît lµ I, K. Chøng minh r»ng tø gi¸c IOCE néi tiÕp. Bµi 10: Chøng minh r»ng trong mét tø diÖn bÊt kú tån t¹i 3 c¹nh cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh mµ mét c¹nh nhá h¬n tæng hai c¹nh kia. Tµi liÖu: - Bµi 1, 2, 5: Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn §¹i sè 9 Bµi 3, 6 : §¹i sè n©ng cao líp 9 Bµi 7 : BÊt ®¼ng thøc – Phan §øc ChÝnh Bµi 8, 9, 10: Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn H×nh häc 9. 8 Së Gi¸o dôc vµ §µo T¹o thanh ho¸ ®Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS M«n thi : To¸n ( Thêi gian lµm bµi : 150 phót) Bµi I (3,0 ®iÓm): TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a 1 4 .Trong ®ã a lµ 2 a  a 1  a nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh : 4x2+ 2 x- 2 = 0 Bµi II ( 6,0 ®iÓm): 1) Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh : x2+ax+b = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2 vµ ph­¬ng tr×nh :x2+cx +d = 0 cã hai nghiÖm x3 , x4 .Chøng minh r»ng : 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh : ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a  0) cã hai nghiÖm x1,x2 tho¶ m·n x1x2=1 th× 5a2=2b2+ac Bµi III (5,0 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã c¶ ba gãc nhän . AA’,BB’,CC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao. H lµ trùc t©m AH BH CH 1) Chøng minh r»ng:   6 HA' 2) Cho biÕt HB ' HC ' AH  m . H·y tÝnh tgB.tgC theo m A' H Bµi IV (4,0 ®iÓm): Tõ mét ®iÓm O tuú ý trªn mÆt ph¼ng chøa h×nh b×nh hµnh ABCD .Ta nèi víi c¸c ®Ønh cña h×nh b×nh hµnh ®ã . Chøng minh r»ng diÖn tÝch cña tam gi¸c AOC b»ng tæng hoÆc hiÖu diÖn tÝch cña hai tam gi¸c kÒ nhau,mçi tam gi¸c ®­îc t¹o bëi hai trong c¸c ®­êng th¼ng OA,OB,OC,OD vµ c¸c c¹nh cña h×nh b×nh hµnh Bµi V (2,0 ®iÓm): Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn tè p sao cho ph­¬ng tr×nh : x2+x+1 = py cã nghiÖm nguyªn x,y. Chøng minh r»ng A lµ mét tËp hîp v« h¹n ------------------------------------------------------ 9 §Ò thi häc sinh giái líp 9 M«n : To¸n - N¨m häc: 2005 - 2006 (Thêi gian lµm bµi: 180 phót) Së GD-§T Thanh Hãa Tr­êng THPT Mai Anh TuÊn Bµi 1: (2,0®) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 1 A= 2  2 3  1 2  2 3 Bµi 2: (5,0®) Cho parabol(P): 1 4 y= x 2 a.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) di qua 2 ®iÓm A vµ B thuéc (P) vµ cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ 2 vµ - 4. b.T×m ®iÓm C trªn cung AB cña (P) sao cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 3: (4,0®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i B, néi tiÕp ®­êng trßn (O;R). Trªn cung AC cã chøa ®iÓm B, lÊy 1 ®iÓm D tïy ý; trªn tia ®èi cña tia DA lÊy ®iÓm E sao cho DE = DC. a. Chøng minh r»ng trung ®iÓm I cña EC vµ ®iÓm D th¼ng hµng víi 1 ®iÓm thø ba cè ®Þnh. b.T×m tËp hîp c¸c ®iÓm E khi D di ®éng trªn cung ABC. c.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D trªn cung ABC ®Ó ®é dµi AE lín nhÊt, tÝnh ®é dµi Êy theo R. Bµi 4: (4,0 ®) Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu. §iÓm A’ c¸ch ®Òu c¸c ®iÓm A, B, C. a. Chøng minh r»ng ch©n ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh A’ cña l¨ng trô trïng víi tam cña ®¸y ABC b. Chøng minh r»ng mÆt bªn BCC’B’ cña l¨ng trô lµ h×nh ch÷ nhËt. Bµi 5: (5,0 ®) a.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0 10 b.T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: 2x 2 +7xy + 6y 2 = 60 (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) 11 ®Ò thi häc sinh giái líp 9 thcs Së gd & ®t Thanh ho¸ Tr­êng thpt trÇn phó Nga S¬n M«n : To¸n Thêi gian : 150 phót kh«ng kÓ thêi gian giao Bµi 1: (6 ®iÓm) 1- Gi¶i ph­¬ng tr×nh : x2 + y2 = 5 x4 + x2y2 + y4 = 13 2- Cho biÓu thøc: A = 2x- 1 x2+ 2 T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Bµi 2 : (3 ®iÓm) Cho Ph­¬ng tr×nh : x2 2 .(m - 1) x + m 3=0 1)Chøng minh r»ng lu«n cã nghiÖm víi V gi¸ trÞ cña m. 2)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu nhau. Bµi 3: (3 ®iÓm) Cho a + b + c + d = 2 . Trong ®ã a, b, c, d Є R. H·y chøng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1 Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho ®­êng trßn néi tiÕp ∆ ABC , tiÕp xóc víi c¹nh BC t¹i D. Chøng minh r»ng: ∆ ABC vu«ng t¹i A khi vµ chØ chØ khi: AB. AC = 2DB . DC. Bµi 5: ( 4 ®iÓm) Cho h×nh chãp SABC cã SA SB SB, SA SC, SC. BiÕt SA = a; SB + SC = k. §Æt SB = x. a)TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABC theo : a, k, x. b)TÝnh SB, SC ®Ó thÓ tÝch h×nh chãp S. ABC lín nhÊt 12 Së GD&§T Thanh hãa Tr­êng thpt hËu léc 3 ®Ò xuÊt ng©n hµng ®Ò §Ò thi Häc sinh giái líp 9 M«n To¸n --------o0o------- ----------------o0o-------------2 1 x 2  2 x   1  4 , víi x < 0. 2 1 x 1   2  2 x   1 4 1 C©u 1: (1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: A C©u 2: (2 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau biÕt ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau: x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = 0. C©u 3: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x2 + y2, biÕt r»ng: x2 + y2 – xy = 4. C©u 4: (2 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh sau: 7x2 + 13y2 = 1820. C©u 5: (3 ®iÓm) Cho ABC c©n néi tiÕp trong ®­êng trßn (O; R) cã AB = AC = R 2 . a) TÝnh BC theo R? b) Cho M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung AC nhá. Gäi D lµ giao ®iÓm cña AM vµ BC. Chøng minh r»ng AM.AD lµ h»ng sè. c) Chøng minh r»ng t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp MCD di ®éng trªn mét ®­êng cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung AC nhá. -------------------------------------------HÕt------------------------------------------------Së gd vµ §T thanh ho¸ ®Ò thi häc sinh giái líp 9 M«n : To¸n Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1 : Cho biÓu thøc A a a a a : a 1 a  a  2 a) T×m a ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa b) Rót gän A Bµi 2 : Cho 2 sè d­¬ng x,y tho¶ m·n x+y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1  1   B  1  2 1  2  y   x  13 Bµi 3 : Cho ph­¬ng tr×nh  x2 1  m( x  1)  4 2 (m lµ tham sè ) a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi m  R b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n biÓu thøc 2 x12 x2  x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, tÝnh gi¸ trÞ nµy Bµi 4 : Mét vËn ®éng viªn b¾n sóng ®· b¾n h¬n 11 viªn vµ ®Òu tróng vµo vßng 9,10 ®iÓm; tæng sè ®iÓm ®¹t ®­îc lµ 109 ®iÓm. Hái vËn ®éng vieen ®ã ®· b¾n bao nhiªu viªn vµ kÕt qu¶ b¾n vµo c¸c vßng ra sao? Bµi 5 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  5 1 Bµi 6 : Cho parabol(P) : y=  x 2 vµ ®­êng th¼ng (d) : y= mx – 2m – 1 4 a) t×m m ®Ó ®­êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) b)chøng minh r»ng ®­êng th¼ng (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A  (P) Bµi 7: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh 7 x 2 13 y 2  1820 Bµi 8 : gi¸c Cho tam gi¸c nhän ABC, gäi AH,BI,CK lµ c¸c ®­êng cao cña tam Chøng minh r»ng S HIK  1  cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C S ABC Bµi 9: Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi MNPQ lµ tø gi¸c låi cã 4 ®Ønh lÇn l­ît n»m trªn 4 c¹nh cña h×nh vu«ng. X¸c ®Þnh tø gi¸c MNPQ sao cho nã cã chu vi nhá nhÊt Bµi 10 : Cho ®­êng trßn (O;R) vµ ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi ®­êng trßn, vÏ c¸t tuyÕn PBC bÊt k× . t×m quü tÝch c¸c ®iÓm O1 ®èi xøng víi O qua BC khi c¸t tuyÕn PBC quay quanh P 14 Së gi¸o dôc & ®µo t¹o Thanh ho¸ thi häc sinh giái líp 9 THcs §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Bµi I (1,0 ®iÓm) Cho hai ph­¬ng tr×nh: x2 + ax + 1 = 0 vµ x2 + bx + 17 = 0. BiÕt r»ng hai ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm chung vµ a  b nhá nhÊt. T×m a vµ b. Bµi II (2 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Bµi III (2,5 ®iÓm) x  x  5  x  x 2  5x  20 . x 3  y 3  1 1/ Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:  7 7 4 4 x  y  x  y 2/ T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: x3 + y3 + 6xy = 21. Bµi IV (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O ) t©m O. M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua O. C¸c ®­êng ph©n gi¸c trong gãc B vµ gãc C cña tam gi¸c ABC c¾t ®­êng th¼ng AM’ lÇn l­ît t¹i E vµ F . 1/ Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®­îc trong ®­êng trßn. 2/ BiÕt ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC cã t©m I b¸n kÝnh r. Chøng minh: IB.IC = 2r.IM. Bµi V (2 ®iÓm) 1/ Cho c¸c sè a, b tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: 0  a  3 ; 8  b  11 vµ a + b = 11. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch P = a.b . 2/ Trong mÆt ph¼ng ( P ) cho 3 tia chung gèc vµ ph©n biÖt Ox ; Oy ; Oz . Tia Ot kh«ng thuéc (P) vµ xOt = yOt = zOt . Chøng minh Ot vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). ---------------------------------------------------Hä vµ tªn thÝ sinh: Ch÷ ký cña hai ng­êi coi thi: Sè 1: ..Sè b¸o danh: .. Sè 2: . .. 15 Së GD&§T Thanh Ho¸ Tr­êng THPT Ho»ng Ho¸ 2 §Ò thi häc sinh giái líp 9 M«n : To¸n Thêi gian lµm bµi : 150 phót ( kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc : 1 1 1 1 P=    ...  1 5 5 9 9  13 2001  2005 Bµi 2 (2 ®iÓm) Cho ba sè d­¬ng x; y; z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xy + yx + xz = 1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau : (1  y 2 )(1  z 2 ) (1  z 2 )(1  x 2 ) (1  x 2 )(1  y 2 ) S= x  y  z 1  x2 1 y2 1 z2 Bµi 3 ( 2 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2x 13 x  2 6 3 x  5 x  2 3x  x  2 2 Bµi 4 (2 ®iÓm)  x 3  y 3  3( x  y ) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :   x  y  1 Bµi 5 (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó ®¼ng thøc sau lµ ®¼ng thøc ®óng : 3x 2  18 x  28  4 x 2  24 x  45 = – x2 + 6x -5 Bµi 6 (2 ®iÓm) 1 Cho Parabol (P) : y = x 2 vµ ®­êng th¼ng (d) qua hai ®iÓm A, B trªn (P) 4 cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ -2 vµ 4. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t­¬ng øng cã hoµnh ®é x [-2; 4] sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 7 ( 2 ®iÓm) T×m mäi cÆp sè nguyªn d­¬ng (x; y) sao cho x4  2 lµ sè nguyªn d­¬ng. x2 y  1 16 Bµi 8 (2 ®iÓm): Cho 2 ®­êng trßn (0 1 , R 1 ) vµ (0 2 , R 2 ) cã R 1 > R 2 tiÕp xóc ngoµi víi nhau t¹i A. §­êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®­êng trßn (0 1 , R 1 ) t¹i M vµ ®­êng trßn (0 2 , R 2 ) t¹i N ( c¸c ®iÓm M, N kh¸c A). T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm I cña c¸c ®o¹n th¼ng MN khi ®­êng th¼ng d quay quanh ®iÓm A. Bµi 9 (2 ®iÓm): Trong h×nh vu«ng mµ ®é dµi mçi c¹nh b»ng 4 cã cho tr­íc 33 ®iÓm, trong ®ã kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng. Ng­êi ta vÏ c¸c ®­êng trßn cã b¸n kÝnh ®Òu b»ng 2 , cã t©m lµ c¸c ®iÓm ®· cho. Hái cã hay kh«ng 3 ®iÓm trong sè c¸c ®iÓm nãi trªn sao cho chóng ®Òu thuéc vµo phÇn chung cña 3 h×nh trßn cã c¸c t©m còng chÝnh lµ 3 ®iÓm. Bµi 10 (2 ®iÓm): Cho tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi b»ng nhau, trong mÆt ph¼ng (BCD) dùng c¸c ®iÓm P, Q, R sao cho B, C, D lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña PR; QR; QP. Chøng minh r»ng AP; AQ; AR ®«i mét vu«ng gãc./ 17 §Ò thi häc sinh giái líp 9 - M«n To¸n: Thêi gian: 150phót Bµi 1(2 ®iÓm): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: A 5  17  5  17  10  4 2  4 3 5  3 5  2 2 Bµi 2(2 ®iÓm): Ph©n tÝch ®a thøc ra ph©n tö 24x3 - 26x2 + 9x - 1 Bµi 3(2 ®iÓm): T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: x2 - 2x - x-1 + m = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt Bµi 4(2 ®iÓm): T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: x 2 y 3 2 x y m Bµi 5(2 ®iÓm): T×m m ®Ó hÖ: mx  y  1 2x  3y  m 1 cã nghiÖm (x;y) tho¶ x2 + y2 = 1 Bµi 6(2 ®iÓm): Cho ®­êng (dm): y = mx - 3m + 2 a) VÏ ®å thÞ (d2) (tøc khi m = 2) b) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O tíi (dm) lín nhÊt. Bµi 7(2 ®iÓm): T×m (x;y) nguyªn tho¶ y  2 x 3  x 2  11x  5 2x  3 Bµi 8(2 ®iÓm): Cho ®iÓm I, qua I kÎ 2 ®­êng a vµ b tho¶ a  b. Trªn a vÒ hai phÝa cña I lÊy 2 ®iÓm A, D Trªn b vÒ hai phÝa cña I lÊy 2 ®iÓm B, C Tho¶ IA.ID = IB.IC. a) Chøng minh r»ng A, B, C, D thuéc 1 ®­êng trßn b) Qua D kÎ ®­êng song song víi b c¾t AB kÐo dµi t¹i F. H·y x¸c ®Þnh ®iÓm E trªn FD sao cho AE  FI. Khi ®ã ICED lµ h×nh g×? Bµi 9(2 ®iÓm): Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã chu vi kh«ng ®æi lµ 2p. M, N trªn AB tho¶ AM = MN = NB. P, Q trªn DC sao cho DP = PQ = QC AQ c¾t DN, BP lÇn l­ît t¹i A1D1 CM c¾t DN, BP lÇn l­ît t¹i B1C1 Hái h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®Æc ®iÓm g× th× tø gi¸c A1B1C1D1 cã diÖn tÝch ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 10(2 ®iÓm): Cho h×nh trô b¸n kÝnh ®¸y R, chiÒu cao h vµ cã thÓ tÝch lµ 30m3. 2 ®¸y lµ 2 ®­êng trßn (O) vµ (O'), AB lµ 1 ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn t©m (O), C di ®éng trªn ®­êng trßn (O). S thuéc ®­êng trßn t©m (O'). a) X¸c ®Þnh C ®Ó diÖn tÝch  ABC lµ lín nhÊt b) Khi  ABC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. H·y tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABC. 18 Së gi¸o dôc - ®µo t¹o thanh hãa §Ò thi häc sinh giái líp 9 THCS Tr­êng THPT bc lª viÕt t¹o **************************** Bµi 1: a) Chøng minh r»ng: 3 3 2 1  3 1 3 2 3 4   9 9 9 b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc E  2 x 5  x 3  3 x 2  x  1 víi x  1  2 Bµi 2: Cho a  b , a  c , b  c chøng minh r»ng b2  c2 c2  a2 a2  b2 bc c a a b      (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a)(c  b) b  c c  a a  b Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh: x 2  2mx  2m  1  0 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng b×nh ph­¬ng nghiÖm kia. Bµi 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 8 x  5 x  5 Bµi 5: Chøng minh nÕu a  2 th× hÖ sau v« nghiÖm:  x 5  2 y  a  2  x  y 2  1 1 4 Bµi 6: Cho Parabol (P) y  x 2 vµ ®­êng th¼ng (d): 1 y   x  2 . Gäi A vµ B 2 lµ giao ®iÓm cña (P) vµ (d). T×m M trªn cung AB cña (P) sao cho diÖn tÝch  MAB lín nhÊt. Bµi 7: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh 8x 4  4 y 4  2 z 4  t 4 Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC. Ph©n gi¸c AD, trung tuyÕn AM. LÊy ®èi xøng trung tuyÕn AM qua AD c¾t BC t¹i N. Chøng minh: NB AB 2  NC AC 2 Bµi 9: DiÖn tÝch cña mét h×nh thang b»ng 1. Hái ®­êng chÐo lín nhÊt cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt lµ bao nhiªu. Bµi 10: Cho ®­êng trßn ( 0; R) víi 2 ®­êng kÝnh AB vµ MN. TiÕp tuyÕn víi (0) t¹i A c¾t BM vµ BN t¹i M1, N1. Gäi P lµ trung ®iÓm cña AM1, Q lµ trung ®iÓm cña AN1. §­êng kÝnh AB cè ®Þnh, t×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BPQ khi ®­êng kÝnh MN thay ®æi. 19
- Xem thêm -